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2009-2013高考数学真题分类汇编
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这是一份2009-2013高考数学真题分类汇编，共353页。
目 录
第1章 集合与常用逻辑用语 1
第1节 集合 1
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件 10
第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词 17
第2章 函数、导数及其应用 19
第1节 函数及其表示 19
第2节 函数的单调性与最值 27
第3节 函数的奇偶性及周期性 29
第4节 函数的图像 32
第5节 幂函数与二次函数 36
第6节 指数与指数函数 38
第8节 函数与方程 45
第9节 函数模型及其应用 51
第10节 变化率与导数、导数的计算 62
第11节 导数的应用 66
第12节 定积分与微积分基本定理 87
第3章 三角函数、解三角形 93
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 93
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 94
第3节 三角函数图像与性质 95
第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用 102
第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 105
第6节 三角恒等变形 109
第7节 正弦定理和余弦定理 113
第8节 解三角形应用举例 119
第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 123
第1节 平面向量的概念及其线性运算 123
第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 126
第4节 数系的扩充与复数的引入 138
第5章 数列 148
第1节 数列的概念及其函数特性 148
第2节 等差数列及其前n项和 151
第3节 等比数列及其前n项和 161
第4节 数列求和 169
第5节 数列的综合应用 177
第6章 不等式、推理与证明 182
第1节 不等式性质 182
第2节 一元二次不等式及其应用 185
第3节 基本不等式 189
第4节 简单的线性规划问题 193
第5节 归纳推理与类比推理 203
第6节 直接证明和间接证明 206
第7节 数学归纳法 208
第7章 立体几何 211
第1节 简单几何体及三视图与直观图 211
第2节 空间图形的基本关系与公理 221
第3节 平行关系 225
第4节 垂直关系 227
第5节 简单几何体的面积和体积 229
第6节 空间向量及其运算 234
第7节 立体几何中的空间向量方法 243
第8章 平面解析几何 264
第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 264
第2节 两条直线的位置关系 266
第3节 圆的方程 268
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 269
第6节 椭圆 280
第7节 双曲线 284
第8节 曲线与方程 291
第9节 圆锥曲线的综合问题 298
第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 314
第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 314
第2节 排列与组合 316
第3节 二项式定理 320
第4节 随机事件的概率 324
第5节 古典概型 328
第6节 模拟方法 334
第7节 离散型随机变量及其分布列 337
第8节 n次独立重复试验与二项分布 345
第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 355
第10章 算法初步、统计、统计案例 367
第1节 算法与算法框图 367
第2节 随机抽样 376
第3节 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体 380
第4节 变量间的相关关系、统计案例 387
第1章 集合与常用逻辑用语
第1节 集合
考点一 集合的含义与表示
1．(2013江西，5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝
A．4 B．2 C．0 D．0或4
解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．
答案：A
2．(2013山东，5分)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是
A．1 B．3 C．5 D．9
解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．
答案：C
3．(2012新课标全国，5分)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为
A．3 B．6 C．8 D．10
解析：列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
答案：D
4．(2012江西，5分)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素．
答案：C
5．(2009广东，5分)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
解析：由M＝{x|－2≤x－1≤2}得－1≤x≤3, 则M∩N＝{1,3}，有2个．
答案：B
考点二 集合的基本关系
1．(2013新课标全国Ⅰ，5分)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B
解析：本题考查一元二次不等式的解法和集合的运算，意在考查考生运用数轴进行集合运算的能力．解题时，先通过解一元二次不等式求出集合A，再借助数轴求解集合的运算．集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R，选择B.
答案：B
2．(2010浙江，5分)设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP
解析：集合Q＝{x|－2＜x＜2}，所以Q⊆P.
答案：B
3．(2010湖南，5分)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则
A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}
解析：由已知得M∩N＝{2,3}，故选C.
答案：C
4．(2009江苏，5分)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝______.
解析：可知A＝(0,4]，若A⊆B即(0,4]⊆(－∞，a)，则a>4，而a的取值范围为(c，＋∞)，∴c＝4.
答案：4
考点三 集合的基本运算
1．(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
解析：本题主要涉及简单不等式的解法以及集合的运算，属于基本题，考查考生的基本运算能力．不等式(x－1)2＜4等价于－2＜x－1＜2，得－1＜x＜3，故集合M＝{x|－1＜x＜3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.
