2020年黑龙江省伊春市中考数学试卷解析版
展开一、选择题(本大题共9小题,共27.0分)
下列各运算中,计算正确的是( )
A. a2+2a2=3a4B. x8-x2=x6
C. (x-y)2=x2-xy+y2D. (-3x2)3=-27x6
下列图标中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
如图,由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图,则所需的小正方体的个数最少是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
一组从小到大排列的数据:x,3,4,4,5(x为正整数),唯一的众数是4,则数据x是( )
A. 1B. 2C. 0或1D. 1或2
已知2+是关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个实数根,则实数m的值是( )
A. 0B. 1C. -3D. -1
已知关于x的分式方程-4=的解为非正数,则k的取值范围是( )
A. k≤-12B. k≥-12C. k>-12D. k<-12
如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的面积为( )
A. 72B. 24C. 48D. 96
学校计划用200元钱购买A、B两种奖品,A种每个15元,B种每个25元,在钱全部用完的情况下,有多少种购买方案( )
A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种
如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF=BE,CF与AD相交于点G,连接EC、EF、EG.则下列结论:
①∠ECF=45°;
②△AEG的周长为(1+)a;
③BE2+DG2=EG2;
④△EAF的面积的最大值是a2;
⑤当BE=a时,G是线段AD的中点.
其中正确的结论是( )
A. ①②③B. ②④⑤C. ①③④D. ①④⑤
二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)
2019年1月1日,“学习强国”平台全国上线,截至2019年3月17日,某市党员“学习强国”客户端注册人数约1180000,将数据1180000用科学记数法表示为______.
在函数y=中,自变量x的取值范围是______.
如图,Rt△ABC和Rt△EDF中,BC∥DF,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件______,使Rt△ABC和Rt△EDF全等.
一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五个小球,这些球除了标号外都相同,从中随机摸出一个小球,是偶数的概率为______.
若关于x的一元一次不等式组的解是x>1,则a的取值范围是______.
如图,AD是△ABC的外接圆⊙O的直径,若∠BCA=50°,则∠ADB=______°.
小明在手工制作课上,用面积为150πcm2,半径为15cm的扇形卡纸,围成一个圆锥侧面,则这个圆锥的底面半径为______cm.
如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD方向平移,得到△EFG,连接EC、GC.求EC+GC的最小值为______.
在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a,连接AE,将△ABE沿AE折叠.若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上,则折痕的长为______.
如图,直线AM的解析式为y=x+1与x轴交于点M,与y轴交于点A,以OA为边作正方形ABCO,点B坐标为(1,1).过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E,交x轴于点O1,过点O1作x轴的垂线交MA于点A1.以O1A1为边作正方形O1A1B1C1,点B1的坐标为(5,3).过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1,交x轴于点O2,过点O2作x轴的垂线交MA于点A2.以O2A2为边作正方形O2A2B2C2,…,则点B2020的坐标______.
三、计算题(本大题共1小题,共5.0分)
先化简,再求值:(1-)÷,其中a=sin30°.
四、解答题(本大题共7小题,共55.0分)
如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点A(5,2)、B(5,5)、C(1,1)均在格点上.
(1)将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1,并写出点A2的坐标;
(3)在(2)的条件下,求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积(结果保留π).
如图,已知二次函数y=-x2+(a+1)x-a与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,已知△BAC的面积是6.
(1)求a的值;
(2)在抛物线上是否存在一点P,使S△ABP=S△ABC.若存在请求出P坐标,若不存在请说明理由.
某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛,工会主席统计了公司50名员工一分钟跳绳成绩,列出的频数分布直方图如图所示,(每个小组包括左端点,不包括右端点).
求:(1)该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少.
(2)该公司一名员工说:“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩的所在范围.
(3)若该公司决定给每分钟跳绳不低于140个的员工购买纪念品,每个纪念品300元,则公司应拿出多少钱购买纪念品.
为抗击疫情,支持武汉,某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地,快递车比货车多往返一趟,如图表示两车离物流公司的距离y(单位:千米)与快递车所用时间x(单位:时)的函数图象,已知货车比快递车早1小时出发,到达武汉后用2小时装卸货物,按原速、原路返回,货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时.
