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2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校 中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校 中考数学三模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共12小题、每题3分，共36分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a﹣2a＝a B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．x6÷x3＝x2 D．（x+y）2＝x2+y2
2．下列说法正确的是（ ）
A．﹣a一定是负数
B．是有理数
C．是最简二次根式
D．平方根等于它本身的数是0和1
3．地球上的海洋面积约为361000000km2，这个数用科学记数法表示为（ ）km2．
A．361×106 B．36.1×107 C．3.61×108 D．0.361×109
4．已知点P（﹣a，a﹣1）在平面直角坐标系的第二象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（ ）
A．20° B．50°或80° C．10° D．20°或80°
6．下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）
A． B．
C． D．
7．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．30π B．48π C．60π D．80π
8．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
9．为备战2012年伦敦奥运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩为（单位：环）
甲：9 10 9 8 10 9 8
乙：8 9 10 7 10 8 10
下列说法正确的是（ ）
A．甲的中位数为8 B．乙的平均数为9
C．甲的众数为9 D．乙的极差为2
10．下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1
11．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
12．若不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．计算：＝ ．
14．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+4α+β＝ ．
15．已知实数x满足x2+＝62．则x+的值是 ．
16．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20m到达点C，再次测得A点的仰角为60°，则物体的高度为 m．
17．“水中捞月”是一个 事件．
18．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是 ．
（1）DC＝3OG；
（2）OG＝BC；
（3）△OGE是等边三角形；
（4）S△AOE＝．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）
19．（6分）计算：﹣（4﹣π）0﹣6cos30°+（﹣2）﹣1．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2
（1）求m的取值范围；
（2）设y＝x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
21．（8分）某校实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 名同学；
（2）在扇形统计图中，D类所占的圆心角为 度；
（3）将下面的条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
22．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE＝CF，G是CD与EF的交点．
（1）求证：△BCF≌△DCE；
（2）若∠BFC＝90°，S△CFG：S△DEG＝9：16，求tan∠FBC的值．
23．（9分）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价﹣进价）
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M经过原点O及A、B两点．
（1）求⊙M的半径；
（2）点C为弧OA上的一点，且满足∠COA＝∠CBO，求C点坐标．
（3）直线y＝x与⊙M交于点O、N两点，求线段ON的长．
25．（10分）在平面直角坐标系中，若A、A'的坐标分别为（m，n）、（n，m），则我们称A、A'两点互为对称点．
（1）若点A（1，4）在双曲线上，请判断A的对称点A'是否在双曲线上，并说明理由．
（2）如果不同的两点A、B均在直线y＝x+1上，A、B两点的对称点分别为A'、B'，求直线A'B'的解析式．
（3）若m、n为方程x2﹣x﹣1＝0的两根，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（m，n）和点A的对称点，且过点（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c在x轴上方的部分（含与x轴的交点）记为图形w，若直线y＝ax+h与图形w有且只有一个交点，求h的值或h的范围．
26．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0），（，）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将原抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）向右平移1个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度得新抛物线，此时新抛物线与x轴相交于E、F两点，与y轴相交于点M，过点M与x轴平行的直线与新抛物线的另一交点为N，若点E、点F恰好在以MN为直径的圆周上，求m的值；
（3）在（1）的条件下，若直线AB：y＝kx+2k+4与抛物线y＝ax2+bx+c交于A、B两点，试在抛物线上找一定点D，使∠ADB＝90°，求点D的坐标，并求出点D到直线AB的最大距离．
2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题、每题3分，共36分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a﹣2a＝a B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．x6÷x3＝x2 D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方运算性质，同底数幂的除法法则，完全平方公式分别计算，然后比较即可．
【解答】解：A、应该得﹣a，故本选项错误；
B、正确；
C、x6÷x3＝x3，故本选项错误；
D、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故本选项错误．
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．﹣a一定是负数
B．是有理数
