江苏省淮安市洪泽区2020-2021学年九年级下学期期中数学试题（word版 含答案）

这是一份江苏省淮安市洪泽区2020-2021学年九年级下学期期中数学试题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省淮安市洪泽区2020-2021学年九年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．某图书馆有图书约985000册，数据985000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
5．随机从甲、乙两块试验田中各抽取株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为则小麦长势比较整齐的试验田是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲乙一样 D．无法判定
6．在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（　　）

A． B．5 C． D．5
7．电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3 （1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
8．将正整数按照如图规律排列：
第一层：
第二层：
第三层：
第四层：
······
在这个数字宝塔中，请问在第（ ）层．
A． B． C． D．

二、填空题
9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
10．如果，,那么代数式的值是___．
11．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为________．

12．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时， _________．

13．将抛物线先向右平移个单位后，再向下平移个单位，得到新的抛物线函数关系式为__________．
14．若圆锥的侧面积是，母线长是，则该圆锥底面圆的半径是___________
15．如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________．

16．如图，，点是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角．当点在边上运动一周时，点运动的路径长为___________．


三、解答题
17．（1）计算：
（2）解不等式组：
18．先化简再求值：，其中是满足的整数．
19．璐璐和品品来到学校附近的文具店购买圆珠笔和笔记本，璐璐要买枝圆珠笔，本笔记本需花元，品品要买枝圆珠笔，本笔记本需花费元．每枝圆珠笔和每本笔记本的价格分别是多少元？
20．四张相同的卡片上分别写有数字：，将卡片的背面朝上，并洗匀．
（1）从中任意抽取张，抽到的数字是负数的概率是
（2）从中任意抽取张，并将所取卡片上的数字记作点的横坐标；再从余下的卡片中任意抽取张，并将所取卡片上的数字记作点的纵坐标．利用画树状图或列表的方法，求点在第二象限的概率．
21．4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图．

（1）n= ，补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角
（3）若成绩达到分以上（含分）为优秀，请你估计全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：（1）△ODE≌△FCE;
（2）四边形OCFD是矩形．

23．在“风筝节”上，飞飞同学正在放风筝．如图风筝从处起飞，几分钟后便飞达处，此时，小宇同学站在处，与飞飞相距米，小宇同学发现自己的位置与风筝的仰角（）为，在处测得风筝的仰角（）为，若绳子在空中视为一条线段，求绳子为多少米？（结果精确到米；参考数据：）

24．如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且与交于点
（1）求证：是的切线；
（2）若，求出阴影部分面积．

25．甲、乙两车分别从相距的两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，并以各自的速度匀速行驶，途经地，甲车到达地停留小时，因有事按原路原速返回地．乙车从地直达地，两车同时到达地．甲、乙两车离各自出发地的距离（千米）与乙车出发所用的时间（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时， ；
（2）请直接写出甲车出发后离其出发地的距离y与乙车出发时间之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
（3）求乙车出发多长时间时，乙车到地的距离是甲车到地距离的倍？

26．（阅读材料）某兴趣小组的同学将一个矩形和一个等腰直角三角形拼成如图1的一个四边形，已知．
（1）①直接写出的长为

②如图2，若为边上任意一点，以为边作，请问对角线的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．爱动脑筋的小明得到如下思路：过点作，交的延长线于点，因为，即，则，得，所以，即存在最小值为

（方法应用）
（2）①若为边上任意一点，延长到，使，再以为边作，请在图3中画图研究，求出对角线的长的最小值？
②若为边上任意一占，延长到，使 （为常数），再以为边作，则对角线的长的最小值

（延伸拓展）
（3）如图4，若为直线上任意一点，延长到，使（为常数），以为边作，请探究对角线的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

27．如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点．
（1）直接写出二次函数的表达式 ；以及顶点的坐标 ；
（2）①若点是轴上的点，将点绕着点按顺时针方向旋转度得到点，当点恰好落在该二次函数的图像上时，求的值；
②在①的条件下，连接，设．若是抛物线上动点，将射线绕点旋转角度后过点，求点坐标；
（3）将二次函数的图像沿轴翻折得；设与组成的图形为，直线与有公共点．直接写出：与的公共点为个时，的值．



参考答案
1．C
【分析】
利用绝对值的定义求解即可．
【详解】
解：的绝对值是．
故选.
【点睛】
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2．C
【分析】
利用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】
∵，
∴选C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解题的关键．
3．C
【分析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数．确定的值是易错点，由于985000有6位，所以可以确定 ．
【详解】
解：985000=
故选C．
【点睛】
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．C
【分析】
从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．
【详解】
从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行是一个正方体．如图所示：

