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江苏省无锡市江阴市2020-2021学年九年级下学期期中数学试题（word版 含答案）
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这是一份江苏省无锡市江阴市2020-2021学年九年级下学期期中数学试题（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省无锡市江阴市2020-2021学年九年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≠2 D．x＜2
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．a2＋a3＝2a5 B．(ab2)3＝ab6 C．a2·a3＝a5 D．(a3)2＝a9
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于抛物线，下列结论中不正确是（ ）
A．对称轴为直线 B．当时，随的增大而减小
C．与轴没有交点 D．与轴交于点
6．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．了解一批圆珠笔的使用寿命 B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考查人们保护海洋的意识 D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
7．六边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
8．点A（﹣1，1）是反比例函数的图象上一点，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
9．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65cm2，
扇形的弧长为10cm，则圆锥母线长是( )
A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
二、填空题
11．的平方根为_______
12．已知一组数据：86，85，82，97，73这组数据的中位数是_____________．
13．分解因式：＝________．
14．已知一个菱形的两条对角线的长分别为5cm和8cm，该菱形的面积为______cm2．
15．如图，O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38º，则∠OAC的度数是_________.
16．如图，在ABC和BAD中，BC ＝ AD，请你再补充一个条件，使ABC≌BAD．你补充的条件是______（只需填写一个符合要求的答案）．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A(a，4)为第一象限内一点，且a＜4．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则a的值等于___．
18．已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(－2，2)，射线PA与x轴正半轴交于点A，射线PB与y轴负半轴交于点B，且线段OA的长度大于线段OB，同时始终满足∠APB＝45°，则AOB的面积为____．
三、解答题
19．计算或化简：
（1）＋()－1－4cos45°－(－π)°
（2）(2x＋1)(2x－1)－4(x＋1)2
20．（1）解方程：．
（2）解不等式组：
21．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
22．脸谱是中国戏曲男演员脸部的彩色化妆．这种脸部化妆主要用于净（花脸）和丑（小丑），表现人物的性格和特征．现有四张脸谱，如图所示：有两张相同的表现忠勇侠义的净角姜维，有一张表现直爽刚毅的净角包拯，有一张表现阴险奸诈的丑角夏侯婴．
（1）随机抽取一张，获得一张净角脸谱的概率是 ；
（2）随机抽取两张，求获得一张姜维脸谱和一张包拯脸谱的概率．
23．某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为 °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
24．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若PB＝3，tan∠PDB＝，求⊙O的半径．
25．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
26．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图1,P为∠MON平分线OC上一点,以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A．B两点,如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA⋅OB=OP ，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角.
(1)如图2,P为∠MON平分线OC上一点,过P作PB⊥ON于B,AP⊥OC于P,那么∠APB___∠MON的关联角(填“是”或“不是”).
