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2020年湖南省株洲市中考数学模拟试卷（白卷）
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这是一份2020年湖南省株洲市中考数学模拟试卷（白卷），共27页。试卷主要包含了选择题，每题只有一个正确答案等内容，欢迎下载使用。
2020年湖南省株洲市中考数学模拟试卷（白卷）
一、选择题，每题只有一个正确答案（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
2．（4分）去年年末，武汉市发生新型冠状病毒引起的传染病，这种病毒非常的小，直径约为125nm（纳米），1nm＝10﹣9m，则新冠病毒直径大小用科学记数法表示为（ ）
A．1.25×10﹣7m B．1.25×10﹣11m
C．1.25×10﹣10m D．1.25×10﹣6m
3．（4分）下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣1＝﹣3 B．
C．（ab3）4＝ab12 D．x5÷x3＝x2
5．（4分）一个正方形的面积是20，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
6．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．（4分）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．（4分）“红灯停绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣2，4），B（4，2），直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，则k的值不可能是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．3 D．5
10．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c取值范围是（ ）
A．﹣2＜a+b+c＜0 B．﹣2＜a+b+c＜2 C．0＜a+b+c＜2 D．a+b+c＜2
二.填空题：（每小题4分，共32分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（4分）如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝40°，则∠ACD的大小为 ．
13．（4分）因式分解：x2+4（x﹣2）﹣4＝ ．
14．（4分）已知株洲市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 ．
15．（4分）某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的标价为 元．
16．（4分）如图，已知△ABC的3个顶点均在格点上，则tanA的值为 ．
17．（4分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为 ．
18．（4分）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4．若AP＝6，求AE+AF的值为 ．
三.解答题：（6+8+8+10+10+10+13+13＝78分）
19．（6分）计算：﹣22+|﹣|﹣3tan30°+（π﹣2019）0．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．
21．（8分）某电工想换房间的灯泡，已知灯泡到地面的距离为2.65m，现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板、地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，BD＝1m．设梯子一边AD与地面的夹角为α，且α可调节的范围为60°≤α≤75°，当α＝60°时，电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大触及高度为2.60m．
（1）当α＝60°时，求踏板BE离地面的高度BH．（精确到0.01m）
（2）调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）
22．（10分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外拓展活动．现随机抽取某校的部分学生，调查他们最喜欢去的地方（A．方特； B．炎陵神农谷； C．攸县酒埠江； D．其他）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．请问：
（1）某校共调查了 名学生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若某校共有学生2500人，请估计某校最喜欢去攸县酒埠江的人数，
23．（10分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE＝时，求CG的长．
24．（10分）如图F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．
（1）求证：△MFG为等腰三角形．
（2）若AB∥MD，求证：FG2＝EG•MF．
（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．
25．（13分）如图①，M，N为矩形ABCD一组邻边AD，CD上两点，若＝＝m，则称M，N为邻边AD，CD上的一对共轭点，m为这两点的共轭系数．如图②，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的一组邻边分别交于点M，N．
（1）求证：M，N为BC，BA上的一对共轭点；
（2）若M（1，4），S四边形ONBM＝8．求M，N的共轭系数；
（3）若B（8，6），把△BMN沿MN翻折得△B′MN，当B′在ON上时，求M，N的共轭系数．
26．（13分）如图，二次函数y＝（其中m是常数，且m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，作CD∥AB，点D在二次函数的图象上，连接BD．过点B作射线BE交二次函数的图象于点E，使得AB平分∠DBE．
（1）若m＝1，直接写出A、B两点的坐标．A ，B ；
（2）求的值；
（3）二次函数y＝的顶点为F，过点C、F作直线与x轴交于点G．试说明：以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是什么三角形？请说明理由．
2020年湖南省株洲市中考数学模拟试卷（白卷）
参考答案与试题解析
一、选择题，每题只有一个正确答案（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
故选：B．
2．（4分）去年年末，武汉市发生新型冠状病毒引起的传染病，这种病毒非常的小，直径约为125nm（纳米），1nm＝10﹣9m，则新冠病毒直径大小用科学记数法表示为（ ）