答案：A
2．(2013浙江，5分)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝
A．(－2,1] B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：本题考查无限元素集合间的交、并、补运算以及简单的一元二次不等式的解法．浙江省每年都会有一道涉及集合的客观题，主要考查对集合语言 的理解以及简单的集合运算．T＝ {x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}，选C.
答案：C
3．(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)＝ 的定义域为M，则∁RM为
A．[－1,1] B．(－1,1)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：本题考查集合的概念和运算，涉及函数的定义域与不等式的求解．本题抓住集合元素是函数自变量，构建不等式并解一元二次不等式得到集合，然后利用补集的意义求解，使集合与函数有机结合，体现了转化化归思想的具体应用．从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.
答案：D
4．(2013湖北，5分)已知全集为R，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}
解析：本题主要考查集合的基本运算和不等式的求解，意在考查考生的运算求解能力．由题意可知，集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x<2或x>4}，此时A∩∁RB＝{x|0≤x<2或x>4}，故选C.
答案：C
5．(2013辽宁，5分)已知集合A＝{x|0
解析：本题考查集合的运算，同时考查对数不等式的解法．求解对数不等式时注意将常数转化为对应的对数，而后准确应用对数函数的单调性进行求解．
0
6．(2013四川，5分)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝
A．{－2} B．{2} C．{－2,2} D．∅
解析：本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握．由x2－4＝0，解得x＝±2，所以B＝{2，－2}，又A＝{－2}，所以A∩B＝{－2}，故选A.
答案：A
7．(2012山东，5分)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
解析：因为∁UA＝{0,4}，所以(∁UA)∪B＝{0,2,4}．
答案：C
8．(2012浙江，5分)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝
A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
解析：因为∁RB＝{x|x＞3或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．
答案：B
9．(2012北京，5分)已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝
A．(－∞，－1) B．(－1，－) C．(－，3) D．(3，＋∞)
解析：集合A＝(－，＋∞)，集合B＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故A∩B＝(3，＋∞)．
答案：D
10．(2012陕西，5分)集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝
A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2]
解析：由题意得M＝(1，＋∞)，N＝[－2,2]，故M∩N＝(1,2]．
答案：C
11．(2011辽宁，5分)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N＝
A．M B．N C．I D．∅
解析：本小题利用韦恩图解决，根据题意，N是M的真子集，所以M∪N＝M，选A.
答案：A
12．(2011北京，5分)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．
答案：C
13．(2011陕西，5分)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
解析：对于集合M，函数y＝|cos2x|，其值域为[0,1]，所以M＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式 ＜，即x2＜1，所以N＝(－1,1)，则M∩N＝[0,1)．正确选项为C.
答案：C
14．(2011江西，5分)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2},∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
答案：B
15．(2010新课标全国，5分)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝
A．(0,2) B．[0,2] C．{0,2} D．{0,1,2}
解析：∵A＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|0≤x≤16，x∈Z}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}．
答案：D
16．(2010安徽，5分)若集合A＝{x|logx≥}，则∁RA＝
A．(－∞，0]∪(，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．[，＋∞)
解析：不等式，
所以∁RA＝(－∞，0]∪(，＋∞)．
答案：A
17．(2010辽宁，5分)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：根据题意，画出韦恩图，得A＝{3,9}．
答案：D
18．(2010陕西，5分)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝
A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1
答案：D
19．(2009山东，5分)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，则A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的取值为
A．0 B．1 C．2 D．4
解析：选D 根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.
20．(2012江苏，5分)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
解析：集合A，B都是以列举法的形式给出，易得A∪B＝{1,2,4,6}．
答案：{1,2,4,6}
21．(2011江苏，5分)设集合A＝{(x，y)|≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．
解析：①若m＜0，则符合题的条件是：直线x＋y＝2m＋1与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，从而≤|m|，解得≤m≤，与m＜0矛盾；
②若m＝0，代入验证，可知不符合题意；
③若m＞0，则当≤m2，即m≥时，集合A表示一个环形区域，集合B表示一个带形区域，从而当直线x＋y＝2m＋1与x＋y＝2m中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，即符合题意，从而有≤|m|或≤|m|，解得≤m≤2＋，由于＞，所以≤m≤2＋.
