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2019年黑龙江省伊春市中考数学试卷
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这是一份2019年黑龙江省伊春市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．（3分）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为 ．
2．（3分）在函数中，自变量的取值范围是 ．
3．（3分）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．
4．（3分）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是 ．
5．（3分）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
6．（3分）如图，在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为 ．
7．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
8．（3分）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ．
9．（3分）一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为 ．
10．（3分）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到△记△、△、△的面积分别为、、，如此下去，则 ．
二、选择题（每题3分，满分30分）
11．（3分）下列各运算中，计算正确的是
A．B．C．D．
12．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
13．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是
A．6B．5C．4D．3
14．（3分）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是
A．平均数B．中位数C．方差D．极差
15．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4B．5C．6D．7
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是
A．B．C．4D．6
17．（3分）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是
A．B．C．D．
18．（3分）如图，矩形的对角线、相交于点，，过点作，过点作，、交于点，连接，则
A．B．C．D．
19．（3分）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有
A．4种B．3种C．2种D．1种
20．（3分）如图，在平行四边形中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④，正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：，期中．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．
24．（7分）“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：
（1）求本次调查中共抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？
25．（8分）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程（米与小强所用时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
26．（8分）如图，在中，，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）如图①所示，若，求证：；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
27．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根，，边交轴于点，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿折线段向点运动，运动的时间为秒，设与矩形重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年黑龙江省伊春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．（3分）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为 ．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将180000用科学记数法表示为，
故答案是：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2．（3分）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【考点】：函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．
【解答】解：在函数中，有，解得，
故其自变量的取值范围是．
故答案为．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．（3分）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 （答案不唯一） ，使四边形是平行四边形．
【考点】：平行四边形的判定
【分析】可再添加一个条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．
4．（3分）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是 ．
【考点】：列表法与树状图法
【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出2个球都是黄球所占结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：，
共有6种等可能的结果数，其中2个球都是黄球占1种，
摸出的2个球都是黄球的概率；
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
5．（3分）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
【考点】：解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为 ．
【考点】：圆周角定理；：圆心角、弧、弦的关系；：垂径定理
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为．
【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．
7．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
【考点】：圆锥的计算
【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
【解答】解：圆锥的底面圆的周长是，
圆锥的侧面扇形的弧长为，
，
解得：
故答案为．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出弧长．
8．（3分）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ．
【考点】：三角形的面积；：矩形的性质；：轴对称最短路线问题
【分析】如图，作于，作点关于直线的对称点，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可．
【解答】解：如图，作于，作点关于直线的对称点，连接，．设．
四边形都是矩形，
，，，
，
，
，
，，
在中，，
垂直平分线段，
，
，
，
的最小值为．
【点评】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．（3分）一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为 3或 ．
【考点】：翻折变换（折叠问题）；：勾股定理
【分析】依据沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，分两种情况讨论：或，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到的长．
【解答】解：分两种情况：
①若，则，，
连接，则，
，，
设，则，
中，，
，
解得，
；
②若，则，，
四边形是正方形，
，，
，
，
设，则，，，
，