C．是最简二次根式
D．平方根等于它本身的数是0和1
【分析】根据有理数的概念、最简二次根式以及平方根的定义，逐个进行判断即可．
【解答】解：A．﹣a不一定是负数，故A不符合题意；
B．属于分数，是有理数，故B符合题意；
C．＝，故不是最简二次根式，故C不符合题意；
D．平方根等于它本身的数是0，故D不符合题意；
故选：B．
3．地球上的海洋面积约为361000000km2，这个数用科学记数法表示为（ ）km2．
A．361×106 B．36.1×107 C．3.61×108 D．0.361×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：361000000km2＝3.61×108km2．
故选：C．
4．已知点P（﹣a，a﹣1）在平面直角坐标系的第二象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由P为第二象限点求出a的范围，表示在数轴上即可．
【解答】解：∵点P（﹣a，a﹣1）在平面直角坐标系的第二象限，
∴，
解得：a＞1，
表示在数轴上，如图所示：
，
故选：A．
5．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（ ）
A．20° B．50°或80° C．10° D．20°或80°
【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【解答】解：（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°
（2）当80°为底角时，得顶角＝180°﹣2×80°＝20°；
故选：D．
6．下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可．
【解答】解：A、主视图为长方形；
B、主视图为长方形；
C、主视图为两个相邻的三角形；
D、主视图为长方形；
故选：C．
7．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．30π B．48π C．60π D．80π
【分析】先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得．
【解答】解：圆锥的母线＝＝10（cm），
圆锥的底面周长2πr＝12π（cm），
圆锥的侧面积＝lR＝×12π×10＝60π（cm2）．
故选：C．
8．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∴∠ADC＝∠ABC＝55°．
故选：B．
9．为备战2012年伦敦奥运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩为（单位：环）
甲：9 10 9 8 10 9 8
乙：8 9 10 7 10 8 10
下列说法正确的是（ ）
A．甲的中位数为8 B．乙的平均数为9
C．甲的众数为9 D．乙的极差为2
【分析】分别计算两组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可．
【解答】解：甲：9，10，9，8，10，9，8
A．∵排序后为：8，8，9，9，9，10，10
∴中位数为：9；故此选项错误；
C.9出现了3次，最多，
∴众数为9，故此选项正确；
乙：8，9，10，7，10，8，10，
B．（8+9+10+7+10+8+10）÷7＝≠9，故此选项错误；
D．极差是10﹣7＝3，故此选项错误；
故选：C．
10．下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1
【分析】分别根据正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解．
【解答】解：A、y＝﹣2x，y随x增大而减小，不符合题意；
B、y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意；
C、y＝2（x+1）2，当x＞﹣1时，y随x增大而增大，所以当x＞0时，y随x增大而增大，符合题意；
D、y＝﹣x2+1，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意．
故选：C．
11．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．
【解答】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC＝OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP＝DP；
在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（SSS）．
故选：D．
12．若不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2
【分析】本题实际就是求这两个不等式的解集．先根据第一个不等式中x的取值，分析m的取值．
【解答】解：原不等式组可化为（1）和（2），
（1）解集为m≤1；（2）有解可得m＜2，
则由（2）有解可得m＜2．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．计算：＝ x﹣1 ．
【分析】根据同分母分式的加减，分母不变，只把分子相加减，计算求解即可．
【解答】解：
＝
＝x﹣1．
故答案为：x﹣1．
14．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+4α+β＝ 4 ．
【分析】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，得出α+β＝﹣3，α2+3α＝7，再把α2+4α+β变形为α2+3α+α+β，即可求出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，
∴α2+3α＝7，
∴α2+4α+β＝α2+3α+α+β＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
15．已知实数x满足x2+＝62．则x+的值是 ±8 ．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案．
【解答】解：∵x2+＝62，
∴（x+）2＝x2++2＝62+2＝64，
∴x+的值是：±＝±8．
故答案为：±8．
16．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20m到达点C，再次测得A点的仰角为60°，则物体的高度为 10 m．
【分析】设AB＝x，分别表示出DB、CB，再由DC＝20m，可得出方程，解出即可．
【解答】解：设AB＝x，
在Rt△ADB中，BD＝ABcot∠ADB＝x，
在Rt△ACB中，BC＝ABcot∠ACB＝x，
则x﹣x＝20，
解得：x＝10，即物体的高度为10m．
故答案为：10．
17．“水中捞月”是一个 不可能 事件．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：“水中捞月”是不可能事件，
故答案为：不可能．
18．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是 （1）（3）（4） ．
（1）DC＝3OG；
（2）OG＝BC；
（3）△OGE是等边三角形；
