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2019-2020学年山东省临沂市郯城县九年级（下）期中数学试卷
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这是一份2019-2020学年山东省临沂市郯城县九年级（下）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了已知锐角∠AOB，如图，等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年山东省临沂市郯城县九年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共14小题，满分42分，每小题3分）
1．（3分）若|a|＝3，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3
C．3或﹣3 D．以上答案都不对
2．（3分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103
3．（3分）如图所示，正三棱柱的左视图（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
5．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4 B．2x2•3x2＝6x2
C．a÷a﹣2＝a3 D．（﹣a2b）3＝﹣a6b2
6．（3分）不等式＞x的解为（ ）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
7．（3分）在一次射击训练中，一小组的成绩如表：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数为（ ）
环数
7
8
9
人数
2
3
A．5 B．6 C．4 D．7
8．（3分）计算的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
9．（3分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
10．（3分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，BC＝1，则阴影部分的面积是（ ）
A．1+π B．+π C．+π D．1+π
13．（3分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
15．（3分）如果点P（x，y）关于直线x＝2的对称点是（﹣3，4），那么P点的坐标是
16．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝ °．
17．（3分）一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝ ．
18．（3分）盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为 元．
19．（3分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k＝ ．
三．解答题（共7小题，满分63分）
20．（7分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+．
21．（7分）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
22．（7分）如图所示，直线AC∥DE，DA⊥AC，隧道BC在直线AC上．某施工队要测量隧道BC的长，在点D处观测点B，测得∠BDA＝45°，在点E处观测点C，测得∠CEF＝53°，且测得AD＝600米，DE＝500米，试求隧道BC的长．【参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈】
23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求证：∠BEC＝90°；
（2）求cos∠DAE．
24．（10分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
26．（13分）如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．
2019-2020学年山东省临沂市郯城县九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题，满分42分，每小题3分）
1．（3分）若|a|＝3，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3
C．3或﹣3 D．以上答案都不对
【分析】根据绝对值解答即可．
【解答】解：因为|a|＝3，
所以a＝3或﹣3，
故选：C．
【点评】此题考查绝对值，关键是根据绝对值的定义解答．
2．（3分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图所示，正三棱柱的左视图（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据简单几何体的三视图，可得答案．
【解答】解：主视图是一个矩形，俯视图是两个矩形，左视图是正三角形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
4．（3分）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
5．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4 B．2x2•3x2＝6x2
C．a÷a﹣2＝a3 D．（﹣a2b）3＝﹣a6b2
【分析】直接利用单项式乘以单项式以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、3x2+4x2＝7x2，故此选项不合题意；
B、2x2•3x2＝6x4，故此选项不合题意；
C、a÷a﹣2＝a3，故此选项符合题意；
D、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3分）不等式＞x的解为（ ）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
【分析】去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：＞x，
3﹣x＞2x，
3＞3x，
x＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1．
7．（3分）在一次射击训练中，一小组的成绩如表：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数为（ ）
环数
7
8
9
人数
2
3
A．5 B．6 C．4 D．7
【分析】设成绩为8环的人数为x，根据该小组的平均成绩为8.1环，利用加权平均数的定义列出方程求解可得．
【解答】解：设成绩为8环的人数为x，
根据题意得＝8.1，
解得x＝5，
经检验：x＝5是原分式方程的解，
∴成绩为8环的有5人，
故选：A．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
8．（3分）计算的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】几个分式相加减，根据分式加减法则进行运算，如果分式分母互为相反数，则先将其变为同分母分数，然后再直接相加减即可．
【解答】解：，故选B．
【点评】在进行分式的加减运算时，应注意分式符号的改变．
9．（3分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；
设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，
则∠OCD＝∠OCM＝，
∴∠MCD＝180°﹣α，
又∵∠CMN＝∠CON＝α，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
10．（3分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y＝ax+b经过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y＝ax+b过一、二、四象限，
双曲线y＝在二、四象限，
∴C是正确的．
故选：C．
【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
11．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故选：B．
【点评】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解．
12．（3分）如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，BC＝1，则阴影部分的面积是（ ）
A．1+π B．+π C．+π D．1+π
【分析】连接OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长1，利用三角形和扇形的面积公式即可求解；
【解答】解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OA，OB，OC，
∴OD是BC的垂直平分线
∴，
∴AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∴A、O、D共线，
∵∠ACB＝75°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝BC＝1，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD＝OB＝，
∴AD＝1+，
∴S△ABC＝BC•AD＝，
S△BOC＝BC•OD＝，
∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝+﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC是解题的关键．
13．（3分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜；真命题：
理由：∵a＞b，ab＞0，
∴＞
∴＜；
②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；
理由：∵ab＞0，
∴×ab＜×ab，
∴a＞b．
③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；
理由：∵＜，
∴﹣＜0，
即＜0，
∵a＞b，
∴b﹣a＜0，
∴ab＞0
∴组成真命题的个数为3个；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．由此即可判断．
【解答】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，
当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
15．（3分）如果点P（x，y）关于直线x＝2的对称点是（﹣3，4），那么P点的坐标是 （7，4）