综上所述，m的取值范围是≤m≤2＋.
答案：[，2＋]
考点四 抽象集合与新定义集合
1．(2013广东，5分)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x
C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
解析：本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，推理论证能力与创新意识．题目中x
2．(2013重庆，12分)对正整数n，记In＝{1,2，…，n}，Pn＝ .
(1)求集合P7中元素的个数；
(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．
解：本题主要考查集合运算，意在考查考生对新概念的理解能力．
(1)对于集合，当k＝1时与当k＝4时该集合中都含有元素1,2,3，因此集合P7中元素的个数为7×7－3＝46.
(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn⊇In，不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3∉A，即3∈B.同理6∈A,10∈B，又由假设可得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．
再证P14符合要求．当k＝1时，＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.
当k＝4时，集合中除整数外剩下的数组成集合，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝，B2＝.
当k＝9时，集合中除整数外剩下的数组成集合，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝，B3＝.
最后，集合C＝中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数．因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.
综上，所求n的最大值为14.
注：对P14的分拆方法不是唯一的．
3．(2011广东，12分)设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是
A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
解析：取T＝{x|x∈(－∞，0)，且x∈Z}，V＝{x|x∈(0，＋∞)，且x∈Z}∪{0}，可得T关于乘法不封闭，V关于乘法封闭，又取T＝{奇数}，V＝{偶数}，可得T，V关于乘法均封闭，故排除B、C、D，选A.
答案：A
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点一 命题及其关系
1．（2013陕西，5分）设z是复数， 则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析：本题主要考查复数的分类，复数代数形式的运算及命题真假的判断．实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得则b＝0，故选项A为真，同理选项B为真；而选项C为假，选项D为真．
答案：C
2．（2013天津，5分）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的， 则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
解析：本题考查命题真假的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的，所以①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于，等于圆的半径，所以③是真命题．故真命题的序号是①③.
答案：C
3．（2013四川，5分）设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点．在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段 AB上的任意点都是端点A，B的中位点．现有下列命题：
①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A，C，B三点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，C(c,0)，B(b,0)，0＜c＜b，对于平面内任意一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＝＋＋≥|x|＋|x－b|＋|x－c|.因为0＜c＜b，所以当x＝c时，(|MA|＋|MB|＋|MC|)min＝b，此时M(c,0)，也就是M点与C点重合，故①正确；对于②，设△ABC中∠C为直角，以C为原点，CA，CB分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy，并设点A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，M(x，y)为平面内任意一点，AB中点坐标为，则|MA|＋|MB|＋|MC|＝ ＋＋ ，当x＝，y＝时，|MA|＋|MB|＋|MC|＝ ，而当x＝0，y＝0时，|MA|＋|MB|＋|MC|＝a＋b，因为(a2＋b2)－(a＋b)2＝≥ab＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A，B，C，D四点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，0＜b＜c＜d，对于平面内任意一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＝＋＋＋≥|x|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|，因为0＜b＜c＜d，所以当x∈[b，c]时，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|取得最小值，此时M(x,0)，x∈[b，c]，不唯一，故③错误；对于④，由①可知A，C的中位点为线段AC之间的任意一点，B，D的中位点为线段BD之间的任意一点，所以A，B，C，D的中位点为线段AC与线段BD的交点，也就是梯形对角线的交点，故④正确．答案为①④.
答案：①④
4．（2012湖南，5分）命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
答案：C
5．（2012江西，5分）下列命题中，假命题为( )
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N＋，C＋C＋…＋C都是偶数
解析：空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A为真命题；令z1＝1＋bi，z2＝3－bi(b∈R)，显然z1＋z2＝4∈R，但z1，z2不互为共轭复数，B为假命题；假设x，y都不大于1，则x＋y>2不成立，故与题设条件“x＋y>2”矛盾，假设不成立，故C为真命题；C＋C＋…＋C＝2n为偶数，故D为真命题．排除A，C，D，选B.
答案：B
6．（2011新课标全国，5分）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|>1⇔θ∈[0，) p2：|a＋b|>1⇔θ∈(，π]
p3：|a－b|>1⇔θ∈[0，) p4：|a－b|>1⇔θ∈(，π]
其中的真命题是( )
A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4
解析：由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，
|b|＝1，∴a·b>－.故θ∈[0，)．当θ∈[0，)时，a·b>－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，即|a＋b|>1；由|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，
∴a·b<.故θ∈(，π]，反之也成立．
答案：A
7．（2011陕西，5分）设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a＝－b.”