（4）S△AOE＝．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG＝AG＝GE＝AE，再根据等边对等角可得∠OAG＝30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE＝60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设AE＝2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB＝3a，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．
【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE＝AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE＝2a，则OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AO＝＝＝a，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝2a，
∴BC＝AC＝×2a＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故（1）正确；
∵OG＝a，BC＝a，
∴OG≠BC，故（2）错误；
∵S△AOE＝a•a＝a2，SABCD＝3a•a＝3a2，
∴S△AOE＝SABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）
19．（6分）计算：﹣（4﹣π）0﹣6cos30°+（﹣2）﹣1．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1﹣6×﹣
＝3﹣1﹣3﹣
＝﹣．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2
（1）求m的取值范围；
（2）设y＝x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．
【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2＝0；
∵原方程有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4m2＝﹣8m+4≥0，得m≤；
（2）∵x1，x2为一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两根，
∴y＝x1+x2＝﹣2m+2，且m≤；
因而y随m的增大而减小，故当m＝时，取得最小值1．
21．（8分）某校实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 20 名同学；
（2）在扇形统计图中，D类所占的圆心角为 36 度；
（3）将下面的条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【分析】（1）用A类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先分别计算出C类和D类人数，然后由360°乘以D所占的比例即可；
（3）求出成绩为C的女生数和成绩为D的男生数，补全条形统计图即可；
（4）画出树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）（1+2）÷15%＝20（名），
即张老师一共调查了20名同学，
故答案为：20；
（2）∵C类的学生数为：20×25%＝5（名），
∴成绩为D的学生人数为：20﹣3﹣10﹣5＝2（名），
∴D类所占扇形圆心角的度数是360°×＝36°，
故答案为：36；
（3）成绩为C的女生数为5﹣3＝2（名），成绩为D的男生数为20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（名），
补全条形统计图如图：
（4）由题意画树形图如图所示：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
∴P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）＝＝．
22．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE＝CF，G是CD与EF的交点．
（1）求证：△BCF≌△DCE；
（2）若∠BFC＝90°，S△CFG：S△DEG＝9：16，求tan∠FBC的值．
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到∠BCD为直角，BC＝CD，根据三角形ECF为等腰直角三角形，得到∠FCE为直角，CF＝CE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）由（1）的全等三角形，得到∠DEC＝∠BFC＝90°，进而确定出FC与DE平行，得到三角形CFG与三角形DEG相似，根据相似三角形面积之比等于相似比，求出相似比，再利用锐角三角函数定义即可求出所求式子的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴∠FCE＝90°，CF＝CE，
∴∠BCD﹣∠FCD＝∠ECF﹣∠FCD，即∠BCF＝∠DCE，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS）；
（2）由（1）知△BCF≌△DCE，
又∵∠BFC＝90°，
∴∠DEC＝∠BFC＝90°，
∵∠FCE＝90°，
∴FC∥DE，
∴∠CFG＝∠DEG，
∵∠CGF＝∠DGE，
∴△CFG∽△DEG，
∴＝（）2＝，
∴＝，
又由（1）知DE＝BF，
∴＝，
∵∠BFC＝90°，
∴tan∠FBC＝＝．
23．（9分）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价﹣进价）
【分析】（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据等量关系：第二批进的件数＝第一批进的件数可得方程；
（2）设剩余的T恤衫每件售价y元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于650元，可列不等式求解．
【解答】解：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，由题意，得
＝，
解得x＝90，
经检验x＝90是分式方程的解，符合题意．
答：第一批T恤衫每件的进价是90元；
（2）设剩余的T恤衫每件售价y元．
由（1）知，第二批购进＝50（件）．
由题意，得120×50×+y×50×﹣4950≥650，
解得y≥80．
答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M经过原点O及A、B两点．
（1）求⊙M的半径；
（2）点C为弧OA上的一点，且满足∠COA＝∠CBO，求C点坐标．
（3）直线y＝x与⊙M交于点O、N两点，求线段ON的长．
【分析】（1）首先求出AO，OB的长度，然后根据勾股定理即可求出AB长度，MB为半径等于AB的一半；
（2）根据已知得出C为弧OA的中点，连接MC，根据垂径定理逆定理得出MC垂直于OA，然后根据相似求出M点坐标和ME的长度，即可求出C的坐标；
（3）过点N作NG⊥AO，过点M作MH⊥NG，首先得出OG＝NG，然后设N（a，a），连接MN，根据勾股定理求出N的坐标，再根据勾股定理即可求出ON的长度．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+3上令x＝0，y＝3，
∴OB＝3，
令y＝0，x＝4，
∴OA＝4，
∴AB＝＝5，
∴⊙M的半径为：BM＝；
（2）∵∠COA＝∠CBO，
