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初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第7章第4节 浮力（含答案）
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这是一份初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第7章第4节 浮力（含答案），共22页。教案主要包含了浮力的概念，浮力的计算，物体的浮沉条件等内容，欢迎下载使用。
第四节 浮力
一、浮力的概念
浮力是指浸在液体或者气体中的物体受到的液体或气体向上的托力。浮力通常用表示，浮力的方向为竖直向上，与物体所受重力的方向相反。
二、浮力的计算
1．利用物体上下表面所受压力差来计算浮力
浮力实际上是物体各个表面所受到的液体或者气体的压力的合力，由于物体侧面的压力互相平衡，浮力即等于物体上下表面的压力差。即，其中为物体下表面所受的向上的压力，为物体上表面所受的向下的压力。
2．利用称重法计算浮力
如图7.53所示，先在空气中称物体重力，弹簧测力计示数为，然后将物体用弹簧测力计吊着，完全浸没在液体中，弹簧测力计示数为，则物体所受浮力为。
3．利用阿基米德原理计算浮力
公元前245年，古希腊著名学者阿基米德发现了浮力原理，即我们所说的阿基米德原理：物体受到的浮力等于它排开的液体的重力。阿基米德原理对气体也同样适用。写成公式为。其中，是物体排开的液体的体积，等于物体在液面以下部分的体积。
4．利用平衡条件计算浮力
当物体在浮力与其他力的作用下处于平衡状态时，可以利用物体所受合力为零来计算浮力大小。
当物体漂浮或者悬浮在液体中时，物体所受浮力与重力平衡，即；当物体下沉在容器底部时，物体除了受浮力、重力以外，还受到容器底部的支持力的作用，此时有，即。
例1 (上海第29届大同杯初赛)如图7.54所示，浸入某液体中的物体恰好悬浮。物体的上、下表面积分别为，，并且，此时物体下表面与上表面受到液体的压力差为。现用手将物体缓慢下压一段距离，松手后( )
A．物体保持悬浮，因为不变
B．物体保持悬浮，但变大
C．物体将上浮，因为变
D．物体将下沉，因为变小
分析与解 物体悬浮在液体中，所受浮力等于它的重力，即。设液体对物体上、下表面以及对侧面的压力的合力分别为，和，易知竖直向下，则有，考虑到，有.当将物体缓慢下压后，增加，但物体排开液体的体积不变，即浮力仍等于重力，因此变大，选项正确。
例2 (上海第19届大同杯初赛)在图7.55(a)中，石料在钢绳拉力的作用下从水面上方以恒定的速度下降，直至全部没入水中。图.55(b)是钢绳拉力随时间变化的图像。若不计水的摩擦力，则可算出该石料的密度为( )
A． B．
C． D．
分析与解 物体未放入水中时，钢绳拉力等于物体重，有，设物体体积为，物体全部浸没在水中时，所受浮力为，两式相除，得.选项正确。
例3 如图7.56所示，一根细绳悬挂一个半径为、质量为的半球，半球的底面与容器底部紧密接触，此容器内液体的密度为，高度为，大气压强为，已知球体的体积公式是，求：
(1)半球面受到的水向下的压力的大小是多少？
(2)若要把半球从水中拉起，则至少要用多大的竖直向上的拉力？
分析与解 (1)由于半球底面与容器底部紧密接触，半球并不受浮力作用。但是，我们可以假设半球与容器底部存在极小的缝隙(这并不会改变半球上表面受到的水的压力)，从而半球底部受到水向上的压力，半球面受到水垂直于球表面的压力作用，这些压力的合力竖直向下，记为，如图7.57所示。则半球受到的浮力，其中，，可得。
(2)若要把半球从水中拉起，则竖直向上的最小拉力应等于半球重力与之和，因此。
三、物体的浮沉条件
设密度为、体积为的液体浸没在密度为的液体中，物体所受浮力，物体所受重力。根据与的关系可以判断物体最终的浮沉情况：
(1)若，即，则物体上浮，最终会露出水面而静止，这个状态称为漂浮。
(2)若，即，则物体静止在液体内，这个状态称为悬浮。处于漂浮和悬浮状态的物体，它们所受到的浮力都等于各自的重力。
(3)若，即，则物体将下沉，最终静止在容器底部。此时物体受到容器底部的支持力作用，满足。
我们可以根据物体密度与液体密度的关系，来判断物体置于液体中时所处的状态。当几个物体连接成一个整体时，判断物体的浮沉状态可以比较物体的平均密度与液体密度的大小关系。
例4 (上海第19届大同杯复赛)如图7.58所示，用细线将木块和金属块连接在一起，放入水中，恰好悬浮在水中。此时，受到________个力的作用。若木块的密度为，木块与金属块的体积之比为79:2，则金属块的密度为________。
分析与解 ，物体均受重力、浮力的作用，细线对有无拉力，可判断如下：，组成的整体悬浮在水中，它们的平均密度等于水的密度，由于的密度比水小，则的密度一定比水大，即本应下沉，因此细线对有向上的拉力，物体受三个力的作用。，整体的平均密度，将代入，得。
对于漂浮的物体，物体只有一部分体积浸没在液面以下，其余部分体积露出液面。设物体密度为，体积为，物体在液面以下的体积为，则根据浮力等于物体重力，有，即，可见，若液不变，与物体密度成正比，即在同一液体中，密度越大的物体漂浮时液面以下的体积占总体积的比例越大；若物体密度不变，越大，物体漂浮时液面以下的体积占总体积的比例越小。根据这一原理人们制成了可以测量液体密度的“密度计”。
例5 (上海第15届大同杯初赛改编)一个密度计，其刻度部分的，两点分别是最上面和最下面的刻度位置，如图7.59所示，这个密度计的测量范围是，则：A
(1)刻度对应的密度值为________。
(2)把这个密度计放入某种液体中，液面的位置恰好在的中点，则这种液体的密度为________。
(3)密度计的刻度线________(选填“均匀”或“不均匀”)该密度计测量密度较________(选填“大”或“小”)的液体密度时，测量误差较大。
分析与解 (1)密度计重力恒定，放在液体中漂浮时，所受浮力等于重力。若放入液体中时，液面以下的体积较大，则说明该液体密度较小，因此，刻度对应的密度值应较小，等于。
(2)设密度计重力为，横截面积为，，，刻度线对应的密度分别为，，；，，刻度线以下的长度分别为，，。由二力平衡，有，解得，同理，，。因此有。由于为，的中点，则刻度线以下的长度，得，因此解得。
(3)由(2)可知，待测液体的密度与密度计在液面以下的长度成反比例关系，密度计的刻度并不是均匀的。液体密度与密度计在液面以下的长度的关系如图7.60所示，则当较小(即较大)时，变化很小，变化很大，在密度计底部，刻度线较密集，由此带来的测量误差也较大。
例6 (上海第12届大同杯初赛)甲、乙、丙三个完全相同的长方体木块，把它们分别放在三种密度不同的液体里，木块静止时浸入液体的情况是：甲木块大部分浸入；乙木块一半浸入；丙木块小部分浸，如图7.61所示。若将三木块露出液面部分切除后，剩下部分分别放入原容器中，则木块露出液面部分的体积( )
A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多
分析与解 漂浮的物体，将露出水面的部分截去后，剩余部分仍将漂浮。为了得出剩余部分露出水面的体积与哪些因素有关，不妨设题中物体密度为，体积为，设液体密度为，物体在液面以下的体积为，则根据浮力等于物体重力，有，解得将露出液面部分截去后，剩余部分在液面下的体积为，新露出的部分，将视为一个整体，并配方，可得
可见，当时，取得最大值。
现对长方体与三种液体的密度关系进行分析，根据，可知甲物块所放的液体密度小于物块密度的一半，乙物块所放的液体密度恰等于物块密度的一半，而丙物块所放的液体密度大于物块密度的一半，因此本题正确选项为。
例7 (上海第18届大同杯初赛)某溶液的密度随溶液深度按照规律变化，其中，.用不可伸长、长度为的细线将，两个立方块连在一起并放进溶液内。已知，，，则平衡时立方块中心所在的深度为________，细线上的拉力为________。(假设溶液足够深)
分析与解 设系统平衡时，的中心所处深度为，则的中心所处深度为。系统所受浮力等于它们排开的液体的重力。由于液体密度随深度线性变化，因此，物体排开的液体的平均密度等于，的中心深度处的液体密度，结合力的平衡知识，有，其中，，联立并代入数据可得。设绳子的拉力为，对受力分析，有，可解得。
练习题
1．(上海第31届大同杯初赛)关于浮力，正确的叙述是( )
A．同一物体，漂浮在不同液体的液面上时，物体所受的浮力不同
B．物体完全浸没在密度均匀的液体中，在不同的深度它所受浮力相同
