初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第2章第2节 力的合成与分解（含答案）

第二节  力的合成与分解

一、力的合成

力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力等效代替几个力的共同作用，如果这一个力的作用效果与几个力共同的作用效果相同，那么这个力就是那几个力的合力。合力与分力是一种等效替代的关系。

1．平行四边形定则

当同一直线上的两个力同向时，合力等于这两力之和，即；当同一直线上的两个力方向相反时，合力等于较大力与较小力之差，即。

有两个力的方向不在同一直线上，则不能简单地用加、减来计算合力的大小。实验证明，互成夹角的两个力与合力的关系符合“平行四边形定则”，内容如下：以两分力为邻边作平行四边形，两分力所夹的对角线即表示合力的大小与方向，如图4.46所示。利用平行四边形定则结合数学知识可以方便地求出合力的大小和方向。设力，的夹角为，则它们的合力的大小可由余弦定理求得：

根据，因此。

(1)两个力的合成

对子一些特殊情况下的合力计算，可以根据三角形知识来求解合力。下面列举出两个等大的力，夹角取下列情况时合力的大小，如图4.47所示，请同学们利用平行四边形定则，结合数学知识来试着验证，以掌握合力的计算方法。

从上述计算合力的过程中，还可以得出以下几个结论：

①合力不一定比分力大。实际上合力可以大于、等于或小于分力的大小。

②合力大小的变化范围是。

③当两个分力大小不变时，两分力夹角越大，合力越小。

上述几种特殊情况下的两个力的合力的值，同学们要牢记，在很多情形下都可以直接运用。

例1  如图4.48所示，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，已知两人手臂上的拉力大小相等且为，两人手臂间的夹角为，水和水桶所受总重力为，则下列说法中正确的是(    )。

A．当为时， B．不管为何值，

C．当时， D．越大时越小

分析与解  两人提起水桶匀速前行时，两手臂的拉力的合力大小应等于水桶所受重力的大小。由平行四边形知识可知，当为时，手臂拉力，当时，两拉力同方向，。当两拉力夹角变大时，由于合力不变，相当于平行四边形的对角线不变，而两邻边夹角变大，对应的邻边长度变长，即变大。本题正确选项为AC。

(2)多个力的合成

当需要求解若于个力的合力时，我们可以先合成其中两个力，然后用这两个力的合力再与第三个力合成……如此进行下去，可以求得这几个力的合力。但是合成的时候，可以先对这几个力进行观察，优先合成同一直线上的力或者优先合成那些容易计算的力，这样可以简化问题。

例2  如图4.49所示，6个力的合力为，若去掉的那个分力，则其余5个力的合力为，关于，的大小及方向表述正确的是(    )。

A． 

B．，方向与的力相反

C．，方向与的力相同

D．，方向与的力相同

分析与解  观察本题中的6个力，发现有3对力是共线的，若将3对共线的力先合成，则问题将大大简化。因此，先将与、与、与这3对力合成，则得到如图4.50(a)所示的3个的力，这3个力中任意2个力的合力都与第3个力等大反向，因此最终的合力。若将的那个分力撤去，则将共线的力合成后如图4.50(b)所示，显然剩余5个力的合力，方向与的力同向，本题正确选项为AC。

2．三角形定则

如图4.51所示，在平行四边形定则中，将分力平移至其对边的位置，则可发现，首尾相接，自的起始端指向末端的有向线段，即为，的合力这就县三角形定则。

利用三角形定则，除了可以求解合力、分力大小的问题，还可以方便地判断力的最值(即最大值或最小值)和力的动态变化问题。

(1)合力的最小值问题．

当已知分力的大小、方向及另一个分力的方向时，合力取最小值的条件是与垂直，如图4.52所示，的最小值为。

(2)分力的最小值问题

当合力的方向确定，而大小未知，分力的大小和方向均确定时，另一个分力取最小值的条件是与合力垂直，如图4.53所示，的最小值为。

例3  如图4.54所示，分力的大小、方向均不变，大小不变，方向变化。，与它们合力之间的夹角分别为，。则当________时，取最大值，其最大值应满足的关系为________。