(2)①如图3,如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；
②如果∠MON=α°(0°<α°<90°)，OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．
(3)如图4,点C是函数y= (x>0)图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标．
28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．
（1）当t=秒时，点Q的坐标是 ；
（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．
参考答案
1．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
264000的小数点向左移动5位得到2.64，
所以264000用科学记数法表示为2.64×105，
故选C.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．C
【分析】
令分母不等于0求解即可．
【详解】
由题意得
x-2≠0，
∴x≠2．
故选C．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．C
【分析】
根据幂的相关运算法则逐项分析即可．
【详解】
A、a2与a3不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、(ab2)3＝a3b6，原计算错误，不符合题意；
C、a2·a3＝a2+3= a5，原计算正确，符合题意；
D、(a3)2＝a6，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查同底数幂的相关运算，熟记基本运算法则是解题关键．
4．D
【分析】
根据轴对称图形的概念：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．
【详解】
A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D.是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念以及中心对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念．
5．D
【详解】
解： 抛物线，
抛物线的对称轴为： 故不符合题意；
＞ 抛物线的开口向上，
当＜时，随的增大而减小，故不符合题意；
令
方程无解，所以函数与轴没有交点，故不符合题意；
当时，
函数与轴交于点故符合题意；
故选D．
6．D
【详解】
试题解析：A、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误；
B、了解全国九年级学生身高的现状，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
C、考察人们保护海洋的意识，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
D、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，事关重大，应用普查方式，故本选项正确；
故选D．
7．B
【分析】
根据凸多边形的外角和定理求解即可．
【详解】
任意凸多边形的外角和为360°，
∴六边形的外角和为360°，
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形的外角和定理，熟记基本结论是解题关键．
8．B
【详解】
试题分析：把点A（﹣1，1）代入函数解析式得：，解得：m+1=﹣1，解得m=﹣2．故选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
9．D
【详解】
∴选D
10．A
【分析】
连接，首先确定出随着F点的运动，E点的运动轨迹，然后利用直线与圆的位置关系得出时，四边形AGCD的面积的最小，从而结合三角函数求解即可．
【详解】
如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
根据勾股定理得，，
∵，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵，
∴要使四边形的面积最小，即h最小，
由题意可知点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形内部的一点，
∴时，h最小，即点三点共线．
由折叠的性质知，
如解图，延长EG交AC于点H，则，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查矩形中的折叠问题，理解矩形的性质，准确判断出动点的轨迹，熟练结合三角函数求解是解题关键．
11．
【分析】
利用平方根立方根定义计算即可．
【详解】
∵，
∴的平方根是±，
故答案为±.
【点睛】
本题考查了方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.注意：区别平方根和算术平方根．一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
12．85
【分析】
根据中位数的定义求解即可.
【详解】
将这组数据按照从小到大的顺序排列：73，82，85，86，97，
故中位数是85；
故答案为：85.
【点睛】
本题主要考查的是中位数的定义，掌握相关定义是解题的关键．
13．a（a+2）（a-2）
【分析】
先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式，然后选取答案即可．
【详解】
解：a3-4a，
=a（a2-4），
=a（a+2）（a-2）．
故答案为：a（a+2）（a-2）
【点睛】
本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式．
14．20
【分析】
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．
【详解】
由已知得,菱形面积= ×5×8=20cm2.
故答案为20.
【点睛】
此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握运算公式.
15．19°
【分析】
根据圆周角定理得到∠ACB的度数，再根据平行线的性质得到∠OAC的度数即可.
【详解】
解：∵∠AOB＝38º，
∴∠ACB=19°，
又∵AO∥BC，
∴∠OAC=∠ACB=19°.
故答案为19°.
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
16．
【分析】
AB是公共边，题目已知BC ＝ AD，根据全等三角形的判定方法SAS，补充夹角相等即可解题．
【详解】
解：补充，理由如下，
ABC≌BAD
故答案为：．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．
【分析】
过点A作轴于点，过点B作于点D，证明，根据全等三角形的对应边相等性质得到，再根据点A、B恰好都在同一反比例函数，得到，最后利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】
解：过点A作轴于点，过点B作于点D，如图，
又
点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，
或
A(a，4) 为第一象限内一点，
（舍去）
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查反比例的综合题，涉及全等三角形的判定与性质、公式法解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
18．4
【分析】
连接OP，过点P作PDy轴于点D，PCx轴于点C，设，由得到，再证明，根据相似三角形的对应边成比例解得，继而得到，最后根据三角形面积公式解题即可．
【详解】
解：连接OP，过点P作PDy轴于点D，PCx轴于点C，
设，
．
．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
19．（1）1；（2）-8x-5
【分析】
（1）直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的运算法则分别化简得出答案．
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行解答．
【详解】
解：（1）原式=2+2－4×－1
=1；
（2）原式=4x2-1-4（x2+2x+1）
=4x2-1-4x2-8x-4
=-8x-5．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（1）无解；（2）﹣1＜x≤2．
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】
（1）去分母得：1﹣x+1=﹣3x+6，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解；
（2），
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（1）详情见解析；（2）
【分析】
（1）利用角的等量代换求出，再判断即可求解；
（2）利用全等三角形的性质得到，再通过角的等量代换求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴
∴
∴
在和中
∴
∴
（2）设与的交点为，如图所示：
∵
∴
∵，，且
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，灵活运用角的等量代换是解题的关键．
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据概率公式解题；
（2）画树状图表示所有等可能的结果，继而解出符合题意的有4种，据此求概率.