C．同一物体漂浮在液面时所受浮力一定大于沉到液体内部时所受的浮力
D．漂浮在液面的物体，它的重力一定等于所受的浮力
2．(上海第29届大同杯初赛)金属箔是由密度大于水的材料制成的。取一片金属箔做成容器，放在盛有水的烧杯中，发现它漂浮在水面上然后再将此金属箔揉成团放入水中，金属箔沉入水底。比较前后两种情况，下列说法正确的是( )
A．金属箔漂浮时受到的重力比它沉底时受到的重力小
B．金属箔漂浮时受到的浮力比它沉底时受到的浮力大
C．金属箔沉底时受到的浮力等于它的重力
D．金属箔沉底时排开水的体积与它漂浮时排开水的体积相等
3．(上海第29届大同杯初赛)重的水对漂浮于其中的物体所产生的浮力( )
A．可以小于 B．不可能等于
C．可以大于 D．不可能大于
4．(上海第28届大同杯初赛)某潜艇在海面下隐蔽地跟踪某个目标，现根据战时需要上浮或下潜(但始终未露出海面)，在下潜过程中潜水艇所受重力为，浮力为；在上浮过程中所受重力为，浮力为。则( )
A．， B．，
C．， D．，
5．(上海第26届大同杯初赛)将体积相同的木和石块浸没在水中，松手后，木块上浮，石块下沉，平衡后，则两物体所受的浮力( )
A．木块大 B．石块大 C．一样大 D．无法确定
6．(上海第23届大同杯初赛)水平桌面上的烧杯内装有一定量的水轻轻放入一个小球后，从烧杯中溢出的水，则下列判断中正确的是( )
A．小球所受浮力可能等于 B．小球的质量可能小于
C．小球的体积一定等于 D．水对烧杯底的压强一定增大
7．(上海第20届大同杯初赛)体积为的救生圈重，体重为的人在水中使用这个救生圈时( )
A．人和救生圈漂浮在水面上 B．人和救生圈悬浮在水中
C．人和救生圈下沉到水底 D．以上情况都有可能
8．(上海第15届大同杯初赛)用水桶从井中提水，在水桶逐渐提离水面的过程中，关于人所用力的大小，下列叙述中正确的是( )
A．用力变大，因为水桶所受重力变大
B．用力变小，因为水桶排开水的体积变小
C．用力变大，因为水桶所受的浮力变小
D．用力不变，因为水桶所受的重力不变
9．(上海第19届大同杯初赛)将质量为的大木筏置于若干个浮筒上，为了安全起见，每个浮筒至少要有1/3体积露出水面。设每个浮筒的质量均为，体积为，则至少需要这样的浮筒( )。
A．个 B．个 C．个 D．个
10．(上海第15届大同杯初赛)将某物体放人水中，有1/5的体积露出水面；将该物体放入某液体中，有1/6的体积露出液面，则( )
A．物体的密度为，液体的密度为
B．物体的密度为，液体的密度为
C．物体的密度为，液体的密度为
D．物体的密度为，液体的密度为
11．(上海第14届大同杯初赛)设想从某一天起，地球的引力减小一半，那么对于漂浮在水面上的船来说，下列说法中正确的是( )
A．船受到的重力将减小，船的吃水深度仍不变
B．船受到的重力将减小，船的吃水深度也减小
C．船受到的重力将不变，船的吃水深度也不变
D．船受到的重力将不变，船的吃水深度将减小
12．(上海第14届大同杯初赛)一石块和玩具气球(气球内充有空气)捆在一起，浸没在水中下沉，它们在水里下沉的过程中，受到的浮力将( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先减小后增大
13．(上海第14届大同杯初赛)浮在水面上的长方体木块的密度为，水的密度为，将木块浮在水面以上的部分切去，木块又会上浮待稳定后再次切去水面以上的部分，剩余木块的体积正好是原来的1/2，则可判断为( )
A．1:4 B．1:3 C．1:2 D．1:2
14．(上海第12届大同杯初赛)冰块漂浮在水面，露出水面部分的体积为，冰的密度为，水的密度为，则这块冰所受到的重力为( )
A． B． C． D．
15．(上海第30届大同杯初赛)如图7.62所示，水平桌面上放置一底面积为的轻质圆柱形容器，容器足够深。在容器中放入底面积为、质量为的圆柱形木块。在容器中缓慢加入水，当木块对容器底部的压力恰好为零时，容器对桌面的压力大小为( )
A． B．
C． D．
16．(上海第17届大同杯初赛)如图7.63所示在甲、乙、丙三个相同的容器中盛有质量相等的不同种类的液体，将三个相同的铁球分别下沉到各容器底部，当铁球静止时，试比较三容器底部所受铁球的压力( )
A．甲最小 B．乙最小 C．丙最小 D．大小一样
17．(上海第19届大同杯初赛)如图7.64所示，在一个开口锥形瓶内注入适量水，然后将它放在水平桌面上。此时水对锥形瓶底的压力为；现在锥形瓶内放入一个重为的木块，水对锥形瓶底的压力变为；在锥形瓶内再放入一个重为的木块，水对锥形瓶底的压力变为。木块与锥形瓶始终不接触，则( )
A． B．
C． D．
18．(上海第30届大同杯初赛)如图7.65所示，小试管倒插在广口瓶内的水银中，此时试管恰好浮于水银面。现由于天气变化的原因，大气压强稍增大，其他条件不变，则( )
A．试管略微下沉 B．试管内封闭气体的体积变大
C．试管内外的水银面高度差变大 D．试管内封闭气体的压强变大
19．(上海第31届大同杯初赛)如图7.66所示，在柱状容器内放入一块长方体实心铜块，然后缓慢注入水，并且使铜块与容器底紧贴(使水不进入铜块与容器底部之间的接触处)。此时容器底部所承受的压力大小为，若略微抬起铜块，使水进入接触处，待铜块稳定后，容器底部所承受的压力大小为，则( )
A． B． C． D．无法判断
20．(上海第26届大同杯初赛)如图7.67所示，器内盛有部分水，气球下面悬挂一石块，它们恰好悬浮在水中，若大气压增大，则石块将( )
A．上浮 B．下沉 C．静止 D．先上浮后下沉
21．(上海第26届大同杯初赛)如图7.68所示，柱状容器内放入一个体积为的柱状物体，现不断向容器内注入水，并记录水的总体积和所对应水的深度，如下表所示。则下列判断中正确的是( )
60
120
180
240
300
360
5
10
15
19
22
25
A．柱状物体的底面积为
B．柱状容器的底面积为
C．柱状物体的密度为
D．柱状物体所受的最大浮力为
22．(上海第25届大同杯初赛)如图7.69所示，密度均匀的长方体木块漂浮在水面上。若将木块虚线以下的部分截去，则( )
A．木块和水面均下降，且下降的高度相同
B．木块和水面均下降，且木块下降的高度更大
C．木块和水面均下降，且水面下降的高度更大
D．木块下降，水面上升，且变化的高度不相同
23．(上海第24届大同杯初赛)在盛水的长方体容器上方的横木上，用细线竖直悬挂一个实心铁球，铁球位于水面上方。容器置于两支撑物上而保持静止，如图7.70所示。容器对左边支撑物的压力为，对右边支撑物的压力为。现将线放长，使铁球浸没在水里，则( )。
A．变大，变小 B．变小，变大
C．，均变大 D．，均不变
24．(上海第22届大同杯初赛)如图7.71(a)所示在盛有水的圆筒形容器内，铁块甲放在木块乙上，木块乙浮在水面上，木块受的浮力为，水对容器底部的压强为，水面距容器底部的高度为。现将甲取下并用轻绳系在乙的下方，如图7.71(b)所示，则( )
A．浮力减小 B．压强减小
C．高度减小 D．甲受到的合力减小
25．(上海第22届大同杯初赛)如图7.72所示，在一块浮在水面的长方体木块上放一质量为的铁块甲，木块恰好浸没在水中。拿掉铁块甲，用细线把铁块乙系在木块下面，木块也恰好浸没在水中，则铁块乙的质量为( )
A． B． C． D．
26．(上海第18届大同杯初赛)如图7.73所示，烧杯内装有90℃的热水，一物块正好悬浮在水杯内，当水的温度降至10℃的过程中，物块将( )
A．下沉 B．悬浮 C．上浮 D．上下振动
27．(上海第16届大同杯初赛)如图7.74所示，完全相同的两根弹簧，下面挂两个质量相同、形状不同的实心铁块，其中甲是立方体，乙是球体。现将两个铁块完全浸没在某盐水溶液中，该溶液的密度随深度增加而均匀增加。待两铁块静止后，甲、乙两铁块受到的弹簧的拉力相比较( )。
A．甲比较大 B．乙比较大 C．一样大 D．无法确定
28．(上海第16届大同杯初赛)有一个梯形物体浸没在水中，如图7.75所示，水的密度为，深度为，物块高度为，体积为，较小的下底面面积为，与容器底紧密接触，其间无水。则该物体所受的浮力为( )
A． B．
C． D．
29．(上海第16届大同杯初赛)铁链条的一端系着质量、直径的实心球，另一端空着。链条长，质量，带有链条的球浸没在水池里，如图7.76所示。球的体积公式为，本题中设。当球平衡时，球心离池底的距离为( )
A． B． C． D．
30．(上海第15届大同杯初赛)如图7.77所示，圆台形玻璃杯开口直径为，底面直径为，总高度为，内装水，水面高，现向杯内投一质量为的木块，木块浮在水面上，水面上升了，这时杯底内表面受到的压力增加了( )