故选C．
【点睛】
本题考查了三种视图中的主视图，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
5．A
【分析】
比较甲、乙两块试验田中各抽取 100 株麦苗测量高度的方差即可判断．
【详解】
解：因为它们的平均数相同，都是13，说明它们的平均高度相同；
因为甲的方差小于乙的方差，
所以甲田小麦长势更整齐，
故选：A．
【点睛】
本题考查了学生对平均数与方差的理解，解题关键是要掌握它们的含义以及各自的作用，其中衡量数据波动程度的是方差，方差越小，数据波动越小，对应的小麦长势也更整齐，该题较基础，考查了学生对基础知识的应用的能力．
6．B
【分析】
根据正多边形和它的外接圆可知，外接圆的半径就是正多变形的半径，由直径即可得到半径.
【详解】
解：∵正六边形ABCDEF的中，直径BE=10，
∴外接圆的半径为5，
故答案为B.
【点睛】
本题考查正多边形和外接圆的性质.关键是把握偶数边的正多边形对角线就是外接圆的直径，也就是正多边形的直径.
7．D
【分析】
设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．C
【分析】
根据图象可知第n行有2n-1个数字，前n行的数字个数为1+3+5++（2n-1）=n2个，进而根据442，452与2021大小关系进而判断出2021所在的层数．
【详解】
解：依题意可知第n行有2n-1个数字，前n行的数字个数为1+3+5++（2n-1）=n2个，
∵442=1836，452=2025，且1836＜2021，2025＞2021，
∴2021在第45层．
故选：C．
【点睛】
本题考查了数字类的规律题，解题的关键是求得前n行的数字个数．
9．
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出答案．
【详解】
解：式子在实数范围内有意义，
则
解得：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
10．-32
【分析】
由题目可发现＝（x＋y）（x−y），然后用整体代入法进行求解．
【详解】
解：∵x＋y＝−4，x−y＝8，
∴＝（x＋y）（x−y）＝（−4）×8＝−32．
故答案为−32．
【点睛】
本题考查了平方差公式，将代数式适当变形，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
11．
【详解】
分析：首先确定阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
详解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为，
故答案为．
点睛：此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
12．53°
【分析】
由平行线的性质求出∠2=∠3=37°，根据平角的定义，垂直的定义，角的和差求得∠1=53°．
【详解】
解：如图所示：

∵a∥b，
∴∠2=∠3，
又∵∠2=37°，
∴∠3=37°，
又∵∠1+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠1=53°，
故答案为53°．
【点睛】
本题综合考查了平行线的性质，垂直的定义，平角的定义，角的和差相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是平行线的性质，垂直的性质在学习工具中的应用．
13．
【分析】
根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
【详解】
解：抛物线先向右平移个单位后的解析式为抛物线，即
再向下平移个单位后的解析式为，即
∴平移后抛物线解析式为y=2（x-5）2-2．
故答案为y=2（x-5）2-2．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是掌握抛物线的平移规律．
14．3
【分析】
设该圆锥底面圆的半径是为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到×2π×r×5=15π，然后解关于r的方程即可．
【详解】
解：设该圆锥底面圆的半径是为r，
根据题意得×2π×r×5=15π，解得r=3．
即该圆锥底面圆的半径是3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．
【分析】
再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】
解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB=|k|，
∴|k|=2，
∵k＜0，
∴k=-4．
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
16．6
【分析】
如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH，利用相似三角形的性质求出MG，GH，MH即可解决问题．
【详解】
解：如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．

∵A（−1，1），B（−1，4），C（−5，4），
∴AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∵是等腰直角三角形，
∴，∠AOB＝∠MOG，
∴△AOB∽△MOG，
∴，
∴MG＝，
同法可得，GH＝BC＝2，MH＝AC＝，
∴点Q运动的路径长＝+2+=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）本题需先根据实数的运算法则和特殊三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可求出答案．
（2）本题需先根据解一元一次不等式组的步骤，分别进行计算即可求出结果．
【详解】
解：（1）



（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
所以不等式组的解集：．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算、特殊三角函数值以及一元一次不等式组的解法，在解题时要注意运算顺序和步骤是本题的关键．
18．；．
【分析】
运用因式分解，通分，约分等技巧化简，后根据整数解，求值即可．
【详解】
∵
=
=
=，
∵是满足的整数，
∴x=-1,0,1,2,
∵x,x-1,x+1是分母，不能为零，
∴x不能为0，-1,1,
∴x=2,
∴=．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练化简是解题的关键，注意分式必须有意义，也是解题的一个根本．
19．每枝圆珠笔和每本笔记本的价格分别是3元和5元．
【分析】
先设出每枝圆珠笔和每本笔记本的单价，列出二元一次方程组求解即可．
【详解】
解：设每枝圆珠笔和每本笔记本的价格分别是x元和y元，