(1)求ME的函数解析式;
(2)求快递车第二次往返过程中,与货车相遇的时间;
(3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离.(直接写出答案)
以Rt△ABC的两边AB、AC为边,向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,过点A作AM⊥BC于M,延长MA交EG于点N.
(1)如图①,若∠BAC=90°,AB=AC,易证:EN=GN;
(2)如图②,∠BAC=90°;如图③,∠BAC≠90°,(1)中结论,是否成立,若成立,选择一个图形进行证明;若不成立,写出你的结论,并说明理由.
某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜,某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查甲种蔬菜进价每千克m元,售价每千克16元;乙种蔬菜进价每千克n元,售价每千克18元.
(1)该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元;购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元.求m,n的值.
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克,且投入资金不少于1160元又不多于1168元,设购买甲种蔬菜x千克,求有哪几种购买方案.
(3)在(2)的条件下,超市在获得的利润取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元,乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院,若要保证捐款后的利润率不低于20%,求a的最大值.
如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB长是x2-3x-18=0的根,连接BD,∠DBC=30°,并过点C作CN⊥BD,垂足为N,动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止;点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动,到点A为止,点P与点M同时出发,设运动时间为t秒(t>0).
(1)线段CN=______;
(2)连接PM和MN,求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式;
(3)在整个运动过程中,当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:A、结果是3a2,故本选项不符合题意;
B、x8和-x2不能合并,故本选项不符合题意;
C、结果是x2-2xy+y2,故本选项不符合题意;
D、结果是-27x6,故本选项符合题意;
故选:D.
根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值,再判断即可.
本题考查了合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方和积的乘方等知识点,能正确求出每个式子的值是解此题的关键.
2.【答案】B
【解析】解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;
B.是中心对称图形,故本选项符号题意;
C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;
D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意.
故选:B.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
3.【答案】C
【解析】解:左视图与主视图相同,可判断出底面最少有2个,第二层最少有1个小正方体,第三层最少有1个小正方体,
则这个几何体的小立方块的个数最少是2+1+1=4个.
故选:C.
左视图底面有2个小正方体,主视图底面有2个小正方体,则可以判断出该几何体底面最少有2个小正方体,最多有4个.根据这个思路可判断出该几何体有多少个小立方块.
考查了由三视图判断几何体的知识,根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体,可以想象出左视图的样子,然后根据“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数.
4.【答案】D
【解析】解:∵一组从小到大排列的数据:x,3,4,4,5(x为正整数),唯一的众数是4,
∴数据x是1或2.
故选:D.
根据众数的定义得出正整数x的值即可.
本题主要考查了众数的定义,根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出x的值是解题的关键.
5.【答案】B
【解析】解:根据题意,得
(2+)2-4×(2+)+m=0,
解得m=1;
故选:B.
把x=2+代入方程就得到一个关于m的方程,就可以求出m的值.
本题主要考查了一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
6.【答案】A
【解析】解:方程-4=两边同时乘以(x-3)得:
x-4(x-3)=-k,
∴x-4x+12=-k,
∴-3x=-k-12,
∴x=+4,
∵解为非正数,
∴+4≤0,
∴k≤-12.
故选:A.
表示出分式方程的解,由解为非正数得出关于k的不等式,解出k的范围即可.
本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式,熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键.
7.【答案】C
【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,
∵DH⊥AB,
∴∠BHD=90°,
∴BD=2OH,
∵OH=4,
∴BD=8,
∵OA=6,
∴AC=12,
∴菱形ABCD的面积=.
故选:C.
根据菱形的性质得O为BD的中点,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得BD的长度,最后由菱形的面积公式求得面积.
本题主要考查了菱形的性质,直角三角形的性质,菱形的面积公式,关键是根据直角三角形的性质求得BD.
8.【答案】B
【解析】解:设购买了A种奖品x个,B种奖品y个,
根据题意得:15x+25y=200,
化简整理得:3x+5y=40,得y=8-x,
∵x,y为非负整数,
∴,,,
∴有3种购买方案:
方案1:购买了A种奖品0个,B种奖品8个;
方案2:购买了A种奖品5个,B种奖品5个;
方案3:购买了A种奖品10个,B种奖品2个.
