江西省2020年中考数学试卷

江西省2020年中考数学试卷

一、单选题（共6题；共12分）

1.－3的倒数是（      ）           

A. 3                                        B. －3                                        C.                                         D. 

2.下列计算正确的是（    ）           

A.                        B.                        C.                        D. 

3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（    ）           

A.               B.               C.               D. 

4.如图， ，则下列结论错误的是（    ） 

A.                   B.                   C.                   D. 

5.如图所示，正方体的展开图为（    ） 

A.         B.         C.         D. 

6.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 与 轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接 ，将 向右上方平移，得到 ，且点 ， 落在抛物线的对称轴上，点 落在抛物线上，则直线 的表达式为（    ）           

A.                              B.                              C.                              D. 

二、填空题（共6题；共6分）

7.计算： ________．   

8.若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则这个一元二次方程的另一个根为________．   

9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，用下面符号表示一个两位数，则这个两位数是________．

10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计： 

那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为________．

11.如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点E，若 ，则 的度数为________． 

12.矩形纸片 ，长 ，宽 ，折叠纸片，使折痕经过点B，交 边于点E，点A落在点 处，展平后得到折痕 ，同时得到线段 ， ，不再添加其它线段，当图中存在 角时， 的长为________厘米． 

三、解答题（共11题；共111分）

13.                

（1）计算：

（2）解不等式组：

14.先化简，再求值： ，其中 ．   

15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．   

（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为________；   

（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．   

16.如图，在正方形网格中， 的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． 

（1）在图1中，作 关于点O对称的 ；   

（2）在图2中，作 绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的 ．   

17.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．   

（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；   

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．   

18.如图， 中， ，顶点A，B都在反比例函数 的图象上，直线 轴，垂足为D，连结 ， ，并延长 交 于点E，当 时，点E恰为 的中点，若 ， ． 

（1）求反比例函数的解析式；   

（2）求 的度数．   

19.为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1） 

复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：

根据以上图表信息，完成下列问题：

（1）________；   

（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；   

（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有________人，至多有________人；   

（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．   

20.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长 ，支撑板长 ，底座长 ，托板 固定在支撑板顶端点C处，且 ，托板 可绕点 转动，支撑板 可绕点D转动．（结果保留小数点后一位） 

（1）若 ， ，求点A到直线 的距离；   

（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把 绕点C逆时针旋转 后，再将 绕点D顺时针旋转，使点B落在直线 上即可，求 旋转的角度．（参考数据： ， ， ， ， ）   

21.已知 的两边分别与圆O相切于点A，B，圆O的半径为r． 

（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上， ，求 的度数；   

（2）如图2，点C在圆上运动，当 最大时，要使四边形 为菱形， 的度数应为多少？请说明理由；   

（3）若 交圆O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．   

22.已知抛物线 （ ， ， 是常数， ）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： 

（1）根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为________；   

（2）求抛物线的表达式及 的值；   

（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点P为抛物线上的动点， 的中点为 ，描出相应的点 ，再把相应的点 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？   

（4）设直线 （ ）与抛物线及（3）中的点 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为 ， ， ， ，请根据图象直接写出线段 ， ， ， 之间的数量关系________．   

23.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 ， ， 之间的关系问题”进行了以下探究：

（1）类比探究

如图2，在 中， 为斜边，分别以 为斜边向外侧作 ， ， ，若 ，则面积 ， ， 之间的关系式为________；

（2）如图3，在 中， 为斜边，分别以 为边向外侧作任意 ， ， ，满足 ， ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；   

（3）拓展应用

如图4，在五边形 中， ， ， ， ，点 在 上， ， ，求五边形 的面积．

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】-3的倒数为 ．

故答案为：D．

【分析】根据倒数的定义求解．

2.【解析】【解答】解：A、 ，不能合并，故此选项不符合题意；

B、 ，无法计算，故此选项不符合题意；

C、 ，故此选项不符合题意；

D、 ，故此选项符合题意；

故答案为：D．

【分析】分别利用合并同类项法则以同底数幂的乘除法运算法则计算得出答案．

3.【解析】【解答】解：将数字50175亿用科学记数法表示为

故本题选B．

【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数的绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

4.【解析】【解答】 ，

，A不符合题意；

，

，

又 ，

，B不符合题意；

，

，

，

，D符合题意；

，

，

而

，C符合题意．

故答案为：C．

【分析】由 可对A进行判断；根据三角形外角的性质可对B进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D进行判断；求出 可对C进行判断．

5.【解析】【解答】A中展开图符合题意；

B中对号面和等号面是对面，与题意不符；

C中对号的方向不符合题意，故不符合题意；

D中三个符号的方位不相符，故不符合题意；

故答案选A．

【分析】根据正方体的展开图的性质判断即可；

6.【解析】【解答】解：当y=0时， ，解得x1=-1，x2=3，

当x=0时，y=-3，

∴A（0，-3），B（3，0），

对称轴为直线 ，

经过平移， 落在抛物线的对称轴上，点 落在抛物线上，

∴三角形 向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4，

当x=4时，y=42-2×4-3=5，

∴B′（4，5），三角形 向上平移5个单位，

此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2），

设直线 的表达式为y=kx+b，

代入A′（1，2），B′（4，5），

可得

解得： ，

故直线 的表达式为 ，

故答案为：B．

【分析】先求出A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解．

二、填空题

7.【解析】【解答】解：
【分析】根据完全平方公式将其展开即可.