A．1.25×10﹣7m B．1.25×10﹣11m
C．1.25×10﹣10m D．1.25×10﹣6m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：125nm＝125×10﹣9m＝1.25×10﹣7m．
故选：A．
3．（4分）下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣1＝﹣3 B．
C．（ab3）4＝ab12 D．x5÷x3＝x2
【分析】分别根据负整数指数幂的定义，算术平方根的定义，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、（ab3）4＝a4b12，故本选项不合题意；
D、x5÷x3＝x2，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）一个正方形的面积是20，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【分析】先设正方形的边长等于a，再根据其面积公式求出a的值，估算出a的取值范围即可．
【解答】解：设正方形的边长等于a，
∵正方形的面积是20，
∴a＝＝2，
∵16＜20＜25，
∴4＜＜5，即4＜a＜5，
∴它的边长大小在4与5之间．
故选：C．
6．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD＝80°，
∴∠BAD＝80°+30°＝110°，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝70°，
故选：C．
7．（4分）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
【解答】解：在△OEC和△ODC中，
∵，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：D．
8．（4分）“红灯停绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，看遇到两次红灯的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：共有8种情况，遇到两次红灯的概率是，
故选：B．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣2，4），B（4，2），直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，则k的值不可能是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．3 D．5
【分析】当直线y＝kx﹣2与线段AB的交点为A点时，把A（﹣2，4）代入y＝kx﹣2，求出k＝﹣3，根据一次函数的有关性质得到当k≤﹣3时直线y＝kx﹣2与线段AB有交点；当直线y＝kx﹣2与线段AB的交点为B点时，把B（4，2）代入y＝kx﹣2，求出k＝1，根据一次函数的有关性质得到，当k≥1时，直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，从而能得到正确选项．
【解答】解：把A（﹣2，4）代入y＝kx﹣2得，4＝﹣2k﹣2，解得k＝﹣3，
∴当直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，且过第二、四象限时，k满足的条件为k≤﹣3；
把B（4，2）代入y＝kx﹣2得，4k﹣2＝2，解得k＝1，
∴当直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，且过第一、三象限时，k满足的条件为k≥1．
即k≤﹣3或k≥1．
所以直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，则k的值不可能是﹣2．
故选：B．
10．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c取值范围是（ ）
A．﹣2＜a+b+c＜0 B．﹣2＜a+b+c＜2 C．0＜a+b+c＜2 D．a+b+c＜2
【分析】函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下可知a小于0，由于抛物线顶点在第一象限即抛物线对称轴在y轴右侧，当x＝1时，抛物线的值必大于0由此可求出a的取值范围，将a+b+c用a表示出即可得出答案．
【解答】解：由图象可知：a＜0，
图象过点（0，1），所以c＝1，
图象过点（﹣1，0），则a﹣b+1＝0，
当x＝1时，应有y＞0，则a+b+1＞0，
将a﹣b+1＝0代入，可得a+（a+1）+1＞0，
解得a＞﹣1，
所以，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0．
又a+b+c＝2a+2，
∴0＜a+b+c＜2．
故选：C．
二.填空题：（每小题4分，共32分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥ ．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：1+2x≥0，
解得x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
12．（4分）如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝40°，则∠ACD的大小为 140° ．
【分析】先根据补角的定义求出∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAE＝40°，
∴∠CAB＝180°﹣40°＝140°．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝140°．
故答案为：140°．
13．（4分）因式分解：x2+4（x﹣2）﹣4＝ （x+6）（x﹣2） ．
【分析】先化简多项式，再利用十字相乘法求解．
【解答】解：x2+4（x﹣2）﹣4
＝x2+4x﹣12
＝（x+6）（x﹣2）．
故答案为：（x+6）（x﹣2）．
14．（4分）已知株洲市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 15.6℃ ．
【分析】根据中位数的定义解答．将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2＝15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
故答案为：15.6℃．
15．（4分）某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的标价为 500 元．
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：利润＝售价﹣进价，根据此等量关系列方程即可．
【解答】解：设该服装的标价为x元，则实际售价为80%x，根据等量关系列方程得：
80%x﹣300＝100，
解得：x＝500．
故答案为：500．
16．（4分）如图，已知△ABC的3个顶点均在格点上，则tanA的值为 ．