解得：
答：每枝圆珠笔和每本笔记本的价格分别是3元和5元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找出相等关系，列出二元一次方程组，正确求解即可，本题属于基础题，相等关系比较明显，考查了学生对基础知识点的理解与应用．
20．（1）（2）
【分析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找到点在第二象限的可能次数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是负数的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中点在第二象限的有（-1,4）、（-1,6）、（-3,4）、（-3,6），有4种结果，
点在第二象限的概率＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了坐标所在象限的特点．
21．（1），频数直方图见解析；（2）；（3）全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生有672人．
【分析】
（1）用“60-70”的频数÷所占百分比即可得到总数n，再求出 “90-100”的人数即可补全频数直方图；
（2）用“70-80”的频数10除以调查人数50 即可得出所占百分比，所占百分比×，即可到圆心角的度数；
（3）用样本估计总体，用总人数×样本中优秀所占的百分比即可得到答案．
【详解】
解：（1）8÷16%=50（人），
即．
“90-100”这组人数=50-4-8-10-12=16（人），补全频数直方图如图所示：

（2）m=10÷50=20%，
所以，“70-80”这组扇形圆心角=
故答案为：．
（3）（人），
答：全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生有672人．
【点睛】
本题考查频数分布直方图及制作方法、圆心角度的求法、扇形统计图的意义，以及用样本估计总体，理解和掌握统计图中的数量关系是正确计算的关键．
22．（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】
（1）根据题意得出，，根据AAS即可证明；
（2）由（1）可得到，再根据菱形的性质得出，即可证明平行四边形OCFD是矩形.
【详解】
证明：（1），
，.
E是CD中点，，
又
(AAS)
（2），
，.
，
四边形OCFD是平行四边形，
平行四边形ABCD是菱形，
.
平行四边形OCFD是矩形.
【点睛】
此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.
23．21米
【分析】
如图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求得AE=EC，继而得到AC=，计算即可．
【详解】
如图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
∵∠B=30°，∠DAC=75°，∠DAC=∠B+∠C，

∴∠C=45°，
∵AB=30，
∴AE=15，
∵∠AEC=90°，∠C=45°，
∴∠EAC=45°，
∴∠EAC=∠C，
∴EA=EC，
∴AC=（米）．
【点睛】
本题考查了斜三角形的解法，过最大角的顶点作高线，化斜三角形为直角三角形问题求解是解题的关键．
24．（1）见详解；（2）
【分析】
（1）通过垂径定理得到，在中，，又因为，利用等量代换可得即，则是的切线；
（2）先证，得到，再通过角与角的关系求得，利用三角函数可得：，分别求出、，则可得到．
【详解】
证明：（1）∵是的中点，
∴，垂足为F
∴在中，
又∵
∴即
∴是的切线；
（2）∵
∴，
∵，垂足为F
∴
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴


∴

【点睛】
本题考查了垂径定理、切线的判定、全等的判定、扇形面积的计算以及利用三角函数解直角三角形的方法，解决本题的关键是掌握圆的性质和会用割补法求不规则图形的面积．
25．（1）120；8；（2）；（3）小时或5.2小时，
【分析】
（1）根据路程=时间×速度，列式求出t的值，用甲车往返AC两地的距离除以甲车往返AC两地用的时间，求出甲车的速度即可．
（2）根据题意，分类讨论，求出甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围即可．
（3）根据题意，分类讨论，求出乙车到地的距离是甲车到地距离的倍即可．
【详解】
（1）由图象可知甲车从x=1时出发，到达C地后停留1小时再在x=5时出发返回A地，
∴
∴
∴
解得，V甲=120千米/小时
故答案为：120，8；
（2）由图象知：当时，
当时，设
将代入得