8.【解析】【解答】解：将x=1代入一元二次方程 有： ，k=-1，

方程

即方程的另一个根为x=-2

故本题的答案为-2．

【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．

9.【解析】【解答】根据图形可得：两位数十位上数字是2，个位上的数字是5，

因此这个两位数是2×10+5×1=25，

故答案为：25．

【分析】根据所给图形可以看出左边是2个尖头，表示2个10，右边5个钉头表示5个1，由两位数表示法可得结论．

10.【解析】【解答】解：由题目的频数分布表可观察到数字9的频数为14，出现次数最多；

故本题答案为9．

【分析】众数：众数数样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，即在一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．

11.【解析】【解答】解：如图，连接 ，延长 与 交于点F

  平分 ， ，

是 的垂直平分线，

故答案为：

【分析】如图，连接 ，延长 与 交于点F,利用等腰三角形的三线合一证明 是 的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到： 从而可得答案．

12.【解析】【解答】当∠ABE=30°时，

∵AB=4cm，∠A=90°，

∴AE=AB·tan30°= 厘米；

当∠AEB=30°时，则∠ABE=60°

∵AB=4cm，∠A=90°，

∴AE=AB·tan60°= 厘米；

故答案为： 或 ．

【分析】分∠ABE=30°和∠AEB=30°两种情况求解即可．

三、解答题

13.【解析】【分析】（1）先根据零次幂、绝对值和负整数次幂化简，然后计算即可；（2）先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集．

14.【解析】【分析】先进行分式减法的计算，在进行除法计算，化简之后带值计算即可；

15.【解析】【解答】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ，

故答案为：

【分析】（1）直接利用概率公式可得答案；（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为 ，画好树状图，利用概率公式计算即可．

16.【解析】【分析】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点 ， ， ，然后顺次连接即可得 ；（2）计算得出AB= ，AC=5，再根据旋转作图即可．

17.【解析】【分析】（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答；（2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品．

18.【解析】【分析】（1）根据勾股定理求得AD=OD=2，A(2，2)，代入函数关系式求解即可；（2）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=BE，∠AEC=2∠ECB，又由OA=AE可得∠AOE=∠AEO=2∠ECB，由平行线的性质可知∠ECB=∠EOD，所以∠EOD= ∠AOD，代入求解即可．

19.【解析】【解答】解：（1）由图1可知总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50人，

所以m=50－1－3－3－8－15－6=14人；（3）由统计表可知，至少14+6=20人，至多15+14+6－1=34人；

【分析】（1）根据图1求出本次测评的总人数，用总人数减去第二次测评各成绩段的人数可得出m的值；（2）根据第一次和第二次测试的各分数段人数，可在图2中画出折线图，根据折线图可得出线上教学与线下教学的效果对比；（3）由第二次测试的成绩统计表可判断出分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人；（4）样本估计总体，样本中数学成绩优秀的人数占测试人数的 ，因此估计总体800名的 是成绩优秀的人数．

20.【解析】【分析】（1）过点A作 ， ， ，根据已知条件分别求出AP和PM，再相加即可；（2）根据已知条件可得 ，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论；

21.【解析】【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质和多边形内角和定理可得∠AOB+∠APB=180°，然后结合已知求得∠AOB，最后根据圆周角定理即可解答；（2）连接OA、OB，先观察发现当∠APB=60°时，四边形APBC可能为菱形；然后利用∠APB=60°结合（1）的解答过程可得∠ACB=∠APB=60°，再根据点C运动到PC距离最大，即PC经过圆心；再说明四边形APBC为轴对称图形结合已知条件得到PA =PB=CA =CB，即可得到四边形APBC为菱形；（3）由于⊙O的半径为r，则OA=r、OP=2 r，再根据勾股定理可得AP= r、PD=r，然后根据弧长公式求得 的弧长，最后根据周长公式计算即可．

22.【解析】【解答】解：（1）由表可知： ； ，x=2,y=-3可知抛物线开后方向向上；

由表可知： ； ，可知抛物线的对称轴为：

故答案为：上， ;（4）如图所示：可得

【分析】（1）由表中数据分析即可得到开口方向，及对称轴；（2）代入 ，解方程组，即可求得表达式；代入 即可得到 的值；（3）根据要求画出函数图象，并观察猜想即可；（4）根据题目要求，画出图象，观察得结论即可．

23.【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是直角三角形，

∴ ，

∵△ABD、△ACE、△BCF均为直角三角形，且 ，

∴ ∽ ∽ ，

∴ ， ，

∴

∴ 得证．

【分析】（1）由题目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均为直角三角形，又因为 ，则有 ∽ ∽ ，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系；（2）在△ABD、△ACE、△BCF中， ， ，可以得到 ∽ ∽ ，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系；（3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点A作AH BP于点H  ， 连接PD  ， BD  ， 由此可知 ， ，即可计算出 ，根据△ABP∽△EDP∽△CBD  ， 从而有 ，由（2）结论有， 最后即可计算出四边形ABCD的面积．