答案：D
8．（2010天津，5分）命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：否命题是既否定题设又否定结论．
因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
答案：B
考点二 充分条件与必要条件
1．（2013山东，5分）给定两个命题p，q.若 p是q的必要而不充分条件，则p是 q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：考查等价转化的数学思想，考查分析问题和解决问题的能力．q⇒p等价于p⇒q，p⇒q等价于q⇒ p，故p是q的充分而不必要条件．
答案： A
2．（2013安徽，5分）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查二次函数图象性质以及图象变换，意在考查转化与化归思想．根据二次函数的图象可知f(x)在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，本题不难求解．f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a＝0或<0，也就是a≤0，故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.
答案： C
3．（2013福建，5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查集合与充分必要条件等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力．因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/ a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．
答案： A
4．（2013浙江，5分）已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查对必要条件、充分条件与充要条件的理解，考查三角函数的诱导公式、三角函数的奇偶性等，意在考查考生的推理能力以及三角函数性质的掌握等．若f(x)是奇函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)，且当φ＝时，f(x)为奇函数．
答案： B
5．（2013北京，5分）“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判断等基础知识和基本方法，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．
答案： A
6．（2012陕西，5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
7．（2011福建，5分）若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”；故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.
答案：A
8．（2011湖南，5分）设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：显然a＝1时一定有N⊆M，反之则不一定成立，如a＝－1.故是充分不必要条件．
答案：A
9．（2010辽宁，5分）已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是( )
A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0 B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
C．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0 D．∀x∈R，ax2－bx ≤ax－bx0
解析：设函数f(x)＝ax2－bx，∴f′(x)＝ax－b，由已知可得f′(x0)＝ax0－b＝0，
又因为a>0，所以可知x0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点．
由最小值定义可知选项C正确．
答案：C
10．（2010陕西，5分）对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为an＋1>|an|⇒an＋1>an⇒{an}为递增数列，但{an}为递增数列⇒an＋1>an推不出an＋1>|an|，故“an＋1>|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
答案：B
11．(2009·安徽，5分)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c>b＋d， q：a>b且c>d
B．p：a>1，b>1， q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1, q：x2＝x
D．p：a>1， q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析：⇒a＋c>b＋d(不等式的性质)，
反之不成立，例如：8＋2>6＋3，a＝8，b＝2，c＝6，d＝3.
a>b但c
12．(2009·浙江，5分)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a>0，b>0时显然有a＋b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a＋b>0且ab>0，则a，b同号且同正，即a>0，b>0.必要性成立．
答案：C
13．（2011陕西，5分）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词
考点一 简单的逻辑联结词
1．（2013湖北，5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(p)∨(q) B．p∨(q)
C．(p)∧(q) D．p∨q
解析：本题主要考查使用简单逻辑联结词来表示复合命题，意在考查考生对基础知识和基本概念的理解与掌握．由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(p)∨(q)．
答案：A
2．（2011北京，5分）若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．p是真命题 D．q是真命题
解析：只有q是真命题．
答案：D
3．（2010新课标全国，5分）已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数．
p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．
则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析：p1是真命题，则p1为假命题；p2是假命题，则p2为真命题；
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4.
答案：C
考点二 全称量词与存在量词
1．（2013重庆，5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )
A．存在x0∈R，使得x<0 B．对任意x∈R，都有x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0 D．不存在x0∈R，使得x2<0
解析：本题主要考查全称命题的否定．根据定义可知命题的否定为存在x0∈R，使得x<0，故选A.