【分析】根据关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点解答即可．
【解答】解：点P（x，y）关于直线x＝2的对称点是（﹣3，4），那么P点的坐标是（7，4）．
故答案为：（7，4）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解答本题的关键在于熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）；（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
16．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝ 128 °．
【分析】直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：延长DC，
由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°，
则∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．
故答案为：128．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确应用相关性质是解题关键．
17．（3分）一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝ ±10 ．
【分析】利用题中四次方根的定义求解．
【解答】解：∵＝10，
∴m4＝104，
∴m＝±10．
故答案为：±10
【点评】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
18．（3分）盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为 53 元．
【分析】设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：53．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．（3分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k＝ 15 ．
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【解答】解：作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，
∴OH＝4，
∴A′（6，4），
∵BD＝A′D，
∴D（3，5），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝15．
故答案为15．
【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三．解答题（共7小题，满分63分）
20．（7分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+
＝2+1﹣2×+3
＝3﹣1+3
＝5
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
21．（7分）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ 120 ，b＝ 0.1 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
【分析】（1）由0.5＜t≤1的频数与频率可得总人数a，再用12除以总人数可得b的值；
（2）总人数乘以0.4得出第3组频数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想可得．
【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120，0.1；
（2）1＜t≤1.5的人数为120×0.4＝48，
补全图形如下：
（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为1200×（0.4+0.1）＝600（人）．
【点评】本题主要考查频率分布直方图和频率分布表的知识和分析问题以及解决问题的能力，解题的关键是能够读懂统计图，并从中读出有关信息．
22．（7分）如图所示，直线AC∥DE，DA⊥AC，隧道BC在直线AC上．某施工队要测量隧道BC的长，在点D处观测点B，测得∠BDA＝45°，在点E处观测点C，测得∠CEF＝53°，且测得AD＝600米，DE＝500米，试求隧道BC的长．【参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈】
【分析】作EM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，
作EM⊥AC于M，
则AM＝DE＝500，
∴BM＝100，
在Rt△CEM中，tan53°＝，
∴CM＝800，
∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）
答：隧道BC长为700米
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求证：∠BEC＝90°；
（2）求cos∠DAE．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DC＝AB，AD＝CB，DC∥AB，推出∠DEA＝∠EAB，再根据角平分线性质得出∠DAE＝∠DEA，推出AD＝DE＝10，得出AB＝CD＝16，由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）由平行线得出∠ABE＝∠BEC＝90°，由勾股定理求出AE＝＝8，得出cos∠DAE＝cos∠EAB，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA
∴AD＝DE＝10，
∴BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16，
∵CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC＝90°，
∴AE＝＝＝8，
∴cos∠DAE＝cos∠EAB＝＝＝．
【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定、三角函数等知识点，证明AD＝DE是解题的关键．
24．（10分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的速度为：30÷3＝10km/h，
小李的速度为：（30﹣10×1）÷1＝20km/h，
答：小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30÷20＝1.5h，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15km，
∴点C的坐标为（1.5，15），
设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y＝30x﹣30（1≤x≤1.5）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；
（2）连接AD，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵D是的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOE，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，在Rt△ADH中，
∵∠DAC＝∠C，
∴tan∠DAC＝tanC＝，
∵DH＝9，
∴AD＝12，
在Rt△BDA中，∵tanB＝tanC＝，
∴sinB＝，
∴AB＝20．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
26．（13分）如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．
【分析】（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式，即可求解；
（2）S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB＝×OB×PH，即可求解；
（3）求出点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），即可求解．
【解答】解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，
将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），
S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，
∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，
S△PCB＝×OB×PH＝×4（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+6x，
∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；
（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M′，设∠MBC＝∠ABC＝2α，
过点B在BC之下作角度数为α的角，交抛物线于点M，
过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，则GH＝GN，BC是GH的中垂线，
OB＝4，OC＝3，则BC＝5，
设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，
由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，
则OG＝GK＝，GH＝2OG＝，点G（0，﹣），
在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，
则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，
则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），
则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，
同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③
联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，
解得：x＝或4（舍去4），
则点M（，﹣）；
联立①③并解得：x＝﹣，
故点M′（﹣，﹣）；
故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．
【点评】本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），用解直角三角形的方法求解点K坐标，是本题的难点．
