2021年高考数学三轮冲刺训练解三角形含解析

解三角形

高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

4.判定三角形形状的两种常用途径

(1)化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断;

(2)化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;

一、利用正弦定理可解决两类问题

二、利用余弦定理可解决两类问题

.1、在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=

A．  B． 

C．  D．

【答案】A

【解析】在中，，，，

根据余弦定理：，

，

可得 ，即，

由，

故.

故选：A．

2、在中，，，，则

A．  B．

C．        D．

【答案】A

【解析】因为

所以，故选A.

3、的内角的对边分别为，，，若的面积为，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题可知，所以，

由余弦定理，得，因为，所以，故选C.

4、如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

【答案】

【解析】，，，

由勾股定理得，

同理得，，

在中，，，，

由余弦定理得，

，

在中，，，，

由余弦定理得.

故答案为：.

5、的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．

【答案】

【解析】由余弦定理得，所以，即，

解得（舍去），

所以，

6、中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值．

【解析】（1）由正弦定理和已知条件得，①

由余弦定理得，②

由①，②得.

因为，所以.

（2）由正弦定理及（1）得，

从而，.

故.

又，所以当时，周长取得最大值.

7、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

【解析】（1）在中，因为，

由余弦定理，得，

所以.

在中，由正弦定理，

得，

所以

（2）在中，因为,所以为钝角，

而,所以为锐角.

故则.

因为，所以，.

从而

.

8、在中，角所对的边分别为．已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【解析】（Ⅰ）在中，由余弦定理及，有．又因为，所以．

（Ⅱ）在中，由正弦定理及，可得．

（Ⅲ）由及，可得，

进而．

所以，．

9、在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，故，

由题意得.

（Ⅱ）由得，

由是锐角三角形得.

由得

.

故的取值范围是.

10、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由已知得，

故由正弦定理得．

由余弦定理得．

因为，所以．

（2）由（1）知，

由题设及正弦定理得，

即，可得．

由于，所以，故

．

11、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

【答案】（1）B=60°；（2）.

【解析】（1）由题设及正弦定理得．

因为sinA0，所以．

由，可得，故．

因为，故，

因此B=60°．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．

由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，

由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，

从而．

因此，△ABC面积的取值范围是．

12、在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．

（1）求b，c的值；

（2）求sin（B–C）的值．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）由余弦定理，得

.

因为，

所以.

解得.

所以.

（2）由得.

由正弦定理得.

在中，∠B是钝角，

所以∠C为锐角.

所以.

所以.

13、在中，内角所对的边分别为．已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）在中，由正弦定理，得，

又由，得，即．

又因为，得到，．

由余弦定理可得．

（2）由（1）可得，

从而，，故

．

14、在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）和的面积．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【解析】选择条件①（Ⅰ）

（Ⅱ）

由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：

（Ⅱ）

15、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】方案一：选条件①．

由和余弦定理得．

由及正弦定理得．

于是，由此可得．

由①，解得．

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．

方案二：选条件②．

由和余弦定理得．

由及正弦定理得．

于是，由此可得，，．

由②，所以．

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．

方案三：选条件③．

由和余弦定理得．

由及正弦定理得．

于是，由此可得．

由③，与矛盾．

因此，选条件③时问题中的三角形不存在．

一、单选题

1、在中，若    ，则=（      ）

A．1 B．2         C．3 D．4

【答案】A

【解析】

余弦定理将各值代入

得

解得或(舍去)选A.

2、已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意知，由余弦定理，，故，有，故.

故选：B

3、泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（    ）

A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m

【答案】A

【解析】

如图,为“泉标”高度,设高为米，由题意,平面,米,，

．
在中,,在中,,
在中,，,，,
由余弦定理可得，
解得或 (舍去),
故选：B.

4、在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

由题意可得，在中，因为，

所以，因为，

所以，，

结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，

所以，即，所以，

因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，

所以充分性不满足，

反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，

所以为既不充分也不必要条件，故选D.

5、在中，满足，则下列说法中错误的是（    ）

A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为等腰

【答案】B

【解析】若，取，

此时三个内角满足，故A正确且D正确.

若，则，故，

故，故，所以，与内角和为矛盾，故B错误.

若， 取，则，

此时三个内角满足，故C正确.