故选:B.
设购买了A种奖品x个,B种奖品y个,根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品,其中A种每个15元,B种每个25元,钱全部用完可列出方程,再根据x,y为非负整数可求出解.
本题考查了二元一次方程的应用,关键是读懂题意,根据题意列出二元一次方程,然后根据解为非负整数确定出x,y的值.
9.【答案】D
【解析】解:如图1中,在BC上截取BH=BE,连接EH.
∵BE=BH,∠EBH=90°,
∴EH=BE,
∵AF=BE,
∴AF=EH,
∵∠DAM=∠EHB=45°,∠BAD=90°,
∴∠FAE=∠EHC=135°,
∵BA=BC,BE=BH,
∴AE=HC,
∴△FAE≌△EHC(SAS),
∴EF=EC,∠AEF=∠ECH,
∵∠ECH+∠CEB=90°,
∴∠AEF+∠CEB=90°,
∴∠FEC=90°,
∴∠ECF=∠EFC=45°,故①正确,
如图2中,延长AD到H,使得DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS),
∴∠ECB=∠DCH,
∴∠ECH=∠BCD=90°,
∴∠ECG=∠GCH=45°,
∵CG=CG,CE=CH,
∴△GCE≌△GCH(SAS),
∴EG=GH,
∵GH=DG+DH,DH=BE,
∴EG=BE+DG,故③错误,
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故②错误,
设BE=x,则AE=a-x,AF=x,
∴S△AEF=•(a-x)×x=-x2+ax=-(x2-ax+a2-a2)=-(x-a)2+a2,
∵-<0,
∴x=a时,△AEF的面积的最大值为a2.故④正确,
当BE=a时,设DG=x,则EG=x+a,
在Rt△AEG中,则有(x+a)2=(a-x)2+(a)2,
解得x=,
∴AG=GD,故⑤正确,
故选:D.
①正确.如图1中,在BC上截取BH=BE,连接EH.证明△FAE≌△EHC(SAS)即可解决问题.
②③错误.如图2中,延长AD到H,使得DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS),再证明△GCE≌△GCH(SAS)即可解决问题.
④正确.设BE=x,则AE=a-x,AF=x,构建二次函数,利用二次函数的性质解决最值问题.
⑤正确.当BE=a时,设DG=x,则EG=x+a,利用勾股定理构建方程可得x=即可解决问题.
本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,二次函数的应用等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
10.【答案】1.18×106
【解析】解:1180000=1.18×106,
故答案为:1.18×106.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
11.【答案】x>1.5
【解析】解:由题意得2x-3>0,
解得x>1.5.
故答案为:x>1.5.
根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.
本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
12.【答案】AB=ED答案不唯一
【解析】解:∵Rt△ABC和Rt△EDF中,
∴∠BAC=∠DEF=90°,
∵BC∥DF,
∴∠DFE=∠BCA,
∴添加AB=ED,
在Rt△ABC和Rt△EDF中
,
∴Rt△ABC≌Rt△EDF(AAS),
故答案为:AB=ED答案不唯一.
根据全等三角形的判定解答即可.
此题考查全等三角形的判定,关键是根据全等三角形的判定方法解答.
13.【答案】
【解析】解:∵盒子中共装有5个小球,其中标号为偶数的有2、4这2个小球,
∴从中随机摸出一个小球,是偶数的概率为,
故答案为:.
直接利用概率公式计算可得.
本题主要考查概率公式,解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.
14.【答案】a≤2
【解析】解:解不等式x-1>0,得:x>1,
解不等式2x-a>0,得:x>,
∵不等式组的解集为x>1,
∴≤1,
解得a≤2,
故答案为:a≤2.
分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大可得答案.
本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
15.【答案】50
【解析】解:∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径,
∴点A,B,C,D在⊙O上,
∵∠BCA=50°,
∴∠ADB=∠BCA=50°,
故答案为:50.
根据圆周角定理即可得到结论.
本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
16.【答案】10
【解析】解:∵S=l•R,
∴•l•15=150π,解得l=20π,
设圆锥的底面半径为r,
∴2π•r=20π,
∴r=10(cm).