∴，
连接MC，
∴MC⊥AO，
∴ME∥OB，
∴△AME∽△ABO，
∴，
∴OE＝EA＝2，ME＝＝，
∴EC＝MC﹣ME＝﹣＝1，
∴C（2，﹣1）；
（3）过点N作NG⊥AO，过点M作MH⊥NG，连接MN，
∵NO解析式为：y＝x，
∴NG＝OG，
∴设N（a，a），
∴MN2＝MH2+NH2，
∴，
整理得：2a2﹣7a＝0，
∴，
∴N的坐标为（，），
∴ON＝＝．
25．（10分）在平面直角坐标系中，若A、A'的坐标分别为（m，n）、（n，m），则我们称A、A'两点互为对称点．
（1）若点A（1，4）在双曲线上，请判断A的对称点A'是否在双曲线上，并说明理由．
（2）如果不同的两点A、B均在直线y＝x+1上，A、B两点的对称点分别为A'、B'，求直线A'B'的解析式．
（3）若m、n为方程x2﹣x﹣1＝0的两根，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（m，n）和点A的对称点，且过点（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c在x轴上方的部分（含与x轴的交点）记为图形w，若直线y＝ax+h与图形w有且只有一个交点，求h的值或h的范围．
【分析】（1）由对称定义知A′（4，1），当x＝4时，代入中，求y的值，判断y值与A′的纵坐标是否相等，可知结果；
（2）设A、B两点横坐标分别为s，t，AB在y＝x+1上，代入可得A（s，s+1），B（t，t+1）坐标，由对称点定义知A′、B′坐标，两点确定一条直线，联立，关于s，t的方程组可得直线A′B′的解析式；
（3）由求根公式可得方程x2﹣x﹣1的两根m，n，即可得A和A′坐标，把A、A′和点（1，1）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得抛物线解析式y＝﹣x2+2，w与x轴交点坐标为（，0）（﹣，0），直线y＝﹣x+h与w有且只有一个交点，找临界值并画图，过A（﹣，0）时，h＝，过（﹣，0）时，h＝﹣，即﹣≤h≤，当y＝﹣x2+2与y＝﹣x+h相切时，联立方程组得x2﹣x+h﹣2＝0，△＝0，可得h的值，即可得出最后的结论．
【解答】解：（1）由对称点定义得A′的点A（4，1），
在双曲线上，
当x＝4时，代入双曲线中，y＝，
1≠．
∴点A′不在双曲线y＝上；
（2）设A，B两点的距离坐标分别为s，t，
又点A、B在直线y＝x+1上，
∴A（s，s+1），B（t，t+1），
∴A点（s，s+1）的对称点为（s+1，s），B（t，t+1）对称点为（t+1，t），
设直线A′B′解析为y＝kx+b，
∴，
A、B两点不同则s≠t，
①﹣②得（s﹣t）k＝s﹣t，
解得k＝1，
将k＝1代入①中得b1＝﹣1，
∴直线A′B′解析式为y＝x﹣1；
（3）m，n为方程x2﹣x+1＝0两根，
∴m＝，n＝，
∴m+n＝1，
把A（n，m）A′（m，n），点（1，1），代入抛物线y＝ax2+bx+c中，
∴，
②﹣③得a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝﹣（m﹣n），
∴a（m+n）+b＝﹣1，
即a+b＝﹣1，
∴c＝2，b＝﹣a﹣1，
将c＝2，b＝﹣a﹣1代入②中得m（am﹣a﹣a）+2＝，
∴am﹣a﹣1＝，
∴a（m﹣1）＝，
∴a×＝，
∴a＝﹣1，b＝0，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2，
又y＝﹣x2+2在x轴上方部分（含与y轴交点）记为图形w，直线y＝﹣x+h与图形w有且只有一个交点，
当y＝﹣x+h过点（，0）时，h＝；
当y＝﹣x+h过点（﹣，0）时，h＝﹣，
∴﹣≤h≤，
当y＝﹣x2+2与y＝﹣x+h只有一个交点时（即相切），
联立，
∴x2﹣x+h﹣2＝0有两个相等数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（h﹣2）＝1﹣4h+8＝9﹣4h＝0，
∴h＝，
故直线y＝﹣x+h与图形w有且只有一个交点时，
h＝或﹣≤h≤．
26．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0），（，）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将原抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）向右平移1个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度得新抛物线，此时新抛物线与x轴相交于E、F两点，与y轴相交于点M，过点M与x轴平行的直线与新抛物线的另一交点为N，若点E、点F恰好在以MN为直径的圆周上，求m的值；
（3）在（1）的条件下，若直线AB：y＝kx+2k+4与抛物线y＝ax2+bx+c交于A、B两点，试在抛物线上找一定点D，使∠ADB＝90°，求点D的坐标，并求出点D到直线AB的最大距离．
【分析】（1）把点（0，0）代入解析式得c＝0，与y轴有交点，利用对称轴公式x＝﹣＝0，得b＝0，把点（，）代入解析式，可得抛物线的解析式．
（2）由平移性质知新抛物线的解析式y＝（x﹣1）2﹣m，与x轴交点纵坐标为0，与y轴交点横坐标为0，即得E、F、M、N的坐标．点F恰好在以MN为直径的圆周上，∠MFN＝90°，利用勾股定理可求出m的值．
（3）分两种情况：1．过D作EF∥x轴，过A作AE⊥EF于点E，过B作BF⊥EF，利用△AED∽△DFB，AB与抛物线交于A、B两点，联立方程可得一元二次方程求解即可．
2．过D作DG∥x轴，过C作CG⊥DG于G，过D作DH⊥AB于H，利用勾股定理可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为y轴且过（0，0），
∴c＝0，
∵x＝﹣＝0，
∴b＝0，
∵C（，）在抛物线上，
∴a≥0，a（）2+bx+c＝，
∴a2＝（代入求值），
∴a＝或a＝﹣（舍），
∴y＝x2；
（2）将y＝x2向下平移m个单位，向右平移1个单位，
∴y＝（x﹣1）2﹣m，
与x轴交于点E、F，令y＝0，
得xE＝1﹣，xF＝1+，
∴E（1﹣，0），F（1+，0），
又y＝（x﹣1）2﹣m与y轴交于M，
∴令x＝0，y＝﹣m，
∴M（0，﹣m），
又∵MN∥x轴与抛物线交于N，
∴N（2，﹣m），
∴MN＝2，
∴MN2＝4，MF2＝（1+）2+（﹣m）2，
NF2＝（1﹣）2+（﹣m）2，
∵点F恰好在以MN为直径的圆周上，
∴∠MFN＝90°，
∴△MFN为直角三角形，
∴MN2＝MF2+NF2，
∴4＝（1+）2+（﹣m）2+（1﹣）2+（﹣m）2，
∴4＝2+4m+2×（﹣m+m2），
∴m2+m﹣＝0，
∴m＝﹣或，
又m＞0，
∴m＝；
（3）如图1，过D作EF∥x轴，过A作AE⊥EF于点E，过B作BF⊥EF，
设A、B、D横坐标为s、n、t，
∵A、B、D在y＝x2上，A（s，s2），B（n，n2），C（t，t2），
∵∠ADB＝90°，∠DFB＝90°，
∴∠ADE+∠BDF＝90°＝∠DBF+∠BDF，
∴∠ADE＝∠DBF，
又∵∠AED＝∠DFB＝90°，
∴△AED∽△DFB，
∴＝，
∴＝，
∴t2+（s+n）t+sn+4＝0，AB与抛物线交于A、B两点，
∴s、n为kx+2k+4＝x2，
∴x2﹣2kx﹣4k﹣8＝0，
∴s+n＝2k，sn＝﹣4k﹣8，
∴t2+2kt﹣4k﹣4＝0，
（t﹣2）（t+2k+2）＝0，
∴t1＝2，t2＝﹣2b﹣2（舍），
将t＝2代入y＝x2，
得t2＝×22＝2，
∴D（2，2），
如图2，过D作DG∥x轴，过C作CG⊥DG于G，过D作DH⊥AB于H，C（﹣2，4），D（2，2），
∴CG＝4﹣2＝2，DG＝2﹣（﹣2）＝4，
∴CD＝＝＝2，
∵DH＜DC，