解得，
，
综上所述，的长为3或，
故答案为：3或．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
10．（3分）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到△记△、△、△的面积分别为、、，如此下去，则 ．
【考点】：三角形的面积；38：规律型：图形的变化类
【分析】首先求出、、，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
同理可求：，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到的规律是解题的关键．
二、选择题（每题3分，满分30分）
11．（3分）下列各运算中，计算正确的是
A．B．C．D．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；：完全平方公式；48：同底数幂的除法
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项正确；
故选：．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【考点】：中心对称图形
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：、不是中心对称图形，本选项错误；
、不是中心对称图形，本选项错误；
、是中心对称图形，本选项正确；
、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
13．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是
A．6B．5C．4D．3
【考点】：由三视图判断几何体
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．
故选：．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．
14．（3分）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是
A．平均数B．中位数C．方差D．极差
【考点】：中位数；：算术平均数；：极差；：方差
【分析】根据中位数的定义解答可得．
【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最低成绩写得更低了，计算结果不受影响的是中位数，
故选：．
【点评】本题主要考查方差、极差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
15．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4B．5C．6D．7
【考点】：一元二次方程的应用
【分析】设这种植物每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得：（舍去），．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是
A．B．C．4D．6
【考点】：反比例函数系数的几何意义；：反比例函数图象上点的坐标特征；：平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求得．
【解答】解：如图作轴于，延长交轴于，
四边形是平行四边形，
，，
轴，
，
，
根据系数的几何意义，，，
四边形的面积，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义、平行四边形的性质等，有一定的综合性
17．（3分）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是
A．B．C．D．
【考点】：分式方程的解；：解一元一次不等式
【分析】根据解分式方程的方法可以求得的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：，
方程两边同乘以，得
，
移项及合并同类项，得
，
分式方程的解是非正数，，
，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
18．（3分）如图，矩形的对角线、相交于点，，过点作，过点作，、交于点，连接，则
A．B．C．D．
【考点】：菱形的判定与性质；：解直角三角形；：矩形的性质
【分析】如图，过点作直线交线段延长线于点，连接交于点．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形是菱形，则与垂直平分，易得，．所以由锐角三角函数定义作答即可．
【解答】解：矩形的对角线、相交于点，，
设，．
如图，过点作直线交线段延长线于点，连接交于点．
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形．
与垂直平分，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
．
故选：．
【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（3分）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有
A．4种B．3种C．2种D．1种
【考点】95：二元一次方程的应用
【分析】设一等奖个数个，二等奖个数个，根据题意，得，根据方程可得三种方案；
【解答】解：设一等奖个数个，二等奖个数个，
根据题意，得，
使方程成立的解有，，，
方案一共有3种；
故选：．
【点评】本题考查二元一次方程的应用；熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
20．（3分）如图，在平行四边形中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④，正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【考点】：正方形的判定与性质；：等腰直角三角形；：平行四边形的性质；：相似三角形的判定与性质
【分析】①先证明，得，再得四边形为平行四边形，进而由，得四边形是正方形，便可判断正误；
②由，得，进而得的值，便可判断正误；
③根据，进行推理说明便可；
④由与的面积关系和与的面积关系，便可得四边形的面积与的面积关系．
【解答】解：①，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，故此题结论正确；
②，
，
，
，，
，故此小题结论正确；
③，
，
，，
，
，故此小题结论正确；
④，
，
，
，
，，
，
，故此小题结论正确．
故选：．
【点评】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，第一小题关键是证明三角形全等，第二小题证明三角形的相似，第三小题证明与的关系，与的关系，第四小题关键是用的面积为桥梁．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：，期中．
【考点】：分式的化简求值；：特殊角的三角函数值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值化简代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留．
【考点】：作图旋转变换；：扇形面积的计算；：作图轴对称变换
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得的长，从而可以求得线段在旋转过程中扫过的面积．
【解答】解：（1）如右图所示，
点的坐标是；
（2）如右图所示，
点的坐标是；
（3）点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
【点评】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．
【考点】：待定系数法求二次函数解析式；：一次函数图象上点的坐标特征；：抛物线与轴的交点
【分析】（1）将点、点代入即可；
（2），设，直线与轴交点为，则有，可求或，得：直线为或，当时，或；
【解答】解：（1）将点、点代入，
可得，，
；
（2），
，
，
设，直线与轴交点为，
则，
，
或，
直线为或，
当时，或，
或；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活转化三角形面积是解题的关键．
24．（7分）“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：
（1）求本次调查中共抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？
【考点】：用样本估计总体；：条形统计图；：扇形统计图
【分析】（1）由1本的人数及其所占百分比可得答案；
（2）求出2本和3本的人数即可补全条形图；
（3）用乘以2本人数所占比例；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）本次调查中共抽取的学生人数为（人；
（2）3本人数为（人，
则2本人数为（人，