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日期：2021/4/16 9:44:52；用户：郑夏蓉；邮箱：18818427601；学号：24762951
2019-2020学年山东省临沂市郯城县九年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共14小题，满分42分，每小题3分）
1．（3分）若|a|＝3，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3
C．3或﹣3 D．以上答案都不对
2．（3分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103
3．（3分）如图所示，正三棱柱的左视图（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
5．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4 B．2x2•3x2＝6x2
C．a÷a﹣2＝a3 D．（﹣a2b）3＝﹣a6b2
6．（3分）不等式＞x的解为（ ）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
7．（3分）在一次射击训练中，一小组的成绩如表：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数为（ ）
环数
7
8
9
人数
2
3
A．5 B．6 C．4 D．7
8．（3分）计算的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
9．（3分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
10．（3分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，BC＝1，则阴影部分的面积是（ ）
A．1+π B．+π C．+π D．1+π
13．（3分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
15．（3分）如果点P（x，y）关于直线x＝2的对称点是（﹣3，4），那么P点的坐标是
16．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝ °．
17．（3分）一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝ ．
18．（3分）盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为 元．
19．（3分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k＝ ．
三．解答题（共7小题，满分63分）
20．（7分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+．
21．（7分）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
22．（7分）如图所示，直线AC∥DE，DA⊥AC，隧道BC在直线AC上．某施工队要测量隧道BC的长，在点D处观测点B，测得∠BDA＝45°，在点E处观测点C，测得∠CEF＝53°，且测得AD＝600米，DE＝500米，试求隧道BC的长．【参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈】
23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求证：∠BEC＝90°；
（2）求cos∠DAE．
24．（10分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
26．（13分）如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．
2019-2020学年山东省临沂市郯城县九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题，满分42分，每小题3分）
1．（3分）若|a|＝3，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3
C．3或﹣3 D．以上答案都不对
【分析】根据绝对值解答即可．
【解答】解：因为|a|＝3，
所以a＝3或﹣3，
故选：C．
【点评】此题考查绝对值，关键是根据绝对值的定义解答．
2．（3分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图所示，正三棱柱的左视图（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据简单几何体的三视图，可得答案．
【解答】解：主视图是一个矩形，俯视图是两个矩形，左视图是正三角形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
4．（3分）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
5．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4 B．2x2•3x2＝6x2
C．a÷a﹣2＝a3 D．（﹣a2b）3＝﹣a6b2
【分析】直接利用单项式乘以单项式以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、3x2+4x2＝7x2，故此选项不合题意；
B、2x2•3x2＝6x4，故此选项不合题意；
C、a÷a﹣2＝a3，故此选项符合题意；
D、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3分）不等式＞x的解为（ ）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
【分析】去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：＞x，
3﹣x＞2x，
3＞3x，
x＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1．
7．（3分）在一次射击训练中，一小组的成绩如表：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数为（ ）
环数
7
8
9
人数
2
3
A．5 B．6 C．4 D．7
【分析】设成绩为8环的人数为x，根据该小组的平均成绩为8.1环，利用加权平均数的定义列出方程求解可得．
【解答】解：设成绩为8环的人数为x，
根据题意得＝8.1，
解得x＝5，
经检验：x＝5是原分式方程的解，
∴成绩为8环的有5人，
故选：A．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
8．（3分）计算的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】几个分式相加减，根据分式加减法则进行运算，如果分式分母互为相反数，则先将其变为同分母分数，然后再直接相加减即可．
【解答】解：，故选B．
【点评】在进行分式的加减运算时，应注意分式符号的改变．
9．（3分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；
设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，
则∠OCD＝∠OCM＝，
∴∠MCD＝180°﹣α，
又∵∠CMN＝∠CON＝α，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
10．（3分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y＝ax+b经过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y＝ax+b过一、二、四象限，
双曲线y＝在二、四象限，
∴C是正确的．
故选：C．
【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
11．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故选：B．
【点评】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解．
12．（3分）如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，BC＝1，则阴影部分的面积是（ ）
A．1+π B．+π C．+π D．1+π
【分析】连接OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长1，利用三角形和扇形的面积公式即可求解；
【解答】解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OA，OB，OC，
∴OD是BC的垂直平分线
∴，
∴AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∴A、O、D共线，
∵∠ACB＝75°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝BC＝1，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD＝OB＝，
∴AD＝1+，
∴S△ABC＝BC•AD＝，
S△BOC＝BC•OD＝，
∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝+﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC是解题的关键．
13．（3分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜；真命题：
理由：∵a＞b，ab＞0，
∴＞
∴＜；
②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；
理由：∵ab＞0，
∴×ab＜×ab，
∴a＞b．
③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；
理由：∵＜，
∴﹣＜0，
即＜0，
∵a＞b，
∴b﹣a＜0，
∴ab＞0
∴组成真命题的个数为3个；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．由此即可判断．
【解答】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，
当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
15．（3分）如果点P（x，y）关于直线x＝2的对称点是（﹣3，4），那么P点的坐标是 （7，4）
【分析】根据关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点解答即可．
【解答】解：点P（x，y）关于直线x＝2的对称点是（﹣3，4），那么P点的坐标是（7，4）．
