内蒙古通辽市2020年中考数学试卷

这是一份内蒙古通辽市2020年中考数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


内蒙古通辽市2020年中考数学试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是(   )
A.                                B.                                C.                                D. 3万
2.下列说法错误的是(    )
A. 是2个数a的和                 B. 是2和数a的积                 C. 是单项式                 D. 是偶数
3.下列事件中是不可能事件的是(    )
A. 守株待兔                           B. 瓮中捉鳖                           C. 水中捞月                           D. 百步穿杨
4.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放方式是(    )
A.           B.           C.           D. 
5.若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（　　）


A. k＜1                              B. k≤1                              C. k＜1且k≠0                               D. k≤1且k≠0
6.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是(    )
A.                 B.                 C.                 D. 
7.如图， 分别与 相切于 两点， ，则 (    )

A.                                    B.                                    C.                                    D. 
8.如图， 是 的中线，四边形 是平行四边形，增加下列条件，能判断 是菱形的是(    )

A.                     B.                     C.                     D. 
9.如图， 交双曲线 于点A ， 且 ，若矩形 的面积是8，且 轴，则k的值是(    )

A. 18                                       B. 50                                       C. 12                                       D. 
10.从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是(    )
⑴无理数都是无限小数；
⑵因式分解 ；
⑶棱长是 的正方体的表面展开图的周长一定是 ；
⑷弧长是 ，面积是 的扇形的圆心角是 ．
A.                                           B.                                           C.                                           D. 1
二、填空题（共7题；共7分）
11.计算：
 ________； ________； ________．
12.若数据3，a ， 3，5，3的平均数是3，则这组数据众数是________；a的值是________；方差是________．
13.如图，点O在直线 上， ，则 的度数是________．

14.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第 个正方形比第n个正方形多________个小正方形．

15.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了________个人．
16.如图，在 中， ，点P在斜边 上，以 为直角边作等腰直角三角形 ， ，则 三者之间的数量关系是________．

17.如图①，在 中， ，点E是边 的中点，点P是边 上一动点，设 ．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么 的值为________．

三、解答题（共9题；共85分）
18.解方程： .
19.从A处看一栋楼顶部的仰角为 ，看这栋楼底部的俯角为 ，A处与楼的水平距离 为 ，若 ，求这栋楼高．

20.用※定义一种新运算：对于任意实数m和n ， 规定 ，如： ．

（1）求 ；
（2）若 ，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
21.甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：
（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．
22.如图， 的直径 交弦(不是直径) 于点P ， 且 ．求证： ．

23.某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．
24.某服装专卖店计划购进 两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．
（1）求 型服装的单价；
（2）专卖店要购进 两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
25.中心为O的正六边形 的半径为 ．点 同时分别从 两点出发，以 的速度沿 向终点 运动，连接 ，设运动时间为 ．

（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）求矩形 的面积与正六边形 的面积之比．
26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点C ， 且直线 过点B ， 与y轴交于点D ， 点C与点D关于x轴对称．点P是线段 上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M ， 交直线 于点N ．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当 的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q ， 使得以 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：将30000用科学记数法表示为3×104 ．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
2.【解析】【解答】解：A、 =a+a，是2个数a的和，不符合题意；
B、 =2×a，是2和数a的积，不符合题意；
C、 是单项式，不符合题意；
D、当a为无理数时， 是无理数，不是偶数，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据2a的意义，分别判断各项即可.
3.【解析】【解答】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，不符合；
B、瓮中捉鳖是必然事件，不符合；
C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；
D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，不符合；
故答案为：C.
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．
4.【解析】【解答】解：A、∠α与∠β互余，故本选项符合题意；
B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项不符合题意；
C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项不符合题意；
D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
5.【解析】【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=；

（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，
由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．
故选B．
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．
6.【解析】【解答】解：三角形内心为三个角的角平分线的交点，
由基本作图得到B选项作了两个角的角平分线，
而三角形三条角平分线交于一点，从而可用直尺成功找到三角形内心．
故答案为：B．
【分析】根据三角形内心的定义，三角形内心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图和选项进行判断．
7.【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故答案为：C．

【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
8.【解析】【解答】解：A、若 ，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，符合题意；
B、若 ，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
C、若 ，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
D、若 ，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.
9.【解析】【解答】解：过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，
∴AE∥CF，
∴△OAE∽△OCF，
∵OC：OA=5：3，
∴OF：OE=CF：AE=5：3，
设点A（m，n），则mn=k，
∴OE=m，AE=n，
∴OF= ，CF= ，
∴AB=OF-OE= ，BC=CF-AE= ，
∵矩形ABCD的面积为8，
∴AB·BC= × =8，
∴mn=18=k，
故答案为：A.