【分析】如图，连接BD，根据勾股定理的逆定理得到BD⊥AC，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，连接BD，
∵BC＝2，BD＝，CD＝，
∴CD2+BD2＝2+2＝4＝22＝BC2，
∴BD⊥AC，
∵BD＝，AD＝＝2，
∴tanA＝＝＝，
故答案为：．
17．（4分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为 ．
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，
∴△ABC的面积为＝＝，
∴S扇形BAC＝＝π，
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，
故答案为2π﹣2．
18．（4分）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4．若AP＝6，求AE+AF的值为 6 ．
【分析】过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，Rt△PME≌Rt△PNF，问题即可得证．
【解答】解：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，DC＝BC，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴PM＝PN，
在Rt△PME与Rt△PNF中，
，
∴Rt△PME≌Rt△PNF（HL），
∴FN＝EM，
在Rt△PMA中，∠PMA＝90°，∠PAM＝∠DAB＝30°，
∴AM＝AP•cos30°＝3，
同理AN＝3，
∴AE+AF＝（AM﹣EM）+（AN+NF）＝6．
故答案为：6．
三.解答题：（6+8+8+10+10+10+13+13＝78分）
19．（6分）计算：﹣22+|﹣|﹣3tan30°+（π﹣2019）0．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4+﹣3×+1
＝﹣4+﹣+1
＝﹣3．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】首先运用乘法分配律将所求的代数式去括号，然后再合并化简，最后代值求解即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝x2﹣3﹣2x+2
＝x2﹣2x﹣1
由x2﹣2x﹣3＝0，得x2﹣2x＝3
∴原式＝3﹣1＝2．
21．（8分）某电工想换房间的灯泡，已知灯泡到地面的距离为2.65m，现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板、地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，BD＝1m．设梯子一边AD与地面的夹角为α，且α可调节的范围为60°≤α≤75°，当α＝60°时，电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大触及高度为2.60m．
（1）当α＝60°时，求踏板BE离地面的高度BH．（精确到0.01m）
（2）调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）
【分析】（1）由sin60°＝，即可求出踏板BE离地面的高度BH；
（2）先求出电工本身最大触及高度为1.73m，当α＝75°时，BH值最大，此时，sin75°＝，求出BH，电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大触及高度为1.73m+BH，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵BH⊥CD，
∴∠BHD＝90°，
∵∠BDH＝α＝60°，
∴sin60°＝，即＝，
∴BH＝≈≈0.87（m）；
（2）调节角度，电工可以换下灯泡；理由如下：
∵当α＝60°时，电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大触及高度为2.60m，BH＝0.87m，
∴电工本身最大触及高度为2.60m﹣0.87m＝1.73m，
∵BH随着α（60°≤α≤75°）的增大而增大，
∴α＝75°时，BH值最大，
此时，sin75°＝，即0.966≈，
∴BH≈0.966（m），
电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大触及高度为：0.966m+1.73m＝2.696m＞2.65m，
∴调节角度，电工可以换下灯泡．
22．（10分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外拓展活动．现随机抽取某校的部分学生，调查他们最喜欢去的地方（A．方特； B．炎陵神农谷； C．攸县酒埠江； D．其他）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．请问：
（1）某校共调查了 100 名学生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若某校共有学生2500人，请估计某校最喜欢去攸县酒埠江的人数，
【分析】（1）根据A的人数除以A所占的百分比，可得调查的人数；
（2）用总人数减去其它类别的人数，求出C类的人数，用整体1减去其它所占的百分比，求出C所占的百分比，再补全统计图即可；
（3）用该校的总人数乘以最喜欢去攸县酒埠江的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）共调查的人数：40÷40%＝100（名）．
故答案为：100；
（2）B的人数为100﹣40﹣25﹣5＝30（人），
C所占的百分比：1﹣30%﹣40%﹣5%＝25%，
补全统计图如下：
（3）某校最喜欢去攸县酒埠江的人数有2500×25%＝625（人）．
23．（10分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE＝时，求CG的长．
【分析】（1）先判断出∠CBF＝90°，进而判断出∠1＝∠3，即可得出结论；
（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论．
【解答】证明：（1）如图，在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∠1+∠2＝∠DCB＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴∠3+∠2＝∠ECF＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△CDE和△CBF中，，
∴△CDE≌△CBF，
（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，
∴，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∴BF＝DE＝，
∵正方形的边长为1，
∴AF＝AB+BF＝，AE＝AD﹣DE＝，
∴，
∴BG＝，
∴CG＝BC﹣BG＝
