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人教版九年级数学全册知识点总结
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这是一份人教版九年级数学全册知识点总结，文件包含我们与法律同行pptx、我们与法律同行docx、习近平就职宪法宣誓mp4、央视普法公益广告mp4等4份课件配套教学资源，其中PPT共0页， 欢迎下载使用。主要包含了中心对称图形的定义，关于原点对称的点的坐标等内容，欢迎下载使用。
1 一元二次方程
易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍
知识点一
一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：
只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是2； ③是整式方程。
知识点二
一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三
一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
2 降次——解一元二次方程
2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.
直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。可得，或。
用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
直接开平方法解一元二次方程的步骤是：
移项；
使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；
两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；
解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
把常数项移到等号的右边；
方程两边都除以二次项系数；
方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
2.2 公式法
知识点一 公式法解一元二次方程
（1）一元二次方程
当时，方程有实数根:
；
当 时,方程有实数根：；
当时，方程没有实数根。
（2）公式法解一元二次方程的具体步骤：
方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值
确定公式中a,b,c的值，注意符号；
求出b2-4ac的值；
若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，
即△=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
根的
判别式
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
2.3因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法的详细步骤：
移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和十字交叉相乘法；
令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，,x1x2=
3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
设：是指设元，也就是设出未知数。
列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
解：就是解方程，求出未知数的值。
验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型
传播问题
1人患病，平均每轮感染x人，一轮后共有（1+x）名患者，两轮后共有（1+x）2名患者。
握手问题
一共有n人，每两人之间握一次手，共需握次手。
（3）增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b。
（4）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：
总利润=总售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率
（5）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程
第22章 二次函数
一、相关概念及定义
1 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的x的取值范围是全体实数．
二次函数的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
（2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数各种形式之间的变换
1二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.
三、二次函数解析式的表示方法
一般式：（，，为常数，）；
顶点式：（，，为常数，）；
两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
四、二次函数图象的画法
1 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
二次函数的性质
六、二次函数的性质
七、二次函数的性质
八、二次函数的性质
九、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
2对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
3顶点坐标：
4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
十、抛物线中，与函数图像的关系
1 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
3常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法
1公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
十二、用待定系数法求二次函数的解析式
1一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
2顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
3交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
十三、直线与抛物线的交点
1轴与抛物线得交点为(0, ).
2与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
3抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
4平行于轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
6抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
十四、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2平移规律
在原有函数的基础上，“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字：“左加右减，上加下减”．
第23章 旋转
1 图形的旋转
知识点一 旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二 旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三 利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
2 中心对称
知识点一 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二 作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。
知识点三 中心对称的性质
有以下几点：
关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
知识点四 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
知识点五 关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
第24章 圆
1.1 圆
知识点一 圆的定义
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。
知识点二 圆的相关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
1.2 垂直于弦的直径
知识点一 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二 垂径定理
C
M
A
B
D
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，
AM=BM
垂足为M AC=BC
AD=BD
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，
CD⊥AB
AM=BM AC=BC
AD=BD
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
1.3 弧、弦、圆心角
弦、弧、圆心角的关系
弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
1.4 圆周角
知识点一 圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。
圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点二 圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
2 点、直线、圆和圆的位置关系
2.1 点和圆的位置关系
知识点一 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；点p在圆上 d=r；点p在圆内 d＜r。
知识点二 过已知点作圆
经过一个点的圆（如点A）
O2
O1
O3
A
以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
经过两点的圆（如点A、B）
A
B
以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
经过三点的圆
经过在同一条直线上的三个点不能作圆
不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。
A
O
C
B
知识点三 三角形的外接圆与外心
经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
知识点四 反证法
反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。
反证法的一般步骤：
假设命题的结论不成立；
从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；
由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。
2.2 直线和圆的位置关系
知识点一 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l和⊙O相交 d ＜ r；
直线l和⊙O相切 d = r；
直线l和⊙O相离 d ＞ r。
知识点二 切线的判定和性质
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
知识点三 三角形的内切圆和内心
三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。
2.3 圆和圆的位置关系
知识点一 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种：
如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；
如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；
如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。
圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：
若设两圆圆心之间的距离为d，两圆的半径分别是r1 r2,且r1 ＜ r2，则有
两圆外离 d＞r1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 r2-r1＜d＜r1+r2
两圆内切 d=r2-r1 两圆内含 d＜r2-r1
24.3 正多边形和圆
知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切：把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
知识点二 正多边形的性质
正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。
所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。
正n边形的每一个内角等于，中心角和外角相等，等于。
4 弧长和扇形面积
知识点一 弧长公式l=
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=×2πR=。
知识点二 扇形面积公式
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=。
比较扇形的弧长公式和面积公式发现：
S扇形=
知识点三 圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
因此圆锥的侧面积。
圆锥的全面积为 。
第25章 概率
1 随机事件与概率
1.1 随机事件
知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。
知识点二 事件发生的可能性的大小
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
1.2概率
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。
由m和n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此 0≤P（A）≤1.
