2021年浙江省台州市路桥区一模数学试卷（word版，含答案）

这是一份2021年浙江省台州市路桥区一模数学试卷（word版，含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省台州市路桥区一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．比小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．习总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣告：我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫．数据9899万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学测验成绩的平均数都是110分，方差分别是，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（   ）
A．6            B．7            C．8             D．9
6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在边长为4的正方形内部裁得一个扇形，若将该扇形围成一个圆锥，则此圆锥的底面半径为（ ）

A．1 B． C． D．2
9．甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．甲的骑行速度是 B．两地的总路程为
C．乙出发后追上甲 D．甲比乙晚到达B地
10．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．因式分解：________.
12．如图，分别是等边三边的中点，，则四边形的周长为______．

13．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，则这枚硬币两次的结果相同的概率为_______．
14．对于实数，定义运算“”如下：．例如：，则不等式的解集为_______．
15．如图，在矩形中，将矩形沿着折痕折叠，点落在上，与边交于点G．若点C恰好与的中点重合，且，则的值为______．

16．如图，已知：，．现将绕点C逆时针旋转度，线段与直线交于点O，连接．则当时，线段的长为________．


三、解答题
17．计算：．
18．小汪解答“解分式方程：”的过程如图，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：……①
去括号得：……②
移项得：……③
合并同类项得：……④
系数化为1得：……⑤
是原分式方程的解……⑥

19．如图是某款风筝的骨架示意图，测得，求该风筝的最大翼展，即求点B到点C的距离．（结果取整数．参考数据：．）

20．如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中画一个以为顶点的平行四边形（非矩形）；
（2）在图2中过点C作，使点E在格点上；
（3）在图3中作，使点F在格点上，且不在直线上．
21．某校组织全校1800名学生参加建党“百年华诞”诗词诵读活动，并在活动之后举办诗词大赛．为了解本次活动的持续效果，团委在活动启动初期，随机抽取50名学生调查“一周诗词诵背数量”，绘得如下统计表．大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘得如下统计图．请根据调查的信息，解答下列问题：
（1）求活动初期被抽查的学生“一周诗词诵背数量”的中位数；
（2）估计大赛后一个月，该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）请你选择适当的统计量，从两个不同的角度分析相关数据，评价该校建党“百年华诞”诗词诵读系列活动的效果．
一周诗词诵背数量统计表
一周诗词诵
背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
8
7
13
10
8
4


22．如图1，在中，点H是直径上的一点，过H点作弦，点E是的中点，过点E作的平行线交延长线于点F，连接，交于点G．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，连接，若，则当k为何值时，线段？
23．路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季．已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系如下：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：

（1）求日销售量y与时间t的函数关系式；
（2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克白虾，就捐赠元给公益事业．在这前40天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
24．已知：在菱形中，，点P为菱形内一点，且．

（1）如图1，当点P在菱形对角线上时，求的长；
（2）如图2，点M在线段上，点N在线段上，且，连接，若，求的值；
（3）如图3，延长交延长线于点E，连接并延长交延长线于点F．
①求证：；
②判断是否有最大值？若有，请直接写出最大值；若没有，请说明理由．


参考答案
1．A
【详解】
解：，故选A．
2．B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
解：9899万=9899×104=9.899×103×104=9.899×107．
故选择：B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．D
【分析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【详解】
解：∵，，，，
∴，
∴四个人中成绩最稳定的是丁，
故选：D．
【点睛】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．A
【分析】
根据整式与实数的运算法则即可判断．
【详解】
A.，正确；
B.，故错误；
C.不能计算，故错误；
D.，故错误；
故选A．
【点睛】
此题主要考查整式与实数的运算，解题的关键是熟知各自的运算法则．
5．C
【分析】
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】
设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=3×360°，解得n=8．
【点睛】
熟练掌握多边形内角和公式和外角和是解决本题的关键，难度较小.
6．C
【分析】
设小马有x匹，大马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】
解：设小马有x匹，大马有y匹，由题意可得：
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
7．C
【分析】
结合题意，根据反比例函数图像的性质分析，即可得到答案．
【详解】
反比例函数
当时，，且随着的增大而增大；
当时，，且随着的增大而增大；
∵
∴，即
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，从而完成求解．
8．A
【分析】
求出弧长AC的长度，再根据圆的周长公式可得到此圆锥的底面半径．
【详解】
依题意可求出弧长AC的长度为=
∵弧长AC的长度等于圆锥的底面半径，设圆锥的底面半径为r
∴
解得r=1
故选A．
【点睛】
此题主要考查圆锥的侧面展开图的应用，解题的关键是熟知弧长公式的运用．
9．C
【分析】
根据函数与图象的关系依次计算即可判断．
【详解】
甲骑行1250m，故速度为1250÷5=，A正确；
设乙的速度为x，则有20×250-15x=2000
解得x=200
∴乙的速度为，
甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即1.5×200=继续骑行，
∵乙先到达B地，
∴由题意可得两地的总路程为15×200+（85-20）×300=22500m=，B正确；
设乙出发t后追上甲
依题意可得2000=
解得t=30
∴乙出发后追上甲，C错误；
85甲的路程为85×250=21250m
∴甲比乙晚到达B地，D正确
故选C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考的压轴题．
10．B
【分析】
连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．
【详解】
解：如图：连接AC
由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH
∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD
∵∠AOC=∠AOB=90°
∴△OAC为等腰直角三角形
又∵∠OAB= ∠OCD：
∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB
=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD
又∵CJ=DJ
∴AJ垂直平分CD
同理：GI垂直平分AB
∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线
即∠DAJ=∠CAD=×45°=22.5°
易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH
又∵IB=IA
∴IJ=IB+BJ=IH+IA=
在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°
∴∠OBH=OHB=45°
设OB=OH=a，即AH=BH=OB=a
∴tan∠A=
∴
设IH=（）x，AI=x
∴IH+IA==，即x=1
∴
又∵
∴
∴
∴．
故选B．