24．（10分）如图F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．
（1）求证：△MFG为等腰三角形．
（2）若AB∥MD，求证：FG2＝EG•MF．
（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．
【分析】（1）连接OF，利用等角的余角相等证明∠MFG＝∠MGF即可解决问题．
（2）连接EF．证明△EGF∽△FGM，可得结论，
（3）连接OB．证明∠M＝∠FOD，推出tan∠M＝tan∠FOD＝＝，由DF＝6，推出OF＝8，再由tan∠M＝tan∠ABH＝＝，假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝BG＝5k，GH＝k，AG＝k，在Rt△OHB中，根据OH2+BH2＝OB2，构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OF．
∵DM是⊙O的切线，
∴DM⊥OF，
∴∠MFG+∠OFA＝90°，
∵BM⊥AD，
∴∠AHG＝90°，
∴∠OAF+∠AGH＝90°，
∵OF＝OA，
∴∠OFA＝∠OAF，
∵∠MGF＝∠AGH，
∴∠MFG＝∠AGF，
∴MF＝MG，
∴△MFG是等腰三角形．
（2）证明：连接EF．
∵AB∥DM，
∴∠MFA＝∠FAB，
∵∠FAB＝∠FEG，∠MFG＝∠MGF，
∴∠FEG＝∠MFG，
∵∠EGF＝∠MGF，
∴△EGF∽△FGM，
∴＝，
∴FG2＝EG•GM，
∵MF＝MG，
∴FG2＝EG•MF．
（3）解：连接OB．
∵∠M+∠D＝90°，∠FOD+∠D＝90°，
∴∠M＝∠FOD，
∴tanM＝tan∠FOD＝＝，
∵DF＝6，
∴OF＝8，
∵DM∥AB，
∴∠M＝∠ABH，
∴tanM＝tan∠ABH＝＝，
∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝BG＝5k，GH＝k，AG＝k，
在Rt△OHB中，∵OH2+BH2＝OB2，
∴（8﹣3k）2+（4k）2＝82，
解得k＝，
∴AG＝．
25．（13分）如图①，M，N为矩形ABCD一组邻边AD，CD上两点，若＝＝m，则称M，N为邻边AD，CD上的一对共轭点，m为这两点的共轭系数．如图②，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的一组邻边分别交于点M，N．
（1）求证：M，N为BC，BA上的一对共轭点；
（2）若M（1，4），S四边形ONBM＝8．求M，N的共轭系数；
（3）若B（8，6），把△BMN沿MN翻折得△B′MN，当B′在ON上时，求M，N的共轭系数．
【分析】（1）由反比例函数的性质可得BC•AN＝CM•AB，可得，可得，可得结论；
（2）连接OM，ON，先求出矩形AOCB是矩形，即可求m＝；
（3）延长BC至D，使得MD＝BM，过点D作DF⊥x轴于F，交NO的延长线于点E，由“HL”可证Rt△DME≌Rt△B'ME，可得∠DME＝∠EMB'，通过证明△DME∽△BNM，由相似三角形的性质可求DE＝x，通过证明△EFO∽△NAO，可得，可求x的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵点M，N是反比例函数y＝图象上的点，
∴BC•AN＝CM•AB，
∴，
∴，
∴M，N为BC，BA上的一对共轭点；
（2）如图，连接OM，ON，
∵M（1，4），
∴k＝1×4＝4，OC＝4，
∴反比例函数解析式为：y＝，
∴S△CMO＝S△OAN＝2，
∴S矩形ABCO＝S△CMO+S△OAN+S四边形ONBM＝12，
∵CO＝4，
∴BC＝3，
∴BM＝BC﹣CM＝2，
∴m＝；
（3）如图，延长BC至D，使得MD＝BM，过点D作DF⊥x轴于F，交NO的延长线于点E，
∵点B（8，6）
∴AB＝CO＝6，BC＝AO＝8，
∵AN•AO＝CM•CO，
∴，
∴AN＝CM，
∴＝，
设BN＝3x，BM＝4x，则DM＝4x，
∵把△BMN沿MN翻折得△B′MN，
∴BM＝B'M，∠B＝∠MB'N＝90°，
在Rt△DME和Rt△B'ME中，DM＝B'M＝BM，EM＝EM，
∴Rt△DME≌Rt△B'ME（HL），
∴∠DME＝∠EMB'，
∴∠EMN＝90°，
∴∠DME+∠BMN＝90°，且∠BMN+∠BNM＝90°，
∴∠DME＝∠MNB，且∠B＝∠D＝90°，
∴△DME∽△BNM，
∴
∴DE＝x，
∵∠EOF＝∠AON，∠NAO＝∠EFO＝90°，
∴△EFO∽△NAO，
∴，
∴
∴x＝0（舍去），x＝，
∴BN＝，AN＝6﹣BN＝，
∴m＝＝．
26．（13分）如图，二次函数y＝（其中m是常数，且m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，作CD∥AB，点D在二次函数的图象上，连接BD．过点B作射线BE交二次函数的图象于点E，使得AB平分∠DBE．
（1）若m＝1，直接写出A、B两点的坐标．A （﹣3，0） ，B （1，0） ；
（2）求的值；
（3）二次函数y＝的顶点为F，过点C、F作直线与x轴交于点G．试说明：以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是什么三角形？请说明理由．
【分析】（1）将m＝1代入y＝﹣x2﹣+3，求出y＝0时x的值即可得到A、B两点的坐标；
（2）过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．先求出D点的坐标为（﹣2m，3），再证明△BDM∽△BEN，得出．设E点坐标为（x，﹣x2﹣+3），求出x＝﹣4m，得到E（﹣4m，﹣5），进而求出；
（3）先求出二次函数y＝﹣x2﹣+3的顶点F的坐标为（﹣m，4），过点F作FH⊥x轴于点H．由tan∠CGO＝，tan∠FGH＝，得出＝，求出OG＝3m．再根据勾股定理得出GF＝＝＝4，BD＝＝＝3，那么＝．又由（2）可知＝，那么BD：GF：BE＝3：4：5，根据勾股定理的逆定理得出以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是直角三角形．
【解答】（1）解：∵若m＝1，则y＝﹣x2﹣2x+3，
∴当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
故答案为：（﹣3，0），（1，0）；
（2）解：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．
由﹣x2﹣+3＝0，
解得 x1＝m，x2＝﹣3m，
则 A（﹣3m，0），B（m，0）．
∵CD∥AB，
∴D点的纵坐标为3，
又∵D点在抛物线上，
∴将D点纵坐标代入抛物线方程，得D点的坐标为（﹣2m，3）．
∵AB平分∠DBE，
∴∠DBM＝∠EBN，
∵∠DMB＝∠ENB＝90°，
∴△BDM∽△BEN，
∴．
设E点坐标为（x，﹣x2﹣+3），
∴＝，
∴x＝﹣4m，
∴E（﹣4m，﹣5），
∵BM＝3m，BN＝m﹣x＝5m，
∴；
（3）解：以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：
如图2，二次函数y＝﹣x2﹣+3的顶点为F，则F的坐标为（﹣m，4），过点F作FH⊥x轴于点H．
∵tan∠CGO＝，tan∠FGH＝，
∴＝，
∴出＝，
∵OC＝3，HF＝4，OH＝m，
∴，
∴OG＝3m．