解得，
∴
当时，
当时，设
将代入得，

解得，
∴
∴甲车出发后离其出发地的距离y与乙车出发时间之间的函数关系式为：
；
（3）乙车的速度为：千米/小时
∴乙车距A地距离为：60x
当时，乙车到C地距离为：
甲车到C地距离为：
解得：
当时，甲车距C地360千米，乙车距C地小于360千米，故不符合要求；
当时，甲车距C地0千米，乙车距C地距离不为0，不符合题意；
当时，甲车距C地的距离为，
时，乙车距离C地的距离为
时，乙车距离C地的距离为
∴或
解得，或（舍去）
故乙车出发小时或5.2小时，乙车到地的距离是甲车到地距离的倍
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间
26．（1）①BC=3；②4；（2）①对角线PQ的长的最小值为5；②3+n；（3）存在，对角线PQ的长的最小值为．
【分析】
（1）①易求得BE=AD=1，DE=EC，利用特殊角的三角函数值求得DE=EC，即可求解；
②作QH//AB，交BC的延长线于点H，证明，求得BH=BC+CH=4，当时，PQ的长最小，即可求解；
（2）①由PD∥CQ，CQ= PF=2PD，利用平行线分线段成比例求得，得到点G是边DC上的一个定点，过Q作QH⊥BC，交BC延长线于H，同（1）②的方法即可求解；
②同（2）①的方法即可求解；
（3）同理得到，得到点G是边AB上的一个定点，作QH∥CD，交CB的延长线于H，过C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，同理CH=BC+BH=n+3，利用特殊角的三角函数值求得，同样的方法即可求解．
【详解】
（1）①∵四边形ABED为矩形，△DEC是等腰直角三角形，
∴，DE=EC，
∵，
∴DE=EC=2，
∴BC=BE+EC=3；
②过点Q作QH//AB，交BC的延长线于点H，

∴∠APQ=∠PQH，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴∠DPQ=∠PQC，PD=CQ，
∴∠APQ−∠DPQ=∠PQH−∠PQC，
∴∠APD=∠HQC，
∴(AAS)，
∴AD=CH，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=BC+CH=BC+AD=4，
∴当时，PQ的长最小，
∵四边形ABED为矩形，QH//AB，
∴∠ABC=∠QHB=∠QPB=90，
∴四边形PBHQ为矩形，
∴PQ= BH=4，
∴PQ存在最小值为4；
故答案为：4；
（2）①设PQ与DC相交于点G，

∵四边形PCQF是平行四边形，且PF=2PD，
∴PD∥CQ，CQ= PF=2PD，
∴，
∴点G是边DC上的一个定点，
过Q作QH⊥BC，交BC延长线于H，
同（1）②可证：∠ADP=∠QCH，
∴，
即，
∴CH=2AD=2，
∴BH=BC+CH=5，
∴时，PQ的长最小，
∴对角线PQ的长的最小值为5；
②设PQ与DC相交于点G，

∵四边形PCQF是平行四边形，且PF=nPD，
∴PD∥CQ，CQ= PF=nPD，
∴，
∴点G是边DC上的一个定点，
过Q作QH⊥BC，交BC延长线于H，
同理可证：∠ADP=∠QCH，
∴，
即，
∴CH=nAD=n，
∴BH=BC+CH=3+n，
∴时，PQ的长最小，
∴对角线PQ的长的最小值为3+n；
故答案为：3+n；
（3）存在，对角线PQ的长的最小值为．
如图，设PQ与DC相交于点G，

∵四边形PBQF是平行四边形，且PF=nPA，
∴PA∥BQ，BQ= PF=nPA，
∴，
∴点G是边AB上的一个定点，
作QH∥CD，交CB的延长线于H，过C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠DCE=∠KCH =45，∠DCE=∠KHC =45，
∴∠KCH=∠KHC =45，
∴△KHC是等腰直角三角形，
∵∠ADC=∠ADC+∠ADC=135，∠QHC=180-45=135，
∴∠ADC=∠QHC，
∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90，且∠PAG=∠QBG，
∴△ADP△BHQ，
即，
∵AD=1，
∴BH=n，
∴CH=BC+BH=n+3，
∵∠DCE=45，
∴∠KCH=45，
∴，
∴当时，PQ的长最小，
∴对角线PQ的长的最小值为．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、特殊角的三角函数值、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
27．（1），；（2）①②或；（3）
【分析】
（1）根据二次函数的图像与轴交于点，得；结合题意，通过列二元一次方程并求解，即可得到答案；
（2）①连接，即可得到答案；
②根据（2）①的结论，得；
（3）根据轴对称的性质，即可得到答案．
【详解】
（1）∵二次函数的图像与轴交于点
故答案为：，；
（2）①如图，连接
【点睛】
本题考查了二元一次方程、二次函数、全等三角形、等腰直角三角形、相似三角形、一元二次方程、轴对称、旋转、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、全等三角形、等腰直角三角形、相似三角形、一元二次方程、轴对称、旋转的性质，从而完成求解．