湖南省湘西市2020年中考数学试卷

这是一份湖南省湘西市2020年中考数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


湖南省湘西市2020年中考数学试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.下列各数中，比 小的数是（    ）
A. 0                                          B. -1                                          C. -3                                          D. 3
2.2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元．用科学记数法表示92700是（    ）
A.                        B.                        C.                        D. 
3.下列运算正确的是（    ）
A.                B.                C.                D. 
4.如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（    ）

A.                 B.                 C.                 D. 
5.从长度分别为 、 、 、 四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（    ）
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
6.已知 ，作 的平分线 ，在射线 上截取线段 ，分别以O、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线 ，分别交 于D，交 于G．那么， 一定是（    ）
A. 锐角三角形                       B. 钝角三角形                       C. 等腰三角形                       D. 直角三角形
7.已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，下列说法正确的是（    ）
A. 正比例函数 的解析式是                                B. 两个函数图象的另一交点坐标为
C. 正比例函数 与反比例函数 都随x的增大而增大     D. 当 或 时，
8.如图， 、 为⊙O的切线，切点分别为A、B， 交 于点C， 的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ）

 
A.  为等腰三角形                                      B. 与 相互垂直平分
C. 点C、B都在以 为直径的圆上                       D. 为 的边 上的中线
9.如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边 ．则点C到x轴的距离等于（    ）

A.                 B.                 C.                 D. 
10.已知二次函数 图象的对称轴为 ，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．正确的是（    ）

A. ①③                                     B. ②⑤                                     C. ③④                                     D. ④⑤
二、填空题（共8题；共8分）
11.- 的绝对值是________。
12.分解因式： =________．
13.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是________边形.
14.不等式组 的解集为________．
15.如图，直线 ∥ ， ，若 ，则 ________度．

16.从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心，选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是 甲 ， 乙 ，方差分别是 2甲 2乙 ，你认为应该选择的玉米种子是________．
17.在平面直角坐标系中，O为原点，点 ，点B在y轴的正半轴上， ．矩形 的顶点D，E，C分别在 上， ．将矩形 沿x轴向右平移，当矩形 与 重叠部分的面积为 时，则矩形 向右平移的距离为________．

18.观察下列结论：
⑴如图①，在正三角形 中，点M，N是 上的点，且 ，则 ， ；
⑵如图②，在正方形 中，点M，N是 上的点，且 ，则 ， ；
⑶如图③，在正五边形 中，点M，N是 上的点，且 ，则 ， ；……
        
根据以上规律，在正n边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是 上的点，且 ， 与 相交于O．也会有类似的结论．你的结论是________．
三、解答题（共8题；共79分）
19.计算： ．
20.化简： ．
21.如图，在正方形 的外侧，作等边角形 ，连接 、 ．

（1）求证： ；
（2）求 的度数．
22.为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况．现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组： ， ， ， ， ）如图所示

b．七年级参赛学生成绩在 这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78 ，79
c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七
76.9
m
80
d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有________人；
（2）表中m的值为________；
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第________名；
（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
23.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
24.如图， 是⊙O的直径， 是⊙O的切线， 交⊙O于点E．

（1）若D为 的中点，证明： 是⊙O的切线；
（2）若 ， ，求⊙O的半径 的长．
25.如图
（1）问题背景：如图1，在四边形 中， ， ， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论就是________；
（2）探究延伸1：如图2，在四边形 中， ， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
（3）探究延伸2：如图3，在四边形 中， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
（4）实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处舰艇乙在指挥中心南偏东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
26.已知直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的一个交点为 ，点 是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当 时，求m的值；
（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为 ，当 的最小值多 时，求b的值．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
2.【答案】 B
3.【答案】 D
4.【答案】 C
5.【答案】 A
6.【答案】 C
7.【答案】 D
8.【答案】 B
9.【答案】 A
10.【答案】 D
二、填空题
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 六
14.【答案】 x≥1
15.【答案】 36
16.【答案】 乙
17.【答案】 2
18.【答案】 ，
三、解答题
19.【答案】 解：
＝2× +1+2－
= +1+2－
=3．
20.【答案】 解：原式=
=
= .
21.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中:
，
∴ ．

（2）解：∵AB=AD，且AD=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB，
又∠BAE=150°，
∴由三角形内角和定理可知：
∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．
故答案为：15°．
22.【答案】 （1）31
（2）77.5
（3）24
（4）解：估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500 (人) ．
23.【答案】 （1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意舍去），
∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；

（2）解：依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
24.【答案】 （1）解：连接AE，OE，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AC是圆⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
在直角△AEC中，
∵D为AC的中点，
∴DE=DC=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵∠DAE+∠OAE=90°，
∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ACE中， CA=6， CE=3.6= ，
∴AE= ，
∴∠B+∠EAB=90°，
∵∠CAE+∠EAB=90°，
∴∠B=∠CAE，
∴Rt△ABE Rt△CAE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴⊙O的半径OA= ．
25.【答案】 （1）EF=AE+CF
（2）解：结论EF=AE+CF成立．
理由：延长 到G，使 ，连接 ，

在△BCG和△BAE中，
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC，
即∠GBF= ∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．

（3）解：结论EF=AE+CF仍然成立．
理由：延长 到G，使 ，连接 ，

∵ ，∠BCG+∠BCD=180°，
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中，
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC，
即∠GBF= ∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．

（4）解：连接EF，延长AE，BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
26.【答案】 （1）解：∵直线 经过 ，
∴把 代入直线 ，可得 ，解得 ；
∵抛物线 （b，c为常数， ）经过 ，
∴把 代入抛物线 ，可得 ，
∵当直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的另一个交点为该抛物线的顶点E，
∴顶点 的坐标为 ，把 代入直线 ，
可得 ，
∴ ，解得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴顶点 的坐标为 ．

（2）解：由（1）可知直线的解析式是 ，抛物线的解析式为 ，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴令 ，C的坐标为 ，
∵点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，
由（1）可知 ，∴ ，
∴Q的坐标为 ．
延长EQ交x轴于点B，如图1所示，

∵D在y轴上，且在直线 上，
∴当 时，点D的坐标为 ，
∵AO是△ACE以CD为底的高，设E到y轴的距离为 ，是△CED以CD为底的高，
∴ ，
∴ ．
设点E和Q所在直线的解析式为 ，
把点E 和点Q 代入，解得： ，∴该直线的解析式为 ，
令 ，求得点B的坐标为 ．
设点Q和点E到x轴的距离分别为 ， 是△EMB以MB为底的高， 是△BQM以MB为底的高，
∴ ，
解得： 或7，．

（3）解：∵点D在抛物线 （b，c为常数， ）上，且点D的横坐标为 ，
∴ ，
∵ 在抛物线 （b，c为常数， ）上，
∴ ，即 ，
∴ ，
可知点D 在第四象限，且在直线 的右侧．
∵ ，
∴可取点 ，
如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，

∴ ，得 ，
则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H ，
在Rt△MDH中，可知 ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．