【详解】
解：（1）4张脸谱，随机抽取一张净角脸谱的概率为：，
故答案为：；
（2）画树状图如下，
所有机会均等的结果共12种，获得一张姜维脸谱和一张包拯脸谱的机会共4种，
获得一张姜维脸谱和一张包拯脸谱的概率是．
【点睛】
本题考查概率、列表法或画树状图求概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．（1）4；（2）36 ；（3）C区共享单车的使用量为0.7万辆，图见解析.
【详解】
试题分析：（1）根据D区投放量除以占的百分比，求出总量数；
（2）先求出C区所占的百分比，再求出B区所占的百分比，最后乘以360°；
（3）求出共享单车的使用量，减去其余各区的就可求出C区共享单车的使用量．
试题解析：
（1）
（2），
（3）C区共享单车的使用量=4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）；
补全条形统计图如图：
答： C区共享单车的使用量为0.7万辆．
24．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理可证，然后根据垂直定义可得，从而得出半径，根据切线的判定定理即可证出结论；
（2）连接，根据题意求出，再结合切线长定理得到，，从而设的半径是，利用勾股定理求解即可．
【详解】
（1），
，
，
，
，
半径，
是的切线．
（2）如图，连接，
，
．
和是的切线，
，
，
设的半径是，
则，
切于点，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．
25．（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.
【分析】
（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
【详解】
（1）由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，
（2）由题意，得
-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
26．（1）；（2）F（1，-2）；（3）存在，P点坐标为（5，12）
【分析】
（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式列出b、c的方程组，解得b、c便可；
（2）连接BC，并与对称轴交于点F，根据两点之间线段最短的性质，此时△ACF的周长最小，求得BC的解析式，再求得BC与对称轴的交点坐标即可得到答案；
（3）设P（m，m2-2m-3）（m＞3），根据相似三角形的比例式列出m的方程,通过求解即可得到答案．
【详解】
（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：；
（2）∵点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上
∴AF＝BF
连接BC，直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1
∴AF+CF＝BF+CF＝BC，即AF+CF的值最小
∵AC为定值
∴此时△AFC的周长最小，
由（1）知，b＝-2，c＝-3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2-2x-3
∴对称轴为x＝1
当y＝0，得x2-2x-3＝0
解得：x＝-1，或x＝3
∴B（3，0）
∵C（0，-3）
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
解得：
∴直线BC的解析式为：y＝x-3
当x＝1时，y＝x-3＝-2
∴F（1，-2）；
（3）设P（m，m2-2m-3）
∵点P在第一象限
∴m＞3
过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2：
根据题意得：PH＝5DG，E（m，m-3）
∴PE＝m2-3m，DE＝m-3
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG
∴△PEH∽△DEG
∴
∴
∵m＝3（舍），或m＝5
∴点P的坐标为P（5，12）
故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数、一元二次方程、轴对称、相似三角形、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、轴对称、相似三角形、分式方程的性质，从而完成求解．
27．(1) 是；(2)①，150°；②m×sinα；(3) 点(,)或(−,−)或(,),P2(−,−).
【分析】
（1）先判断出△OBP∽△OPA，即可；
（2）①先根据关联角求出OA×OB=4，再利用三角形的面积公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；②根据三角形面积公式把α和m代入即可；
（3）根据条件分情况讨论，点B在y轴正半轴和负半轴，在负半轴时，经过计算，不存在，②在正半轴时，由BC=2AC判断出点C是线段AB的一个三等分点，即可．
【详解】
(1)∵P为∠MON平分线OC上一点，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，
∴∠OBP=∠OPA，
∴△OBP∽△OPA，
∴ ，
∴OP=OA×OB，
∴∠APB是∠MON的关联角.