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
2 用列举法求概率
知识点一 用列举法求概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。
知识点二 用列表法求概率
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
知识点三 用树形图求概率
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。
树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。
在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。
25.3 用频率估计概率
在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率P（A）=p 。
第26章 反比例函数
反比例函数的概念
反比例函数的三种形式
1．在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．用xy=k形式可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点．
二、反比例函数的图像画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
三、反比例函数及其图像的性质
1、图象
1．函数解析式：（）
2．k的几何意义
3．说明：
双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
四、实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．
第27章 相似三角形
知识点1 有关相似形的概念
1、形状相同的图形叫相似图形，
2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2 比例线段的相关概念
（1）在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）
；
知识点4 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得等.
知识点5 相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
相似三角形对应角相等，对应边成比例．
知识点6 三角形相似的判定方法
1、平行法：
平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2、只看角法（AA）：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简述为：两角对应相等，两三角形相似．
3、只看边法
(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
(HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
4、边角组合法(SAS)：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
知识点7 射影定理
在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。
每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的乘积。
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC ，AC2=CD·BC 。
知识点8 相似三角形常见的图形
相似三角形的几种基本图形：
(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）
(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”）
(3)如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）
(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
知识点9 相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．
知识点10 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法
1、证明四条线段成比例的常用方法：
(1)线段成比例的定义 (2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质
(4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系
2、证明题常用方法归纳：
（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”
（2）找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
（3）找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.
即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。
（4）添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
（5）．对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
对边
邻边
斜边
A
C
B
第28章 锐角三角函数
一、锐角三角函数
1、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，
则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)
2、0°、2、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
二、解直角三角形
2.1定义：
已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：
①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
2.2应用举例：
仰角、俯角、方位角、
坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
第29章 投影与视图
一、投影
1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。(光源特别远)
3．中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影
4．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。
5． 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。当物体的某个面顶斜于投影面时，这个面的正投影变小。当物体的某个面垂直于投影面时，这个面的正投影成为一条直线。
二、三视图
1．三视图：是观测者从三个不同位置(正面、水平面、侧面)观察同一个空间几何体而画出的图形。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
2．主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图。
3．俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。
4．左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。
5．三个视图的位置关系：
①主视图在上、俯视图在下、左视图在右；
②主视、俯视表示物体的长，主视、左视表示物体的高，左视、俯视表示物体的宽。
③主视、俯视长对正 ，主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等 。
6．画法：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其它部分遮档而看不见的部分的轮廓线画成虚线。
方法名称
理论依据
适用范围
直接开平方法
平方根的意义
形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法
当ab=0，则a=0或b=0
一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
图象
性质
双曲线的两个分支分别位于一、三象限
双曲线的两个分支分别位于二、四象限
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
两个分支都无限接近于坐标轴，但是永远不能到达x轴和y轴
中心对称图形：图象关于坐标原点中心对称
轴对称图形：既关于直线y=x对称，也关于直线y=-x对称
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
tanA=sinA/csA
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
0
1
1
0
0
1
不存在
1 一元二次方程
易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍
知识点一
一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：
只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是2； ③是整式方程。
知识点二
一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三
一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
2 降次——解一元二次方程
2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.