A． B． C． D．
31．(上海第15届大同杯初赛)如图7.78所示一冰块下面悬吊一物块，正好悬浮在水中，物块的密度为，且，冰块融化后，水面下降了。设量筒的内横截面积为，冰的密度为，水的密度为，则可判断物块的质量可能为( )
A． B． C． D．
32．(上海第14届大同杯初赛)如图7.79所示在一个一端开口的形管内装有水，管的左端封闭着一些空气，水中有一只小试管浮在水面，小试管中也封闭着一些空气。向右管中注入水，则小试管相对左管内的水面变化情况为( )
A．小试管将上浮 B．小试管将向下沉一些
C．小试管将先向下沉一些，再上浮 D．无法判断
33．(上海第14届大同杯初赛)如图7.80所示，两只完全相同的盛水容器放在磅秤上，用细线悬挂质量相同的实心铅球和铝球，全部没入水中此时容器中水面高度相同，设绳的拉力分别为和，磅秤的示数分别为和，则( )
A．， B．，
C．， D．，
34．(上海第13届大同杯初赛)在图7.81中，，的示数分别如图7.81(a)所示，则在图7.81(b)中，，的示数分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
35．(上海第13届大同杯初赛)，，是三个用不同材料制成的体积相同的物体。现将它们用相同的弹簧连接于容器底部，然后在容器中注入水使，，三物体浸没于水中，三物体静止时的位置如图7.82所示，则( )
A．物体的密度最大 B．物体的密度最大
C．物体的密度最大 D．三物体密度相等
36．(上海第13届大同杯初赛)如图7.83所示，铜、铁、铝三个实心球，用细线拴住，全部浸没在水中时，三根细线上的拉力相等，则关于这三个金属球的体积、质量之间的关系，下列判断正确铜铁铝的是( )
A．，
B．，
C．，
D．，
37．(上海第13届大同杯初赛)如图7.84所示，一水槽内装有部分水，水面上浮有一木质小容器，其露出液面的高度为，水的深度为，现从水槽内取少部分水倒入容器内，则会导致( )
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
38．(上海第13届大同杯初赛)如图7.85所示，块浸没在水中，细线对木块的拉力是，剪断细线，待木块静止后，将木块露出水面的部分切去，再在剩余的木块上加向下的压力时，木块有的体积露在水面，则木块的密度约为( )
A． B．
C． D．
39．(上海第10届大同杯初赛)如图7.86所示，现有完全相同的立方块和，将置于的正上方一起放入某液体中，物体正好有部分高出液面，将取走后，浸入水中部分的体积占体积的( )
A． B． C． D．
40．(上海第9届大同杯初赛)图7.87中木块漂浮在水面上，木块上置有铁块而保持平衡。把木块用一轻而短的细线与铁块相连，并将铁块投入水中，则( )
A．铁块与木块将一起沉入水底
B．木块仍漂浮在水面上，但水面高度略有上升
C．木块仍漂浮在水面上，但水面高度略有下降
D．木块排开水的体积变小，水面高度不变
41．(上海第9届大同杯初赛)一种液体的密度随深度而增大，它的变化规律是，式中，是常数，表示深度。设深度足够，有一个密度为的实心小球投入此液体中，且，则正确的判断是( )
A．小球将一沉到底，不再运动
B．小球将漂浮在液面，不能下沉
C．小球经过一段运动过程，最终悬浮在深处
D．小球经过一段运动过程，最终悬浮在深处
42．(上海第2届大同杯初赛)木块乙浮在水面上，木块乙上放有铁块甲，如图7.88所示。此时，木块受到的浮力为，水对圆筒形容器底面的压强为，水面距容器底面的高度为。现将甲取下并沉入水底，则( )
A．将减小 B．将减小
C．将减小 D．液体对容器底部的压力将保持不变
43．(上海第2届大同杯初赛)一冰块内含有某种不溶于水的物体，放入盛有0℃水的量筒内，正好悬浮在水中，如图7.89所示，此时量筒液面升高了；当冰完全融化后，水面又下降了。设量筒的内横截面积为，则该物体的密度为(冰的密度为)( )
A． B．
C． D．
44．(上海第18届大同杯初赛)甲、乙是两个质量相等的空心球，它们的空心部分体积完全相同，甲球恰好能在水中悬浮，，，，则甲、乙两球的体积之比为________；当把乙球放入水中时，乙球露出水面的体积占乙球体积的________。
45．(上海第17届大同杯初赛)把密度为的一长方体木块浸没在水中，至少要在木块下挂一质量为的铁块，则该木块的质量为________，如果改用一不同质量的铁块直接压在木块上，发现木块正好浸没在水中，则该铁块的质量为________。
46．(上海第25届大同杯初赛)一根轻质小弹簧原长为，两端分别连接在容器底部和物体上，将水逐渐注入容器，当物体的一半浸入水中时，弹簧长为，如图7.90(a)所示。把水倒出，改用密度为的油注入容器，当物体全部浸入油中时，弹簧长，如图7.90(b)所示。前后两种情况下物体受到的浮力之比为________；物体的密度为________。
47．(上海第23届大同杯复赛)在一个底面积为、高度为的圆柱形薄壁玻璃容器底部，放入一个边长为的实心正方体物块，然后逐渐向容器中倒人某种液体。图7.91反映了物块对容器底部压力的大小与容器中倒入液体的深度之间的关系。由此可知这种液体的密度大小为________，当倒人液体的深度为时，物块对容器的底部压力的大小为________。
48．(上海第27届大同杯复赛)现有下列实验器材：物理天平一台，盛有水的烧杯一个，铜管材料一小块，蜡(蜡芯材料)一大块和细线若干。某同学在没有测量长度的器材的情况下，利用所给仪器，按照以下实验步骤测量一根已知长度的铜管内径。已知铜管长度，水的密度。请在横线处填写相应的表达式或数据：
①调节物理天平。
②把小铜块分别置于空气中、水中测量，得出平衡时砝码的质量分别为，，则小铜块的密度式为________。
③把小蜡块在空气中称量，平衡时砝码的质量为；把小铜块和小蜡块捆在一起浸没于水中称量，平衡时砝码的质量为。则蜡的密度表达式为________。
④将铜管中塞满蜡。
⑤把含有蜡芯的铜管分别置于空气中和水中称量，平衡时砝码的质量分别为，，则可求出铜管内径。表7.1为某次测量得到的数据。
表7.1
平均值
根据以上数据，求解出铜管内径的值为________。
49．(上海第19届大同杯复赛)某食盐溶液的密度随深度而增大，其变化规律是，式中。为了求出式中的值，现向溶液中投放两只用一根细线系在一起的小球和，每个球的体积为，其质量分别为和。当将球置于水下，球心距水面的距离为时，，两个球在溶液中均处于静止状态，且线是拉紧的，两球心的距离为。试求的值。
参考答案
1．BD。同一物体漂浮在不同液体的液面上，物体所受浮力大小都等于其重力大小，浸没在液体内部的物体所受浮力与深度无关。
2．B。金属箔所受重力不变，漂浮时浮力等于重力，下沉时浮力小于重力。
3．AC。物体排开的液体的体积与容器内液体的体积是不同的概念排开的液体的体积可以小于、等于或大于液体的体积，对应地，物体所受浮力也可以小于等于或大于容器内液体的重力。
4．BD。潜水艇在水面以下时，其排开的水的重力是固定的，即浮力不变。潜艇是通过改变自身重力来实现下潜或者上浮的。下潜时，往水舱里注水，使得重力大于浮力，上浮时，将水舱里的水排出，重力小于浮力。
5．B。平衡后木块漂浮，石块下沉，石块排开水的体积大于木块，石块所受浮力较大。
6．A。溢出的水的体积为，所受重力为。若烧杯内原来的水未装满，则小球排开的液体的重力大于，液体深度增加，水对烧杯底部压强增大；若烧杯内原来装满水，则小球排开的液体的重力等于，液体深度不变，水对烧杯底部压强不变。
7．A。救生圈全部浸没在水中时所受浮力，浮力恰好等于救生圈与人的重力之和，因此仅当救生圈恰好全部浸没而人的体积全部在水面以上时，人和救生圈就可以受力平衡，因此人和救生圈可以漂浮在水面上。
8．C。水桶所受拉力与浮力之和等于桶的总重力，桶离开水面的过程中，排开水的体积变小，浮力变小，则拉力变大。
9．B．设需浮筒个才能使浮筒和木筏漂浮，则根据总浮力等于总重力有，解得。
10．A。设物体的体积为，在水中漂浮时，根据浮力等于物体重力，有，解得，同理，在液体中漂浮时，有，解得。
11．A。地球的引力减小一半，即公式，中的值减半，重力减半。根据，可知不变，吃水深度不变。
12．B。气球下沉过程中，球内气体压强变大，体积缩小气球排开水的体积变小，浮力变小。
13．D。设物体体积为，漂浮在水中时水面以下的体积为，则，故，切去露出水面部分后，剩余木块体积为，设重新漂浮后水面以下的体积为，则，故。
14．C。设冰的总体积为，冰所受浮力等于其重力，则，解得，冰的重力。