故答案为是.
(2)①如图，过点A作AH⊥OB，
∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，
∴OA×OB=OP=4，
在Rt△AOH中,∠AOH=90°，
∴sin∠AOH= ，
∴AH=OAsin∠AOH，
∴S = OB×AH=OB×OA×sin60°=×OP× = ，
∵OP=OA×OB，
∴ ，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=∠MON=30°，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP=∠OPB，
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°−30°=150°，
②由①有,S =OB×OA×∠MON=m×sinα；
(3)∵过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，
∴只有点A在x轴正半轴，
①当点B在y轴负半轴时,设A(m,0),B(0,n)(m>0,n<0)
∴OA=m，OB=−n，
∵BC=2CA，
∴点A是BC中点，
∴点C(2m,−n)，
∵点C在双曲线y=2x上，
∴2m×(−n)=2，
∴mn=−1(不符合题意,舍去)，
∵∠AOB的关联角∠APB
∴OP=OA×0B=|m||n|=1，
∴OP=1，
∵点P在∠AOB的平分线上,设P(a,a)，
∴OP=2a，
∴2a=1，
∴a=± ，
∴点P(,)或(−,−)
②当点B在y轴正半轴,设A(m,0),B(0,n)(m>0,n>0)
∴点C( )，
∴=2，
∴mn=9，
∵∠AOB的关联角∠APB
∴OP=OA×0B=mn=9，
∴OP=3，
∵点P在∠AOB的平分线上,设P(a,a)，
∴OP=2a，
∴2a=9，
∴a=±，
即：点P (,),P2(−,−)，
综上所述,点(,)或(−,−)或(,),P2(−,−).
【点睛】
此题考查几何变换综合题，解题关键在于利用相似三角形的判定与性质进行解答.
28．（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =t2；②当1＜t≤时，S =﹣t2+18t；③当＜t≤2时， S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为．
【分析】
（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；
（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；
（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论．
【详解】
（1）令y=0，
∴﹣x+4=0，
∴x=6，
∴A（6，0），
当t=秒时，AP=3×=1，
∴OP=OA﹣AP=5，
∴P（5，0），
由对称性得，Q（4，0）；
（2）当点Q在原点O时，OQ=6，
∴AP=OQ=3，
∴t=3÷3=1，
①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，
∴y=4，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∵A（6，0），
∴OA=6，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=，
由运动知，AP=3t，
∴P（6﹣3t，0），
∴Q（6﹣6t，0），
∴PQ=AP=3t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥OA，PN=PQ=3t，
在Rt△APD中，tan∠OAB=，
∴PD=2t，
∴DN=t，
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB，
∴tan∠DCN=，
∴CN=t，
∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣t×t=t2；
②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=t，
∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣t×t=﹣t2+18t；
③当＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；
（3）如图4，由运动知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0），
∴M（6-6t，3t），
∵T是正方形PQMN的对角线交点，
∴T（6-），
∴点T是直线y=-x+2上的一段线段，（-3≤x＜6），
同理：点N是直线AG：y=-x+6上的一段线段，（0≤x≤6），
∴G（0，6），
∴OG=6，
∵A（6，0），
∴AG=6，在Rt△ABG中，OA=6=OG，
∴∠OAG=45°，
∵PN⊥x轴，
∴∠APN=90°，
∴∠ANP=45°，
∴∠TNA=90°，
即：TN⊥AG，
∵T正方形PQMN的对角线的交点，
∴TN=TP，
∴OT+TP=OT+TN，
∴点O，T，N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ON⊥AG时，OT+TN最小，
即：OT+TN最小，
∵S△OAG=OA×OG=AG×ON，
∴ON==．
即：OT+PT的最小值为3
【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T的位置是解本题（3）的难点．
江苏省无锡市江阴市2020-2021学年九年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≠2 D．x＜2
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．a2＋a3＝2a5 B．(ab2)3＝ab6 C．a2·a3＝a5 D．(a3)2＝a9
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于抛物线，下列结论中不正确是（ ）
A．对称轴为直线 B．当时，随的增大而减小
C．与轴没有交点 D．与轴交于点
6．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．了解一批圆珠笔的使用寿命 B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考查人们保护海洋的意识 D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
7．六边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
8．点A（﹣1，1）是反比例函数的图象上一点，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
9．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65cm2，
扇形的弧长为10cm，则圆锥母线长是( )
A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
二、填空题
11．的平方根为_______
12．已知一组数据：86，85，82，97，73这组数据的中位数是_____________．
13．分解因式：＝________．
14．已知一个菱形的两条对角线的长分别为5cm和8cm，该菱形的面积为______cm2．
15．如图，O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38º，则∠OAC的度数是_________.