故答案为：（7，4）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解答本题的关键在于熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）；（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
16．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝ 128 °．
【分析】直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：延长DC，
由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°，
则∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．
故答案为：128．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确应用相关性质是解题关键．
17．（3分）一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝ ±10 ．
【分析】利用题中四次方根的定义求解．
【解答】解：∵＝10，
∴m4＝104，
∴m＝±10．
故答案为：±10
【点评】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
18．（3分）盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为 53 元．
【分析】设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：53．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．（3分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k＝ 15 ．
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【解答】解：作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，
∴OH＝4，
∴A′（6，4），
∵BD＝A′D，
∴D（3，5），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝15．
故答案为15．
【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三．解答题（共7小题，满分63分）
20．（7分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+
＝2+1﹣2×+3
＝3﹣1+3
＝5
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
21．（7分）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ 120 ，b＝ 0.1 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
【分析】（1）由0.5＜t≤1的频数与频率可得总人数a，再用12除以总人数可得b的值；
（2）总人数乘以0.4得出第3组频数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想可得．
【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120，0.1；
（2）1＜t≤1.5的人数为120×0.4＝48，
补全图形如下：
（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为1200×（0.4+0.1）＝600（人）．
【点评】本题主要考查频率分布直方图和频率分布表的知识和分析问题以及解决问题的能力，解题的关键是能够读懂统计图，并从中读出有关信息．
22．（7分）如图所示，直线AC∥DE，DA⊥AC，隧道BC在直线AC上．某施工队要测量隧道BC的长，在点D处观测点B，测得∠BDA＝45°，在点E处观测点C，测得∠CEF＝53°，且测得AD＝600米，DE＝500米，试求隧道BC的长．【参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈】
【分析】作EM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，
作EM⊥AC于M，
则AM＝DE＝500，
∴BM＝100，
在Rt△CEM中，tan53°＝，
∴CM＝800，
∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）
答：隧道BC长为700米
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求证：∠BEC＝90°；
（2）求cos∠DAE．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DC＝AB，AD＝CB，DC∥AB，推出∠DEA＝∠EAB，再根据角平分线性质得出∠DAE＝∠DEA，推出AD＝DE＝10，得出AB＝CD＝16，由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）由平行线得出∠ABE＝∠BEC＝90°，由勾股定理求出AE＝＝8，得出cos∠DAE＝cos∠EAB，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA
∴AD＝DE＝10，
∴BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16，
∵CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC＝90°，
∴AE＝＝＝8，
∴cos∠DAE＝cos∠EAB＝＝＝．
【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定、三角函数等知识点，证明AD＝DE是解题的关键．
24．（10分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的速度为：30÷3＝10km/h，
小李的速度为：（30﹣10×1）÷1＝20km/h，
答：小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30÷20＝1.5h，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15km，
∴点C的坐标为（1.5，15），
设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y＝30x﹣30（1≤x≤1.5）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；
（2）连接AD，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵D是的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOE，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，在Rt△ADH中，
∵∠DAC＝∠C，
∴tan∠DAC＝tanC＝，
∵DH＝9，
∴AD＝12，
在Rt△BDA中，∵tanB＝tanC＝，
∴sinB＝，
∴AB＝20．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
26．（13分）如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．
【分析】（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式，即可求解；
（2）S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB＝×OB×PH，即可求解；
（3）求出点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），即可求解．
【解答】解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，
将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），
S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，
∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，
S△PCB＝×OB×PH＝×4（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+6x，
∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；
（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M′，设∠MBC＝∠ABC＝2α，
过点B在BC之下作角度数为α的角，交抛物线于点M，
过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，则GH＝GN，BC是GH的中垂线，
OB＝4，OC＝3，则BC＝5，
设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，
由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，
则OG＝GK＝，GH＝2OG＝，点G（0，﹣），
在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，
则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，
则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），
则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，
同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③
联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，
解得：x＝或4（舍去4），
则点M（，﹣）；
联立①③并解得：x＝﹣，
故点M′（﹣，﹣）；
故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．
【点评】本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），用解直角三角形的方法求解点K坐标，是本题的难点．
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日期：2021/4/16 9:44:52；用户：郑夏蓉；邮箱：18818427601；学号：24762951
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