15．A。当木块所受浮力等于重力而刚要浮起时，木块对容器底部的压力恰好为零。设此时水的深度为，则。此时水的重力为，则，容器对桌面的压力大小为水与木块重力之和，即，选项正确。
16．B。液体密度关系为，则乙中铁球所受浮力最大，对乙容器的压力最小。
17．B。由于锥形瓶上小下大，因此水对容器底部的压力大于瓶中水的重力，当水对容器底部压力增加时，放入的木块排开的水的重力小于，木块漂浮，木块重力等于排开的水的重力，小于。当放入和时，水对容器底部的压力增加量相同，则水的深度增加相同，由于水面越高，容器横截面积越小，体排开的水的体积越小，即物体浮力越小，重力越小，因此有，选项正确。
18．AD。设试管内外水银面高度差为，横截面积为，重为。则管内气体压强为，又因为试管浮力等于重力，所以。因为不变，所以不变，变大，所以变大，则管内气体体积要变小，即试管要下沉。本题正确选项为。
19．C。当铜块与容器底部紧密结合时，竖直方向上铜块受重力、水向下的压力、容器底部对铜块的支持力，则；当铜块与容器底部留有极小缝隙时，水进入缝隙，水对铜块底部的作用力大小设为，则，可见，，由于缝隙处的水对容器底部的压力也为，可知容器底部所受到的总的压力不变。
20．B。当大气压增大时，气球内气体压强增大体积变小，所受浮力变小，而总重力不变，因此石块将和气球一起下沉。
21．ACD。当柱状物体未浮起或水的深度未超过柱状物体高度时，水的体积增加量满足
①
当柱状物体浮起或水的深度超过柱状物体高度时水的体积增加量满足
②
显然，表格中前三组数据满足①式，后三组数据满足②式，因此可得
解得。
假设水的深度恰好为，水的体积恰好为时，柱状物体恰好浮起或柱状物体恰全部浸入水中，即，恰为①②两式的转折点，应介于和之间，则有
，
解得，。
此时柱状物体浸在水中的体积可见，小于柱状物体体积，若继续注入水，柱状物体将漂浮。且漂浮时不变。柱状物体所受浮力
由于，可求得柱状物体质量为，柱状物体密度
综上所述，本题正确选项为。
22．B。当将虚线以下部分截去时，木块必然下降，同时由于木块排开的水的体积变小，水面也将下降。为了比较木块和水面下降高度的大小，不妨这样处理假设截去虚线以下的部分后，水和木块被施了“定身术”，保持原状不动。然后只将木块下降一个距离，液面位置仍不动，填补一部分被截去的体积，接着，木块和液面保持相对静止一起下降，使得水填补被截去的体积的剩余部分。至此，木块共下降了的高度，水面下降。
23．A。铁球浸入水中之前，水的重心在容器的中心线上，铁球在容器中心线偏右，因此水和铁球整体的重心在容器中心线偏右。当铁球浸没在水中后，被铁球排开的水可以认为平铺在水面上，因此这部分水的重心由原来的偏右变为在中心线上，可见，铁球浸没之后，整体的重心左移，因此变大，变小。
24．A。将甲乙视为一个整体，则前后整体仍受力平衡，所受浮力等于整体重力排开的水的体积也不变，因此水面高度不变，水对容器底部的压强不变。在图7.71(b)中，甲物体全部浸没在水中，则乙排开的水的体积变小，因此木块乙受到的浮力变小。
25．A。甲对木块的压力大小等于细线对木块的拉力大小，则有，其中为乙受到的浮力，，因此可解得。
26．C。水温为90℃时，物体悬浮，说明物体密度等于90℃水的密度，当水温降低为10℃时，水的体积收缩，密度变大，大于物体密度，因此物体上浮。
27．A．设甲、乙体积为，甲的边长为，乙的半径为，则，，解得，，可见。假设甲、乙静止时它们的中心在同一深度，由于，则乙的弹簧伸长较小，弹力较小。因为溶液的密度随深度增加而均匀增加，且甲、乙形状规则，因此甲、乙排开的液体的平均密度等于它们中心所在处的液体密度，即甲、乙排开液体的重力相等，浮力相等。但是乙球受弹簧弹力较小，乙球不能平衡，将再下降一些，这样，乙最终所受浮力较大，弹簧弹力较小，因此，甲所受弹簧弹力大于乙所受弹簧弹力。
28．D。物体所受的浮力等于液体对物体向上、向下的压力差。假设物体底部与容器底部之间有水渗入，则物体受到的浮力为，设水对梯形物体上底面和下底面的压力分别为，，则，设水对梯形物体侧面的压力的合力为，则有，由于梯形物体底部与容器底部紧密接触，实际上并不存在，物体实际受到的浮力应为与的合力，即
本题极易犯的错误是，误以为梯形物体下底面积正上方的体积不受浮力，而其余部分受浮力，整个梯形物体所受浮力等于其余部分所受浮力，而错选选项。这样的做法忽略了浮力是物体所受水的所有压力的合力，虽然梯形物体底面不受水的压力但是整个上底都受水的压力，要考虑进去。
29．C。设铁链的平均横截面积为，单位长度的重力为，则。又由题可知。当球平衡时，设球心距池底为，则球下方被带起的铁链长度为，球与被带起的铁链所受重力之和等于它们的浮力之和，有
将等数据代入，可解得。
30．C。提示：由于容器不是圆柱形，杯底压力的增加量不等于漂浮物体受到的重力。。
31．C。设冰的质量为，冰全部融化成水后，体积减少，可解得，。设物块的质量为，根据冰融化前系统悬浮，可知冰与的平均密度等于水的密度，有，解得，代入数据并考虑到物块密度的取值范围，可得，因此选项正确。
32．B。向右管中注入水，右边水位上升，则形管左边空气的压强增大，小试管内的气体压强也将增大，内部气体体积减小，试管内水柱升高。又因为试管的质量不变，要维持试管平衡，浮力不变，即内部液位与外部液位的高度差不变。综合上面两个结论，试管顶部相对外部液面会下降，所以小试管相对左管内的水面会下沉一些。
33．C。细线的拉力等于球的重力与浮力之差，即，因为球的质量相同，球的密度越大，则线的拉力越大，即。由于容器为圆柱形，水面高度相同，因此水对容器底部的压力相同，磅秤的读数等于水对容器底部的压力与容器重力之和，所以。
34．D。物体所受浮力为，排开水的重力为，所以图7.81(b)中的读数为。用整体法，得的读数为。
35．C。设物体体积为，密度为，则由物体受力平衡，可得弹簧拉力，可以看出弹簧伸长越多，弹力越大，物体密度越小。
36．D。设球的质量为，体积为，则球的密度，球的重力，球所受浮力，则细线的拉力，将和代入，可分别得到
①
②
由①可得，球密度越大，球质量就越小，即。由②可知，球密度越大，球体积就越小，即。
37．B。倒入容器中的水原来在容器中悬浮倒人容器后，和容器一起漂浮，因此前后这些水和容器的总浮力不变，排开水的总体积不变，所以H不变。但是容器所受浮力增大，容器水面以下的体积变大，减小。
38．B。设木块体积为，密度为，则细线拉力等于木块所受浮力与重力之差，即，剪断细线后木块漂浮时，排开水的体积设为，则。在剩余的木块上加向下的压力时，有，由以上各式解得。
39．B。设，的质量和体积分别为，，则在上时，有，取下后，设在水中的体积为，则，解得。
40．D。木块与铁块漂浮在水面上，则它们的平均密度小于水的密度。用细线将铁块吊于木块下方后，它们的平均密度不变，仍将漂浮在水面上。由于总重力不变，因此总浮力不变，排开的液体体积不变，所以水面高度不变。因为铁块吊在木块下后铁块也排开了一部分水，因此木块排开的水的体积变小。
41．D。由于液体密度随深度线性增加，小球为规则的对称形状，小球排开的液体的平均密度等于其球心所在深度的液体密度，当小球球心所处深度处的液体密度等于小球密度时，小球将悬浮，有，解得。
42．ABC。两者一起漂浮时，浮力等于总重力，。铁块沉入水底后，铁块受容器底部的支持力的作用，仍将铁块和木块视为个整体，则整体所受浮力满足，可见浮力减小，两者排开的水的总体积变小，液面应下降，液体对容器底部的压力变小。
43．C。冰融化前，冰和物体排开的水的体积为，则，解得，冰融化而成的水的体积比原来冰的体积减小了，且，解得，则。融化前冰的体积，则物体的体积为，物体密度物。
44．6:7，。设甲、乙实心部分的体积分别为，，空心部分的体积为，则根据甲恰好能悬浮在水中，可得，解得。再由甲球与乙球质量相等，有，解得。因此甲、乙两球体积之比。设乙排开水的体积为，则，，乙球露出水面的体积为，即乙球露出水面的体积占乙球体积的。
45．，。挂上铁块平衡后，整体重力等于浮力之和，有
解得。当另一铁块压在木块上时，有
解得。
46．5:8；300。设物块体积为，则所受浮力之比。设物块密度为，弹簧劲度系数为，对由力的平衡，可得
，
由以上两式消去，可得。
47．，。设圆柱体底面积为，当水的深度为时圆柱体对容器底部的压力的大小等于它的重力与所受浮力之差，即，结合图像截距与斜率绝对值可知，斜率的绝对值，解得。当水的深度后，圆柱体全部浸没所受浮力不再随水深变化，圆柱体此后所受浮力恒为，则圆柱体对容器底部压力，不再变化。
48．，，。(1)设铜块的体积为，物体受到水的浮力，解得，物体的密度。