16．如图，在ABC和BAD中，BC ＝ AD，请你再补充一个条件，使ABC≌BAD．你补充的条件是______（只需填写一个符合要求的答案）．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A(a，4)为第一象限内一点，且a＜4．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则a的值等于___．
18．已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(－2，2)，射线PA与x轴正半轴交于点A，射线PB与y轴负半轴交于点B，且线段OA的长度大于线段OB，同时始终满足∠APB＝45°，则AOB的面积为____．
三、解答题
19．计算或化简：
（1）＋()－1－4cos45°－(－π)°
（2）(2x＋1)(2x－1)－4(x＋1)2
20．（1）解方程：．
（2）解不等式组：
21．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
22．脸谱是中国戏曲男演员脸部的彩色化妆．这种脸部化妆主要用于净（花脸）和丑（小丑），表现人物的性格和特征．现有四张脸谱，如图所示：有两张相同的表现忠勇侠义的净角姜维，有一张表现直爽刚毅的净角包拯，有一张表现阴险奸诈的丑角夏侯婴．
（1）随机抽取一张，获得一张净角脸谱的概率是 ；
（2）随机抽取两张，求获得一张姜维脸谱和一张包拯脸谱的概率．
23．某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为 °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
24．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若PB＝3，tan∠PDB＝，求⊙O的半径．
25．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
26．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图1,P为∠MON平分线OC上一点,以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A．B两点,如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA⋅OB=OP ，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角.
(1)如图2,P为∠MON平分线OC上一点,过P作PB⊥ON于B,AP⊥OC于P,那么∠APB___∠MON的关联角(填“是”或“不是”).
(2)①如图3,如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；
②如果∠MON=α°(0°<α°<90°)，OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．
(3)如图4,点C是函数y= (x>0)图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标．
28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．
（1）当t=秒时，点Q的坐标是 ；
（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．
参考答案
1．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
264000的小数点向左移动5位得到2.64，
所以264000用科学记数法表示为2.64×105，
故选C.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．C
【分析】
令分母不等于0求解即可．
【详解】
由题意得
x-2≠0，
∴x≠2．
故选C．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．C
【分析】
根据幂的相关运算法则逐项分析即可．
【详解】
A、a2与a3不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、(ab2)3＝a3b6，原计算错误，不符合题意；
C、a2·a3＝a2+3= a5，原计算正确，符合题意；
D、(a3)2＝a6，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查同底数幂的相关运算，熟记基本运算法则是解题关键．
4．D
【分析】
根据轴对称图形的概念：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．
【详解】
A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D.是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念以及中心对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念．
5．D
【详解】
解： 抛物线，
抛物线的对称轴为： 故不符合题意；
＞ 抛物线的开口向上，
当＜时，随的增大而减小，故不符合题意；
令
方程无解，所以函数与轴没有交点，故不符合题意；
当时，
函数与轴交于点故符合题意；
故选D．
6．D
【详解】
试题解析：A、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误；
B、了解全国九年级学生身高的现状，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
C、考察人们保护海洋的意识，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
D、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，事关重大，应用普查方式，故本选项正确；
故选D．
7．B
【分析】
根据凸多边形的外角和定理求解即可．
【详解】
任意凸多边形的外角和为360°，
∴六边形的外角和为360°，
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形的外角和定理，熟记基本结论是解题关键．