∴DH≤2，
当DC⊥AB时，DH与DC重合时，DH取最大值，
DH＝DC＝2，
∴D到AB最大距离为2．
2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共12小题、每题3分，共36分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a﹣2a＝a B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．x6÷x3＝x2 D．（x+y）2＝x2+y2
2．下列说法正确的是（ ）
A．﹣a一定是负数
B．是有理数
C．是最简二次根式
D．平方根等于它本身的数是0和1
3．地球上的海洋面积约为361000000km2，这个数用科学记数法表示为（ ）km2．
A．361×106 B．36.1×107 C．3.61×108 D．0.361×109
4．已知点P（﹣a，a﹣1）在平面直角坐标系的第二象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（ ）
A．20° B．50°或80° C．10° D．20°或80°
6．下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）
A． B．
C． D．
7．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．30π B．48π C．60π D．80π
8．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
9．为备战2012年伦敦奥运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩为（单位：环）
甲：9 10 9 8 10 9 8
乙：8 9 10 7 10 8 10
下列说法正确的是（ ）
A．甲的中位数为8 B．乙的平均数为9
C．甲的众数为9 D．乙的极差为2
10．下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1
11．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
12．若不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．计算：＝ ．
14．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+4α+β＝ ．
15．已知实数x满足x2+＝62．则x+的值是 ．
16．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20m到达点C，再次测得A点的仰角为60°，则物体的高度为 m．
17．“水中捞月”是一个 事件．
18．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是 ．
（1）DC＝3OG；
（2）OG＝BC；
（3）△OGE是等边三角形；
（4）S△AOE＝．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）
19．（6分）计算：﹣（4﹣π）0﹣6cos30°+（﹣2）﹣1．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2
（1）求m的取值范围；
（2）设y＝x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
21．（8分）某校实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 名同学；
（2）在扇形统计图中，D类所占的圆心角为 度；
（3）将下面的条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
22．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE＝CF，G是CD与EF的交点．
（1）求证：△BCF≌△DCE；
（2）若∠BFC＝90°，S△CFG：S△DEG＝9：16，求tan∠FBC的值．
23．（9分）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价﹣进价）
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M经过原点O及A、B两点．
（1）求⊙M的半径；
（2）点C为弧OA上的一点，且满足∠COA＝∠CBO，求C点坐标．
（3）直线y＝x与⊙M交于点O、N两点，求线段ON的长．
25．（10分）在平面直角坐标系中，若A、A'的坐标分别为（m，n）、（n，m），则我们称A、A'两点互为对称点．
（1）若点A（1，4）在双曲线上，请判断A的对称点A'是否在双曲线上，并说明理由．
（2）如果不同的两点A、B均在直线y＝x+1上，A、B两点的对称点分别为A'、B'，求直线A'B'的解析式．
（3）若m、n为方程x2﹣x﹣1＝0的两根，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（m，n）和点A的对称点，且过点（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c在x轴上方的部分（含与x轴的交点）记为图形w，若直线y＝ax+h与图形w有且只有一个交点，求h的值或h的范围．
26．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0），（，）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将原抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）向右平移1个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度得新抛物线，此时新抛物线与x轴相交于E、F两点，与y轴相交于点M，过点M与x轴平行的直线与新抛物线的另一交点为N，若点E、点F恰好在以MN为直径的圆周上，求m的值；
（3）在（1）的条件下，若直线AB：y＝kx+2k+4与抛物线y＝ax2+bx+c交于A、B两点，试在抛物线上找一定点D，使∠ADB＝90°，求点D的坐标，并求出点D到直线AB的最大距离．
2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题、每题3分，共36分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a﹣2a＝a B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．x6÷x3＝x2 D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方运算性质，同底数幂的除法法则，完全平方公式分别计算，然后比较即可．
【解答】解：A、应该得﹣a，故本选项错误；
B、正确；
C、x6÷x3＝x3，故本选项错误；
D、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故本选项错误．
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．﹣a一定是负数
B．是有理数
C．是最简二次根式
D．平方根等于它本身的数是0和1
【分析】根据有理数的概念、最简二次根式以及平方根的定义，逐个进行判断即可．
【解答】解：A．﹣a不一定是负数，故A不符合题意；
B．属于分数，是有理数，故B符合题意；