答案：A
2．（2013四川，5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．p：∃x∈A,2x∈B B．p：∃x∉A,2x∈B
C．p：∃x∈A,2x∉B D．p：∀x∉A,2x∉B
解析：本题主要考查含有一个量词的命题的否定，意在考查考生基础知识的掌握．由命题的否定易知选C，注意要把全称量词改为存在量词．
答案：C
3．（2012辽宁，5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则p是( )
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析：命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
答案：C
4．（2011安徽，5分）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：否定原题结论的同时要把量词做相应改变．
答案：D
5．（2010湖南，5分）下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2
解析：对于选项B，当x＝1时，结论不成立．
答案：B
6．(2009·天津，5分)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )
A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>0
解析：原命题的否定可写为：“不存在x0∈R,2x0≤0”．其等价命题是：“对任意的x∈R,2x>0”．
答案：D
7．（2010安徽，5分）命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
解析：由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．
答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
第2章 函数、导数及其应用
第1节 函数及其表示
考点一 函数的定义域与值域
1．(2013山东，5分)函数f(x)＝ ＋ 的定义域为( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
解析：本题主要考查函数的定义域的求法，考查运算能力．由题意得所以－3
2．（2013江西，5分）函数y＝ ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B.[0,1) C．(0,1] D．[0,1]
解析：本题考查函数的定义域，意在考查考生的运算能力．根据题意得
解得0≤x<1，即所求定义域为[0,1)．
答案： B
3．（2013辽宁，5分）已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：本题主要考查函数的奇偶性、对数的运算、判断两个对数的关系，意在考查考生准确找出问题切入点的能力，从而使计算简化．由已知，得f(－x)＝ln(＋3x)＋1，所以f(x)＋f(－x)＝2.因为lg 2，lg互为相反数，所以f(lg 2)＋＝2.
答案： D
4．（2013安徽，5分）函数y＝＋ 的定义域为________．
解析：本题主要考查函数定义域的求法以及不等式组的解法，意在考查考生的运算求解能力．
根据题意可知⇒⇒0
5．（2012江西，5分）下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )
A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝
解析：函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y＝的定义域为{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}，y＝的定义域为(0，＋∞)，y＝xex的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.
答案：D
6．（2011广东，5分）函数ƒ(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：由得x＞－1且x≠1，即函数ƒ(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
答案：C
7．（2010山东，5分）函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：因为3x＋1＞1，所以f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.
答案：A
8．（2010广东，5分）函数f(x)＝lg(x－2)的定义域是________．
解析：由x－2>0，可得x>2.
答案：(2，＋∞)
考点二 分段函数
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B.(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)＞ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，选择D.
答案：D
2．（2013福建，4分）已知函数f(x)＝则＝________.
解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．
∵＝－tan ＝－1，∴＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
答案：－2
3．（2013北京，5分）函数f(x)＝的值域为________．
解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．
分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x≥1时，logx≤0，当x<1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
4．（2012江西，5分）若函数f(x)＝则f(f(10))＝( )
A．lg 101 B．2 C．1 D．0
解析：f(10)＝lg 10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.
答案：B
5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15(1)，所以必有4
6．（2012江苏，5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f()＝f()，则a＋3b的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f()＝f(－)，且f(－1)＝f(1)，故f()＝f(－)，从而＝－a＋1,3a＋2b＝－2. ①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，故b＝－2a. ②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
答案：－10
7．（2011江苏，5分）已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，计算得a＝－(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得a＝－，符合题意.
所以综上所述，a＝－.
答案：－
考点三 函数的解析式与图像
1．(2013江西，5分)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x(0
解析：本题为江西的特色题——图形题，考查三角函数的定义及三角恒等变换，意在考查考生的识图能力．由题图知正三角形的高为1，则边长为，显然当x＝0时，y＝，且函数y＝f(x)是递增函数，可排除B；由平行线分线段成比例定理可知＝，即BE＝，而BE＝CD，所以y＝2EB＋BC＝2 － cos (0
2．(2013北京，5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D. e－x－1
解析：选D 本题考查函数的平移及对称性，意在考查考生对基础知识的掌握情况．与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案：D
3．(2013四川，5分)函数y＝的图象大致是( )
解析：本题考查函数的图象及其性质，意在考查考生对函数的定义域及值域等知识的理解与掌握．因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x<0时，y>0，所以B错；当x→＋∞时，y→0，所以D错，故选C.
答案：C
4．(2013浙江，4分)已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.
解析：本题主要考查函数的概念与函数值的计算，属于简单题，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由f(a)＝＝3，得a＝10.
答案：10
5. (2012新课标全国，5分)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图像大致为( )
解析：函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图像为B.