【分析】过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，得到△OAE∽△OCF，设点A（m，n），求出AB和BC，利用矩形ABCD的面积为8求出mn，即k值.
10.【解析】【解答】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，
⑵因式分解 ，是真命题，
⑶棱长是 的正方体的表面展开图的周长一定是 ，是真命题，
⑷设扇形半径为r，圆心角为n，
∵弧长是 ，则 = ，则 ，
∵面积是 ，则 = ，则 360×240，
则 ，则n=3600÷24=150°，
故扇形的圆心角是 ，是假命题，
则随机抽取一个是真命题的概率是 ，
故答案为：C.
【分析】分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.
二、填空题
11.【解析】【解答】解： 1，
2× = ，
-1，
故答案为：1， ，-1.
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算法则分别计算即可.
12.【解析】【解答】解：根据题意得，
3+a+3+5+3=3×5，
解得：a=1，
则一组数据1，3，3，3，5的众数为3，
方差为： = =1.6，
故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6
【分析】根据平均数的定义先求出a的值，再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案．
13.【解析】【解答】解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，
∵ ，
∴∠BOC=180°- = ，
故答案为： .
【分析】根据补角的定义，进行计算即可.
14.【解析】【解答】解：∵第一个图形有22=4个正方形组成，
第二个图形有32=9个正方形组成，
第三个图形有42=16个正方形组成，
∴第n个图形有（n+1）2个正方形组成，第n+1个图形有（n+2）2个正方形组成
∴（n+2）2-（n+1）2
=2n+3
故答案为：2n+3．
【分析】首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案．
15.【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
16.【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2 ，
PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2 ，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2 ，
∴PA2+PB2=2PC2 ，
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴2PC2=PQ2 ，
∴PA2+PB2=PQ2 ，
故答案为PA2+PB2=PQ2.

【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2 ， PB2 ， PQ2三者之间的数量关系；
17.【解析】【解答】解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，
可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，
∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，
∴PA+PE=PD+PE，
当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，
观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE= ，
∵点E是AB中点，
∴BE+BD=3BE= ，
∴BE= ，AB=BD= ，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴DE⊥AB，∠BDE=30°，
∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，
即点H的纵坐标为a=3，
当点P为DE和BC交点时，
∵AB∥CD，
∴△PBE∽△PCD，
∴ ，
∵菱形ABCD中，AD⊥BC，
∴BC=2× =6，
∴ ，
解得：PC=4，
即点H的横坐标为b=4，
∴a+b=3+4=7，
故答案为：7.

【分析】过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE= ，分别求出PA+PE的最小值为3，PC的长，即可得到结果.
三、解答题
18.【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
19.【解析】【分析】根据正切的定义分别求出BD、DC的长，求和即可.
20.【解析】【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
21.【解析】【分析】（1）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案；
22.【解析】【分析】连接AC和BD，证明△PAC∽△PDB，得到 ，再根据 得到 ，从而得到PC=PD，根据垂径定理得出结果.
23.【解析】【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．
24.【解析】【分析】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元．根据“2件A型女装和3件B型女装共需4600元；1件A型女装和2件B型女装共需2800元”列出方程组并解答；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，依据“A型的件数不少于B型件数的2倍”求得m的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．
25.【解析】【分析】（1）只要证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可证明；（2）过点B，点E作BN⊥CD，EM⊥CD，连接OC，OD，过点O作OH⊥CD分别求出矩形 的面积和正六边形 的面积，从而得到结果.
26.【解析】【分析】（1）根据直线 求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出S△BMD= ，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.