C．＝，故不是最简二次根式，故C不符合题意；
D．平方根等于它本身的数是0，故D不符合题意；
故选：B．
3．地球上的海洋面积约为361000000km2，这个数用科学记数法表示为（ ）km2．
A．361×106 B．36.1×107 C．3.61×108 D．0.361×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：361000000km2＝3.61×108km2．
故选：C．
4．已知点P（﹣a，a﹣1）在平面直角坐标系的第二象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由P为第二象限点求出a的范围，表示在数轴上即可．
【解答】解：∵点P（﹣a，a﹣1）在平面直角坐标系的第二象限，
∴，
解得：a＞1，
表示在数轴上，如图所示：
，
故选：A．
5．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（ ）
A．20° B．50°或80° C．10° D．20°或80°
【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【解答】解：（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°
（2）当80°为底角时，得顶角＝180°﹣2×80°＝20°；
故选：D．
6．下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可．
【解答】解：A、主视图为长方形；
B、主视图为长方形；
C、主视图为两个相邻的三角形；
D、主视图为长方形；
故选：C．
7．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．30π B．48π C．60π D．80π
【分析】先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得．
【解答】解：圆锥的母线＝＝10（cm），
圆锥的底面周长2πr＝12π（cm），
圆锥的侧面积＝lR＝×12π×10＝60π（cm2）．
故选：C．
8．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∴∠ADC＝∠ABC＝55°．
故选：B．
9．为备战2012年伦敦奥运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩为（单位：环）
甲：9 10 9 8 10 9 8
乙：8 9 10 7 10 8 10
下列说法正确的是（ ）
A．甲的中位数为8 B．乙的平均数为9
C．甲的众数为9 D．乙的极差为2
【分析】分别计算两组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可．
【解答】解：甲：9，10，9，8，10，9，8
A．∵排序后为：8，8，9，9，9，10，10
∴中位数为：9；故此选项错误；
C.9出现了3次，最多，
∴众数为9，故此选项正确；
乙：8，9，10，7，10，8，10，
B．（8+9+10+7+10+8+10）÷7＝≠9，故此选项错误；
D．极差是10﹣7＝3，故此选项错误；
故选：C．
10．下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1
【分析】分别根据正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解．
【解答】解：A、y＝﹣2x，y随x增大而减小，不符合题意；
B、y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意；
C、y＝2（x+1）2，当x＞﹣1时，y随x增大而增大，所以当x＞0时，y随x增大而增大，符合题意；
D、y＝﹣x2+1，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意．
故选：C．
11．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．
【解答】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC＝OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP＝DP；
在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（SSS）．
故选：D．
12．若不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2
【分析】本题实际就是求这两个不等式的解集．先根据第一个不等式中x的取值，分析m的取值．
【解答】解：原不等式组可化为（1）和（2），
（1）解集为m≤1；（2）有解可得m＜2，
则由（2）有解可得m＜2．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．计算：＝ x﹣1 ．
【分析】根据同分母分式的加减，分母不变，只把分子相加减，计算求解即可．
【解答】解：
＝
＝x﹣1．
故答案为：x﹣1．
14．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+4α+β＝ 4 ．
【分析】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，得出α+β＝﹣3，α2+3α＝7，再把α2+4α+β变形为α2+3α+α+β，即可求出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，
∴α2+3α＝7，
∴α2+4α+β＝α2+3α+α+β＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
15．已知实数x满足x2+＝62．则x+的值是 ±8 ．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案．
【解答】解：∵x2+＝62，
∴（x+）2＝x2++2＝62+2＝64，
∴x+的值是：±＝±8．
故答案为：±8．
16．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20m到达点C，再次测得A点的仰角为60°，则物体的高度为 10 m．
【分析】设AB＝x，分别表示出DB、CB，再由DC＝20m，可得出方程，解出即可．
【解答】解：设AB＝x，
在Rt△ADB中，BD＝ABcot∠ADB＝x，
在Rt△ACB中，BC＝ABcot∠ACB＝x，
则x﹣x＝20，
解得：x＝10，即物体的高度为10m．
故答案为：10．
17．“水中捞月”是一个 不可能 事件．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：“水中捞月”是不可能事件，
故答案为：不可能．
18．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是 （1）（3）（4） ．
（1）DC＝3OG；
（2）OG＝BC；
（3）△OGE是等边三角形；
（4）S△AOE＝．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG＝AG＝GE＝AE，再根据等边对等角可得∠OAG＝30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE＝60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设AE＝2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB＝3a，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．