答案：B
6. (2011山东，5分)函数y＝－2sinx的图像大致是( )
解析：y′＝－2cosx，令y′＝0，得cosx＝，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数y＝－2sinx有无穷多个极值点，函数y＝－2sinx是奇函数，图像关于坐标原点对称，故只能是选项C的图像．
答案：C
7．(2010新课标全国，5分)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
解析：法一：(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为，排除A、D，由角速度为1知，当t＝或t＝时，P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C.
法二：由题意知P(2cos(t－)，2sin(t－))，∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2|sin(t－)|，
当t＝0时，d＝； 当t＝时，d＝0.故选C.
答案：C
8．(2010陕西，5分)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]
解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y＝[]．
答案：B
9. (2009·安徽，5分)设a
解析：当x>b时，y>0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C正确．
答案：C
第2节 函数的单调性与最值
考 点 函数的单调性与最值
1．(2013北京，5分)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D. y＝lg|x|
解析：本题主要考查一些常见函数的图像和性质，意在考查考生对幂函数、二次函数、指数函数、对数函数以及函数图像之间的变换关系的掌握情况．
y＝是奇函数，选项A错；y＝e－x是指数函数，非奇非偶，选项B错；y＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D错；只有选项C是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减．
答案：C
2．(2013湖北，5分)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数
解析：本题主要考查函数的图像和性质．当x∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数．故选D.
答案：D
3．（2012山东，5分）设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有00，即a<2，所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．
答案：A
4．（2012广东，5分）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝()x D．y＝x＋
解析：选项A的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
答案：A
5．（2012陕西，5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3C． y＝ D． y＝x|x|
解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图像可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.
答案：D
6．(2009·辽宁，5分)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)
解析：f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，
∴f(2x－1)
第3节 函数的奇偶性及周期性
考 点 函数的奇偶性及周期性
1．(2013山东，5分)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时， f(x) ＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．2 B．1 C．0 D．－2
解析：本题主要考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力和转化思想．由f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：D
2．(2013广东，5分)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：本题考查函数的奇偶性，考查考生对函数性质——奇偶性的了解．由奇函数的概念可知，y＝x3，y＝2sin x是奇函数．
答案：C
3．(2013湖南，5分)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：本题主要考查奇函数与偶函数的定义和解方程组，意在考查考生的化简能力．由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3.
答案：B
4. (2013安徽，5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析：当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)．又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.
答案：－
5．（2012山东，5分）定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A．335 B．338 C．1 678 D．2 012
解析：由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.
答案：B
6．（2011广东，5分）设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．|f(x)|－g(x)是奇函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)－|g(x)|是奇函数 D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．
答案：D
7．（2011安徽，5分）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.
法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，
∴f(1)＝－2×12－1＝－3.
答案：A
8．（2010山东，5分）设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，因为当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
答案：A
9．（2010安徽，5分）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析：由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，
又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.
答案：A
10.（2011浙江，4分）若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，
∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
答案：0
第4节 函数的图像
考点 函数解析式与图象
1．(2013江西，5分)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x(0
解析：本题为江西的特色题——图形题，考查三角函数的定义及三角恒等变换，意在考查考生的识图能力．由题图知正三角形的高为1，则边长为，显然当x＝0时，y＝，且函数y＝f(x)是递增函数，可排除B；由平行线分线段成比例定理可知＝，即BE＝，而BE＝CD，所以y＝2EB＋BC＝2 － cos (0
2．(2013北京，5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D. e－x－1
解析：选D 本题考查函数的平移及对称性，意在考查考生对基础知识的掌握情况．与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案：D
3．(2013四川，5分)函数y＝的图象大致是( )
解析：本题考查函数的图象及其性质，意在考查考生对函数的定义域及值域等知识的理解与掌握．因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x<0时，y>0，所以B错；当x→＋∞时，y→0，所以D错，故选C.
答案：C
4．(2013浙江，4分)已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.
解析：本题主要考查函数的概念与函数值的计算，属于简单题，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由f(a)＝＝3，得a＝10.
答案：10
5. (2012新课标全国，5分)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图像大致为( )
解析：函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图像为B.
答案：B
6. (2011山东，5分)函数y＝－2sinx的图像大致是( )
解析：y′＝－2cosx，令y′＝0，得cosx＝，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数y＝－2sinx有无穷多个极值点，函数y＝－2sinx是奇函数，图像关于坐标原点对称，故只能是选项C的图像．
答案：C
7．(2010新课标全国，5分)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
解析：法一：(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为，排除A、D，由角速度为1知，当t＝或t＝时，P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C.