直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。可得，或。
用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
直接开平方法解一元二次方程的步骤是：
移项；
使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；
两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；
解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
把常数项移到等号的右边；
方程两边都除以二次项系数；
方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
2.2 公式法
知识点一 公式法解一元二次方程
（1）一元二次方程
当时，方程有实数根:
；
当 时,方程有实数根：；
当时，方程没有实数根。
（2）公式法解一元二次方程的具体步骤：
方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值
确定公式中a,b,c的值，注意符号；
求出b2-4ac的值；
若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，
即△=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
根的
判别式
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
2.3因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法的详细步骤：
移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和十字交叉相乘法；
令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，,x1x2=
3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
设：是指设元，也就是设出未知数。
列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
解：就是解方程，求出未知数的值。
验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型
传播问题
1人患病，平均每轮感染x人，一轮后共有（1+x）名患者，两轮后共有（1+x）2名患者。
握手问题
一共有n人，每两人之间握一次手，共需握次手。
（3）增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b。
（4）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：
总利润=总售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率
（5）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程
第22章 二次函数
一、相关概念及定义
1 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的x的取值范围是全体实数．
二次函数的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
（2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数各种形式之间的变换
1二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.
三、二次函数解析式的表示方法
一般式：（，，为常数，）；
顶点式：（，，为常数，）；
两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
四、二次函数图象的画法
1 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
二次函数的性质
六、二次函数的性质
七、二次函数的性质
八、二次函数的性质
九、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
2对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
3顶点坐标：
4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
十、抛物线中，与函数图像的关系
1 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
3常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法
1公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
十二、用待定系数法求二次函数的解析式
1一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
2顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
3交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
十三、直线与抛物线的交点
1轴与抛物线得交点为(0, ).
2与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
3抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
4平行于轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
6抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
十四、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2平移规律
在原有函数的基础上，“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字：“左加右减，上加下减”．
第23章 旋转
1 图形的旋转
知识点一 旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二 旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三 利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
2 中心对称
知识点一 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二 作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。
知识点三 中心对称的性质
有以下几点：
关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
知识点四 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
知识点五 关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
第24章 圆
1.1 圆
知识点一 圆的定义
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。
知识点二 圆的相关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
1.2 垂直于弦的直径
知识点一 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二 垂径定理
C
M
A
B
D
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，
AM=BM
垂足为M AC=BC
AD=BD
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，
CD⊥AB
AM=BM AC=BC
AD=BD
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
1.3 弧、弦、圆心角
弦、弧、圆心角的关系
弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
1.4 圆周角
知识点一 圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。
圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点二 圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
2 点、直线、圆和圆的位置关系
2.1 点和圆的位置关系
知识点一 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；点p在圆上 d=r；点p在圆内 d＜r。
知识点二 过已知点作圆
经过一个点的圆（如点A）
O2
O1
O3
A
以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
经过两点的圆（如点A、B）
A
B
以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
经过三点的圆
经过在同一条直线上的三个点不能作圆
不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。
A
O
C
B
知识点三 三角形的外接圆与外心
经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
知识点四 反证法
反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。
反证法的一般步骤：
假设命题的结论不成立；
从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；
由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。
2.2 直线和圆的位置关系
知识点一 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l和⊙O相交 d ＜ r；
直线l和⊙O相切 d = r；
直线l和⊙O相离 d ＞ r。
知识点二 切线的判定和性质
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
知识点三 三角形的内切圆和内心
三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。
2.3 圆和圆的位置关系
知识点一 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种：
如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；
如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；
如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。
圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：
若设两圆圆心之间的距离为d，两圆的半径分别是r1 r2,且r1 ＜ r2，则有
两圆外离 d＞r1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 r2-r1＜d＜r1+r2
两圆内切 d=r2-r1 两圆内含 d＜r2-r1
24.3 正多边形和圆
知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切：把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
知识点二 正多边形的性质
正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。
所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。
正n边形的每一个内角等于，中心角和外角相等，等于。
4 弧长和扇形面积
知识点一 弧长公式l=
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=×2πR=。
知识点二 扇形面积公式
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=。
比较扇形的弧长公式和面积公式发现：
S扇形=
知识点三 圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
因此圆锥的侧面积。
圆锥的全面积为 。
第25章 概率
1 随机事件与概率
1.1 随机事件
知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。
知识点二 事件发生的可能性的大小
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
1.2概率
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。
由m和n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此 0≤P（A）≤1.