(2)蜡块和铜块捆在一起后总体积设为，则，解得，蜡块的体积，蜡块的密度。(3)设铜管的质量为，铜管内蜡芯的质量为，则，即，又铜管和蜡芯的体积，且，由以上各式可解得。
49．由题意可知，，所以球应在球下方，球所处深度为。，两球排开液体的平均密度等于它们球心深度处液体的密度，根据平衡条件，有，代人数据解得。
第四节 浮力
一、浮力的概念
浮力是指浸在液体或者气体中的物体受到的液体或气体向上的托力。浮力通常用表示，浮力的方向为竖直向上，与物体所受重力的方向相反。
二、浮力的计算
1．利用物体上下表面所受压力差来计算浮力
浮力实际上是物体各个表面所受到的液体或者气体的压力的合力，由于物体侧面的压力互相平衡，浮力即等于物体上下表面的压力差。即，其中为物体下表面所受的向上的压力，为物体上表面所受的向下的压力。
2．利用称重法计算浮力
如图7.53所示，先在空气中称物体重力，弹簧测力计示数为，然后将物体用弹簧测力计吊着，完全浸没在液体中，弹簧测力计示数为，则物体所受浮力为。
3．利用阿基米德原理计算浮力
公元前245年，古希腊著名学者阿基米德发现了浮力原理，即我们所说的阿基米德原理：物体受到的浮力等于它排开的液体的重力。阿基米德原理对气体也同样适用。写成公式为。其中，是物体排开的液体的体积，等于物体在液面以下部分的体积。
4．利用平衡条件计算浮力
当物体在浮力与其他力的作用下处于平衡状态时，可以利用物体所受合力为零来计算浮力大小。
当物体漂浮或者悬浮在液体中时，物体所受浮力与重力平衡，即；当物体下沉在容器底部时，物体除了受浮力、重力以外，还受到容器底部的支持力的作用，此时有，即。
例1 (上海第29届大同杯初赛)如图7.54所示，浸入某液体中的物体恰好悬浮。物体的上、下表面积分别为，，并且，此时物体下表面与上表面受到液体的压力差为。现用手将物体缓慢下压一段距离，松手后( )
A．物体保持悬浮，因为不变
B．物体保持悬浮，但变大
C．物体将上浮，因为变
D．物体将下沉，因为变小
分析与解 物体悬浮在液体中，所受浮力等于它的重力，即。设液体对物体上、下表面以及对侧面的压力的合力分别为，和，易知竖直向下，则有，考虑到，有.当将物体缓慢下压后，增加，但物体排开液体的体积不变，即浮力仍等于重力，因此变大，选项正确。
例2 (上海第19届大同杯初赛)在图7.55(a)中，石料在钢绳拉力的作用下从水面上方以恒定的速度下降，直至全部没入水中。图.55(b)是钢绳拉力随时间变化的图像。若不计水的摩擦力，则可算出该石料的密度为( )
A． B．
C． D．
分析与解 物体未放入水中时，钢绳拉力等于物体重，有，设物体体积为，物体全部浸没在水中时，所受浮力为，两式相除，得.选项正确。
例3 如图7.56所示，一根细绳悬挂一个半径为、质量为的半球，半球的底面与容器底部紧密接触，此容器内液体的密度为，高度为，大气压强为，已知球体的体积公式是，求：
(1)半球面受到的水向下的压力的大小是多少？
(2)若要把半球从水中拉起，则至少要用多大的竖直向上的拉力？
分析与解 (1)由于半球底面与容器底部紧密接触，半球并不受浮力作用。但是，我们可以假设半球与容器底部存在极小的缝隙(这并不会改变半球上表面受到的水的压力)，从而半球底部受到水向上的压力，半球面受到水垂直于球表面的压力作用，这些压力的合力竖直向下，记为，如图7.57所示。则半球受到的浮力，其中，，可得。
(2)若要把半球从水中拉起，则竖直向上的最小拉力应等于半球重力与之和，因此。
三、物体的浮沉条件
设密度为、体积为的液体浸没在密度为的液体中，物体所受浮力，物体所受重力。根据与的关系可以判断物体最终的浮沉情况：
(1)若，即，则物体上浮，最终会露出水面而静止，这个状态称为漂浮。
(2)若，即，则物体静止在液体内，这个状态称为悬浮。处于漂浮和悬浮状态的物体，它们所受到的浮力都等于各自的重力。
(3)若，即，则物体将下沉，最终静止在容器底部。此时物体受到容器底部的支持力作用，满足。
我们可以根据物体密度与液体密度的关系，来判断物体置于液体中时所处的状态。当几个物体连接成一个整体时，判断物体的浮沉状态可以比较物体的平均密度与液体密度的大小关系。
例4 (上海第19届大同杯复赛)如图7.58所示，用细线将木块和金属块连接在一起，放入水中，恰好悬浮在水中。此时，受到________个力的作用。若木块的密度为，木块与金属块的体积之比为79:2，则金属块的密度为________。
分析与解 ，物体均受重力、浮力的作用，细线对有无拉力，可判断如下：，组成的整体悬浮在水中，它们的平均密度等于水的密度，由于的密度比水小，则的密度一定比水大，即本应下沉，因此细线对有向上的拉力，物体受三个力的作用。，整体的平均密度，将代入，得。
对于漂浮的物体，物体只有一部分体积浸没在液面以下，其余部分体积露出液面。设物体密度为，体积为，物体在液面以下的体积为，则根据浮力等于物体重力，有，即，可见，若液不变，与物体密度成正比，即在同一液体中，密度越大的物体漂浮时液面以下的体积占总体积的比例越大；若物体密度不变，越大，物体漂浮时液面以下的体积占总体积的比例越小。根据这一原理人们制成了可以测量液体密度的“密度计”。
例5 (上海第15届大同杯初赛改编)一个密度计，其刻度部分的，两点分别是最上面和最下面的刻度位置，如图7.59所示，这个密度计的测量范围是，则：A
(1)刻度对应的密度值为________。
(2)把这个密度计放入某种液体中，液面的位置恰好在的中点，则这种液体的密度为________。
(3)密度计的刻度线________(选填“均匀”或“不均匀”)该密度计测量密度较________(选填“大”或“小”)的液体密度时，测量误差较大。
分析与解 (1)密度计重力恒定，放在液体中漂浮时，所受浮力等于重力。若放入液体中时，液面以下的体积较大，则说明该液体密度较小，因此，刻度对应的密度值应较小，等于。
(2)设密度计重力为，横截面积为，，，刻度线对应的密度分别为，，；，，刻度线以下的长度分别为，，。由二力平衡，有，解得，同理，，。因此有。由于为，的中点，则刻度线以下的长度，得，因此解得。
(3)由(2)可知，待测液体的密度与密度计在液面以下的长度成反比例关系，密度计的刻度并不是均匀的。液体密度与密度计在液面以下的长度的关系如图7.60所示，则当较小(即较大)时，变化很小，变化很大，在密度计底部，刻度线较密集，由此带来的测量误差也较大。
例6 (上海第12届大同杯初赛)甲、乙、丙三个完全相同的长方体木块，把它们分别放在三种密度不同的液体里，木块静止时浸入液体的情况是：甲木块大部分浸入；乙木块一半浸入；丙木块小部分浸，如图7.61所示。若将三木块露出液面部分切除后，剩下部分分别放入原容器中，则木块露出液面部分的体积( )
A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多
分析与解 漂浮的物体，将露出水面的部分截去后，剩余部分仍将漂浮。为了得出剩余部分露出水面的体积与哪些因素有关，不妨设题中物体密度为，体积为，设液体密度为，物体在液面以下的体积为，则根据浮力等于物体重力，有，解得将露出液面部分截去后，剩余部分在液面下的体积为，新露出的部分，将视为一个整体，并配方，可得
可见，当时，取得最大值。
现对长方体与三种液体的密度关系进行分析，根据，可知甲物块所放的液体密度小于物块密度的一半，乙物块所放的液体密度恰等于物块密度的一半，而丙物块所放的液体密度大于物块密度的一半，因此本题正确选项为。
例7 (上海第18届大同杯初赛)某溶液的密度随溶液深度按照规律变化，其中，.用不可伸长、长度为的细线将，两个立方块连在一起并放进溶液内。已知，，，则平衡时立方块中心所在的深度为________，细线上的拉力为________。(假设溶液足够深)
分析与解 设系统平衡时，的中心所处深度为，则的中心所处深度为。系统所受浮力等于它们排开的液体的重力。由于液体密度随深度线性变化，因此，物体排开的液体的平均密度等于，的中心深度处的液体密度，结合力的平衡知识，有，其中，，联立并代入数据可得。设绳子的拉力为，对受力分析，有，可解得。
练习题
1．(上海第31届大同杯初赛)关于浮力，正确的叙述是( )
A．同一物体，漂浮在不同液体的液面上时，物体所受的浮力不同
B．物体完全浸没在密度均匀的液体中，在不同的深度它所受浮力相同
C．同一物体漂浮在液面时所受浮力一定大于沉到液体内部时所受的浮力
D．漂浮在液面的物体，它的重力一定等于所受的浮力
2．(上海第29届大同杯初赛)金属箔是由密度大于水的材料制成的。取一片金属箔做成容器，放在盛有水的烧杯中，发现它漂浮在水面上然后再将此金属箔揉成团放入水中，金属箔沉入水底。比较前后两种情况，下列说法正确的是( )