8．B
【详解】
试题分析：把点A（﹣1，1）代入函数解析式得：，解得：m+1=﹣1，解得m=﹣2．故选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
9．D
【详解】
∴选D
10．A
【分析】
连接，首先确定出随着F点的运动，E点的运动轨迹，然后利用直线与圆的位置关系得出时，四边形AGCD的面积的最小，从而结合三角函数求解即可．
【详解】
如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
根据勾股定理得，，
∵，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵，
∴要使四边形的面积最小，即h最小，
由题意可知点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形内部的一点，
∴时，h最小，即点三点共线．
由折叠的性质知，
如解图，延长EG交AC于点H，则，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查矩形中的折叠问题，理解矩形的性质，准确判断出动点的轨迹，熟练结合三角函数求解是解题关键．
11．
【分析】
利用平方根立方根定义计算即可．
【详解】
∵，
∴的平方根是±，
故答案为±.
【点睛】
本题考查了方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.注意：区别平方根和算术平方根．一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
12．85
【分析】
根据中位数的定义求解即可.
【详解】
将这组数据按照从小到大的顺序排列：73，82，85，86，97，
故中位数是85；
故答案为：85.
【点睛】
本题主要考查的是中位数的定义，掌握相关定义是解题的关键．
13．a（a+2）（a-2）
【分析】
先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式，然后选取答案即可．
【详解】
解：a3-4a，
=a（a2-4），
=a（a+2）（a-2）．
故答案为：a（a+2）（a-2）
【点睛】
本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式．
14．20
【分析】
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．
【详解】
由已知得,菱形面积= ×5×8=20cm2.
故答案为20.
【点睛】
此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握运算公式.
15．19°
【分析】
根据圆周角定理得到∠ACB的度数，再根据平行线的性质得到∠OAC的度数即可.
【详解】
解：∵∠AOB＝38º，
∴∠ACB=19°，
又∵AO∥BC，
∴∠OAC=∠ACB=19°.
故答案为19°.
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
16．
【分析】
AB是公共边，题目已知BC ＝ AD，根据全等三角形的判定方法SAS，补充夹角相等即可解题．
【详解】
解：补充，理由如下，
ABC≌BAD
故答案为：．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．
【分析】
过点A作轴于点，过点B作于点D，证明，根据全等三角形的对应边相等性质得到，再根据点A、B恰好都在同一反比例函数，得到，最后利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】
解：过点A作轴于点，过点B作于点D，如图，
又
点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，
或
A(a，4) 为第一象限内一点，
（舍去）
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查反比例的综合题，涉及全等三角形的判定与性质、公式法解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
18．4
【分析】
连接OP，过点P作PDy轴于点D，PCx轴于点C，设，由得到，再证明，根据相似三角形的对应边成比例解得，继而得到，最后根据三角形面积公式解题即可．
【详解】
解：连接OP，过点P作PDy轴于点D，PCx轴于点C，
设，
．
．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
19．（1）1；（2）-8x-5
【分析】
（1）直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的运算法则分别化简得出答案．
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行解答．
【详解】
解：（1）原式=2+2－4×－1
=1；
（2）原式=4x2-1-4（x2+2x+1）
=4x2-1-4x2-8x-4
=-8x-5．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（1）无解；（2）﹣1＜x≤2．
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】
（1）去分母得：1﹣x+1=﹣3x+6，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解；
（2），
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（1）详情见解析；（2）
【分析】
（1）利用角的等量代换求出，再判断即可求解；
（2）利用全等三角形的性质得到，再通过角的等量代换求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴
∴
∴
在和中
∴
∴
（2）设与的交点为，如图所示：
∵
∴
∵，，且
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，灵活运用角的等量代换是解题的关键．
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据概率公式解题；
（2）画树状图表示所有等可能的结果，继而解出符合题意的有4种，据此求概率.