∵GF＝＝＝4，BD＝＝＝3，
∴＝．
∵＝，
∴BD：GF：BE＝3：4：5，
∴以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是直角三角形．
2020年湖南省株洲市中考数学模拟试卷（白卷）
一、选择题，每题只有一个正确答案（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
2．（4分）去年年末，武汉市发生新型冠状病毒引起的传染病，这种病毒非常的小，直径约为125nm（纳米），1nm＝10﹣9m，则新冠病毒直径大小用科学记数法表示为（ ）
A．1.25×10﹣7m B．1.25×10﹣11m
C．1.25×10﹣10m D．1.25×10﹣6m
3．（4分）下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣1＝﹣3 B．
C．（ab3）4＝ab12 D．x5÷x3＝x2
5．（4分）一个正方形的面积是20，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
6．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．（4分）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．（4分）“红灯停绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣2，4），B（4，2），直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，则k的值不可能是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．3 D．5
10．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c取值范围是（ ）
A．﹣2＜a+b+c＜0 B．﹣2＜a+b+c＜2 C．0＜a+b+c＜2 D．a+b+c＜2
二.填空题：（每小题4分，共32分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（4分）如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝40°，则∠ACD的大小为 ．
13．（4分）因式分解：x2+4（x﹣2）﹣4＝ ．
14．（4分）已知株洲市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 ．
15．（4分）某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的标价为 元．
16．（4分）如图，已知△ABC的3个顶点均在格点上，则tanA的值为 ．
17．（4分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为 ．
18．（4分）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4．若AP＝6，求AE+AF的值为 ．
三.解答题：（6+8+8+10+10+10+13+13＝78分）
19．（6分）计算：﹣22+|﹣|﹣3tan30°+（π﹣2019）0．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．
21．（8分）某电工想换房间的灯泡，已知灯泡到地面的距离为2.65m，现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板、地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，BD＝1m．设梯子一边AD与地面的夹角为α，且α可调节的范围为60°≤α≤75°，当α＝60°时，电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大触及高度为2.60m．
（1）当α＝60°时，求踏板BE离地面的高度BH．（精确到0.01m）
（2）调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）
22．（10分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外拓展活动．现随机抽取某校的部分学生，调查他们最喜欢去的地方（A．方特； B．炎陵神农谷； C．攸县酒埠江； D．其他）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．请问：
（1）某校共调查了 名学生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若某校共有学生2500人，请估计某校最喜欢去攸县酒埠江的人数，
23．（10分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE＝时，求CG的长．
24．（10分）如图F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．
（1）求证：△MFG为等腰三角形．
（2）若AB∥MD，求证：FG2＝EG•MF．
（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．
25．（13分）如图①，M，N为矩形ABCD一组邻边AD，CD上两点，若＝＝m，则称M，N为邻边AD，CD上的一对共轭点，m为这两点的共轭系数．如图②，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的一组邻边分别交于点M，N．
（1）求证：M，N为BC，BA上的一对共轭点；
（2）若M（1，4），S四边形ONBM＝8．求M，N的共轭系数；
（3）若B（8，6），把△BMN沿MN翻折得△B′MN，当B′在ON上时，求M，N的共轭系数．
26．（13分）如图，二次函数y＝（其中m是常数，且m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，作CD∥AB，点D在二次函数的图象上，连接BD．过点B作射线BE交二次函数的图象于点E，使得AB平分∠DBE．
（1）若m＝1，直接写出A、B两点的坐标．A ，B ；
（2）求的值；
（3）二次函数y＝的顶点为F，过点C、F作直线与x轴交于点G．试说明：以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是什么三角形？请说明理由．
2020年湖南省株洲市中考数学模拟试卷（白卷）
参考答案与试题解析
一、选择题，每题只有一个正确答案（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
故选：B．
2．（4分）去年年末，武汉市发生新型冠状病毒引起的传染病，这种病毒非常的小，直径约为125nm（纳米），1nm＝10﹣9m，则新冠病毒直径大小用科学记数法表示为（ ）
A．1.25×10﹣7m B．1.25×10﹣11m
C．1.25×10﹣10m D．1.25×10﹣6m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：125nm＝125×10﹣9m＝1.25×10﹣7m．
