2020年湖南省湘西州中考数学试卷
展开
绝密★启用前
2020年湖南省湘西州中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
|
|
|
|
| 一、 选择题（共10题） |
1. 下列各数中，比小的数是．
A． B． C． D．
2. 年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到亿元，用科学记数法表示是．
A． B． C． D．
3. 下列运算正确的是．
A． B．
C． D．
4. 如图是由个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是．
A．
B．
C．
D．
5. 从长度分别为、、、四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为．
A． B． C． D．
6. 已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，．画直线，分别交于，交于．那么一定是．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
7. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是．
A．正比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
D．当或时，
8. 如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点．下列结论不一定成立的是．
A．为等腰三角形
B．与相互垂直平分
C．点、都在以为直径的圆上
D．为的边上的中线
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，矩形的另一个顶点在轴的正半轴上，矩形的边，，，则点到轴的距离等于．
A． B． C． D．
10. 已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：
① ，
② ，
③ ，
④ ，，
⑤ ．
正确的是．
A．① ③ B．② ⑤ C．③ ④ D．④ ⑤
| 二、 填空题（共8题） |
11. 的绝对值是________．
12. 分解因式：________．
13. 若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是________．
14. 不等式组的解集为________．
15. 如图，直线，，若，则________度．
16. 从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：）的数据，这两组数据的平均数分别是，，方差分别是，，你认为应该选择的玉米种子是________．
17. 在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，，矩形的顶点，，分别在，，上，．将矩形沿轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为________．
18. 观察下列结论：
（1）如图① ，在正三角形中，点，是，上的点，且，则，；
（2）如图2，在正方形中，点，是，上的点，且，则，；
（3）如图③ ，在正五边形中点，是，上的点，且，则，；
根据以上规律，在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是，上的点，且，与相交于．也会有类似的结论，你的结论是________．
| 三、 解答题（共8题） |
19. 计算：．
20. 化简：．
21. 如图，在正方形的外侧，作等边，连接，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
22. 为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：，，，，）如图所示
．七年级参赛学生成绩在这一组的具体得分是：
．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
七 |
．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在分以上（含分）的有________人．
（2）表中的值为________．
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第________名．
（4）该校七年级学生有人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数分的人数．
23. 某口罩生产厂生产的口罩月份平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月份起扩大产能，月份平均日产量达到个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计月份平均日产量为多少？
24. 如图，是的直径，是的切线，交于点．
（1）若为的中点，证明：是的切线；
（2）若，，求的半径的长．
25. 问题背景：如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是________．
探究延伸：如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立” ），不要说明理由；
探究延伸：如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处．舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离．
26. 已知直线与抛物线（，为常数，）的一个交点为，点是轴正半轴上的动点．
（1）当直线与抛物线（，为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点时，求，，的值及抛物线顶点的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与轴的交点为，若点在抛物线上，且点的横坐标为，当时，求的值；
（3）点在抛物线上，且点的横坐标为，当的最小值为时，求的值．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】将这些数在数轴上表示出来：
，
比小的数是．
故选：
【点评】本题考查数轴表示数，比较有理数的大小，在数轴表示的数右边总比左边的大．
2. 【答案】B
【解析】．
故选：
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
3. 【答案】D
【解析】．，所以选项错误；
．，所以选项错误；
．，所以选项错误；
．．所以选项正确．
故选：
【点评】本题考查了二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是综合运用以上知识．
4. 【答案】C
【解析】从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形．
故选：
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5. 【答案】A
【解析】从长度为、、、四条线段中随机取出三条，
共有以下种结果（不分先后）
，
，
，
，
其中，能构成三角形的只有种，
．
故选：
【点评】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．
6. 【答案】C
【解析】如图所示，平分，
，
由题可得，垂直平分，
，
，
，
是等腰三角形．
故选：
【点评】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
7. 【答案】D
【解析】正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数，
两个函数图象的另一个交点为，
，选项说法错误；
正比例函数中，随的增大而减小，反比例函数中，在每个象限内随的增大而增大，
选项说法错误；
当或时，，
选项说法正确．
故选：
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
8. 【答案】B
【解析】．、为圆的切线，
，
是等腰三角形，故正确．
．由圆的对称性可知：，但不一定平分，
故不一定正确．
．连接、，
、为圆的切线，
，
点、、在以为直径的圆上，故正确．