法二：由题意知P(2cos(t－)，2sin(t－))，∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2|sin(t－)|，
当t＝0时，d＝；当t＝时，d＝0.故选C.
答案：C
8．(2010陕西，5分)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]
解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y＝[]．
答案：B
9. (2009·安徽，5分)设a
解析：当x>b时，y>0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C正确．
答案：C
第5节 幂函数与二次函数
考点一 二次函数
1．（2013浙江，5分）已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：本题主要考查二次函数的图像与性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力以及分析问题、解决问题的能力．由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0.
答案： A
2．（2012山东，5分）设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )
A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0
解析：不妨设a<0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图像，如图所示，其中点A(x1，y1)关于原点的对称点C也在函数y＝的图像上，坐标为(－x1，－y1)，而点B的坐标(x2，y2)在图像上也明显的显示出来．由图可知，当a<0时，x2>－x1，所以x1＋x2>0，y2<－y1，所以y1＋y2<0，同理当a>0时，则有x1＋x2<0，y1＋y2>0.
答案：B
3．（2012北京，5分）已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：
①∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；
②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0，
则m的取值范围是________．
解析：当x＜1时，g(x)＜0，当x＞1时，g(x)＞0，当x＝1时，g(x)＝0.m＝0不符合要求；
当m＞0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m＞0时不符合第①条的要求；当m＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故m满足或者
解第一个不等式组得－4＜m＜－2，第二个不等式组无解，故所求m的取值范围是(－4，－2)．
答案：(－4，－2 )
考点二 幂函数
（2011陕西，5分）函数y＝x的图像是( )
解析：显然代数表达式“－ƒ(x)＝ƒ(－x)”，说明函数是奇函数．同时由当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x.
答案：B
第6节 指数与指数函数
考点 指数函数
1．(2013天津，5分)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
A．g(a)<0
2．(2013安徽，5分)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>lg 2} B．{x|－1
解析：本题考查一元二次不等式的求解、指对数运算．考查转化化归思想及考生的合情推理能力．因为一元二次不等式f(x)<0的解集为，所以可设f(x)＝a(x＋1)·(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)·<0，即10x<，x<－lg 2，故选D.
答案：D
3．（2010山东，5分）函数y＝2x－x2的图象大致是( )
解析：由函数解析式知2、4是函数的零点，所以排除B、C；当x→－∞时，根据指数函数与幂函数图象的变换趋势知y＜0，故选A.
答案：A
4．（2010安徽，5分）设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：构造指数函数y＝()x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b＜c；又y＝()x(x∈R)与y＝()x(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有()x＞()x，故()＞()，∴a＞c，故a＞c＞b.
答案：A
5．(2009·宁夏、海南，5分)用min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图．令x＋2＝10－x，x＝4.
当x＝4时，f(x)取最大值，f(4)＝4＋2＝6.
答案：C
6. （2012山东，4分）若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m>0，即m<.若a>1，则函数f(x)在[－1,2]上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当0
7．(2009·江苏，5分)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵a＝∈(0,1)，故am>an⇒m
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
解析：本题主要考查对数的基本运算以及同真数不同底数对数值大小的比较，意在考查考生分析问题与合理运用知识巧妙求解问题的能力．
a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c，故选D.
答案：D
2．(2013陕西，5分)设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·loga D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：本题主要考查对数的有关运算，考查运算能力．利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb，则B对．
答案：B
3．(2013四川，5分)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10 C．18 D．20
解析：本题考查对数运算、排列组合等基本知识和基本技能，意在考查考生分析问题和解决问题的数学应用能力．lg a－lg b＝lg ，lg 有多少个不同值，只要看不同值的个数，所以共有A－2＝20－2＝18个不同值．
答案：C
4．(2013四川，5分)lg＋lg的值是________．
解析：本题主要考查对数的运算，意在考查考生对基本性质与公式的掌握．lg＋lg＝lg(×)＝lg 10＝1.