A．金属箔漂浮时受到的重力比它沉底时受到的重力小
B．金属箔漂浮时受到的浮力比它沉底时受到的浮力大
C．金属箔沉底时受到的浮力等于它的重力
D．金属箔沉底时排开水的体积与它漂浮时排开水的体积相等
3．(上海第29届大同杯初赛)重的水对漂浮于其中的物体所产生的浮力( )
A．可以小于 B．不可能等于
C．可以大于 D．不可能大于
4．(上海第28届大同杯初赛)某潜艇在海面下隐蔽地跟踪某个目标，现根据战时需要上浮或下潜(但始终未露出海面)，在下潜过程中潜水艇所受重力为，浮力为；在上浮过程中所受重力为，浮力为。则( )
A．， B．，
C．， D．，
5．(上海第26届大同杯初赛)将体积相同的木和石块浸没在水中，松手后，木块上浮，石块下沉，平衡后，则两物体所受的浮力( )
A．木块大 B．石块大 C．一样大 D．无法确定
6．(上海第23届大同杯初赛)水平桌面上的烧杯内装有一定量的水轻轻放入一个小球后，从烧杯中溢出的水，则下列判断中正确的是( )
A．小球所受浮力可能等于 B．小球的质量可能小于
C．小球的体积一定等于 D．水对烧杯底的压强一定增大
7．(上海第20届大同杯初赛)体积为的救生圈重，体重为的人在水中使用这个救生圈时( )
A．人和救生圈漂浮在水面上 B．人和救生圈悬浮在水中
C．人和救生圈下沉到水底 D．以上情况都有可能
8．(上海第15届大同杯初赛)用水桶从井中提水，在水桶逐渐提离水面的过程中，关于人所用力的大小，下列叙述中正确的是( )
A．用力变大，因为水桶所受重力变大
B．用力变小，因为水桶排开水的体积变小
C．用力变大，因为水桶所受的浮力变小
D．用力不变，因为水桶所受的重力不变
9．(上海第19届大同杯初赛)将质量为的大木筏置于若干个浮筒上，为了安全起见，每个浮筒至少要有1/3体积露出水面。设每个浮筒的质量均为，体积为，则至少需要这样的浮筒( )。
A．个 B．个 C．个 D．个
10．(上海第15届大同杯初赛)将某物体放人水中，有1/5的体积露出水面；将该物体放入某液体中，有1/6的体积露出液面，则( )
A．物体的密度为，液体的密度为
B．物体的密度为，液体的密度为
C．物体的密度为，液体的密度为
D．物体的密度为，液体的密度为
11．(上海第14届大同杯初赛)设想从某一天起，地球的引力减小一半，那么对于漂浮在水面上的船来说，下列说法中正确的是( )
A．船受到的重力将减小，船的吃水深度仍不变
B．船受到的重力将减小，船的吃水深度也减小
C．船受到的重力将不变，船的吃水深度也不变
D．船受到的重力将不变，船的吃水深度将减小
12．(上海第14届大同杯初赛)一石块和玩具气球(气球内充有空气)捆在一起，浸没在水中下沉，它们在水里下沉的过程中，受到的浮力将( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先减小后增大
13．(上海第14届大同杯初赛)浮在水面上的长方体木块的密度为，水的密度为，将木块浮在水面以上的部分切去，木块又会上浮待稳定后再次切去水面以上的部分，剩余木块的体积正好是原来的1/2，则可判断为( )
A．1:4 B．1:3 C．1:2 D．1:2
14．(上海第12届大同杯初赛)冰块漂浮在水面，露出水面部分的体积为，冰的密度为，水的密度为，则这块冰所受到的重力为( )
A． B． C． D．
15．(上海第30届大同杯初赛)如图7.62所示，水平桌面上放置一底面积为的轻质圆柱形容器，容器足够深。在容器中放入底面积为、质量为的圆柱形木块。在容器中缓慢加入水，当木块对容器底部的压力恰好为零时，容器对桌面的压力大小为( )
A． B．
C． D．
16．(上海第17届大同杯初赛)如图7.63所示在甲、乙、丙三个相同的容器中盛有质量相等的不同种类的液体，将三个相同的铁球分别下沉到各容器底部，当铁球静止时，试比较三容器底部所受铁球的压力( )
A．甲最小 B．乙最小 C．丙最小 D．大小一样
17．(上海第19届大同杯初赛)如图7.64所示，在一个开口锥形瓶内注入适量水，然后将它放在水平桌面上。此时水对锥形瓶底的压力为；现在锥形瓶内放入一个重为的木块，水对锥形瓶底的压力变为；在锥形瓶内再放入一个重为的木块，水对锥形瓶底的压力变为。木块与锥形瓶始终不接触，则( )
A． B．
C． D．
18．(上海第30届大同杯初赛)如图7.65所示，小试管倒插在广口瓶内的水银中，此时试管恰好浮于水银面。现由于天气变化的原因，大气压强稍增大，其他条件不变，则( )
A．试管略微下沉 B．试管内封闭气体的体积变大
C．试管内外的水银面高度差变大 D．试管内封闭气体的压强变大
19．(上海第31届大同杯初赛)如图7.66所示，在柱状容器内放入一块长方体实心铜块，然后缓慢注入水，并且使铜块与容器底紧贴(使水不进入铜块与容器底部之间的接触处)。此时容器底部所承受的压力大小为，若略微抬起铜块，使水进入接触处，待铜块稳定后，容器底部所承受的压力大小为，则( )
A． B． C． D．无法判断
20．(上海第26届大同杯初赛)如图7.67所示，器内盛有部分水，气球下面悬挂一石块，它们恰好悬浮在水中，若大气压增大，则石块将( )
A．上浮 B．下沉 C．静止 D．先上浮后下沉
21．(上海第26届大同杯初赛)如图7.68所示，柱状容器内放入一个体积为的柱状物体，现不断向容器内注入水，并记录水的总体积和所对应水的深度，如下表所示。则下列判断中正确的是( )
60
120
180
240
300
360
5
10
15
19
22
25
A．柱状物体的底面积为
B．柱状容器的底面积为
C．柱状物体的密度为
D．柱状物体所受的最大浮力为
22．(上海第25届大同杯初赛)如图7.69所示，密度均匀的长方体木块漂浮在水面上。若将木块虚线以下的部分截去，则( )
A．木块和水面均下降，且下降的高度相同
B．木块和水面均下降，且木块下降的高度更大
C．木块和水面均下降，且水面下降的高度更大
D．木块下降，水面上升，且变化的高度不相同
23．(上海第24届大同杯初赛)在盛水的长方体容器上方的横木上，用细线竖直悬挂一个实心铁球，铁球位于水面上方。容器置于两支撑物上而保持静止，如图7.70所示。容器对左边支撑物的压力为，对右边支撑物的压力为。现将线放长，使铁球浸没在水里，则( )。
A．变大，变小 B．变小，变大
C．，均变大 D．，均不变
24．(上海第22届大同杯初赛)如图7.71(a)所示在盛有水的圆筒形容器内，铁块甲放在木块乙上，木块乙浮在水面上，木块受的浮力为，水对容器底部的压强为，水面距容器底部的高度为。现将甲取下并用轻绳系在乙的下方，如图7.71(b)所示，则( )
A．浮力减小 B．压强减小
C．高度减小 D．甲受到的合力减小
25．(上海第22届大同杯初赛)如图7.72所示，在一块浮在水面的长方体木块上放一质量为的铁块甲，木块恰好浸没在水中。拿掉铁块甲，用细线把铁块乙系在木块下面，木块也恰好浸没在水中，则铁块乙的质量为( )
A． B． C． D．
26．(上海第18届大同杯初赛)如图7.73所示，烧杯内装有90℃的热水，一物块正好悬浮在水杯内，当水的温度降至10℃的过程中，物块将( )
A．下沉 B．悬浮 C．上浮 D．上下振动
27．(上海第16届大同杯初赛)如图7.74所示，完全相同的两根弹簧，下面挂两个质量相同、形状不同的实心铁块，其中甲是立方体，乙是球体。现将两个铁块完全浸没在某盐水溶液中，该溶液的密度随深度增加而均匀增加。待两铁块静止后，甲、乙两铁块受到的弹簧的拉力相比较( )。
A．甲比较大 B．乙比较大 C．一样大 D．无法确定
28．(上海第16届大同杯初赛)有一个梯形物体浸没在水中，如图7.75所示，水的密度为，深度为，物块高度为，体积为，较小的下底面面积为，与容器底紧密接触，其间无水。则该物体所受的浮力为( )
A． B．
C． D．
29．(上海第16届大同杯初赛)铁链条的一端系着质量、直径的实心球，另一端空着。链条长，质量，带有链条的球浸没在水池里，如图7.76所示。球的体积公式为，本题中设。当球平衡时，球心离池底的距离为( )
A． B． C． D．
30．(上海第15届大同杯初赛)如图7.77所示，圆台形玻璃杯开口直径为，底面直径为，总高度为，内装水，水面高，现向杯内投一质量为的木块，木块浮在水面上，水面上升了，这时杯底内表面受到的压力增加了( )
A． B． C． D．
31．(上海第15届大同杯初赛)如图7.78所示一冰块下面悬吊一物块，正好悬浮在水中，物块的密度为，且，冰块融化后，水面下降了。设量筒的内横截面积为，冰的密度为，水的密度为，则可判断物块的质量可能为( )
A． B． C． D．