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
（4）估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有（人．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．（8分）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程（米与小强所用时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【考点】：一次函数的应用
【分析】（1）根据“小明的路程小明的速度小明步行的时间”即可求解；
（2）根据的值可以得出小强步行12分钟的路程，再根据“路程、速度与时间”的关系解答即可；
（3）由（2）可知点的坐标，再运用待定系数法解答即可．
【解答】解：（1）；
（2）小明的速度为：（米分），
小强的速度为：（米分）；
（3）由题意得，
设所在的直线的解析式为：，
把、代入得：
，解得，
线段所在的直线的解析式为．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．
26．（8分）如图，在中，，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）如图①所示，若，求证：；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【考点】：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）连接，由垂心的性质得出，证出，由平行线的性质得出，证明得出，由线段垂直平分线的性质得出，得出，，由直角三角形的性质得出，即可得出结论；
（2）同（1）可证：，再由等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接，如图①所示：
，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）解：图②猜想结论：；理由如下：
同（1）可证：，
在中，，
，
；
图③猜想结论：；理由如下：
同（1）可证：，
在中，，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂心的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
27．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【考点】：一元一次不等式组的应用；：一次函数的应用；：二元一次方程组的应用
【分析】（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；
（2）根据题意列不等式组解答即可；
（3）求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，由题意得：
，解得，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）根据题意得：
，
解得，
是整数，
，37，38，39，40．
有5种购买方案；
（3），
，
随的增大而增大，
当时，（元，
．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根，，边交轴于点，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿折线段向点运动，运动的时间为秒，设与矩形重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：四边形综合题
【分析】（1）解方程求出的值，由，可得答案；
（2）设交轴于点，当时，，由知，即，据此得，根据面积公式可得此时解析式；当时，，由知，即，据此得，根据三角形面积公式可得答案；
（3）设，由，知，，，再分三种情况列出方程求解可得．
【解答】解：（1），
，，
，
，，
，
，，
四边形是矩形，
点的坐标为；
（2）设交轴于点，
如图1，当时，，
，
，
，即，
，
；
如图2，当时，，
，
，
，即，
，
；
综上所述，；
（3）由题意知，当点在上时，显然不能构成等腰三角形；
当点在上运动时，设，
，，
，，，
①当时，，解得，
则，；
②当时，，解得，
则；
③当时，，解得，
则；
综上，，或或．
【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、等腰三角形的判定及两点间的距离公式等知识点．
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日期：2019/8/3 9:13:26；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.cm；学号：7910509
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．（3分）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为 ．
2．（3分）在函数中，自变量的取值范围是 ．
3．（3分）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形是平行四边形．
4．（3分）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是 ．
5．（3分）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
6．（3分）如图，在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为 ．
7．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
8．（3分）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ．
9．（3分）一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为 ．
10．（3分）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到△记△、△、△的面积分别为、、，如此下去，则 ．
二、选择题（每题3分，满分30分）
11．（3分）下列各运算中，计算正确的是
A．B．C．D．
12．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
13．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是
A．6B．5C．4D．3
14．（3分）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是
A．平均数B．中位数C．方差D．极差
15．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4B．5C．6D．7
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是
A．B．C．4D．6
17．（3分）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是
A．B．C．D．
18．（3分）如图，矩形的对角线、相交于点，，过点作，过点作，、交于点，连接，则
A．B．C．D．
19．（3分）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有
A．4种B．3种C．2种D．1种
20．（3分）如图，在平行四边形中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④，正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：，期中．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．
24．（7分）“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：
（1）求本次调查中共抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？
25．（8分）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程（米与小强所用时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
26．（8分）如图，在中，，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）如图①所示，若，求证：；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