分析与解  如图4.55所示，以分力的末端为圆心，的大小为半径画半圆，，以及它们的合力围成一个矢量三角形，其中即为从的起始端指向末端的有向线段，可见，当方向变化时，的方向、大小随之变化，也在改变。当恰和半圆相切时，与垂直，即时，角取得最大值，有。

例4  如图4.56所示，竖直杆可在竖直面内左右摆动，端系有两根绳子与，在绳拉力作用下整个装置处于平衡状态，若绳加长，使点缓慢向左移动，杆仍竖直，且处于平衡状态，则绳的拉力和杆所受的压力与原先相比，下列说法中正确的是(    )。

A．增大，减小

B．减小，增大

C．和均增大 

D．和均减小

分析与解  杆可在竖直面内左右摆动，则要使杆处于竖直平衡状态，绳与绳对杆上点的拉力的合力必竖直向下，即沿着杆的方向，否则杆将倒下。绳对点的拉力大小等于重物所受重力大小，记为，画出点力的矢量三角形如图4.57所示。当绳加长，使点缓慢向左移动时，绳的拉力与坚直方向的夹角变大，逐渐变为，，对应地，合力由逐渐变为，。可见，和均减小，选项D正确。

例5  如图4.58所示，小球质量为，用一细线悬挂。现用一大小恒为的力慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的最大夹角是多少？

分析与解  当小球平衡时，重力与拉力的合力—定沿着细线的方向，且根据三角形定则，当与首尾相接时，就是从的起始端指向末端的有向线段。画出表示重力的有向线段，并以重力的末端为圆心，以的大小为半径画圆，则，，组成的矢量三角形如图4.59所示。当取不同方向时，的大小、方向均随之发生变化。只有当恰与圆相切，即与垂直时，最大，且满足，。

二、力的分解

力的分解是力的合成的逆运算，即已知某个力，求解其分力的过程。力的分解同样遵循平行四边形法则和三角形定则。

求解一个力的分力的过程，就像已知对角线，画出平行四边形的过程。如果不加以限制，结果有无数种，如图4.60所示。但是，当两个邻边的方向确定时，所画出的平行四边形就是唯一的。因此，在分力的方向确定时，分解的情况就是唯一的，如图4.61所示。

1．按照力的作用效果分解力

实际分解一个力时，往往根据力的作用效果来确定两个分力的方向，从而把力分解，下面举几个例子。

(1)水平面上物体所受拉力的分解：如图4.62所示，拉力实际产生了两个作用效果——想要物体沿水平面向右运动和想把物体竖直提起离开水平面。因此可以把力沿着水平方向和竖直方向分解为，两个分力。可求得，。

(2)斜面上物体重力的分解：如图4.63所示，物块的重力实际产生了两个作用效果，一是使物体有沿斜面下滑的趋势，二是使物体压紧斜面。因此可将物体重力分解为平行于斜面向下和垂直于斜面向下的两个分力，，可求得，。值得注意的是，并不是物体对斜面的压力，而只是大小与物体对斜面的压力相等。

(3)被夹板夹起的球重力的分解：如图4.64所示，球的重力的作用效果就是挤压左右两个夹板，因此可将重力分解为垂直于两个夹板的分力，。设两板夹角为，夹板的平分线竖直，则由对#性及平行四边形法则可知。

(4)斜靠在墙壁上球的重力分解：如图4.65所示，球固定在轻杆一端，斜靠在竖直墙壁上，轻杆另一端通过可自由转动的铰链与水平地面相连。小球的重力产生的效果，一方面使球对墙有压力，另一方面，使球对杆也有压力。球对轻杆的压力方向需要我们探讨：因为杆另一端与铰链相连，可以自由转动，因此若球对杆的弹力不沿着杆，杆必转动，因此球对杆的压力沿着杆斜向下。至此，可以将球的重力分解为沿着杆斜向下的分力和垂直于墙璧向右的分力，可求得，。

例6  如图4.66所示，两光滑平板，构成一具有固定夹角的形糟，一球置于槽内，用表示板与水平面之间的夹角。若球对板压力的大小正好等于球所受重力的大小，则值应该是(    )。