【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识以及数形结合思想成为解答本题的关键．
11．(1+x)(1-x)
【分析】
根据平方差公式即可得到答案.
【详解】
对用平方差公式，得
【点睛】
本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.
12．8
【分析】
根据中点与中位线的性质即可求出各边的长，故可求解．
【详解】
∵分别是等边三边的中点，
∴AC=BC=AB=4
∴CF=CE=AB=2
∴DF、DE是△ABC的中位线
∴DF=BC=2，DE=AC=2，
∴四边形的周长为DF+DE+EC+CF=8
故答案为：8．
【点睛】
此题主要考查四边形的周长，解题的关键是熟知等边三角形的性质及中点、中位线的性质．
13．
【分析】
画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出掷出的结果硬币两次的结果相同的次数，然后根据概率公式计算．
【详解】
解：画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中掷出的两次的结果相同的次数为2，
所以这枚硬币两次的结果相同的概率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
14．x≥-5
【分析】
直接根据题意写出不等式，然后进行求解即可．
【详解】
解：∵
∴
∴，解得x≥-5．
故答案为x≥-5．
【点睛】
本题主要考查了新定义运算和解一元一次不等式等知识点，根据新定义算法正确列出关于x的不等式成为解答本题的关键．
15．
【分析】
首先得出，再根据翻折的性质得出，得出，最后利用勾股定理得出结果．
【详解】
∵点C恰好与的中点重合，
∴，
由翻折的性质得，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
设，
∴，
在Rt∆中，
CF=，
∴AD=BC=BF+FC=，AB==2a，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质及勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质．
16．
【分析】
过E作EH⊥CF于H，得出，设OF=x，则OC=6-x，根据勾股定理得出结果．
【详解】
解：过E作EH⊥CF于H，
∵，
∴ ，，
∴，
设OF=x，则OC=6-x，
在Rt∆OCB中，
，
在Rt∆FEH中，
EH=EF·sin60°=，FH=EF·cos60º=，
∴OH=x-，
在Rt∆OEH中，
，
又∵OE=OB，
∴
解得x=2，
∴BO²=7，
∴AO=AB-BO=．
故答案为．

【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，勾股定理及特殊角的三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
17．
【分析】
根据零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质计算即可；
【详解】
原式=；
【点睛】
本题主要考查了实数计算，结合零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值性质计算是解题的关键．
18．错误步骤的序号为①，解法见详解．
【分析】
错误步骤的序号为①，解方程去分母转化为整式方程，，解这个整式方程，检验：当时，，结论是原分式方程的解即可．
【详解】
解：错误步骤的序号为①，
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【点睛】
本题考查检查解分式方程准确情况，找出错误题号，按分式方程解题标准解出分式方程，掌握检查解分式方程准确情况，找出错误题号，按分式方程解题标准解出分式方程是解题关键．
19．82.
【分析】
根据题干得，△ADE∽△ABC,利用三角函数解出BF的值，再得出BC的值即可．
【详解】
解：连接BC,
∵AB=AC,AD=AE
∴
∴DE∥BC
根据题干得，△ADE∽△ABC,且∠DAE=∠BAC，
又AF⊥DE,
∴AF⊥BC,且AF平分DE
∴BF=BC,
又∵∠BAC=110°，
∴∠BAF=∠BAC=55°，
∴sin55°
∵BF=ABsin55° =40.95,
∴BC=2BF=240.95=81.9cm
∵结果取整数结果取整数，
∴BC取82，
答：该风筝的最大翼展是82cm．
．
【点睛】
本题考查了三角形相似和三角函数，掌握三角函数是解题的关键．
20．（1）图见解析（2）图见解析（3）图见解析
【分析】
（1）根据网格的特点及平行四边形的性质即可作图求解；
（2）根据网格的特点作一个矩形，利用矩形的特点即可得到；
（3）根据网格的特点先作AB的垂直平分线，得到AG=BG，再延长BG至格点F即可求解．
【详解】
（1）如图，平行四边形ABCD为所求；
（2）如图，E点为所求；
（3）如图，F点为所求．