故选：A．
3．（4分）下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣1＝﹣3 B．
C．（ab3）4＝ab12 D．x5÷x3＝x2
【分析】分别根据负整数指数幂的定义，算术平方根的定义，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、（ab3）4＝a4b12，故本选项不合题意；
D、x5÷x3＝x2，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）一个正方形的面积是20，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【分析】先设正方形的边长等于a，再根据其面积公式求出a的值，估算出a的取值范围即可．
【解答】解：设正方形的边长等于a，
∵正方形的面积是20，
∴a＝＝2，
∵16＜20＜25，
∴4＜＜5，即4＜a＜5，
∴它的边长大小在4与5之间．
故选：C．
6．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD＝80°，
∴∠BAD＝80°+30°＝110°，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝70°，
故选：C．
7．（4分）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
【解答】解：在△OEC和△ODC中，
∵，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：D．
8．（4分）“红灯停绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，看遇到两次红灯的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：共有8种情况，遇到两次红灯的概率是，
故选：B．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣2，4），B（4，2），直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，则k的值不可能是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．3 D．5
【分析】当直线y＝kx﹣2与线段AB的交点为A点时，把A（﹣2，4）代入y＝kx﹣2，求出k＝﹣3，根据一次函数的有关性质得到当k≤﹣3时直线y＝kx﹣2与线段AB有交点；当直线y＝kx﹣2与线段AB的交点为B点时，把B（4，2）代入y＝kx﹣2，求出k＝1，根据一次函数的有关性质得到，当k≥1时，直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，从而能得到正确选项．
【解答】解：把A（﹣2，4）代入y＝kx﹣2得，4＝﹣2k﹣2，解得k＝﹣3，
∴当直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，且过第二、四象限时，k满足的条件为k≤﹣3；
把B（4，2）代入y＝kx﹣2得，4k﹣2＝2，解得k＝1，
∴当直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，且过第一、三象限时，k满足的条件为k≥1．
即k≤﹣3或k≥1．
所以直线y＝kx﹣2与线段AB有交点，则k的值不可能是﹣2．
故选：B．
10．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c取值范围是（ ）
A．﹣2＜a+b+c＜0 B．﹣2＜a+b+c＜2 C．0＜a+b+c＜2 D．a+b+c＜2
【分析】函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下可知a小于0，由于抛物线顶点在第一象限即抛物线对称轴在y轴右侧，当x＝1时，抛物线的值必大于0由此可求出a的取值范围，将a+b+c用a表示出即可得出答案．
【解答】解：由图象可知：a＜0，
图象过点（0，1），所以c＝1，
图象过点（﹣1，0），则a﹣b+1＝0，
当x＝1时，应有y＞0，则a+b+1＞0，
将a﹣b+1＝0代入，可得a+（a+1）+1＞0，
解得a＞﹣1，
所以，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0．
又a+b+c＝2a+2，
∴0＜a+b+c＜2．
故选：C．
二.填空题：（每小题4分，共32分）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥ ．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：1+2x≥0，
解得x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
12．（4分）如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝40°，则∠ACD的大小为 140° ．
【分析】先根据补角的定义求出∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAE＝40°，
∴∠CAB＝180°﹣40°＝140°．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝140°．
故答案为：140°．
13．（4分）因式分解：x2+4（x﹣2）﹣4＝ （x+6）（x﹣2） ．
【分析】先化简多项式，再利用十字相乘法求解．
【解答】解：x2+4（x﹣2）﹣4
＝x2+4x﹣12
＝（x+6）（x﹣2）．
故答案为：（x+6）（x﹣2）．
14．（4分）已知株洲市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 15.6℃ ．
【分析】根据中位数的定义解答．将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2＝15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
故答案为：15.6℃．
15．（4分）某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的标价为 500 元．
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：利润＝售价﹣进价，根据此等量关系列方程即可．
【解答】解：设该服装的标价为x元，则实际售价为80%x，根据等量关系列方程得：
80%x﹣300＝100，
解得：x＝500．
故答案为：500．
16．（4分）如图，已知△ABC的3个顶点均在格点上，则tanA的值为 ．
【分析】如图，连接BD，根据勾股定理的逆定理得到BD⊥AC，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，连接BD，
∵BC＝2，BD＝，CD＝，
∴CD2+BD2＝2+2＝4＝22＝BC2，
∴BD⊥AC，
