【精品讲义】初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第1章第5节 小船过河问题初探（含答案）

第五节  小船过河问题初探

一、船速与船相对于水的速度

小船过河问题，涉及三个速度：河水的流速、船相对于水的速度、船相对地面的速度，现对三个速度理解如下：

(1)船在静止的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将静止在水中，相对于水静止，对地也静止。

(2)船在流动的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将顺水漂流，相对于水静止，对地速度等于水速。

(3)船在流动的河水中，如果船开动发动机或者人划桨，则船将相对于水运动，船对地速度与水速、船相对于水的速度的关系如图3.83所示。其中，船相对于水的速度也就是船在静水中的速度，只与船本身有关，的方向总是沿着船头所指的方向。

例1  如图3.84所示，河两岸相互平行，水流速度恒定不变，船行驶时相对水的速度大小始终不变。一开始船从岸边点出发，船身始终垂直河岸，船恰好沿航线到达对岸点耗时为，与河岸的夹角为。调整船速方向，从点出发沿直线返航回到点耗时，则为(    )。

A．1：1  B．1：2

C．1：3  D．1：4

分析与解  由点出发时，船身始终垂直河岸，即船相对水的速度垂直于河岸，船相对地面的速度沿着方向，画出，，所围成的三角形如图3.85所示，可知，，则。当船由点返回时，其对地速度沿着方向，，，围成的三角形如图3.85所示，因为与夹角为，且，可知这一个等腰三角形，即，因此，可得，本题正确选项为B。

实际上，我们也可以将船在静水中的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解。如图3.86所示，设船与河岸夹角为，为水流速度，则为船实际上沿水流方向的运动速度，为船垂直于河岸方向的运动速度。

二、小船过河的两个典型问题

1．过河时间最短问题

渡河时间只取决于在垂直河岸方向上的船速，即，当时，渡河时间最短，，此时船头应正对着对岸前进，如图3.87所示。船沿河岸方向前进的距离为。

2．渡河距离最短问题

河宽是所有渡河距离中最短的，但是否在任何情况下渡河距离最短的一定是河宽呢？下面就这个问题进行如下分析：

要使渡河距离最小为河宽，只有使船对地面的速度垂直河岸，如图3.88所示，则，，因为，因此只有，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短距离为河宽，渡河时间。

由以上分析可知，当时，小船将不能垂直河岸渡河，但此时仍存在最小的渡河距离。要使得渡河距离最小，应该让小船相对地面的速度与河岸的夹角尽量大，可以用以下方法求解最小渡河距离：以水流速度的末端为圆心，以小船在静水中的速度的大小为半径作圆，过速度的起点作该圆的切线，此时让船速与过切点的半径平行，如图3.89所示，从而小船实际运动的速度(对地速度对)与河岸方向的夹角最大，即与垂直时，小船渡河距离最短。

由相似三角形知识可得，解得，船与河岸的夹角满足。

渡河时间仍可以采用上面的方法求得：。

例2  某河流河道笔直，河宽为，水流速度为，船在静水中的速度是，求：

(1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船沿着河岸运动的距离为多少？船实际通过的距离为多少？

(2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间为多长？

(3)如果水速增为，则如何渡河船通过的距离最短？最短距离为多少？

分析与解  (1)当船头正对着对岸航行时，船渡河时间最短，此时与河岸垂直，如图3.90(a)所示，则最短的渡河时间，船沿着河岸移动的距离与水流速度有关，，船实际通过的距离与船对地速度有关，，则船实际通过的距离。

(2)欲使船渡河航行距离最短，则船对地速度最好垂直河岸，由于船速大于水速，因此可画出图3.90(b)所示的速度关系图，其中船速与河岸夹角为，则，，此时渡河时间。

(3)水速增为时，船速小于水速，船不能垂直河岸渡河，此时可以以水速的末端为圆心，船速为半径作圆，则当船对地速度与半圆相切时，船渡河距离最小，此时与垂直，如图3.90(c)所示，设船速与河岸夹角为，则，，此时的渡河时间，渡河距离。

例3  (上海第30届大同杯初赛)如图3.91所示，河宽为，河水流速为，甲、乙两船同时出发渡河且相对水的速度均为，出发时两船相距为，行驶过程中两船船身均与岸边成，乙船最终到达正对岸的点；两船始终没有相遇。则下列说法正确的是(    )