【点睛】
此题主要考查网格与作图，解题的关键是熟知平行四边形的性质、矩形的特点及垂直平分线的性质．
21．（1）5；（2）1188；（3）该校经典诗词诵背系列活动效果好．
【分析】
（1）根据中位数的定义进行解答，即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；
（2）用总人数乘以大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数所占的百分比即可；
（3）根据活动初的平均数、中位数与活动后的平均数、中位数进行比较，即可得出答案．
【详解】
解：(1)∵把这些数从小到大排列,最中间的数是第25和26位数的平均数是（首）；
故活动初期被抽查的学生“一周诗词诵背数量”的中位数为：5；
(2)根据题意得：
1800=1188（人）,
大赛后一个月该校学生一周诗词背6首(含6首)以上的人数为1188人；
（3）活动初期被抽查的50名学生平均背诵首数为：

=5.3(首)，
活动1个月后5 0名学生平均背诵首数为：
=6(首)；
活动初学生一周诗词诵背数量平均数为5.3，活动一个月后学生一周诗词诵背平均数为6；
活动初学生一周诗词诵背数量的中位数5，活动一个月后学生一周诗词诵背的中位数为6
根据以上数据分析，该校经典诗词诵背系列活动效果好．
【点睛】
本题考查条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择,解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．（1）见解析（2）见解析（3）当k=时，
【分析】
（1）连接EO并延长交BD于点M，根据垂径定理得到EM⊥BD，再结合EFBD得到OE⊥EF，故可求解；
（2）连接ED，先根据角度关系得到∠BGD=∠BDE=∠GBD，从而得到BD=GD，再根据EFBD得到∠FEG=∠DBG=∠FGE，求得FE=FG，由线段间的关系即可证明；
（3）先证明△BGD∽△BDE，得到，可设BG=a，求出BD=ka，BE=k2a，再根据DE=EF证明得到EG=DG，再表示出BE=(k+1)a，得到k2a=(k+1)a，求出k的值即可．
【详解】
（1）如图，连接EO并延长交BD于点M
∵点E是的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥BD，
又EFBD
∴OE⊥EF
∴是的切线；
（2）如图，连接ED
∵CD⊥AB
∴
∴∠BDC=∠BED，又∵∠GBD=∠DBE
∴∠BGD=∠BDE=∠GBD
∴BD=GD
∵EFBD
∴∠FEG=∠DBG=∠FGE
∴FE=FG
∴BD+EF=DG+GF=DF；

（3）∵∠BDC=∠BED，∠GBD=∠DBE，
∴△BGD∽△BDE
∴
设BG=a，则BD=ka，BE=k2a
∵DE=EF
∴∠F=∠EDF
∵EFBD
∴∠F=∠BDC
又∵∠BED=∠BDC
∴∠EDF=∠BED
∴EG=DG
又∵DG=BD=ka
∴EG=ka，BE=BG+EG=(k+1)a
∴k2a=(k+1)a
解得k=（舍去）
∴当k=时，．