【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE＝AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE＝2a，则OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AO＝＝＝a，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝2a，
∴BC＝AC＝×2a＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故（1）正确；
∵OG＝a，BC＝a，
∴OG≠BC，故（2）错误；
∵S△AOE＝a•a＝a2，SABCD＝3a•a＝3a2，
∴S△AOE＝SABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）
19．（6分）计算：﹣（4﹣π）0﹣6cos30°+（﹣2）﹣1．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1﹣6×﹣
＝3﹣1﹣3﹣
＝﹣．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2
（1）求m的取值范围；
（2）设y＝x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．
【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2＝0；
∵原方程有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4m2＝﹣8m+4≥0，得m≤；
（2）∵x1，x2为一元二次方程x2＝2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两根，
∴y＝x1+x2＝﹣2m+2，且m≤；
因而y随m的增大而减小，故当m＝时，取得最小值1．
21．（8分）某校实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 20 名同学；
（2）在扇形统计图中，D类所占的圆心角为 36 度；
（3）将下面的条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【分析】（1）用A类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先分别计算出C类和D类人数，然后由360°乘以D所占的比例即可；
（3）求出成绩为C的女生数和成绩为D的男生数，补全条形统计图即可；
（4）画出树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）（1+2）÷15%＝20（名），
即张老师一共调查了20名同学，
故答案为：20；
（2）∵C类的学生数为：20×25%＝5（名），
∴成绩为D的学生人数为：20﹣3﹣10﹣5＝2（名），
∴D类所占扇形圆心角的度数是360°×＝36°，
故答案为：36；
（3）成绩为C的女生数为5﹣3＝2（名），成绩为D的男生数为20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（名），
补全条形统计图如图：
（4）由题意画树形图如图所示：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
∴P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）＝＝．
22．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE＝CF，G是CD与EF的交点．
（1）求证：△BCF≌△DCE；
（2）若∠BFC＝90°，S△CFG：S△DEG＝9：16，求tan∠FBC的值．
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到∠BCD为直角，BC＝CD，根据三角形ECF为等腰直角三角形，得到∠FCE为直角，CF＝CE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）由（1）的全等三角形，得到∠DEC＝∠BFC＝90°，进而确定出FC与DE平行，得到三角形CFG与三角形DEG相似，根据相似三角形面积之比等于相似比，求出相似比，再利用锐角三角函数定义即可求出所求式子的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴∠FCE＝90°，CF＝CE，
∴∠BCD﹣∠FCD＝∠ECF﹣∠FCD，即∠BCF＝∠DCE，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS）；
（2）由（1）知△BCF≌△DCE，
又∵∠BFC＝90°，
∴∠DEC＝∠BFC＝90°，
∵∠FCE＝90°，
∴FC∥DE，
∴∠CFG＝∠DEG，
∵∠CGF＝∠DGE，
∴△CFG∽△DEG，
∴＝（）2＝，
∴＝，
又由（1）知DE＝BF，
∴＝，
∵∠BFC＝90°，
∴tan∠FBC＝＝．
23．（9分）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价﹣进价）
【分析】（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据等量关系：第二批进的件数＝第一批进的件数可得方程；
（2）设剩余的T恤衫每件售价y元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于650元，可列不等式求解．
【解答】解：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，由题意，得
＝，
解得x＝90，
经检验x＝90是分式方程的解，符合题意．
答：第一批T恤衫每件的进价是90元；
（2）设剩余的T恤衫每件售价y元．
由（1）知，第二批购进＝50（件）．
由题意，得120×50×+y×50×﹣4950≥650，
解得y≥80．
答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M经过原点O及A、B两点．
（1）求⊙M的半径；
（2）点C为弧OA上的一点，且满足∠COA＝∠CBO，求C点坐标．
（3）直线y＝x与⊙M交于点O、N两点，求线段ON的长．
【分析】（1）首先求出AO，OB的长度，然后根据勾股定理即可求出AB长度，MB为半径等于AB的一半；
（2）根据已知得出C为弧OA的中点，连接MC，根据垂径定理逆定理得出MC垂直于OA，然后根据相似求出M点坐标和ME的长度，即可求出C的坐标；
（3）过点N作NG⊥AO，过点M作MH⊥NG，首先得出OG＝NG，然后设N（a，a），连接MN，根据勾股定理求出N的坐标，再根据勾股定理即可求出ON的长度．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+3上令x＝0，y＝3，
∴OB＝3，
令y＝0，x＝4，
∴OA＝4，
∴AB＝＝5，
∴⊙M的半径为：BM＝；
（2）∵∠COA＝∠CBO，
∴，
连接MC，
∴MC⊥AO，
∴ME∥OB，
∴△AME∽△ABO，
∴，
∴OE＝EA＝2，ME＝＝，
∴EC＝MC﹣ME＝﹣＝1，
∴C（2，﹣1）；
（3）过点N作NG⊥AO，过点M作MH⊥NG，连接MN，