【详解】
解：（1）4张脸谱，随机抽取一张净角脸谱的概率为：，
故答案为：；
（2）画树状图如下，
所有机会均等的结果共12种，获得一张姜维脸谱和一张包拯脸谱的机会共4种，
获得一张姜维脸谱和一张包拯脸谱的概率是．
【点睛】
本题考查概率、列表法或画树状图求概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．（1）4；（2）36 ；（3）C区共享单车的使用量为0.7万辆，图见解析.
【详解】
试题分析：（1）根据D区投放量除以占的百分比，求出总量数；
（2）先求出C区所占的百分比，再求出B区所占的百分比，最后乘以360°；
（3）求出共享单车的使用量，减去其余各区的就可求出C区共享单车的使用量．
试题解析：
（1）
（2），
（3）C区共享单车的使用量=4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）；
补全条形统计图如图：
答： C区共享单车的使用量为0.7万辆．
24．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理可证，然后根据垂直定义可得，从而得出半径，根据切线的判定定理即可证出结论；
（2）连接，根据题意求出，再结合切线长定理得到，，从而设的半径是，利用勾股定理求解即可．
【详解】
（1），
，
，
，
，
半径，
是的切线．
（2）如图，连接，
，
．
和是的切线，
，
，
设的半径是，
则，
切于点，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．
25．（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.
【分析】
（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
【详解】
（1）由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，
（2）由题意，得
-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
26．（1）；（2）F（1，-2）；（3）存在，P点坐标为（5，12）
【分析】
（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式列出b、c的方程组，解得b、c便可；
（2）连接BC，并与对称轴交于点F，根据两点之间线段最短的性质，此时△ACF的周长最小，求得BC的解析式，再求得BC与对称轴的交点坐标即可得到答案；
（3）设P（m，m2-2m-3）（m＞3），根据相似三角形的比例式列出m的方程,通过求解即可得到答案．
【详解】
（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：；
（2）∵点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上
∴AF＝BF
连接BC，直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1
∴AF+CF＝BF+CF＝BC，即AF+CF的值最小
∵AC为定值
∴此时△AFC的周长最小，
由（1）知，b＝-2，c＝-3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2-2x-3
∴对称轴为x＝1
当y＝0，得x2-2x-3＝0
解得：x＝-1，或x＝3
∴B（3，0）
∵C（0，-3）
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
解得：
∴直线BC的解析式为：y＝x-3
当x＝1时，y＝x-3＝-2
∴F（1，-2）；
（3）设P（m，m2-2m-3）
∵点P在第一象限
∴m＞3
过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2：
根据题意得：PH＝5DG，E（m，m-3）
∴PE＝m2-3m，DE＝m-3
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG
∴△PEH∽△DEG
∴
∴
∵m＝3（舍），或m＝5
∴点P的坐标为P（5，12）
故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数、一元二次方程、轴对称、相似三角形、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、轴对称、相似三角形、分式方程的性质，从而完成求解．
27．(1) 是；(2)①，150°；②m×sinα；(3) 点(,)或(−,−)或(,),P2(−,−).
【分析】
（1）先判断出△OBP∽△OPA，即可；
（2）①先根据关联角求出OA×OB=4，再利用三角形的面积公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；②根据三角形面积公式把α和m代入即可；
（3）根据条件分情况讨论，点B在y轴正半轴和负半轴，在负半轴时，经过计算，不存在，②在正半轴时，由BC=2AC判断出点C是线段AB的一个三等分点，即可．
【详解】
(1)∵P为∠MON平分线OC上一点，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，
∴∠OBP=∠OPA，
∴△OBP∽△OPA，
∴ ，
∴OP=OA×OB，
∴∠APB是∠MON的关联角.
