2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（26）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（26）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为　　

A． B． C． D．

2．（5分）设且，若复数是实数，则　　

A．9 B．6 C．3 D．2

3．（5分）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为　　

A． B．5 C． D．2

4．（5分）已知，，，若，，三点共线，则　　

A． B． C． D．2

5．（5分）函数，，的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）若，，，则　　

A． B．2 C． D．

7．（5分）在三棱柱中，侧棱底面，所有棱长都为1，，分别为棱和的中点，若经过点，，的平面将三棱柱分割成两部分，则这两部分体积的比值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼春官大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为　　

A．960 B．1024 C．1296 D．2021

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知直线与圆，则下列说法中正确的是　　

A．直线与圆一定相交 

B．若，则直线与圆相切 

C．当时，直线1与圆的相交弦最长 

D．圆心到直线的距离的最大值为

10．（5分）新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容　　

A．可能是家常菜青椒土豆丝 B．可能是川菜干烧大虾 

C．可能是烹制西式点心 D．可能是烹制中式面食

11．（5分）已知数列的前项和为，下列说法正确的　　

A．若，则是等差数列 

B．若，则是等比数列 

C．若是等差数列，则 

D．若是等比数列，且，，则

12．（5分）函数在上有唯一零点，则下列四个结论正确的是　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知随机变量，，若，则　　．

14．（5分）已知，，，则的最小值为　　．

15．（5分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，则　　．

16．（5分）棱长为36的正四面体的外接球与内切球的半径之和为　　，内切球球面上有一动，则的最小值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知各项均为正数的等差数列的公差为4，其前项和为，且为，的等比中项．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．（12分）在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．

已知的内角、、的对边分别为，，，_______，是边上的一点，且，，

，求线段的长．

19．（12分）甲、乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号．第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛．当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜，如图表格中，第行、第列的数据是甲队第号队员能战胜乙队第号队员的概率．

（1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；

（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？

20．（12分）如图，在平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折，使点至点位置，若为线段的中点．

（1）证明：平面，并求的长．

（2）在翻折过程中，当三棱锥的体积取最大值时，求平面与平面所成的二面角的余弦值．

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且点在上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过的直线与交于，两点，若，求．