∵BD＝，AD＝＝2，
∴tanA＝＝＝，
故答案为：．
17．（4分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为 ．
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，
∴△ABC的面积为＝＝，
∴S扇形BAC＝＝π，
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，
故答案为2π﹣2．
18．（4分）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4．若AP＝6，求AE+AF的值为 6 ．
【分析】过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，Rt△PME≌Rt△PNF，问题即可得证．
【解答】解：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，DC＝BC，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴PM＝PN，
在Rt△PME与Rt△PNF中，
，
∴Rt△PME≌Rt△PNF（HL），
∴FN＝EM，
在Rt△PMA中，∠PMA＝90°，∠PAM＝∠DAB＝30°，
∴AM＝AP•cos30°＝3，
同理AN＝3，
∴AE+AF＝（AM﹣EM）+（AN+NF）＝6．
故答案为：6．
三.解答题：（6+8+8+10+10+10+13+13＝78分）
19．（6分）计算：﹣22+|﹣|﹣3tan30°+（π﹣2019）0．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4+﹣3×+1
＝﹣4+﹣+1
＝﹣3．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】首先运用乘法分配律将所求的代数式去括号，然后再合并化简，最后代值求解即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝x2﹣3﹣2x+2
＝x2﹣2x﹣1
由x2﹣2x﹣3＝0，得x2﹣2x＝3
∴原式＝3﹣1＝2．
21．（8分）某电工想换房间的灯泡，已知灯泡到地面的距离为2.65m，现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板、地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，BD＝1m．设梯子一边AD与地面的夹角为α，且α可调节的范围为60°≤α≤75°，当α＝60°时，电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大触及高度为2.60m．
（1）当α＝60°时，求踏板BE离地面的高度BH．（精确到0.01m）
（2）调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）
【分析】（1）由sin60°＝，即可求出踏板BE离地面的高度BH；
（2）先求出电工本身最大触及高度为1.73m，当α＝75°时，BH值最大，此时，sin75°＝，求出BH，电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大触及高度为1.73m+BH，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵BH⊥CD，
∴∠BHD＝90°，
∵∠BDH＝α＝60°，
∴sin60°＝，即＝，
∴BH＝≈≈0.87（m）；
（2）调节角度，电工可以换下灯泡；理由如下：
∵当α＝60°时，电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大触及高度为2.60m，BH＝0.87m，
∴电工本身最大触及高度为2.60m﹣0.87m＝1.73m，
∵BH随着α（60°≤α≤75°）的增大而增大，
∴α＝75°时，BH值最大，
此时，sin75°＝，即0.966≈，
∴BH≈0.966（m），
电工站在梯子安全档中最高一档踏板BE上的最大触及高度为：0.966m+1.73m＝2.696m＞2.65m，
∴调节角度，电工可以换下灯泡．
22．（10分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外拓展活动．现随机抽取某校的部分学生，调查他们最喜欢去的地方（A．方特； B．炎陵神农谷； C．攸县酒埠江； D．其他）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．请问：
（1）某校共调查了 100 名学生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若某校共有学生2500人，请估计某校最喜欢去攸县酒埠江的人数，
【分析】（1）根据A的人数除以A所占的百分比，可得调查的人数；
（2）用总人数减去其它类别的人数，求出C类的人数，用整体1减去其它所占的百分比，求出C所占的百分比，再补全统计图即可；
（3）用该校的总人数乘以最喜欢去攸县酒埠江的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）共调查的人数：40÷40%＝100（名）．
故答案为：100；
（2）B的人数为100﹣40﹣25﹣5＝30（人），
C所占的百分比：1﹣30%﹣40%﹣5%＝25%，
补全统计图如下：
（3）某校最喜欢去攸县酒埠江的人数有2500×25%＝625（人）．
23．（10分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE＝时，求CG的长．
【分析】（1）先判断出∠CBF＝90°，进而判断出∠1＝∠3，即可得出结论；
（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论．
【解答】证明：（1）如图，在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∠1+∠2＝∠DCB＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴∠3+∠2＝∠ECF＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△CDE和△CBF中，，
∴△CDE≌△CBF，
（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，
∴，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∴BF＝DE＝，
∵正方形的边长为1，
∴AF＝AB+BF＝，AE＝AD﹣DE＝，
∴，
∴BG＝，
∴CG＝BC﹣BG＝
24．（10分）如图F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．
（1）求证：△MFG为等腰三角形．
（2）若AB∥MD，求证：FG2＝EG•MF．
（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．
【分析】（1）连接OF，利用等角的余角相等证明∠MFG＝∠MGF即可解决问题．