故答案为是.
(2)①如图，过点A作AH⊥OB，
∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，
∴OA×OB=OP=4，
在Rt△AOH中,∠AOH=90°，
∴sin∠AOH= ，
∴AH=OAsin∠AOH，
∴S = OB×AH=OB×OA×sin60°=×OP× = ，
∵OP=OA×OB，
∴ ，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=∠MON=30°，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP=∠OPB，
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°−30°=150°，
②由①有,S =OB×OA×∠MON=m×sinα；
(3)∵过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，
∴只有点A在x轴正半轴，
①当点B在y轴负半轴时,设A(m,0),B(0,n)(m>0,n<0)
∴OA=m，OB=−n，
∵BC=2CA，
∴点A是BC中点，
∴点C(2m,−n)，
∵点C在双曲线y=2x上，
∴2m×(−n)=2，
∴mn=−1(不符合题意,舍去)，
∵∠AOB的关联角∠APB
∴OP=OA×0B=|m||n|=1，
∴OP=1，
∵点P在∠AOB的平分线上,设P(a,a)，
∴OP=2a，
∴2a=1，
∴a=± ，
∴点P(,)或(−,−)
②当点B在y轴正半轴,设A(m,0),B(0,n)(m>0,n>0)
∴点C( )，
∴=2，
∴mn=9，
∵∠AOB的关联角∠APB
∴OP=OA×0B=mn=9，
∴OP=3，
∵点P在∠AOB的平分线上,设P(a,a)，
∴OP=2a，
∴2a=9，
∴a=±，
即：点P (,),P2(−,−)，
综上所述,点(,)或(−,−)或(,),P2(−,−).
【点睛】
此题考查几何变换综合题，解题关键在于利用相似三角形的判定与性质进行解答.
28．（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =t2；②当1＜t≤时，S =﹣t2+18t；③当＜t≤2时， S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为．
【分析】
（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；
（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；
（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论．
【详解】
（1）令y=0，
∴﹣x+4=0，
∴x=6，
∴A（6，0），
当t=秒时，AP=3×=1，
∴OP=OA﹣AP=5，
∴P（5，0），
由对称性得，Q（4，0）；
（2）当点Q在原点O时，OQ=6，
∴AP=OQ=3，
∴t=3÷3=1，
①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，
∴y=4，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∵A（6，0），
∴OA=6，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=，
由运动知，AP=3t，
∴P（6﹣3t，0），
∴Q（6﹣6t，0），
∴PQ=AP=3t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥OA，PN=PQ=3t，
在Rt△APD中，tan∠OAB=，
∴PD=2t，
∴DN=t，
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB，
∴tan∠DCN=，
∴CN=t，
∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣t×t=t2；
②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=t，
∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣t×t=﹣t2+18t；
③当＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；
（3）如图4，由运动知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0），
∴M（6-6t，3t），
∵T是正方形PQMN的对角线交点，
∴T（6-），
∴点T是直线y=-x+2上的一段线段，（-3≤x＜6），
同理：点N是直线AG：y=-x+6上的一段线段，（0≤x≤6），
∴G（0，6），
∴OG=6，
∵A（6，0），
∴AG=6，在Rt△ABG中，OA=6=OG，
∴∠OAG=45°，
∵PN⊥x轴，
∴∠APN=90°，
∴∠ANP=45°，
∴∠TNA=90°，
即：TN⊥AG，
∵T正方形PQMN的对角线的交点，
∴TN=TP，
∴OT+TP=OT+TN，
∴点O，T，N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ON⊥AG时，OT+TN最小，
即：OT+TN最小，
∵S△OAG=OA×OG=AG×ON，
∴ON==．
即：OT+PT的最小值为3
【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T的位置是解本题（3）的难点．
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