故答案为:10.
先根据扇形的面积公式:S=l•R(l为弧长,R为扇形的半径)计算出扇形的弧长,然后根据圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长,利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径.
本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长;也考查了扇形的面积公式:S=l•R(l为弧长,R为扇形的半径).
17.【答案】
【解析】解:∵在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,
∴AB=CD=1,∠ABD=30°,
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF,
∴EG=AB=1,EG∥AB,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAD=120°,
∴EG=CD,EG∥CD,
∴四边形EGCD是平行四边形,
∴ED=GC,
∴EC+GC的最小值=EC+GD的最小值,
∵点E在过点A且平行于BD的定直线上,
∴作点D关于定直线的对称点M,连接CM交定直线于E,
则CM的长度即为EC+GC的最小值,
∵∠EAD=∠ADB=30°,AD=1,
∴∠ADM=60°,DH=MH=AD=,
∴DM=1,
∴DM=CD,
∵∠CDM=∠MDG+∠CDB=90°+30°=120°,
∴∠M=∠DCM=30°,
∴CM=2×CD=.
故答案为:.
根据菱形的性质得到AB=1,∠ABD=30°,根据平移的性质得到EG=AB=1,EG∥AB,推出四边形EGCD是平行四边形,得到ED=GC,于是得到EC+GC的最小值=EC+GD的最小值,根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上,作点D关于定直线的对称点M,连接CM交定直线于AE,解直角三角形即可得到结论.
本题考查了轴对称-最短路线问题,菱形的性质,矩形的判定和性质,解直角三角形,平移的性质,正确地理解题意是解题的关键.
18.【答案】或
【解析】解:分两种情况:
①当点B'落在AD边上时,如图1所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠B=90°,
∵将△ABE沿AE折叠.点B的对应点B′落在矩形ABCD的AD边上,
∴∠BAE=∠B'AE=∠BAD=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AB=BE=1,AE=AB=;
②当点B'落在CD边上时,如图2所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=a,
∵将△ABE沿AE折叠.点B的对应点B′落在矩形ABCD的CD边上,
∴∠B=∠AB'E=90°,AB'=AB=1,BE'=BE=a,
∴CE=BC-BE=a-a=a,B'D==,
在△ADB'和△B'CE中,∠B'AD=∠EB'C=90°-∠AB'D,∠D=∠C=90°,
∴△ADB'∽△B'CE,
∴=,即=,
解得:a=,或a=0(舍去),
∴BE=a=,
∴AE===;
综上所述,折痕的长为或;
故答案为:或.
分两种情况:①当点B'落在AD边上时,证出△ABE是等腰直角三角形,得出AE=AB=;
②当点B'落在CD边上时,证明△ADB'∽△B'CE,得出=,求出BE=a=,由勾股定理求出AE即可.
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解题的关键.
19.【答案】(2×3n-1,3n)
【解析】解:∵点B坐标为(1,1),
∴OA=AB=BC=CO=CO1=1,
∵A1(2,3),
∴A1O1=A1B1=B1C1=C1O2=3,
∴B1(5,3),
∴A2(8,9),
∴A2O2=A2B2=B2C2=C2O3=9,
∴B2(17,9),
同理可得B4(53,27),
B5(161,81),
…
由上可知,,
∴当n=2020时,.
故答案为:(2×3n-1,3n).
由B坐标为(1,1)根据题意求得A1的坐标,进而得B1的坐标,继续求得B2,B3,B4,B5的坐标,根据这5点的坐标得出规律,再按规律得结果.
本题主要考查了一次函数的图象与性质,正方形的性质,等腰直角三角形的性质,规律变化,关键是求出前几个点的坐标得出规律.
20.【答案】解:当a=sin30°时,
所以a=
原式=•
=•
=
=-1
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案,
本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
21.【答案】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求,点A1的坐标为(5,-3);
(2)如图所示,△A2B2C1即为所求,点A2的坐标为(0,0);
(3)如图,△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为:+=8π+6.