27．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根，，边交轴于点，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿折线段向点运动，运动的时间为秒，设与矩形重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年黑龙江省伊春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．（3分）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为 ．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将180000用科学记数法表示为，
故答案是：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2．（3分）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【考点】：函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．
【解答】解：在函数中，有，解得，
故其自变量的取值范围是．
故答案为．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．（3分）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 （答案不唯一） ，使四边形是平行四边形．
【考点】：平行四边形的判定
【分析】可再添加一个条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．
4．（3分）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是 ．
【考点】：列表法与树状图法
【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出2个球都是黄球所占结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：，
共有6种等可能的结果数，其中2个球都是黄球占1种，
摸出的2个球都是黄球的概率；
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
5．（3分）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
【考点】：解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为 ．
【考点】：圆周角定理；：圆心角、弧、弦的关系；：垂径定理
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为．
【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．
7．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
【考点】：圆锥的计算
【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
【解答】解：圆锥的底面圆的周长是，
圆锥的侧面扇形的弧长为，
，
解得：
故答案为．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出弧长．
8．（3分）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ．
【考点】：三角形的面积；：矩形的性质；：轴对称最短路线问题
【分析】如图，作于，作点关于直线的对称点，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可．
【解答】解：如图，作于，作点关于直线的对称点，连接，．设．
四边形都是矩形，
，，，
，
，
，
，，
在中，，
垂直平分线段，
，
，
，
的最小值为．
【点评】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．（3分）一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为 3或 ．
【考点】：翻折变换（折叠问题）；：勾股定理
【分析】依据沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，分两种情况讨论：或，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到的长．
【解答】解：分两种情况：
①若，则，，
连接，则，
，，
设，则，
中，，
，
解得，
；
②若，则，，
四边形是正方形，
，，
，
，
设，则，，，
，
解得，
，
综上所述，的长为3或，
故答案为：3或．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
10．（3分）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到△记△、△、△的面积分别为、、，如此下去，则 ．
【考点】：三角形的面积；38：规律型：图形的变化类
【分析】首先求出、、，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
同理可求：，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到的规律是解题的关键．
二、选择题（每题3分，满分30分）
11．（3分）下列各运算中，计算正确的是
A．B．C．D．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；：完全平方公式；48：同底数幂的除法
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项正确；
故选：．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【考点】：中心对称图形
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：、不是中心对称图形，本选项错误；
、不是中心对称图形，本选项错误；
、是中心对称图形，本选项正确；
、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
13．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是
A．6B．5C．4D．3
【考点】：由三视图判断几何体
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．
故选：．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．
14．（3分）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是
A．平均数B．中位数C．方差D．极差
【考点】：中位数；：算术平均数；：极差；：方差
【分析】根据中位数的定义解答可得．
【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最低成绩写得更低了，计算结果不受影响的是中位数，
故选：．
【点评】本题主要考查方差、极差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
15．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4B．5C．6D．7
【考点】：一元二次方程的应用
【分析】设这种植物每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得：（舍去），．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是
A．B．C．4D．6
【考点】：反比例函数系数的几何意义；：反比例函数图象上点的坐标特征；：平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求得．
【解答】解：如图作轴于，延长交轴于，
四边形是平行四边形，
，，
轴，
，
，
根据系数的几何意义，，，
四边形的面积，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义、平行四边形的性质等，有一定的综合性
17．（3分）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是
A．B．C．D．
【考点】：分式方程的解；：解一元一次不等式
【分析】根据解分式方程的方法可以求得的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：，
方程两边同乘以，得
，
移项及合并同类项，得
，
分式方程的解是非正数，，
，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
18．（3分）如图，矩形的对角线、相交于点，，过点作，过点作，、交于点，连接，则
A．B．C．D．
【考点】：菱形的判定与性质；：解直角三角形；：矩形的性质
【分析】如图，过点作直线交线段延长线于点，连接交于点．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形是菱形，则与垂直平分，易得，．所以由锐角三角函数定义作答即可．
