2020年湖南省长沙市中考数学试卷
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2020年湖南省长沙市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 的值等于．
A． B． C． D．
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
3. 为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，年月至月，全国累计办理出口退税元，其中数字用科学记数法表示为．
A． B．
C． D．
4. 下列运算正确的是．
A． B． C． D．
5. 年月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位： /天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式是．
A． B． C． D．
6. 从一艘船上测得海岸上高为米的灯塔顶部的仰角为时，船离灯塔的水平距离是．
A．米 B．米 C．米 D．米
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是．
A．
B．
C．
D．
8. 一个不透明袋子中装有个红球，个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是．
A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球
C．第一次摸出的球是红球的概率是
D．两次摸出的球都是红球的概率是
9. 年月日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“”．国际数学日之所以定在月日，是因为“”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
① 圆周率是一个有理数；
② 圆周率是一个无理数；
③ 圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；
④ 圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．
其中表述正确的序号是．
A．② ③ B．① ③ C．① ④ D．② ④
10. 如图：一块直角三角板的角的顶点与直角顶点分别在两平行线、上，斜边平分，交直线于点，则的大小为．
A．
B．
C．
D．
11. 随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万件产品，现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得．
A． B． C． D．
12. “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间（单位：分钟）近似满足的函数关系为：（，，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为．
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
| 二、 填空题（共4题） |
13. 长沙地铁号线、号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了名市民，得到如下统计表：
次数 | 次及以上 | 次及以下 | |||||
人数 |
这次调查中的众数和中位数分别是________，________．
14. 某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给、、三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：
第一步，同学拿出二张扑克牌给同学；
第二步，同学拿出三张扑克牌给同学；
第三步，同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学．
请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为________．
15. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，该圆锥的侧面展开图的面积为________．
16. 如图，点在以为直径的半圆上运动（点不与，重合），，平分，交于点，交于点．
（1）________．
（2）若，则________．
| 三、 解答题（共9题） |
17. 计算：．
18. 先化简再求值：，其中．
19. 人教版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：．
求作：的平分线．
作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
（3）画射线，射线即为所求（如图）．
请你根据提供的材料完成下面问题．
（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是________．（填序号）
① ② ③ ④
（2）请你证明为的平分线．
20. 年月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：
（1）这次调查活动共抽取________人；
（2）________，________；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动次及以上的学生人数．
21. 如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的半径．
22. 今年月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用，两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：
| 第一批 | 第二批 |
型货车的辆数（单位：辆） | ||
型货车的辆数（单位：辆） | ||
累计运输物资的吨数（单位：吨） | ||
备注：第一批、第二批每辆货车均满载 | ||
（1）求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了吨生活物资，现已联系了辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
23. 在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）若，记，，求的值．
24. 我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”．
①（________）；
② （________）；
③（________）．
（2）若点与点是关于的“函数”的一对“点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求，，的值或取值范围．
（3）若关于的“函数”（，，是常数）同时满足下列两个条件：① ，② ，求该“函数”截轴得到的线段长度的取值范围．
25. 如图，半径为的中，弦的长度为，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．
（1）求的度数；
（2）当点沿着劣弧从点开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度；
（3）分别记，的面积为，，当时，求弦的长度．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】．
故选：
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解本题的关键．
2. 【答案】B
【解析】．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3. 【答案】A
【解析】．
故选：
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4. 【答案】B
【解析】．与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．
．原式，计算正确，故本选项符合题意．
．原式，计算错误，故本选项不符合题意．
．原式，计算错误，故本选项不符合题意．
故选：
