2021届高三理科数学《大题精练》10

这是一份2021届高三理科数学《大题精练》10，共18页。试卷主要包含了在中，角所对的边分别为，，已知椭圆的离心率为，且经过点.，已知函数，05等内容，欢迎下载使用。
2021届高三数学（理）“大题精练”10 17．在中，角所对的边分别为，；（1）证明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，，且，，求的值． 18．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．  19．已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.  20．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求的值；   21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：第年12345678910旅游人数（万人）300283321345372435486527622800 该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①②3040714607 参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数 ．③参考数据：，．5．5449 6．05834195 9．00 表中．  22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值. 23．已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．  2020届高三数学（理）“大题精练”10（答案解析） 17．在中，角所对的边分别为，；（1）证明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，，且，，求的值．【解】（1），由正弦定理得：，由余弦定理得：；化简得：,所以即， 故为等腰三角形．（2）如图，由已知得，，， ， 又，，即，得，由（1）可知，得．解法二：取的中点，连接．由（1）知， 由已知得， ，，．解法三：由已知可得，由（1）知，，又，，即，即，． 18．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解】（1）设的中点为，连接，为的中点，所以为的中位线，则可得，且；在梯形中，，且，，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面． 法二：设为的中点，连接，为的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，平面， 又在梯形中，，且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面， 又，所以平面平面，又平面，平面． （2）设的中点为，又．因为平面平面，交线为，平面，平面，又由，，．即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系． 已知点，设平面的法向量为：．则有 ，可得平面的一个法向量为，， 可得：，所以直线与平面所成角的正弦值为． 19．已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解】(1)由题意可得，，又， 解得，.所以，椭圆的方程为 (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，，定点.(依题意则由韦达定理可得，，.  直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.  所以，，即得. 又，，所以，，整理得，.从而可得，， 即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称. 20．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求的值；（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．【解】（1），所以切线斜率为，又，切点为，所以切线方程为． （2）令，得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以的极小值为，又，所以在区间上存在一个零点，此时；因为，，所以在区间上存在一个零点，此时．综上，的值为0或3． （3）当时，不等式为．显然恒成立，此时；当时，不等式可化为， 令，则，由（2）可知，函数在上单调递减，且存在一个零点，此时，即所以当时，，即，函数单调递增；当时，，即，函数单调递减．所以有极大值即最大值，于是．当时，不等式可化为，由（2）可知，函数在上单调递增，且存在一个零点，同理可得．综上可知．又因为，所以正整数的取值集合为． 21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：第年12345678910旅游人数（万人）300283321345372435486527622800 该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①②3040714607 参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数 ．③参考数据：，．5．5449 6．05834195 9．00 表中．【解】（1）对取对数，得， 设，，先建立关于的线性回归方程，，模型②的回归方程为（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，即， 模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好.2021年时，，预测旅游人数为（万人）22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.【解】（1）设，.且点，由点为的中点，所以整理得.即，化为极坐标方程为.（2）设直线：的极坐标方程为.设，，因为，所以，即.联立整理得.则解得.所以，则. 23．已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．【解】（1）当时，，即，解法一：作函数的图象，它与直线的交点为，所以，的解集的解集为． 解法2：原不等式等价于 或 或， 解得：或无解或， 所以，的解集为．（2）．则 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值，． 因为对，恒成立，所以．又因为，所以，解得 （不合题意）．所以的最小值为1．