A． B． C． D．

分析与解  将球的重力分解为垂直于，板方向的两个分力，，其中垂直于板的分力。在图4.67所示的平行四边形中，，，则，解得，选项B正确。

2．力的正交分解法

实际分解力时，还可以根据问题的需要，把力沿着两个相互垂直的方向进行分解，即正文分解。分解时，要根据实际情况建立以物体所在位置为坐标原点的坐标系，并使尽量多的力出现在坐标轴上，再把其他力沿着，轴分解为，，，等。接下来可以求解轴、轴上的合力

，

最后求和的合力大小：，与轴方向的夹角满足。

例7  如图4.68所示，三个共点力，，，它们的方向如图4.68所示，求这三个力的合力大小和方向。

分析与解  本题若用平行四边形法则逐一合成各个力，则过于烦琐，因此考虑正交分解的方法。如图4.69(a)所示建立，坐标轴，力在轴负半轴上。将力沿坐标轴方向分解为和两个分力，结合数学知识可得，。同样地，将力沿坐标轴方向分解为和两个分力，则，。故轴上的力的合力，轴上的力的合力，如图4.69(b)所示。则三个力的合力大小为，合力方向在第四象限，与轴正方向夹角为。

3．力分解的几种情况，

在对力迸行分解时，所加的附加条件不同，那么得到的分力情况也会不同，在有些附加条件下甚至无法得到分力，即不能分解。当分力与合力所构成的三角形仅有一种情况时，只有一解，当构成的三角形有两种或多种情况时，有两解或多解。下面介绍几种不同的附加条件下力的分解情况。

(1)已知合力和两个分力的方向，求两个分力的大小，有一组解。这种情况已在前文介绍过，不再赘述。

(2)已知合力和一个分力的大小与方向，求另一个分力的大小和方向，有一组解。例如，已知合力和它的一个分力，则另一个分力就是从末端指向末端的有向线段，显然仅有一解，如图4.70所示。

(3)已知合力和两个分力，的大小。当合力为某一定值，而分力的取值不同时，所能分解的情况也会变化。

①当时，有两解。分别以合力的起始端与末端为圆心，以，的大小为半径画圆，两圆有两个交点，如图4.71(a)所示，，，可构成两个三角形，有两解。

②当时，有一解。分别以合力的起始端与末端为圆心，以，的大小为半径画圆，两圆相切，则仅有一解，如图4.71(b)所示。

③当时，无解。此种情况下两圆相离，无交点，故无解，如图4.71(c)所示。比如，一个的力无法分解为和的两个分力。

(4)如图4.72所示，若已知合力、一个分力的大小与另一分力的方向，求的方向和的大小，则较复杂，讨论如下：

①当时，有唯一解。由于的大小恰等于的末端到所在方向的距离，这也是所能取到的最小值。因此，，仅能构成一个直角三角形，如图4.73(a)所示，仅有唯一解。

②当时，有两组解。如图4.73(b)所示，该情况下，，可构成两个三角形，因此有两组解。

③当时，有一组解。由于要保证的方向始终不变，在该种情况下，，，只可构成如图4.73(c)所示的三角形，仅有一组解。

④当时，无解。该种情况下，，构不成三角形，无法分解。

例8  已知力，现要把力分解为两个力和，且与的夹角为，若取某一数值，可使有两个大小不同的数值，问：大小的取值范围是什么？

分析与解  要解答此类问题，必须先画图后分析，由于已知合力的大小和方向，以及一个分力的方向，因此可以试着把另一个分力的大小从小逐渐增大去画力的三角形。

如图4.74所示，以合力的末端为圆心，以的大小为半径去画圆孤与相交，分别可得到如下几种情况：

(1)当时，圆弧与没有交点，即不能画出平行四边形，无解。

(2)当时，圆弧与相切，有一个解，且此时取得最小值，这时如图4.74(a)所示。

(3)当时，圆弧与有两个交点，有两个解，即的某一数值对应着的两个不同的数值，如图4.74(b)所示。

(4)当时，圆弧与只有一个交点，只有唯一解，如图4.74(c)所示。

综上所述，符合条件的的取值范围为。

4．力的二次分解

力的二次分解就是将某个力分解后，将这个力的分力再分解，下面举例说明。

例9  如图4.75所示，为了推动一个大橱，某人找了两块木板，搭成一个人宇形，他往中问一站，橱被推动了。设橱和墙壁间的距离为，两木版长均为(略大于)，人所受重力为，试求木板对橱的水平推力。