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
2 用列举法求概率
知识点一 用列举法求概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。
知识点二 用列表法求概率
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
知识点三 用树形图求概率
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。
树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。
在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。
25.3 用频率估计概率
在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率P（A）=p 。
第26章 反比例函数
反比例函数的概念
反比例函数的三种形式
1．在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．用xy=k形式可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点．
二、反比例函数的图像画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
三、反比例函数及其图像的性质
1、图象
1．函数解析式：（）
2．k的几何意义
3．说明：
双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
四、实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．
第27章 相似三角形
知识点1 有关相似形的概念
1、形状相同的图形叫相似图形，
2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2 比例线段的相关概念
（1）在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）
；
知识点4 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得等.
知识点5 相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
相似三角形对应角相等，对应边成比例．
知识点6 三角形相似的判定方法
1、平行法：
平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2、只看角法（AA）：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简述为：两角对应相等，两三角形相似．
3、只看边法
(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
(HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
4、边角组合法(SAS)：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
知识点7 射影定理
在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。
每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的乘积。
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC ，AC2=CD·BC 。
知识点8 相似三角形常见的图形
相似三角形的几种基本图形：
(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）
(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”）
(3)如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）
(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
知识点9 相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．
知识点10 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法
1、证明四条线段成比例的常用方法：
(1)线段成比例的定义 (2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质
(4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系
2、证明题常用方法归纳：
（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”
（2）找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
（3）找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.
即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。
（4）添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
（5）．对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
对边
邻边
斜边
A
C
B
第28章 锐角三角函数
一、锐角三角函数
1、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，
则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)
2、0°、2、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
二、解直角三角形
2.1定义：
已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：
①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
2.2应用举例：
仰角、俯角、方位角、
坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
第29章 投影与视图
一、投影
1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。(光源特别远)
3．中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影
4．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。
5． 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。当物体的某个面顶斜于投影面时，这个面的正投影变小。当物体的某个面垂直于投影面时，这个面的正投影成为一条直线。
二、三视图
1．三视图：是观测者从三个不同位置(正面、水平面、侧面)观察同一个空间几何体而画出的图形。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
2．主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图。
3．俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。
4．左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。
5．三个视图的位置关系：
①主视图在上、俯视图在下、左视图在右；
②主视、俯视表示物体的长，主视、左视表示物体的高，左视、俯视表示物体的宽。
③主视、俯视长对正 ，主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等 。
6．画法：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其它部分遮档而看不见的部分的轮廓线画成虚线。
方法名称
理论依据
适用范围
直接开平方法
平方根的意义
形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法
当ab=0，则a=0或b=0
一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
图象
性质
双曲线的两个分支分别位于一、三象限
双曲线的两个分支分别位于二、四象限
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
两个分支都无限接近于坐标轴，但是永远不能到达x轴和y轴
中心对称图形：图象关于坐标原点中心对称
轴对称图形：既关于直线y=x对称，也关于直线y=-x对称
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
tanA=sinA/csA
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
0
1
1
0
0
1
不存在