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法，属于基础计算题，熟记相关计算法则即可解答．
5. 【答案】A
【解析】运送土石方总量平均运送土石方的速度完成运送任务所需时间，
，
．
故选：
【点评】本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键．
6. 【答案】A
【解析】根据题意可得：船离海岸线的距离为（米）．
故选：
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
7. 【答案】D
【解析】由不等式组，得，
故该不等式组的解集在数轴表示为：
．
故选：
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
8. 【答案】A
【解析】．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；
．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；
．不透明袋子中装有个红球，个绿球，第一次摸出的球是红球的概率是，故本选项正确；
．共用种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项正确．
故选：
【点评】此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9. 【答案】A
【解析】因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，
所以表述正确的序号是② ③ ．
故选：
【点评】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．
10. 【答案】C
【解析】平分，
，
又，
，
又，
．
故选：
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
11. 【答案】B
【解析】设更新技术前每天生产万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，
依题意，得：．
故选：
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12. 【答案】C
【解析】将图象中的三个点、、代入函数关系中，
，
解得，
所以函数关系式为：，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
，
则当分钟时，可以得到最佳时间．
故选：
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
二、 填空题
13. 【答案】；；
【解析】这次调查中的众数是，
这次调查中的中位数是．
故答案为：；
【点评】本题考查中位数和众数的概念；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
14. 【答案】；
【解析】设每人有牌张，同学从同学处拿来二张扑克牌，又从同学处拿来三张扑克牌后，
则同学有张牌，
同学有张牌，
那么给同学后同学手中剩余的扑克牌的张数为：．
故答案为：
【点评】本题考查了整式的加减法，此题目的关键是注意要表示清同学有张．
15. 【答案】；
【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，
，
该圆锥的侧面展开图的面积为．
故答案为：
【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式．
16. 【答案】（1）（2）；
【解析】（1）为的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，即① ，
，
，
，
，
② ，
① ×② 得，
，
，
．
故答案为：
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
设，则，
解得，，或（舍去），
．
故答案为：
【点评】本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，关键是灵活地变换比例式．
三、 解答题
17. 【答案】原式
【解析】原式
．
【点评】本题主要考查了化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解答此题的关键．
18. 【答案】原式，当时，原式
【解析】
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19. 【答案】（1）①
（2）答案见解析
【解析】（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是① ．
故答案为：①
（2）由基本作图方法可得：，，，
则在和中，
，
，
，
即为的平分线．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
20. 【答案】（1）
（2），
（3）
（4）该校名学生中一周劳动次及以上的有人
【解析】（1）（人），
故答案为：；
（2）（人），，即，，
故答案为：，；
（3）（人），补全条形统计图如图所示：
（4）（人），
故：该校名学生中一周劳动次及以上的有人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．
21. 【答案】（1）答案见解析
（2）的半径为
【解析】（1）如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
为的切线；
（2）过点作于点，
在中，，，
，
，
，
，
根据垂径定理，得
，
，
，
的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
22. 【答案】（1）种型号货车每辆满载能运吨生活物资，种型号货车每辆满载能运吨生活物资
（2）至少还需联系辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地
【解析】（1）设种型号货车每辆满载能运吨生活物资，种型号货车每辆满载能运吨生活物资，
依题意，得：，
解得：．
故：种型号货车每辆满载能运吨生活物资，种型号货车每辆满载能运吨生活物资．
（2）设还需联系辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
故：至少还需联系辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，
由翻折可知，，
，，
，
．
（2）设，
由翻折可知，，
，
，
，
，
，
，
．
（3），
，
，
设，，，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，，
，
，
．
【点评】本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
24. 【答案】（1），，
（2），，
（3）
【解析】（1）① 是“函数”．② 是“函数”．③ 不是“函数”．
故答案为：，，．
（2），是“点”，
，关于原点对称，
，，
，，
代入
得，
，
该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
，
，
，
，
，
综上所述，，，．
（3）是“函数”，
设和，
代入得到，
解得，，
，
，异号，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
设函数与x轴交于，，
，是方程的两根，
，
，
．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系等知识，“函数”，“点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
25. 【答案】（1）
（2）点的运动路径的长
（3）
【解析】（1）如图中，过点作于．
，，
，，
，
，
．
（2）如图中，连接．
，，，
，，
，
，
，，，四点共圆，
是直径，
的中点是的外接圆的圆心，
，
点的运动路径的长．
（3）如图中，连接交于，过点作于，过点作于．
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
【点评】本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