分析与解  如图4.76所示，设杆与水平地面间的夹角为，则由几何关系可得

，

人对两行的压力等于其重力的大小，可以将人对杆的压力分解为沿着杆方向的，两个分力，由几何关系可知，因此杆对箱子的作用力等于，方向沿杆，再将分解为水平向左与坚直向下的分力，，则即等于木板对橱的水平推力，易得

练习题

1．一物体受到大小分别为，，的三个共点力的作用，其力的矢量关系如图4.77所示，则它们的合力大小是(    )。

A．  B．

C．  D．

2．关于力的分解，下面说法中正确的是(    )。

A．一个力不可能分解成两个大小都比它大的力

B．一个力不可能分解成两个大小都与它相等的力

C．—个力分解时只要按平行四边形法则去分解一定能得到确定的解

D．已知一个力的两个分力的方向，或已知其中一个分力的大小和方向，分解这个力一定有确定的解

3．将的力进行分解，若一个分力大小为，则另一个分力的大小可能是(    )。

A． B． C． D．

4．如图4.78所示，水平横梁的一端插在墙壁内，另一端装有小滑轮，—轻绳上端固定在墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为的重物，已知绳与杆的夹角，滑轮受到绳子的作用力大小为(    )。

A． B． C． D．

5．如图4.79所示，用长轻绳悬挂一质量为的小球，对小球施加一个力，使绳和竖直方向成角并绷紧，小球处于静止状态，此力最小为(    )。

A． B． C． D．

6．如图4.80所示，橡皮条的端固定，用，两弹簧秤拉橡皮条的另一端，使其伸长至点，，两掸黉的弹力大小和方向如图所示，其中。今保持的读数不变，当由图示位置逐渐减小时，欲使端仍在点保持不动，应采用的方法是(    )。

A．使的读数变小，同时角减小，

B．使的读数变小，同时角增大

C．使的读数变小，同时角先增大后减小

D．使的读数变大，同时角减小

7．将一个的力分解成两个分力和，若，的方向与方向的夹角都为，则，的大小是________。

8．已知三个共点力的大小分别为，，，方向如图4.81所示，与的夹角为，与垂直，则这三个力的合力的大小为________，方向________。

9．作用在一物体上的两个大小一定的共点力的合力的大小随夹角变化的关系如图4.82所示，则这两个力的大小分别是________和________。

10．如图4.83所示，从正六边形的一个顶点向其他5个顶点作用着5个力，，，，。已知，具体各力的大小跟对应的边长成正比，这5个力的合力大小为________。

11．试用作图法将已知力分解：

(1)如图4.84(a)所示，已知分力和的方向，求出两分力的大小；

(2)如图4.84(b)所示，已知分力的大小和方向，求另一个分力。

12．如图4.85所示，已知力大小为，其中一个分力方向与成角，另一分力的最小值为________，对应的的值为________。

13．求解下列问题：

(1)如图4.86(a)所示，重为的重球放在竖直墙与斜面之间，斜面倾角为，所有接触面光滑，试用力的分解法求出小球对竖直墙与斜面的压力。

(2)如图4.86(b)所示，一个人用的力拉木箱，使木箱在氷平地面上前进，拉力与水平方向夹角为，求拉力在水平方向和竖直方向的两个分力。

(3)如图4.86(c)所示，三根细绳，，连接后悬挂重物，，端固定于天花板上，绳，与天花板的夹角分别为和，试用力的分解法求绳，的拉力。

(4)如图4.86(d)所示，轻杆，通过铰链与竖直墙壁连接，杆水平，杆与墙壁夹角为。两杆在点铰接在一起，在点用细线悬挂重为的物体，已知两扞的受力均沿杆方向，试用力的分解法求两杆弹力的大小。