【解析】(1)依据△ABC向下平移5个单位,即可得到△A1B1C1,进而写出点A1的坐标;
(2)依据△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°,即可得到的△A2B2C1,进而写出点A2的坐标;
(3)依据扇形面积公式和三角形面积公式,即可得到△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积.
本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等,利用平移变换作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
22.【答案】解:(1)∵y=-x2+(a+1)x-a,
令x=0,则y=-a,
∴C(0,-a),
令y=0,即-x2+(a+1)x-a=0
解得x1=a,x2=1
由图象知:a<0
∴A(a,0),B(1,0)
∵S△ABC=6
∴(1-a)(-a)=6
解得:a=-3,(a=4舍去);
(2)∵a=-3,
∴C(0,3),
∵S△ABP=S△ABC.
∴P点的纵坐标为±3,
把y=3代入y=-x2-2x+3得-x2-2x+3=3,解得x=0或x=-2,
把y=-3代入y=-x2-2x+3得-x2-2x+3=-3,解得x=-1+或x=-1-,
∴P点的坐标为(-2,3)或(-1+,-3)或(-1-,-3).
【解析】(1)由y=-x2+(a+1)x-a,令y=0,即-x2+(a+1)x-a=0,可求出A、B坐标结合三角形的面积,解出a=-3;
(2)根据题意P的纵坐标为±3,分别代入解析式即可求得横坐标,从而求得P的坐标.
本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质,求得交点坐标是解题的关键.
23.【答案】解:(1)该公司员工一分钟跳绳的平均数为:==100.8,
答:该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是100.8个;
(2)把50个数据从小到大排列后,处在中间位置的两个数都在100~120这个范围;
(3)300×(5+2)=2100(元),
答:公司应拿出2100元钱购买纪念品.
【解析】(1)要求平均次数至少是多少,可每组都取最小值计算平均数即可;
(2)找出中位数所在的成绩范围,
(3)样本中获奖的有7人,求出费用即可.
考查频数分布直方图的意义和制作方法,理解频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提.
24.【答案】解:(1)设ME的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由ME经过(0,50),(3,200)可得:
,解得,
∴ME的解析式为y=50x+50;
(2)设BC的函数解析式为y=mx+n,由BC经过(4,0),(6,200)可得:
,解得,
∴BC的函数解析式为y=100x-400;
设FG的函数解析式为y=px+q,由FG经过(5,200),(9,0)可得:
,解得,
∴FG的函数解析式为y=-50x+450,
解方程组得,
同理可得x=7h,
答:货车返回时与快递车图中相遇的时间h,7h;
(3)(9-7)×50=100(km),
答:两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km.
【解析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可;
(2)利用待定系数法分别求出BC与FG的解析式,再联立解答即可;
(3)根据题意列式计算即可.
本题考查了一次函数的应用,主要利用了待定系数法求一次函数解析式,相遇问题,读懂题目信息,理解两车的运动过程是解题的关键.
25.【答案】解:(1)证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=45°,
∵AM⊥BC,
∴∠MAC=45°,
∴∠EAN=∠MAC=45°,
同理∠NAG=45°,
∴∠EAN=∠NAG,
∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形,
∴AE=AB=AC=AG,
∴EN=GN.
(2)如图1,∠BAC=90°时,(1)中结论成立.
理由:过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q,
∵四边形ABDE是正方形,
∴AB=AE,∠BAE=90°,
∴∠EAP+∠BAM=180°-90°=90°,
∵AM⊥BC,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴∠ABM=∠EAP,
在△ABM和△EAP中,
,
∴△ABM≌△EAP(AAS),
∴EP=AM,
同理可得:GQ=AM,
∴EP=GQ,
在△EPN和△GQN中,
,
∴△EPN≌△GQN(AAS),
∴EN=NG.
如图2,∠BAC≠90°时,(1)中结论成立.
理由:过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q,
∵四边形ABDE是正方形,
∴AB=AE,∠BAE=90°,
∴∠EAP+∠BAM=180°-90°=90°,
∵AM⊥BC,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴∠ABM=∠EAP,
在△ABM和△EAP中,
,
∴△ABM≌△EAP(AAS),
∴EP=AM,
同理可得:GQ=AM,
∴EP=GQ,
在△EPN和△GQN中,
,
∴△EPN≌△GQN(AAS),
∴EN=NG.
