2020年江苏省南通市中考数学试卷
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2020年江苏省南通市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 计算，结果正确的是．
A． B． C． D．
2. 今年月日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约．将用科学记数法表示为．
A． B． C． D．
3. 下列运算，结果正确的是．
A． B． C． D．
4. 以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点所在的象限为．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. 如图，已知，，，则的度数是．
A． B． C． D．
6. 一组数据，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是．
A． B． C． D．
7. 下列条件中，能判定是菱形的是．
A． B． C． D．
8. 如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的侧面积为．
A． B．
C． D．
9. 如图① ，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图② 所示，则矩形的面积是．
A． B． C． D．
10. 如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共8题） |
11. 分解因式：________．
12. 已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为________．
13. 若，且为整数，则________．
14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于________．
15. 年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积平方步，宽比长少步，问宽和长各几步．若设长为步，则可列方程为________．
16. 如图，测角仪竖直放在距建筑物底部的位置，在处测得建筑物顶端的仰角为．若测角仪的高度是，则建筑物的高度约为________．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）
17. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于________．
18. 将双曲线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个点的横坐标为，另一个点的纵坐标为，则________．
| 三、 解答题（共8题） |
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. （1）如图① ，点在上，点在上，，．求证：．
（2）如图② ，为上一点，按以下步骤作图：
① 连接；
② 以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③ 在射线上截取；
④ 连接．
若，求的半径．
21. 如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点在直线上，轴，交直线于点，若，求点的坐标．
22. 为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：表示“优秀”， 表示“良好”， 表示“合格”， 表示“不合格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了名八年级学生．
第二小组随机调查了全校三个年级中的名学生，但只收集到名学生的有效问卷调查表．
两个小组的调查结果如图的图表所示：
第二小组统计表
等级 | 人数 | 百分比 |
合计 |
若该校共有名学生，试根据以上信息解答下列问题：
（1）第________小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约________人；
（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．
23. 某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．
请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
24. 矩形中，，．将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．
（1）如图① ，若点恰好在边上，连接，求的值；
（2）如图② ，若是的中点，的延长线交于点，求的长．
25. 已知抛物线经过，，三点，对称轴是直线．关于的方程有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，试比较与的大小；
（3）若，两点在直线的两侧，且，求的取值范围．
26. （了解概念）
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
（理解运用）
（1）如图① ，对余四边形中，，，，连接．若，求的值；
（2）如图② ，凸四边形中，，，当时，判断四边形是否为对余四边形．证明你的结论；
（拓展提升）
（3）在平面直角坐标系中，点，，，四边形是对余四边形，点在对余线上，且位于内部，．设，点的纵坐标为，请直接写出关于的函数解析式．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】原式．
故选：
【点评】本题考查了绝对值的意义和有理数的减法，熟悉有理数的减法法则是关键．
2. 【答案】A
【解析】．
故选：
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定值是关键．
3. 【答案】D
【解析】．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
．，此选项错误；
．，此选项计算正确；
故选：
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
4. 【答案】B
【解析】如图，点按逆时针方向旋转，
得点所在的象限为第二象限．
故选：
【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
5. 【答案】A
【解析】过点作，则，如图所示．
，
，
．
又，
．
故选：
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
6. 【答案】B
【解析】这组数据，，，，，的众数是，
，
从小到大排列此数据为：，，，，，，
处于中间位置的两个数是，，
这组数据的中位数是．
故选：
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7. 【答案】D
【解析】四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形；
故选：
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
8. 【答案】B
【解析】由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为，底面圆的直径为，
所以这个几何体的侧面积．
故选：
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
9. 【答案】B
【解析】从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，
过点作，
由三角形面积公式得：，
解得，
由图2可知当时，点与点重合，
，
矩形的面积为．
故选：
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．
10. 【答案】A
【解析】如图，过点作于点，过点作于点，
在中，
，，
，，
在中，，
，
点为中点，
，
在与中，
，
，
延长，过点作于点，
可得，
在中，，
当直线时，最大值为，
综上所述，的最大值为．
故选：
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】，
故答案为：．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，找出公因式是正确分解的前提．
12. 【答案】；
【解析】如图，作于，连接，
则，
在中，，
所以圆心到的距离为．
故答案为．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
13. 【答案】；
【解析】，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点评】本题考查无理数的估算，理解介在哪两个整数之间是正确求解的关键．
14. 【答案】；
【解析】，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
15. 【答案】；
【解析】长为步，宽比长少步，
宽为步．
依题意，得：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16. 【答案】；
【解析】如图，过点作，垂足为点，则，，
在中，
，
（米），
（米），
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
17. 【答案】；
【解析】，是方程的两个实数根，
，，即，
则原式
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
18. 【答案】；
【解析】一次函数的图象过定点，而点恰好是原点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的，
因此将双曲线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新双曲线与直线相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
平移前，这两个点的坐标为为，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．
三、 解答题
19. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式与整式的混合运算顺序和运算法则．
20. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：在和中
，
，
；
（2）解：连接，如图② ，
由作法得，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，．
即的半径为．
【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定与性质．
21. 【答案】（1）
（2）或
【解析】（1）在中，令，得，
，
把代入得，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为；
（2），
设，由轴，得，
，
解得或，
或．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
22. 【答案】（1）二，
（2）答案见解析
【解析】（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；
（人），
故答案为：二，；
（2）第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查．；
对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性和可操作性．
【点评】本题考查样本估计总体，样本的抽取要具有代表性和普遍性，才能够准确地反映总体．
23. 【答案】（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共种
（2）答案见解析
【解析】（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共种；
（2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是；
由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是；
所以两人坐到甲车的可能性一样．
【点评】此题考查的是列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
24. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）如图① 中，取的中点，连接．
四边形是矩形，
，
由翻折可知，，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图② 中，过点作交于，交于．则四边形是矩形，设，则
，，
，，
，
，
，
，，
在中，，
，
解得（负值已经舍弃），
，
在中，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
25. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）抛物线经过，
① ，
对称轴是直线，
② ，
关于的方程有两个相等的实数根，
③ ，
由① ② ③ 可得：
抛物线的解析式为；
（2），
，
点，点在对称轴直线的左侧，
抛物线，
，即随的增大而增大，
，
，
；
（3）若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时，
由题意可得
，
若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时，
由题意可得：，
不等式组无解，
综上所述：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
26. 【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）
【解析】（1）过点作于，过点作于．
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图② 中，结论：四边形是对余四边形．
理由：过点作，使得，连接．
四边形中，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是对余四边形．
（3）如图③ 中，过点作轴于．
，，，
，，，，
，
，
，
四边形是对余四边形，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
由（2）可知，，
，
整理得，
在中，，
，
即．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了对余四边形的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