32．(上海第14届大同杯初赛)如图7.79所示在一个一端开口的形管内装有水，管的左端封闭着一些空气，水中有一只小试管浮在水面，小试管中也封闭着一些空气。向右管中注入水，则小试管相对左管内的水面变化情况为( )
A．小试管将上浮 B．小试管将向下沉一些
C．小试管将先向下沉一些，再上浮 D．无法判断
33．(上海第14届大同杯初赛)如图7.80所示，两只完全相同的盛水容器放在磅秤上，用细线悬挂质量相同的实心铅球和铝球，全部没入水中此时容器中水面高度相同，设绳的拉力分别为和，磅秤的示数分别为和，则( )
A．， B．，
C．， D．，
34．(上海第13届大同杯初赛)在图7.81中，，的示数分别如图7.81(a)所示，则在图7.81(b)中，，的示数分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
35．(上海第13届大同杯初赛)，，是三个用不同材料制成的体积相同的物体。现将它们用相同的弹簧连接于容器底部，然后在容器中注入水使，，三物体浸没于水中，三物体静止时的位置如图7.82所示，则( )
A．物体的密度最大 B．物体的密度最大
C．物体的密度最大 D．三物体密度相等
36．(上海第13届大同杯初赛)如图7.83所示，铜、铁、铝三个实心球，用细线拴住，全部浸没在水中时，三根细线上的拉力相等，则关于这三个金属球的体积、质量之间的关系，下列判断正确铜铁铝的是( )
A．，
B．，
C．，
D．，
37．(上海第13届大同杯初赛)如图7.84所示，一水槽内装有部分水，水面上浮有一木质小容器，其露出液面的高度为，水的深度为，现从水槽内取少部分水倒入容器内，则会导致( )
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
38．(上海第13届大同杯初赛)如图7.85所示，块浸没在水中，细线对木块的拉力是，剪断细线，待木块静止后，将木块露出水面的部分切去，再在剩余的木块上加向下的压力时，木块有的体积露在水面，则木块的密度约为( )
A． B．
C． D．
39．(上海第10届大同杯初赛)如图7.86所示，现有完全相同的立方块和，将置于的正上方一起放入某液体中，物体正好有部分高出液面，将取走后，浸入水中部分的体积占体积的( )
A． B． C． D．
40．(上海第9届大同杯初赛)图7.87中木块漂浮在水面上，木块上置有铁块而保持平衡。把木块用一轻而短的细线与铁块相连，并将铁块投入水中，则( )
A．铁块与木块将一起沉入水底
B．木块仍漂浮在水面上，但水面高度略有上升
C．木块仍漂浮在水面上，但水面高度略有下降
D．木块排开水的体积变小，水面高度不变
41．(上海第9届大同杯初赛)一种液体的密度随深度而增大，它的变化规律是，式中，是常数，表示深度。设深度足够，有一个密度为的实心小球投入此液体中，且，则正确的判断是( )
A．小球将一沉到底，不再运动
B．小球将漂浮在液面，不能下沉
C．小球经过一段运动过程，最终悬浮在深处
D．小球经过一段运动过程，最终悬浮在深处
42．(上海第2届大同杯初赛)木块乙浮在水面上，木块乙上放有铁块甲，如图7.88所示。此时，木块受到的浮力为，水对圆筒形容器底面的压强为，水面距容器底面的高度为。现将甲取下并沉入水底，则( )
A．将减小 B．将减小
C．将减小 D．液体对容器底部的压力将保持不变
43．(上海第2届大同杯初赛)一冰块内含有某种不溶于水的物体，放入盛有0℃水的量筒内，正好悬浮在水中，如图7.89所示，此时量筒液面升高了；当冰完全融化后，水面又下降了。设量筒的内横截面积为，则该物体的密度为(冰的密度为)( )
A． B．
C． D．
44．(上海第18届大同杯初赛)甲、乙是两个质量相等的空心球，它们的空心部分体积完全相同，甲球恰好能在水中悬浮，，，，则甲、乙两球的体积之比为________；当把乙球放入水中时，乙球露出水面的体积占乙球体积的________。
45．(上海第17届大同杯初赛)把密度为的一长方体木块浸没在水中，至少要在木块下挂一质量为的铁块，则该木块的质量为________，如果改用一不同质量的铁块直接压在木块上，发现木块正好浸没在水中，则该铁块的质量为________。
46．(上海第25届大同杯初赛)一根轻质小弹簧原长为，两端分别连接在容器底部和物体上，将水逐渐注入容器，当物体的一半浸入水中时，弹簧长为，如图7.90(a)所示。把水倒出，改用密度为的油注入容器，当物体全部浸入油中时，弹簧长，如图7.90(b)所示。前后两种情况下物体受到的浮力之比为________；物体的密度为________。
47．(上海第23届大同杯复赛)在一个底面积为、高度为的圆柱形薄壁玻璃容器底部，放入一个边长为的实心正方体物块，然后逐渐向容器中倒人某种液体。图7.91反映了物块对容器底部压力的大小与容器中倒入液体的深度之间的关系。由此可知这种液体的密度大小为________，当倒人液体的深度为时，物块对容器的底部压力的大小为________。
48．(上海第27届大同杯复赛)现有下列实验器材：物理天平一台，盛有水的烧杯一个，铜管材料一小块，蜡(蜡芯材料)一大块和细线若干。某同学在没有测量长度的器材的情况下，利用所给仪器，按照以下实验步骤测量一根已知长度的铜管内径。已知铜管长度，水的密度。请在横线处填写相应的表达式或数据：
①调节物理天平。
②把小铜块分别置于空气中、水中测量，得出平衡时砝码的质量分别为，，则小铜块的密度式为________。
③把小蜡块在空气中称量，平衡时砝码的质量为；把小铜块和小蜡块捆在一起浸没于水中称量，平衡时砝码的质量为。则蜡的密度表达式为________。
④将铜管中塞满蜡。
⑤把含有蜡芯的铜管分别置于空气中和水中称量，平衡时砝码的质量分别为，，则可求出铜管内径。表7.1为某次测量得到的数据。
表7.1
平均值
根据以上数据，求解出铜管内径的值为________。
49．(上海第19届大同杯复赛)某食盐溶液的密度随深度而增大，其变化规律是，式中。为了求出式中的值，现向溶液中投放两只用一根细线系在一起的小球和，每个球的体积为，其质量分别为和。当将球置于水下，球心距水面的距离为时，，两个球在溶液中均处于静止状态，且线是拉紧的，两球心的距离为。试求的值。
参考答案
1．BD。同一物体漂浮在不同液体的液面上，物体所受浮力大小都等于其重力大小，浸没在液体内部的物体所受浮力与深度无关。
2．B。金属箔所受重力不变，漂浮时浮力等于重力，下沉时浮力小于重力。
3．AC。物体排开的液体的体积与容器内液体的体积是不同的概念排开的液体的体积可以小于、等于或大于液体的体积，对应地，物体所受浮力也可以小于等于或大于容器内液体的重力。
4．BD。潜水艇在水面以下时，其排开的水的重力是固定的，即浮力不变。潜艇是通过改变自身重力来实现下潜或者上浮的。下潜时，往水舱里注水，使得重力大于浮力，上浮时，将水舱里的水排出，重力小于浮力。
5．B。平衡后木块漂浮，石块下沉，石块排开水的体积大于木块，石块所受浮力较大。
6．A。溢出的水的体积为，所受重力为。若烧杯内原来的水未装满，则小球排开的液体的重力大于，液体深度增加，水对烧杯底部压强增大；若烧杯内原来装满水，则小球排开的液体的重力等于，液体深度不变，水对烧杯底部压强不变。
7．A。救生圈全部浸没在水中时所受浮力，浮力恰好等于救生圈与人的重力之和，因此仅当救生圈恰好全部浸没而人的体积全部在水面以上时，人和救生圈就可以受力平衡，因此人和救生圈可以漂浮在水面上。
8．C。水桶所受拉力与浮力之和等于桶的总重力，桶离开水面的过程中，排开水的体积变小，浮力变小，则拉力变大。
9．B．设需浮筒个才能使浮筒和木筏漂浮，则根据总浮力等于总重力有，解得。
10．A。设物体的体积为，在水中漂浮时，根据浮力等于物体重力，有，解得，同理，在液体中漂浮时，有，解得。
11．A。地球的引力减小一半，即公式，中的值减半，重力减半。根据，可知不变，吃水深度不变。
12．B。气球下沉过程中，球内气体压强变大，体积缩小气球排开水的体积变小，浮力变小。
13．D。设物体体积为，漂浮在水中时水面以下的体积为，则，故，切去露出水面部分后，剩余木块体积为，设重新漂浮后水面以下的体积为，则，故。
14．C。设冰的总体积为，冰所受浮力等于其重力，则，解得，冰的重力。
15．A。当木块所受浮力等于重力而刚要浮起时，木块对容器底部的压力恰好为零。设此时水的深度为，则。此时水的重力为，则，容器对桌面的压力大小为水与木块重力之和，即，选项正确。
16．B。液体密度关系为，则乙中铁球所受浮力最大，对乙容器的压力最小。