．是等腰三角形，，
为的边上的中线，故正确．
故选：
【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型．
9. 【答案】A
【解析】如图，作轴于，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
点到轴的距离等于．
故选：
【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．
10. 【答案】D
【解析】① 由图象可知 ，，，，故此选项错误；
② 由于，所以．
又，
所以，
故此选项错误；
③ 当时，，故此选项错误；
④ 当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故此选项正确；
⑤ 当时函数值小于，，且该抛物线对称轴是直线，即，代入得，得，故此选项正确；
故④ ⑤ 正确．
故选：
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得，．
故答案为：
【点评】本题考查绝对值的意义，理解负数的绝对值等于它的相反数．
12. 【答案】；
【解析】．
故答案为：
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13. 【答案】；
【解析】设该多边形的边数为，
根据题意，得，，
解得：．
故这个多边形的边数为．
故答案为：
【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
14. 【答案】；
【解析】
解不等式① 得：，
解不等式② 得：，
不等式组的解集为．
故答案为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
15. 【答案】；
【解析】，
，
，
，
，
．
故答案为：
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16. 【答案】乙；
【解析】，，，
，
乙玉米种子的产量比较稳定，
应该选择的玉米种子是乙．
故答案为：乙
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
17. 【答案】；
【解析】点，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，，
，
点的坐标为；
矩形的面积为，
将矩形沿轴向右平移，矩形与重叠部分的面积为
矩形与不重叠部分的面积为，
如图，
设，则，依题意有
，
解得（负值舍去）．
故矩形向右平移的距离为．
故答案为：
【点评】考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
18. 【答案】；；
【解析】如图① ，在正三角形中，点，是，上的点，且，则，；
（2）如图2，在正方形中，点，是，上的点，且，则，；
（3）如图③ ，在正五边形中点，是，上的点，且，则，；
根据以上规律，在正边形中，
对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是，上的点，
且，与相交于．
也有类似的结论是，．
故答案为：；
【点评】本题考查了正多边形和圆、规律型：图形的变化类、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．
三、 解答题
19. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】本题主要考查了实数的运算，熟记相应定义以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
20. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：为等边三角形，
，，
四边形为正方形，
，，
，
在和中
，
；
（2），，
，
，
，
．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．
22. 【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）在这次测试中，七年级在分以上（含分）的有（人）．
故答案为：
（2）七年级人成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据分别为、，
．
故答案为：
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第名．
故答案为：
（4）估计七年级成绩超过平均数分的人数为（人）．
【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
23. 【答案】（1）
（2）预计月份平均日产量为个
【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为，根据题意，得
解得（舍去），，
答 口罩日产量的月平均增长率为
（2）（个）．
答 预计月份平均日产量为个
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系．
24. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：连接，，
是的直径，且在上，
，
，
为的中点，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
即，
是的切线．
（2），，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即的半径的长是．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确的识别图形是解题的关键．
25. 【答案】问题背景：
探究延伸：
探究延伸：答案见解析
实际应用：
【解析】问题背景
如图，延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：．
故答案为：
探究延伸
如图，延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：．
故答案为：
探究延伸
上述结论仍然成立，即，理由：
如图，延长到，使得，连接，
，，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
，
；
实际应用
如图，连接，延长交的延长线于，
舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处．舰艇乙在指挥中心南偏东的处， ，
指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为， ， ．
依题意得，，，， ，
因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：
在四边形中，，，，的两边分别交，于，，求的长．
根据探究延伸的结论可得：，
根据题意得，（海里），（海里），
（海里）．
答 此时两舰艇之间的距离为海里．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用．
26. 【答案】（1），，，
（2）或
（3）
【解析】（1）直线与抛物线（，为常数，）的一个交点为，
，，
，，
直线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
，
直线与抛物线（，为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点，
，
解得 或（舍去），
当时，，
．
故，，，
（2）由（1）知，直线的解析式为，抛物线的解析式为，
，，
如图1，设直线与轴交点为，则，
，
，
，
设直线与轴的交点为，显然点不能与点重合，
设直线的解析式为，
则
解得，
直线的解析式为，
，
，
解得，或
（3）点在抛物线上，
，
可知点，在第四象限，且在直线的右侧，
，
可取点，则，
如图2，过作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，
，得，
则此时点满足题意，
过作轴于点，则点，
在中，可知，
，，
点，
，
解得，，
，
，
解得，，
此时，，符合题意，
．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，三角形面积公式，等腰直角三角形的性质，第（2）小题关键是由面积关系列出的方程，第（3）小题关键是确定的最小值为的值．