故选：B.

二、多选题

6、，，分别为内角，，的对边.已知，且，则（    ）

A． B．

C．的周长为 D．的面积为

【答案】ABD

【解析】∵，

∴，∴.

由余弦定理得，

整理得，又，

∴，.

周长为.

故的面积为.

故选：ABD

7、当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形，则（    ）

A．的面积 B．

C．两函数的图象必在处有交点 D．

【答案】BD

【解析】由可得，而，

因为当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形，

所以该直角三角形斜边上的高为，且该直角三角形必为等腰直角三角形，因此斜边为，所以这两个函数的周期都为，则，所以，即B正确；

三角形的面积为，故A错；

当时，，因为这两个函数恰有三个交点，所以，又，所以，故D正确；

因为，所以两函数的图象在处不可能有交点，故C错.

故选：BD

8、在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（    ）

A．，，依次成等差数列

B．，，依次成等差数列

C．，，依次成等差数列

D．，，依次成等差数列

【答案】ABD

【解析】中，内角所对的边分别为，若，，依次成等差数列，
则：，
利用，
整理得：，
利用正弦和余弦定理得：，
整理得：，
即：依次成等差数列.

此时对等差数列的每一项取相同的运算得到数列，，或，，或，，，这些数列一般都不可能是等差数列，除非，但题目没有说是等边三角形，
故选：ABD.

三、填空题

9、在中，分别为内角的对边，若，且，则__________．

【答案】4

【解析】

已知等式，利用正弦定理化简得：，可得，，可解得，余弦定理可得，，可解得，故答案为.

10、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______．

【答案】4

【解析】

∵，

∴由正弦定理得，

∴，

又，

∴由余弦定理得，∴，

∵为的内角，∴，∴，

∴，

故答案为：4．

11、在中，已知，的平分线交于，且，，则的面积为_________.

【答案】

【解析】因为平分，所以，

设，则，，

因为，设，

所以，

所以，，

因为，所以，即，

在中，，所以，

可得，解得：，

所以，

所以，

，

所以，

故答案为：

四、解答题

12、从①的面积；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.如图，在平面四边形中，，，对角线平分，且____________________，求线段的长.

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】4

【解析】

选①，

∴

∴

，.

选②，过点作延长线的垂线，垂足于

因为，所以，所以

因为对角线平分，所以

所以

13、在①，②;③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并做答.

问题:已知的内角的对边分别为，________，角的平分线交于点，求的长.

(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

【答案】.

【解析】

若选条件①：由，可得

因为，

所以

在中，由

所以，

所以

(法一）因为为角平分线，

所以，

故，

在中，，

可得

(法二）因为为角平分线，

所以，

因为

所以，

解得

若选条件②：由，

可得，

因为

所以，

可得，

因为，

所以

故，

可得.

（下同条件①)

若选条件③:由，可得，

在中，由，

所以，

所以.

（下同条件①).

14、在中，角的对边分别为，且， ，           .在①；②；③的面积为.这三个条件中任选一个，补在上面条件中，若问题中三角形存在，求的周长；若问题中三角形不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

若选①，由，知，

由得，即，即，

在中由余弦定理得：，

即，所以，

由，故，

所以，

所以三角形周长为

若选②，由得，即，即，

而，所以，即，

在中由余弦定理得：，

即，

即，即，所以，

所以三角形周长为

若选③，由得， ，即，

三角形面积

由，得，而，

即，

而，即，

所以，所以，

由，所以，，

于是，

所以，即，所以，

所以三角形周长为.

15、在中，且，，均为整数.

（1）求的大小；

（2）设的中点为，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1），不能是钝角，

若，，且在内单调递增，

又，都大于，与矛盾

，即

（2），

又，即

由，均为整数，且，可得

则；

由正弦定理，可得

又的中点为，则，

即

即

解得，故

16、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，成等差数列.

（1）求角B的大小；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1），，成等差数列，

，

由正弦定理，，

中，，，

，

又，，

，.

（2），，

，

.

17、已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC中的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，Z. （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）.

所以，解得，.

所以函数的单调递增区间为，.  

（Ⅱ）因为，所以.所以. 

又因为，所以，即.

而，所以，即.

又因为，所以．