A． 

B．两船行驶的路程相等

C．两船同时到达河对岸

D．

分析与解  由乙可以垂直到达对岸，可知乙沿着河岸的分速度与水速相等，即，可得，选项A正确。两船垂直河岸的分速度均为，因此到达对岸的时间均为，两船同时到达河岸，选项C正确。相对地面，甲船沿着河岸的速度为，乙船没有沿着河岸的速度，因此两船沿着河岸运动的距离不等，而垂直河岸的距离相等，因此两船行驶的路程必不相等，B选项错误。由于甲、乙两船在垂直于河岸方向的运动情况完全相同，且两船运动过程中始终没有相遇，则甲船在到达对岸时，其沿着河岸发生的距离必小于，于是有，即，因此得，选项D正确。本题正确选项为ACD。

例4  (上海第28届大同杯初赛)如图3.92所示，河岸相互平行，相距为，水流速度为，船相对水的速度为。船从岸边点出发，船头始终垂直对岸，最终到达对岸点。若保持的大小不变，适当改变的方向，仍然从点出发，发现航线与刚才恰好一致，但渡河时间变为原来的两倍，则可以判断(    )。

A．

B．改变的方向，可以使最短渡河时间为。

C．改变的方向，可以使最短渡河距离为

D．改变的方向，可以使船到达对岸时向下游“漂移”的最短距离为

分析与解  当船头垂直对岸时，船对水的速度、水速以及此时船对地的速度构成一直角三角形，如图3.93所示。此时渡河最短时间为，选项B正确。当仅改变方向使得船仍沿着航线前进时，可知此时船对水的速度、水速以及此时船对地的速度又构成一个三角形，且由于渡河时间加倍，则必有，结合图3.93中的几何关系，可知航线与河岸所夹的锐角为，由此可得，选项A错误。由于船对水速度小于水速，若要渡河时船向下游“漂移”的距离最短，须使与此时的对地速度垂直。如图3.94所示，由几何关系可知，利用相似三角形知识可得。因此D选项正确。本题正确选项为BD。

以上例题中河水流速均为定值，若河水流速变化，则船的运动轨迹不再是直线，此时问题较为复杂。

例5  (上海第27届大同杯初赛)如图3.95所示，小船从码头处出发渡河，船头始终垂直河岸。若河宽为，船在静水中的速度恒定不变，河水的流速与到河岸的垂直距离成正比，即水速(，为常量)。渡河过程中小船沿岸向下游移动了距离并最终到达对岸码头，则(    )。

A．  B．

C．渡河时间为 D．渡河时间为

分析与解  设小船经时间离开处的岸边的距离为，且，则，小船沿着河岸方向的速度与水速相同，，可见小船沿着河岸方向的分运动是匀加速直线运动，小船运动轨迹如图3.96曲线所示，其中段曲线与段曲线关于点成中心对称。当时，小船运动到点，此时。时间内小船沿着河岸前进的距离为

解得，选项A正确。小船渡河时间，选项D正确。本题正确选项为AD。

练习题

1．小船在宽的河中横渡，水流速度是，船在静水中的航速是，则下列判断正确的是(    )。

A．小船过河所需的最短时间是

B．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸

C．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是

D．如果水流速度增大为，小船过河所需的最短时间将增大

2．(上海第31届大同杯初赛)如图3.97所示，河两岸平行，河内水速保持不变，在河的南岸处同时开出甲、乙两艘小船，小船相对水的速度均为，船头分别指向对岸下游的，两点，两船分别到达对岸，两点处，则(   )。

A．

B．

C．

D．由于不知道与之间的大小关系，无法判断与的大小关系

3．(上海第29届大同杯初赛)甲、乙两艘小船从河岸处出发，水速恒定，两小船相对水的速度相等，两小船分别沿直线到达河对岸，处，且相对是上游。关于两船过河时间和关系的判断，正确的是(    )。

A．若，均处于的上游，则可能小于

B．若，均处于的上游，则一定大于

C．若，均处于的下游，则可能等于

D．若，均处于的下游，则一定小于

4．(上海第26届大同杯初赛)在宽度为的河中水速为，船速为，船过河的最短路程为，则下列关系中正确的是(    )。

A．若， B．若，

C．若， D．若，

5．(上海第23届大同杯初赛)一般情况下，河水越靠近河的中央，水速越大，越靠近河岸，水速越小，如图3.98所示。假设水速与离河岸的距离成正比，一艘船船头始终垂直河岸方向(船相对水的速度不变)，从河岸点向对岸驶去并到达对岸下游处的点，则下列四个选项中，能合理描述其行进路径的是(    )。