【点睛】
此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的求法等知识．
23．（1）（且t是整数）；（2）第26天的销售利润最大，最大利润是2738元；（3）
【分析】
（1）格局待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）分两种情况进行讨论计算，在比较大小即可；
（3）根据题意得出捐赠后的日销售利润，再进行计算即可；
【详解】
（1）由图像可知，y是t的一次函数，
设，
将点，代入得：，
解得：，
∴（且t是整数）；
（2）当时，日销售利润，
由解析式可知，w是关于t的二次函数，图象开口向下，当时，w取最大值，此时（元）；
当时，日销售利润，
由解析式可知，w是关于t的二次函数，图象开口向下，当时，w随t的增大而减小，
∴时，w最大，此时（元），
∵，
∴第26天的销售利润最大，最大利润是2738元；
（3）前40天中，由（2）可知，日销售利润为，
日捐赠钱数为，
捐赠后日销售利润为：
，
对称轴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【点睛】
本题主要考查了二次函数和一次函数的综合应用，准确分析计算是解题的关键．
24．（1）=；（2）=36；（3）①证明见解析；②有最大值，最大值为48．
【分析】
（1）根据菱形的性质可得∠PBC=∠PBA=30°，BC=AB，根据三角形内角和定理可得出∠PCB=90°，利用∠PBC的余弦值即可得答案；
（2）如图，连接AM、AN、AC，根据菱形的性质可得△ABC是等边三角形，根据三角形内角和定理及角的和差关系可得∠ABM=∠CAN，利用SAS可证明△ABM≌△CAN，可得AM=AN，∠BAM=∠CAN，进而可证明△AMN是等边三角形，可得AM=MN，∠AMN=60°，即可求出∠AMC=90°，利用勾股定理即可得答案；
（3）①如图，连接AC、DE、DF，在BP上截取PQ=PC，连接CQ，可证明△CPQ是等边三角形，根据角的和差关系可得∠BCQ=∠ACP，利用SAS可证明△BCQ≌△ACP，可得∠APC=∠BQC=120°，即可证明△ACE∽△PCA，△ACF∽△APC，进而可得△ACE∽△CFA，根据相似三角形的性质可得，根据∠EAD=∠DCF=∠ABC=60°可得△EAD∽△DCF，即可证明∠AED=∠CDF，根据角的和差关系可得∠AED+∠CDF+∠ADC=180°，即可证明E、D、F三点在一条直线上，根据AD//BF可得△AED∽△BEF，利用相似三角形的性质即可得答案；
②根据角的和差关系可得∠EPB=∠BPF=120°，利用相似三角形的性质可得∠ACP=∠AFC，根据∠BCQ=∠ACP，可得∠EBP=∠AFC，即可证明△PBE∽△PFB，根据相似三角形的性质，根据∠APC+∠ABC=180°可得点A、B、C、P四点共圆，可得PB为点A、B、C、P四点所在圆的直径时增大，根据圆周角定理可得∠PCB=90°，利用∠BPC的正弦值求出PB的长即可得答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，，点P在菱形对角线上，
∴∠PBC=∠PBA=30°，BC=AB=6，
∵，
∴∠PCB=90°，
∴=．
（2）如图，连接AM、AN、AC，
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，即∠ABM+∠MBC+∠ACB=120°，
∵∠BPC=60°，
∴∠MBC+∠PCB=120°，即∠PBC+∠ACB+∠CAN=120°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△ABM和△CAN中，，
∴△ABM≌△CAN，
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∴∠BAM+∠MAC=∠CAN+∠MAC，
∴∠MAN=∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=MN，∠AMN=60°，
∵∠CMN=30°，
∴∠AMC=90°，
∴=36．

（3）①如图，连接AC、DE、DF，在BP上截取PQ=PC，连接CQ，
∵∠BPC=60°，PQ=PC，
∴△CPQ是等边三角形，
∴∠PCQ=∠PQC=60°，∠BQC=120°，QC=PC，
∵∠ACB=60°，
∴∠PCQ=∠ACB，
∴∠BCQ+∠ACQ=∠ACP+∠ACQ=60°，
∴∠BCQ=∠ACP，
在△BCQ和△ACP中，，
∴△BCQ≌△ACP，
∴∠APC=∠BQC=120°，
∵∠EAC=∠APC=120°，∠ACE=∠PCA，
∴△ACE∽△PCA，
∵∠ACF=∠APC=120°，∠CAF=∠PAC，
∴△ACF∽△APC，
∴△ACE∽△CFA，
∴，
∵AC=AD=CD，
∴，
∵BE//CD，
∴∠EAD=∠DCF=∠ABC=60°，
∴△EAD∽△DCF，
∴∠AED=∠CDF，
∵∠EAD=∠ADC=60°，
∴∠ADE+∠AED+∠EAD=∠AED+∠CDF+∠ADC=180°，
∴点E、D、F在同一条直线上，
∵AD//BF，
∴△AED∽△BEF，
∴，
∴

②∵∠APC=120°，
∴∠FPC=∠APE=60°，
∵∠BPC=60°，
∴∠APB=60°，
∴∠EPB=∠BPF=120°，
∵∠BCQ+∠CBQ=∠PQC=60°，∠EBP+∠CBQ=60°，
∴∠EBP=∠BCQ，
∵△ACF∽△APC，
∴∠ACP=∠AFC，
∵∠BCQ=∠ACP，
∴∠EBP=∠AFC，
∴△PBE∽△PFB，
∴，即，
∵∠APC+∠ABC=180°，
∴点A、B、C、P四点共圆，
∴PB为A、B、C、P四点所在圆的直径时，PE·PF有最大值，
∴PE·PF有最大值时∠PCB=90°，
∴=，
∴PE·PF的最大值为=48．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理及解直角三角形，熟练掌握相关性质、定义及定理并正确作出辅助线是解题关键．