14．如图4.87所示，欲使一条无动力小船在河中前进，甲、乙两人分别通过绳索施加拉力，作用在船上，已知的大小为，方向与船前进方向的夹角为，且为了使船受到的合力能恰平行于河岸方向，乙的拉力与河岸垂直。

(1)求乙的拉力的大小，拉力的合力的大小。

(2)船前进一段时间后，乙已疲惫不堪，为了保证船所受拉力的合力不变，甲的拉力方向不变的条件下，使乙施加的拉力最小，乙应沿着什么方向拉船？拉力最小值为多少？此时甲的拉力应调节为多少？

15．某压榨机的结构如图4.88所示，其中为固定铰链，为滑块，可沿光滑壁移动，为被压榨的物体，已知到和的距离都是，到和的距离为，当在铰链处作用压力时，物体受到的压力为多少？

参考答案

1．A。由图4.77知，与首尾相接，它们的合力恰等于，则三个力的合力为

2．D。略。

3．C。设另一分力为，两分力之差应小于等于合力，则，解得。

4．C．滑轮所受绳子的作用力大小等于段、段绳子所施力的合力大小，两段绳子拉力大小均为，夹角为，由平行四边形定则可知合力为。

5．A。小球静止时，小球所受重力与拉力的合力必沿着细线延长线的方向斜向下，即与竖直方向夹角为斜向下方。画出表示小球所受重力的有向线段，自重力的末端向表示合力方向的虚线作垂线，则垂线段即为最小的拉力。如图4.89所示，可得，，选项A正确。

6．C。记，两弹簧秤的拉力分别为，，它们的合力记为，则与，构成三角形。由于橡皮筋的端仍在点保持不动，因此大小、方向均不变，如图4.90所示，以的末端为圆心，以的大小为半径画圆，当角由图示位置逐渐减小时，将逆时针转动，而是从的起始端指向末端的有向线段，可见，随着的转动，逐渐减小，而先增大，当与圆相切时最大，然后再逐渐减小，因此选项C正确。

7．。提示：画出分解后分力与合力所形成的平行四边形，这县一个菱形。

8．80，与相同。提示：利用正交分解法，将沿和的反方向进行分解，然后再求合力。

9．，。当两分力夹角为时，两分力同向，，当两分力夹角头时，两分力反向，，解得，。

10．。由几何关系，与是顶角为的等腰三角形，底边长为腰长的倍，结合各力的大小跟对应的边长成正比，可知，与县直角三角形，其中，因此的长度是长度的2倍，。为了方便起见，可以先把，合成，再把，合成，最后把这些力的合力与加起来即可。，的合力为，，的合力为，因此这5个力的合力为。

11．利用平行四边形定则和三角形定则，可分别画出分力和如图4.91所示。结合直角三角形知识和余弦定理，可得图4.91(a)中，，图4.91(b)中。

12．5，。结合三角形定则，当与垂直时，取得最小值，这样，和围成直角三角形，，。

13．(1)对竖直墙的压力为，对斜面的压力为。

(2)水平方向的分力为，竖直方向的分力为。

(3)绳的拉力为，绳的拉力为。

(4)杆的弹力的大小为，杆的弹力的大小为。

14．(1)，合力的方向平行于河岸，根据平行四边形定则，画出如图4.92(a)所示的矢量关系，可解得合力，。

(2)保证合力大小和方向不变，甲的拉力方向也不变，可画出如图4.92(b)所示的矢量三角形，可见，从末端指向合力末端的有向线段即表示，当调整为不同大小时，的大小、方向随之变化。当与垂直时取得最小值，，方向与船前进方向的夹角为，对应的的大小应调整为。

15．先根据力的效果，把力沿和方向分解为和，如图4.93(a)所示，此时力的平行四边形为菱形，设，与之间的夹角为，则。再把分力沿水平和竖直方向分解，如图4.93(b)所示，则有。由几何关系可得，故。