17．B。由于锥形瓶上小下大，因此水对容器底部的压力大于瓶中水的重力，当水对容器底部压力增加时，放入的木块排开的水的重力小于，木块漂浮，木块重力等于排开的水的重力，小于。当放入和时，水对容器底部的压力增加量相同，则水的深度增加相同，由于水面越高，容器横截面积越小，体排开的水的体积越小，即物体浮力越小，重力越小，因此有，选项正确。
18．AD。设试管内外水银面高度差为，横截面积为，重为。则管内气体压强为，又因为试管浮力等于重力，所以。因为不变，所以不变，变大，所以变大，则管内气体体积要变小，即试管要下沉。本题正确选项为。
19．C。当铜块与容器底部紧密结合时，竖直方向上铜块受重力、水向下的压力、容器底部对铜块的支持力，则；当铜块与容器底部留有极小缝隙时，水进入缝隙，水对铜块底部的作用力大小设为，则，可见，，由于缝隙处的水对容器底部的压力也为，可知容器底部所受到的总的压力不变。
20．B。当大气压增大时，气球内气体压强增大体积变小，所受浮力变小，而总重力不变，因此石块将和气球一起下沉。
21．ACD。当柱状物体未浮起或水的深度未超过柱状物体高度时，水的体积增加量满足
①
当柱状物体浮起或水的深度超过柱状物体高度时水的体积增加量满足
②
显然，表格中前三组数据满足①式，后三组数据满足②式，因此可得
解得。
假设水的深度恰好为，水的体积恰好为时，柱状物体恰好浮起或柱状物体恰全部浸入水中，即，恰为①②两式的转折点，应介于和之间，则有
，
解得，。
此时柱状物体浸在水中的体积可见，小于柱状物体体积，若继续注入水，柱状物体将漂浮。且漂浮时不变。柱状物体所受浮力
由于，可求得柱状物体质量为，柱状物体密度
综上所述，本题正确选项为。
22．B。当将虚线以下部分截去时，木块必然下降，同时由于木块排开的水的体积变小，水面也将下降。为了比较木块和水面下降高度的大小，不妨这样处理假设截去虚线以下的部分后，水和木块被施了“定身术”，保持原状不动。然后只将木块下降一个距离，液面位置仍不动，填补一部分被截去的体积，接着，木块和液面保持相对静止一起下降，使得水填补被截去的体积的剩余部分。至此，木块共下降了的高度，水面下降。
23．A。铁球浸入水中之前，水的重心在容器的中心线上，铁球在容器中心线偏右，因此水和铁球整体的重心在容器中心线偏右。当铁球浸没在水中后，被铁球排开的水可以认为平铺在水面上，因此这部分水的重心由原来的偏右变为在中心线上，可见，铁球浸没之后，整体的重心左移，因此变大，变小。
24．A。将甲乙视为一个整体，则前后整体仍受力平衡，所受浮力等于整体重力排开的水的体积也不变，因此水面高度不变，水对容器底部的压强不变。在图7.71(b)中，甲物体全部浸没在水中，则乙排开的水的体积变小，因此木块乙受到的浮力变小。
25．A。甲对木块的压力大小等于细线对木块的拉力大小，则有，其中为乙受到的浮力，，因此可解得。
26．C。水温为90℃时，物体悬浮，说明物体密度等于90℃水的密度，当水温降低为10℃时，水的体积收缩，密度变大，大于物体密度，因此物体上浮。
27．A．设甲、乙体积为，甲的边长为，乙的半径为，则，，解得，，可见。假设甲、乙静止时它们的中心在同一深度，由于，则乙的弹簧伸长较小，弹力较小。因为溶液的密度随深度增加而均匀增加，且甲、乙形状规则，因此甲、乙排开的液体的平均密度等于它们中心所在处的液体密度，即甲、乙排开液体的重力相等，浮力相等。但是乙球受弹簧弹力较小，乙球不能平衡，将再下降一些，这样，乙最终所受浮力较大，弹簧弹力较小，因此，甲所受弹簧弹力大于乙所受弹簧弹力。
28．D。物体所受的浮力等于液体对物体向上、向下的压力差。假设物体底部与容器底部之间有水渗入，则物体受到的浮力为，设水对梯形物体上底面和下底面的压力分别为，，则，设水对梯形物体侧面的压力的合力为，则有，由于梯形物体底部与容器底部紧密接触，实际上并不存在，物体实际受到的浮力应为与的合力，即
本题极易犯的错误是，误以为梯形物体下底面积正上方的体积不受浮力，而其余部分受浮力，整个梯形物体所受浮力等于其余部分所受浮力，而错选选项。这样的做法忽略了浮力是物体所受水的所有压力的合力，虽然梯形物体底面不受水的压力但是整个上底都受水的压力，要考虑进去。
29．C。设铁链的平均横截面积为，单位长度的重力为，则。又由题可知。当球平衡时，设球心距池底为，则球下方被带起的铁链长度为，球与被带起的铁链所受重力之和等于它们的浮力之和，有
将等数据代入，可解得。
30．C。提示：由于容器不是圆柱形，杯底压力的增加量不等于漂浮物体受到的重力。。
31．C。设冰的质量为，冰全部融化成水后，体积减少，可解得，。设物块的质量为，根据冰融化前系统悬浮，可知冰与的平均密度等于水的密度，有，解得，代入数据并考虑到物块密度的取值范围，可得，因此选项正确。
32．B。向右管中注入水，右边水位上升，则形管左边空气的压强增大，小试管内的气体压强也将增大，内部气体体积减小，试管内水柱升高。又因为试管的质量不变，要维持试管平衡，浮力不变，即内部液位与外部液位的高度差不变。综合上面两个结论，试管顶部相对外部液面会下降，所以小试管相对左管内的水面会下沉一些。
33．C。细线的拉力等于球的重力与浮力之差，即，因为球的质量相同，球的密度越大，则线的拉力越大，即。由于容器为圆柱形，水面高度相同，因此水对容器底部的压力相同，磅秤的读数等于水对容器底部的压力与容器重力之和，所以。
34．D。物体所受浮力为，排开水的重力为，所以图7.81(b)中的读数为。用整体法，得的读数为。
35．C。设物体体积为，密度为，则由物体受力平衡，可得弹簧拉力，可以看出弹簧伸长越多，弹力越大，物体密度越小。
36．D。设球的质量为，体积为，则球的密度，球的重力，球所受浮力，则细线的拉力，将和代入，可分别得到
①
②
由①可得，球密度越大，球质量就越小，即。由②可知，球密度越大，球体积就越小，即。
37．B。倒入容器中的水原来在容器中悬浮倒人容器后，和容器一起漂浮，因此前后这些水和容器的总浮力不变，排开水的总体积不变，所以H不变。但是容器所受浮力增大，容器水面以下的体积变大，减小。
38．B。设木块体积为，密度为，则细线拉力等于木块所受浮力与重力之差，即，剪断细线后木块漂浮时，排开水的体积设为，则。在剩余的木块上加向下的压力时，有，由以上各式解得。
39．B。设，的质量和体积分别为，，则在上时，有，取下后，设在水中的体积为，则，解得。
40．D。木块与铁块漂浮在水面上，则它们的平均密度小于水的密度。用细线将铁块吊于木块下方后，它们的平均密度不变，仍将漂浮在水面上。由于总重力不变，因此总浮力不变，排开的液体体积不变，所以水面高度不变。因为铁块吊在木块下后铁块也排开了一部分水，因此木块排开的水的体积变小。
41．D。由于液体密度随深度线性增加，小球为规则的对称形状，小球排开的液体的平均密度等于其球心所在深度的液体密度，当小球球心所处深度处的液体密度等于小球密度时，小球将悬浮，有，解得。
42．ABC。两者一起漂浮时，浮力等于总重力，。铁块沉入水底后，铁块受容器底部的支持力的作用，仍将铁块和木块视为个整体，则整体所受浮力满足，可见浮力减小，两者排开的水的总体积变小，液面应下降，液体对容器底部的压力变小。
43．C。冰融化前，冰和物体排开的水的体积为，则，解得，冰融化而成的水的体积比原来冰的体积减小了，且，解得，则。融化前冰的体积，则物体的体积为，物体密度物。
44．6:7，。设甲、乙实心部分的体积分别为，，空心部分的体积为，则根据甲恰好能悬浮在水中，可得，解得。再由甲球与乙球质量相等，有，解得。因此甲、乙两球体积之比。设乙排开水的体积为，则，，乙球露出水面的体积为，即乙球露出水面的体积占乙球体积的。
45．，。挂上铁块平衡后，整体重力等于浮力之和，有
解得。当另一铁块压在木块上时，有
解得。
46．5:8；300。设物块体积为，则所受浮力之比。设物块密度为，弹簧劲度系数为，对由力的平衡，可得
，
由以上两式消去，可得。
47．，。设圆柱体底面积为，当水的深度为时圆柱体对容器底部的压力的大小等于它的重力与所受浮力之差，即，结合图像截距与斜率绝对值可知，斜率的绝对值，解得。当水的深度后，圆柱体全部浸没所受浮力不再随水深变化，圆柱体此后所受浮力恒为，则圆柱体对容器底部压力，不再变化。
48．，，。(1)设铜块的体积为，物体受到水的浮力，解得，物体的密度。
(2)蜡块和铜块捆在一起后总体积设为，则，解得，蜡块的体积，蜡块的密度。(3)设铜管的质量为，铜管内蜡芯的质量为，则，即，又铜管和蜡芯的体积，且，由以上各式可解得。
49．由题意可知，，所以球应在球下方，球所处深度为。，两球排开液体的平均密度等于它们球心深度处液体的密度，根据平衡条件，有，代人数据解得。
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