∵NO解析式为：y＝x，
∴NG＝OG，
∴设N（a，a），
∴MN2＝MH2+NH2，
∴，
整理得：2a2﹣7a＝0，
∴，
∴N的坐标为（，），
∴ON＝＝．
25．（10分）在平面直角坐标系中，若A、A'的坐标分别为（m，n）、（n，m），则我们称A、A'两点互为对称点．
（1）若点A（1，4）在双曲线上，请判断A的对称点A'是否在双曲线上，并说明理由．
（2）如果不同的两点A、B均在直线y＝x+1上，A、B两点的对称点分别为A'、B'，求直线A'B'的解析式．
（3）若m、n为方程x2﹣x﹣1＝0的两根，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（m，n）和点A的对称点，且过点（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c在x轴上方的部分（含与x轴的交点）记为图形w，若直线y＝ax+h与图形w有且只有一个交点，求h的值或h的范围．
【分析】（1）由对称定义知A′（4，1），当x＝4时，代入中，求y的值，判断y值与A′的纵坐标是否相等，可知结果；
（2）设A、B两点横坐标分别为s，t，AB在y＝x+1上，代入可得A（s，s+1），B（t，t+1）坐标，由对称点定义知A′、B′坐标，两点确定一条直线，联立，关于s，t的方程组可得直线A′B′的解析式；
（3）由求根公式可得方程x2﹣x﹣1的两根m，n，即可得A和A′坐标，把A、A′和点（1，1）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得抛物线解析式y＝﹣x2+2，w与x轴交点坐标为（，0）（﹣，0），直线y＝﹣x+h与w有且只有一个交点，找临界值并画图，过A（﹣，0）时，h＝，过（﹣，0）时，h＝﹣，即﹣≤h≤，当y＝﹣x2+2与y＝﹣x+h相切时，联立方程组得x2﹣x+h﹣2＝0，△＝0，可得h的值，即可得出最后的结论．
【解答】解：（1）由对称点定义得A′的点A（4，1），
在双曲线上，
当x＝4时，代入双曲线中，y＝，
1≠．
∴点A′不在双曲线y＝上；
（2）设A，B两点的距离坐标分别为s，t，
又点A、B在直线y＝x+1上，
∴A（s，s+1），B（t，t+1），
∴A点（s，s+1）的对称点为（s+1，s），B（t，t+1）对称点为（t+1，t），
设直线A′B′解析为y＝kx+b，
∴，
A、B两点不同则s≠t，
①﹣②得（s﹣t）k＝s﹣t，
解得k＝1，
将k＝1代入①中得b1＝﹣1，
∴直线A′B′解析式为y＝x﹣1；
（3）m，n为方程x2﹣x+1＝0两根，
∴m＝，n＝，
∴m+n＝1，
把A（n，m）A′（m，n），点（1，1），代入抛物线y＝ax2+bx+c中，
∴，
②﹣③得a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝﹣（m﹣n），
∴a（m+n）+b＝﹣1，
即a+b＝﹣1，
∴c＝2，b＝﹣a﹣1，
将c＝2，b＝﹣a﹣1代入②中得m（am﹣a﹣a）+2＝，
∴am﹣a﹣1＝，
∴a（m﹣1）＝，
∴a×＝，
∴a＝﹣1，b＝0，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2，
又y＝﹣x2+2在x轴上方部分（含与y轴交点）记为图形w，直线y＝﹣x+h与图形w有且只有一个交点，
当y＝﹣x+h过点（，0）时，h＝；
当y＝﹣x+h过点（﹣，0）时，h＝﹣，
∴﹣≤h≤，
当y＝﹣x2+2与y＝﹣x+h只有一个交点时（即相切），
联立，
∴x2﹣x+h﹣2＝0有两个相等数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（h﹣2）＝1﹣4h+8＝9﹣4h＝0，
∴h＝，
故直线y＝﹣x+h与图形w有且只有一个交点时，
h＝或﹣≤h≤．
26．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0），（，）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将原抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）向右平移1个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度得新抛物线，此时新抛物线与x轴相交于E、F两点，与y轴相交于点M，过点M与x轴平行的直线与新抛物线的另一交点为N，若点E、点F恰好在以MN为直径的圆周上，求m的值；
（3）在（1）的条件下，若直线AB：y＝kx+2k+4与抛物线y＝ax2+bx+c交于A、B两点，试在抛物线上找一定点D，使∠ADB＝90°，求点D的坐标，并求出点D到直线AB的最大距离．
【分析】（1）把点（0，0）代入解析式得c＝0，与y轴有交点，利用对称轴公式x＝﹣＝0，得b＝0，把点（，）代入解析式，可得抛物线的解析式．
（2）由平移性质知新抛物线的解析式y＝（x﹣1）2﹣m，与x轴交点纵坐标为0，与y轴交点横坐标为0，即得E、F、M、N的坐标．点F恰好在以MN为直径的圆周上，∠MFN＝90°，利用勾股定理可求出m的值．
（3）分两种情况：1．过D作EF∥x轴，过A作AE⊥EF于点E，过B作BF⊥EF，利用△AED∽△DFB，AB与抛物线交于A、B两点，联立方程可得一元二次方程求解即可．
2．过D作DG∥x轴，过C作CG⊥DG于G，过D作DH⊥AB于H，利用勾股定理可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为y轴且过（0，0），
∴c＝0，
∵x＝﹣＝0，
∴b＝0，
∵C（，）在抛物线上，
∴a≥0，a（）2+bx+c＝，
∴a2＝（代入求值），
∴a＝或a＝﹣（舍），
∴y＝x2；
（2）将y＝x2向下平移m个单位，向右平移1个单位，
∴y＝（x﹣1）2﹣m，
与x轴交于点E、F，令y＝0，
得xE＝1﹣，xF＝1+，
∴E（1﹣，0），F（1+，0），
又y＝（x﹣1）2﹣m与y轴交于M，
∴令x＝0，y＝﹣m，
∴M（0，﹣m），
又∵MN∥x轴与抛物线交于N，
∴N（2，﹣m），
∴MN＝2，
∴MN2＝4，MF2＝（1+）2+（﹣m）2，
NF2＝（1﹣）2+（﹣m）2，
∵点F恰好在以MN为直径的圆周上，
∴∠MFN＝90°，
∴△MFN为直角三角形，
∴MN2＝MF2+NF2，
∴4＝（1+）2+（﹣m）2+（1﹣）2+（﹣m）2，
∴4＝2+4m+2×（﹣m+m2），
∴m2+m﹣＝0，
∴m＝﹣或，
又m＞0，
∴m＝；
（3）如图1，过D作EF∥x轴，过A作AE⊥EF于点E，过B作BF⊥EF，
设A、B、D横坐标为s、n、t，
∵A、B、D在y＝x2上，A（s，s2），B（n，n2），C（t，t2），
∵∠ADB＝90°，∠DFB＝90°，
∴∠ADE+∠BDF＝90°＝∠DBF+∠BDF，
∴∠ADE＝∠DBF，
又∵∠AED＝∠DFB＝90°，
∴△AED∽△DFB，
∴＝，
∴＝，
∴t2+（s+n）t+sn+4＝0，AB与抛物线交于A、B两点，
∴s、n为kx+2k+4＝x2，
∴x2﹣2kx﹣4k﹣8＝0，
∴s+n＝2k，sn＝﹣4k﹣8，
∴t2+2kt﹣4k﹣4＝0，
（t﹣2）（t+2k+2）＝0，
∴t1＝2，t2＝﹣2b﹣2（舍），
将t＝2代入y＝x2，
得t2＝×22＝2，
∴D（2，2），
如图2，过D作DG∥x轴，过C作CG⊥DG于G，过D作DH⊥AB于H，C（﹣2，4），D（2，2），
∴CG＝4﹣2＝2，DG＝2﹣（﹣2）＝4，
∴CD＝＝＝2，
∵DH＜DC，
∴DH≤2，
当DC⊥AB时，DH与DC重合时，DH取最大值，
DH＝DC＝2，
∴D到AB最大距离为2．
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