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠MAC=45°,证得∠EAN=∠NAG,由等腰三角形的性质得出结论;
(2)如图1,2,证明方法相同,利用“AAS”证明△ABM和△EAP全等,根据全等三角形对应边相等可得EP=AM,同理可证GQ=AM,从而得到EP=GQ,再利用“AAS”证明△EPN和△GQN全等,根据全等三角形对应边相等可得EN=NG.
本题是四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定及性质,等腰三角形的性质,等腰直角三角形的性质等知识;正确作出辅助线,构造全等三角形,运用全等三角形的性质是解题的关键.
26.【答案】解:(1)依题意,得:,
解得:.
答:m的值为10,n的值为14.
(2)设购买甲种蔬菜x千克,则购买乙种蔬菜(100-x)千克,
依题意,得:,
解得:58≤x≤60.
∵x为正整数,
∴x=58,59,60,
∴有3种购买方案,方案1:购买甲种蔬菜58千克,乙种蔬菜42千克;方案2:购买甲种蔬菜59千克,乙种蔬菜41千克;方案3:购买甲种蔬菜60千克,乙种蔬菜40千克.
(3)设超市获得的利润为y元,则y=(16-10)x+(18-14)(100-x)=2x+400.
∵k=2>0,
∴y随x的增大而增大,
∴当x=60时,y取得最大值,最大值为2×60+400=520.
依题意,得:(16-10-2a)×60+(18-14-a)×40≥(10×60+14×40)×20%,
解得:a≤1.8.
答:a的最大值为1.8.
【解析】(1)根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元;购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”,即可得出关于m,n的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买甲种蔬菜x千克,则购买乙种蔬菜(100-x)千克,根据总价=单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元,即可得出关于x的一元一次不等式组,解之即可得出x的取值范围,再结合x为正整数即可得出各购买方案;
(3)设超市获得的利润为y元,根据总利润=每千克的利润×销售数量可得出y关于x的函数关系式,利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案,由总利润=每千克的利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%,即可得出关于a的一元一次不等式,解之取其最大值即可得出结论.
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组;(3)利用一次函数的性质,找出利润最大的购物方案.
27.【答案】3
【解析】解:(1)∵AB长是x2-3x-18=0的根,
∴AB=6,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=CD=6,∠BCD=90°,
∵∠DBC=30°,
∴BD=2CD=12,BC=CD=6,
∵∠DBC=30°,CN⊥BD,
∴CN=BC=3,
故答案为:3.
(2)如图,过点M作MH⊥BD于H,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC=30°,
∴MH=MD=t,
∵∠DBC=30°,CN⊥BD,
∴BN=CN=9,
当0<t<时,△PMN的面积s=×(9-2t)×t=-t2+t;
当t=时,点P与点N重合,s=0,
当<t≤6时,△PMN的面积s=×(2t-9)×t=t2-t;
(3)如图,过点P作PE⊥BC于E,
当PN=PM=9-2t时,
∵PM2=MH2+PH2,
∴(9-2t)2=(t)2+(12-2t-t)2,
∴t=3或t=,
∴BP=6或,
当BP=6时,
∵∠DBC=30°,PE⊥BC,
∴PE=BP=3,BE=PE=3,
∴点P(3,3),
当BP=时,
同理可求点P(,),
当PN=NM=9-2t时,
∵NM2=MH2+NH2,
∴(9-2t)2=(t)2+(t-3)2,
∴t=3或24(不合题意舍去),
∴BP=6,
∴点P(3,3),
综上所述:点P坐标为(3,3)或(,).
(1)解方程求出AB的长,由直角三角形的性质可求BD,BC的长,CN的长;
(2)分三种情况讨论,由三角形的面积可求解;
(3)分两种情况讨论,由等腰三角形的性质和勾股定理可求解.
本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,一元二次方程的解法,三角形的面积公式,勾股定理,等腰三角形的性质等知识,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.
题号
一
二
三
四
总分
得分
2023年黑龙江省伊春市中考数学试卷: 这是一份2023年黑龙江省伊春市中考数学试卷,共8页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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