22．（12分）已知函数，．

（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

（2）当时，求证：．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（26）答案

1．解：全集，集合，或，

图中阴影部分为集合，

，

．

故选：．

2．解：

是实数，

，

又，．

故选：．

3．解：焦点到渐近线的距离等于实轴长，

，

、

故选：．

4．解：根据题意，，，，则，

若，，三点共线，则，则有，

变形可得：，

故选：．

5．解：，

函数为偶函数，其图象关于轴称，故排除，

，，

，故排除，

故选：．

6．解：由，

两边平方，可得：，即．

，

，则．

解得：或．

，，

．

故选：．

7．解：如图，

取的中点，连接，，可得且，

则四边形为平行四边形，则，

取的中点，连接，可得，则平面为经过点，，的平面，

，

，，

，

被平面所截另一部分多面体的体积为，

可得这两部分体积的比值为．

故选：．

8．解：根据题意，分2种情况讨论：

①“丝”被选中：不同的方式种数为种；

②“丝”不被选中：不同的方式种数为种．

故共有种排课方式，

故选：．

9．解：由，得，

直线过原点，且不与轴重合，

当时，直线与圆相离，故错误；

若，则直线与圆相切，故正确；

当时，直线1过圆心，直线与圆的相交弦最长，故正确；

当时，圆心到直线的距离取最大值为，故正确．

故选：．

10．解：①若甲说的全对，则小华选的是烹制中式面食，

所以乙全错，丙对了一半，故满足题意，

②若乙说的全对，则小华选的是烹制西式点心，

所以甲对了一半，丙全对，故不满足题意，

③若丙说的全对，则小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝，

所以小华选的是川菜干烧大虾，

所以甲全错，乙对了一半，故符合题意，

综上推断小华选的是烹制中式面食或川菜干烧大虾，

故选：．

11．解：根据题意，依次分析选项：

对于，若，则，，，则不是等差数列，错误，

对于，若，则，当时，，综合可得，则是等比数列，正确，

对于，是等差数列，则，正确，

对于，若是等比数列，当时，则，错误，

故选：．

12．解：函数的零点即为方程，即的根，

等价于函数的图象与直线有唯一公共点，

，，

因为在上单调递增，且当时，，当时，，

所以存在，使得，且当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

所以，

所以，正确，错误；又，所以，正确；

令，则，

当时，，，故错误；

故选：．

13．解：因为随机变量，，故，结合，

故．

故答案为：0.2．

14．解：，，，

，

当且仅当，又，即，时取等号，

的最小值为16．

故答案为：16．

15．解：设，，，，

联立方程，消去整理可得：，

所以①

又，即，所以②

联立方程①②，解得，

所以，

故答案为：．

16．解：将正四面体放入如图的正方体，

则正四面体的外接球与该正方体的外接球为同一球，半径为，

设正四面体的内切球半径为，

根据等体积法有，

解得，

所以外接球与内切球的半径之和为；

由阿波罗尼斯球得内切球球心是线段上以，为定点，空间中满足的点的集合，

连结并延长交平面于点，交内切球上方的点设为，

过作，交于点，连结，，

设，由（1）空可知，，

，解得，，

所以，

所以，

所以，

在中，，，

所以，

所以的最小值为．

故答案为：；．

17．解：（1）因为数列是公差为4的等差数列，

所以．（2分）

又，所以，即，

解得或（舍去），（4分）

所以．（5分）

（2）因为，（7分）

所以

（8分）

（9分）

．（10分）

18．解：若选择①，因为，

所以由正弦定理可得，整理可得：，

可得，

因为，

所以．

若选择②，因为，

所以由正弦定理可得，

可得，

因为，

所以，可得，

因为，

所以．

若选择③，因为的面积，

由余弦定理，可得，

所以，整理可得，可得，

因为，

所以．

因为是边上的一点，且，，

在中，，由为锐角，可得，

由余弦定理可得，可得，即，

解得，或，

所以，

所以由，可得，解得，

所以，可得，或．

故答案为：0，或．

19．解：（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为：

．

（2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件，

甲队1号胜乙队3号，概率为：，

甲队2号胜乙队2号．，概率为：，

甲队3号胜乙队1号，概率为：，

第3局甲队队员获胜的概率为，

第3局乙队队员获胜的概率为：，

，

甲队队员获胜的概率更大一些．

20．（解：（1）证明：如图，取的中点，连接，，

因为为的中点，为的中点，所以，，

又为的中点，所以，，所以，且，

即四边形为平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面，

因为四边形为平行四边形，所以，

又△为等边三角形，为的中点，所以，即．

（2）如图，连接，设三棱锥的高为，因为为的中点，

所以，又，，，

所以为定值，在翻折过程中，当平面垂直于平面时，最大，

三棱锥的体积取最大值，取的中点，连接，

因为平面平面，平面平面，，

所以平面，取的中点为，

以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，，，，，，

所以，，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，

又平面的一个法向量，1，，

所以，

因为二面角的平面角为锐角，所以平面与平面所成的二面角的余弦值为．

21．解：（1）由题意可知：，

解得：，

椭圆的标准方程为：．

（2）易知，

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

设，，，，

联立方程，消去得：，

，，

，，，在椭圆上，

，，

，

，

，

，

，

整理得：，

把，代入上式得：，

整理得：，

，，

，

②当直线的斜率不存在时，点，，

，

，不符合题意，舍去，

综上所述，．

22．（1）解：，定义域为，

，

因为函数在区间上单调递增，

所以在上恒成立，

所以，

令，

则在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以（1），

所以，

即实数的取值范围是，．

（2）证明：当时，，

由（1）可知，在上单调递增，

要证．即证，

令，

，

令，则，

解得，

又，（2），

所以在上，单调递减，在上，，单调递增，

所以的最小值为（1），所以，

所以，得证．