             A                B               C                D

6．(上海第24届大同杯初赛)一条河道被一行窄而浅的沙石隔成两条流速不同的支流。船从岸边点开始渡河到对岸，船相对水的速度大小始终不变。已知船渡河的最短路径如图3.99所示，船最终到达了对岸点。船先后渡过两条支流的时间恰好相等，且，，则两条支流的水速之比________；两条支流的宽度之比________。

7．王聪同学为了测量某河流的水速，找来一条小船，他首先保持小船对水以恒定的速度行驶。第一次，保持船头始终垂直河岸划行，经到达正对岸下游处；第二次，船头始终保持指向与上游河岸成角划行，经到达正对岸。由此，请你帮王聪同学计算计算，水速________，船对水的速度________，河宽________。

8．(上海第20届大同杯初赛)如图3.100所示，某河流两岸相距，河水流速为，某人要从岸边点到对岸下游某处点，，之间的距离为。此人在水中的游泳速度为，在岸上奔跑的速度为。如果此人要用最短的时间过河，则他从点到点需用时间为________；如果此人要用最短的路程到达点，则他从点到点的路程为________。

参考答案

1．A。当船头朝向正对岸行驶时，过河的时间最短，最短时间，且最短渡河时间与水流速度无关。以最短时间渡河时，船将向下游“漂移”。要使过河位移最短，应将朝向合适的方向，以使得平行于河岸的分速度等于水流速度。本题中应将分解为垂直河岸的速度和朝向上游的分速度，这样船方能垂直渡河。垂直渡河所需时间。

2．A。甲小船船头指向点，即其相对水的速度沿若方向，甲船最终到达点，即甲船相对地面的速度沿着方向，由此画出船对水的速度、水速和船对地面的速度的三角形关系如图3.101所示。同理，可画出乙船对水的速度、水速和船对地面的速度的三角形关系。比较图3.101中几何关系可知，乙船渡河时其垂直于河岸的分速度较小，因此渡河时间。若水不流动，则船头正对点行驶时，船会到达点，因此段可认为仅由水的流动引起，则，同理，可见，选项A正确。

3．BC。当，均在点的上游时，必有，以的末端为圆心，的大小为半径画圆，画出如图3.102所示的水速，船对水的速度以及甲、乙两船相对地面的速度，的速度三角形关系，可知甲船由到达时，垂直于河岸的速度较小，因此甲船渡河时间较长，一定大于，B选项正确。当，均在点的下游时，水速、船对水的速度以及甲、乙两船相对地面的速度，可能如图3.103所示，可知甲、乙两船此时垂直河岸的速度大小相等，因此有可能等于。因此本题正确选项为BC。

4．BC。当水速与船速满足时，可使船垂直渡河，最小渡河距离等于河宽，即。当水速与船速满足时，船不能垂直河岸渡河，当船速与船的合速度垂直时，可使船渡河距离最短，结合数学知识可知此时渡河最短距离，本题正确选项为BC。

5．C。船的对地速度为，的合成，且始终沿着运动轨迹的切线方向。如图3.104所示，设与河岸夹角为，则有，由于水速与离河岸的距离成正比，因此船越靠近河中心，越大，越小。选项C正确。

6．3：4；3：4。设船在两侧支流中对地速度分别为和，由题知船渡河的最短路径不等于河宽，则可判断船速小于两条支流的水速，，此种情况下要使渡河距离最短，一定要满足烟与船对地的速度垂直，因此画出如图3.105所示的速度三角形，结合几何关系，可得，，，因此。把沿着河岸和垂直于河岸分解，设经过一条支流的时间为，可得两支流河宽，，因此。

7．，，。略。

8．122；270。要用最短的时间过河，人游泳的速度必须垂直正对岸，人相对地面的速度即为水速和人游泳速度的合成，如图3.106所示，设人在对岸点登岸，然后从点以速度跑向点。结合勾股定理可得，又由三角形相似关系可知，解得。因此人从点到点的时间为。

如果此人要用最短的路程到达点，则此人应先在渡河时取得最小渡河距离，到达对岸后，再沿着河岸到达点。由于人游泳速度小于水速，若要人渡河距离最短，则需满足与人对地速度垂直，如图3.107所示。设人此时的登岸点为，则根据题给数据可知与，，所组成的速度三角形相似，有，得，由勾股定理得，因此，所以到达点的最短距离应为。