【解答】解：矩形的对角线、相交于点，，
设，．
如图，过点作直线交线段延长线于点，连接交于点．
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形．
与垂直平分，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
．
故选：．
【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（3分）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有
A．4种B．3种C．2种D．1种
【考点】95：二元一次方程的应用
【分析】设一等奖个数个，二等奖个数个，根据题意，得，根据方程可得三种方案；
【解答】解：设一等奖个数个，二等奖个数个，
根据题意，得，
使方程成立的解有，，，
方案一共有3种；
故选：．
【点评】本题考查二元一次方程的应用；熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
20．（3分）如图，在平行四边形中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④，正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【考点】：正方形的判定与性质；：等腰直角三角形；：平行四边形的性质；：相似三角形的判定与性质
【分析】①先证明，得，再得四边形为平行四边形，进而由，得四边形是正方形，便可判断正误；
②由，得，进而得的值，便可判断正误；
③根据，进行推理说明便可；
④由与的面积关系和与的面积关系，便可得四边形的面积与的面积关系．
【解答】解：①，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，故此题结论正确；
②，
，
，
，，
，故此小题结论正确；
③，
，
，，
，
，故此小题结论正确；
④，
，
，
，
，，
，
，故此小题结论正确．
故选：．
【点评】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，第一小题关键是证明三角形全等，第二小题证明三角形的相似，第三小题证明与的关系，与的关系，第四小题关键是用的面积为桥梁．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：，期中．
【考点】：分式的化简求值；：特殊角的三角函数值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值化简代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留．
【考点】：作图旋转变换；：扇形面积的计算；：作图轴对称变换
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得的长，从而可以求得线段在旋转过程中扫过的面积．
【解答】解：（1）如右图所示，
点的坐标是；
（2）如右图所示，
点的坐标是；
（3）点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
【点评】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．
【考点】：待定系数法求二次函数解析式；：一次函数图象上点的坐标特征；：抛物线与轴的交点
【分析】（1）将点、点代入即可；
（2），设，直线与轴交点为，则有，可求或，得：直线为或，当时，或；
【解答】解：（1）将点、点代入，
可得，，
；
（2），
，
，
设，直线与轴交点为，
则，
，
或，
直线为或，
当时，或，
或；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活转化三角形面积是解题的关键．
24．（7分）“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：
（1）求本次调查中共抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？
【考点】：用样本估计总体；：条形统计图；：扇形统计图
【分析】（1）由1本的人数及其所占百分比可得答案；
（2）求出2本和3本的人数即可补全条形图；
（3）用乘以2本人数所占比例；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）本次调查中共抽取的学生人数为（人；
（2）3本人数为（人，
则2本人数为（人，
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
（4）估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有（人．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．（8分）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程（米与小强所用时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【考点】：一次函数的应用
【分析】（1）根据“小明的路程小明的速度小明步行的时间”即可求解；
（2）根据的值可以得出小强步行12分钟的路程，再根据“路程、速度与时间”的关系解答即可；
（3）由（2）可知点的坐标，再运用待定系数法解答即可．
【解答】解：（1）；
（2）小明的速度为：（米分），
小强的速度为：（米分）；
（3）由题意得，
设所在的直线的解析式为：，
把、代入得：
，解得，
线段所在的直线的解析式为．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．
26．（8分）如图，在中，，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）如图①所示，若，求证：；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【考点】：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）连接，由垂心的性质得出，证出，由平行线的性质得出，证明得出，由线段垂直平分线的性质得出，得出，，由直角三角形的性质得出，即可得出结论；
（2）同（1）可证：，再由等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接，如图①所示：
，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）解：图②猜想结论：；理由如下：
同（1）可证：，
在中，，
，
；
图③猜想结论：；理由如下：
同（1）可证：，
在中，，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂心的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
27．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【考点】：一元一次不等式组的应用；：一次函数的应用；：二元一次方程组的应用
【分析】（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；
（2）根据题意列不等式组解答即可；
（3）求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，由题意得：
，解得，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）根据题意得：
，
解得，
是整数，
，37，38，39，40．
有5种购买方案；
（3），
，
随的增大而增大，
当时，（元，
．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根，，边交轴于点，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿折线段向点运动，运动的时间为秒，设与矩形重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：四边形综合题
【分析】（1）解方程求出的值，由，可得答案；
（2）设交轴于点，当时，，由知，即，据此得，根据面积公式可得此时解析式；当时，，由知，即，据此得，根据三角形面积公式可得答案；
（3）设，由，知，，，再分三种情况列出方程求解可得．
【解答】解：（1），
，，
，
，，
，
，，
四边形是矩形，
点的坐标为；
（2）设交轴于点，
如图1，当时，，
，
，
，即，
，
；
如图2，当时，，
，
，
，即，
，
；
综上所述，；
（3）由题意知，当点在上时，显然不能构成等腰三角形；
当点在上运动时，设，
，，
，，，
①当时，，解得，
则，；
②当时，，解得，
则；
③当时，，解得，
则；
综上，，或或．
【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、等腰三角形的判定及两点间的距离公式等知识点．
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