（2）连接EF．证明△EGF∽△FGM，可得结论，
（3）连接OB．证明∠M＝∠FOD，推出tan∠M＝tan∠FOD＝＝，由DF＝6，推出OF＝8，再由tan∠M＝tan∠ABH＝＝，假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝BG＝5k，GH＝k，AG＝k，在Rt△OHB中，根据OH2+BH2＝OB2，构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OF．
∵DM是⊙O的切线，
∴DM⊥OF，
∴∠MFG+∠OFA＝90°，
∵BM⊥AD，
∴∠AHG＝90°，
∴∠OAF+∠AGH＝90°，
∵OF＝OA，
∴∠OFA＝∠OAF，
∵∠MGF＝∠AGH，
∴∠MFG＝∠AGF，
∴MF＝MG，
∴△MFG是等腰三角形．
（2）证明：连接EF．
∵AB∥DM，
∴∠MFA＝∠FAB，
∵∠FAB＝∠FEG，∠MFG＝∠MGF，
∴∠FEG＝∠MFG，
∵∠EGF＝∠MGF，
∴△EGF∽△FGM，
∴＝，
∴FG2＝EG•GM，
∵MF＝MG，
∴FG2＝EG•MF．
（3）解：连接OB．
∵∠M+∠D＝90°，∠FOD+∠D＝90°，
∴∠M＝∠FOD，
∴tanM＝tan∠FOD＝＝，
∵DF＝6，
∴OF＝8，
∵DM∥AB，
∴∠M＝∠ABH，
∴tanM＝tan∠ABH＝＝，
∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝BG＝5k，GH＝k，AG＝k，
在Rt△OHB中，∵OH2+BH2＝OB2，
∴（8﹣3k）2+（4k）2＝82，
解得k＝，
∴AG＝．
25．（13分）如图①，M，N为矩形ABCD一组邻边AD，CD上两点，若＝＝m，则称M，N为邻边AD，CD上的一对共轭点，m为这两点的共轭系数．如图②，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的一组邻边分别交于点M，N．
（1）求证：M，N为BC，BA上的一对共轭点；
（2）若M（1，4），S四边形ONBM＝8．求M，N的共轭系数；
（3）若B（8，6），把△BMN沿MN翻折得△B′MN，当B′在ON上时，求M，N的共轭系数．
【分析】（1）由反比例函数的性质可得BC•AN＝CM•AB，可得，可得，可得结论；
（2）连接OM，ON，先求出矩形AOCB是矩形，即可求m＝；
（3）延长BC至D，使得MD＝BM，过点D作DF⊥x轴于F，交NO的延长线于点E，由“HL”可证Rt△DME≌Rt△B'ME，可得∠DME＝∠EMB'，通过证明△DME∽△BNM，由相似三角形的性质可求DE＝x，通过证明△EFO∽△NAO，可得，可求x的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵点M，N是反比例函数y＝图象上的点，
∴BC•AN＝CM•AB，
∴，
∴，
∴M，N为BC，BA上的一对共轭点；
（2）如图，连接OM，ON，
∵M（1，4），
∴k＝1×4＝4，OC＝4，
∴反比例函数解析式为：y＝，
∴S△CMO＝S△OAN＝2，
∴S矩形ABCO＝S△CMO+S△OAN+S四边形ONBM＝12，
∵CO＝4，
∴BC＝3，
∴BM＝BC﹣CM＝2，
∴m＝；
（3）如图，延长BC至D，使得MD＝BM，过点D作DF⊥x轴于F，交NO的延长线于点E，
∵点B（8，6）
∴AB＝CO＝6，BC＝AO＝8，
∵AN•AO＝CM•CO，
∴，
∴AN＝CM，
∴＝，
设BN＝3x，BM＝4x，则DM＝4x，
∵把△BMN沿MN翻折得△B′MN，
∴BM＝B'M，∠B＝∠MB'N＝90°，
在Rt△DME和Rt△B'ME中，DM＝B'M＝BM，EM＝EM，
∴Rt△DME≌Rt△B'ME（HL），
∴∠DME＝∠EMB'，
∴∠EMN＝90°，
∴∠DME+∠BMN＝90°，且∠BMN+∠BNM＝90°，
∴∠DME＝∠MNB，且∠B＝∠D＝90°，
∴△DME∽△BNM，
∴
∴DE＝x，
∵∠EOF＝∠AON，∠NAO＝∠EFO＝90°，
∴△EFO∽△NAO，
∴，
∴
∴x＝0（舍去），x＝，
∴BN＝，AN＝6﹣BN＝，
∴m＝＝．
26．（13分）如图，二次函数y＝（其中m是常数，且m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，作CD∥AB，点D在二次函数的图象上，连接BD．过点B作射线BE交二次函数的图象于点E，使得AB平分∠DBE．
（1）若m＝1，直接写出A、B两点的坐标．A （﹣3，0） ，B （1，0） ；
（2）求的值；
（3）二次函数y＝的顶点为F，过点C、F作直线与x轴交于点G．试说明：以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是什么三角形？请说明理由．
【分析】（1）将m＝1代入y＝﹣x2﹣+3，求出y＝0时x的值即可得到A、B两点的坐标；
（2）过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．先求出D点的坐标为（﹣2m，3），再证明△BDM∽△BEN，得出．设E点坐标为（x，﹣x2﹣+3），求出x＝﹣4m，得到E（﹣4m，﹣5），进而求出；
（3）先求出二次函数y＝﹣x2﹣+3的顶点F的坐标为（﹣m，4），过点F作FH⊥x轴于点H．由tan∠CGO＝，tan∠FGH＝，得出＝，求出OG＝3m．再根据勾股定理得出GF＝＝＝4，BD＝＝＝3，那么＝．又由（2）可知＝，那么BD：GF：BE＝3：4：5，根据勾股定理的逆定理得出以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是直角三角形．
【解答】（1）解：∵若m＝1，则y＝﹣x2﹣2x+3，
∴当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
故答案为：（﹣3，0），（1，0）；
（2）解：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．
由﹣x2﹣+3＝0，
解得 x1＝m，x2＝﹣3m，
则 A（﹣3m，0），B（m，0）．
∵CD∥AB，
∴D点的纵坐标为3，
又∵D点在抛物线上，
∴将D点纵坐标代入抛物线方程，得D点的坐标为（﹣2m，3）．
∵AB平分∠DBE，
∴∠DBM＝∠EBN，
∵∠DMB＝∠ENB＝90°，
∴△BDM∽△BEN，
∴．
设E点坐标为（x，﹣x2﹣+3），
∴＝，
∴x＝﹣4m，
∴E（﹣4m，﹣5），
∵BM＝3m，BN＝m﹣x＝5m，
∴；
（3）解：以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：
如图2，二次函数y＝﹣x2﹣+3的顶点为F，则F的坐标为（﹣m，4），过点F作FH⊥x轴于点H．
∵tan∠CGO＝，tan∠FGH＝，
∴＝，
∴出＝，
∵OC＝3，HF＝4，OH＝m，
∴，
∴OG＝3m．
∵GF＝＝＝4，BD＝＝＝3，
∴＝．
∵＝，
∴BD：GF：BE＝3：4：5，
∴以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是直角三角形．
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