答案：1
5．（2010新课标全国，5分）已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)
解析：由a，b，c互不相等，结合图象可知 ：
这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上，
不妨设a∈(0,1)，b∈(1,10)，c∈(10,12)，由f(a)＝f(b)得lga＋lgb＝0，
即lgab＝0，所以ab＝1，所以abc∈(10,12)．
答案：C
6．（2010天津，5分）设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：由题意可得
或，解之可得a>1或－1
7．（2010湖南，5分）函数y＝ax2＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
解析：从对数的底数入手进行讨论，再结合抛物线过原点，然后从抛物线对称轴的取值范围进行判断，故选D.
答案：D
8．(2009·山东，5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 009)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：∵x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，又f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，
两式相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，故f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故函数周期为6.∴f(2 009)＝f(6×334＋5)＝f(5)＝f(－1)＝log22＝1.故选C.
答案：C
9．(2009·广东，5分)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝( )
A．log2x B. C．logx D．x2
解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa＝，∴f(x)＝logx.故选C.
答案：C
考点二 指数函数、对数函数与幂函数的综合问题
1．（2013浙江，5分）已知x，y为正实数，则( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
解析：本题考查理解有理指数幂的含义、幂的运算，考查指数、对数函数的概念及其运算性质，意在考查考生基本的运算能力．取特殊值即可．如取x＝10，y＝1,2lg x＋lg y＝2,2lg(xy)＝2,2lg x＋2lg y＝3,2lg(x＋y)＝2lg 11,2lg x·lg y＝1,2lg x·2lg y＝2.
答案：D
2．（2012新课标全国，5分）设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )
A．1－ln 2 B.(1－ln 2)
C．1＋ln 2 D.(1＋ln 2)
解析：根据函数y＝ex和函数y＝ln 2x的图像可知两函数图像关于直线y＝x对称，故要求|PQ|的最小值可转化为求与直线y＝x平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y＝ex上的切点为A(m，n)，则A到直线y＝x的距离的2倍即为最小值．因为y′＝(ex)′＝ex，则em＝1，所以m＝ln 2，切点A的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y＝x的距离为d＝＝，所以2d＝(1－ln 2)．
3．（2012湖南，5分）已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为( )
A．16 B．8 C．8 D．4
解析：数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，
根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.
答案：B
4．（2011辽宁，5分）设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：当x≤1时，21－x≤2，解得，x≥0，所以，0≤x≤1；当x＞1时，1－log2x≤2，解得，x≥，所以，x＞1.综上可知x≥0.
答案：D
5．（2011天津，5分）已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝()log30.3，则( )
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
解析：因为c＝5－log30.3＝5log3，又log23.4>log3>1>log43.6>0，且指数函数y＝5x是R上的增函数，所以a>c>b.
答案：C
6．(2009·辽宁，5分)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝( )
A. B．3 C. D．4
解析：依题意：2x1－1＝－x1，log2(x2－1)＝－x2，
∴2x1－1＝－(x1－1)，log2(x2－1)＝－(x2－1)．
又函数y1＝2x与y2＝log2x互为反函数，∴x1－1＋x2－1＝，即x1＋x2＝＋2＝.
答案：C
第8节 函数与方程
考点 函数零点与方程的根
1．(2013安徽，5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1
解析：本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识．因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有两个不等的实根x1，x2.则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等的实根，即f(x)＝x1或f(x)＝x2，原方程根的个数就是这两个方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和．由上述可知函数f(x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是单调递增的，在区间(x1，x2)上是单调递减的，又f(x1)＝x1
2．(2013天津，5分)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝的图象，易知有2个交点．
答案：B
3．(2013湖南，5分)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
答案：B
4．(2013重庆，5分)若a
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a) 和(c，＋∞)内
解析：本题考查函数的零点，意在考查考生数形结合的能力．由已知易得f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
答案：A
5．(2013福建，5分)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
解析：本题考查集合、方程的根、计数原理等基础知识，意在考查考生的综合能力．因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或1或0或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.
答案：B
6．（2012辽宁，5分）设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：由题意知函数f(x)是偶函数，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函数图像，如图．由图可知函数y＝g(x)，y＝f(x)在[－，]图像有6个交点，故h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点有6个．
答案：B
7．（2012天津，5分）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：法一：函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y＝2x，y＝2－x3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.
法二：由题意知f(x)为单调增函数且f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，
所以在区间(0,1)内有且只有一个零点．
答案：B
8．（2012湖北，5分）函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：令xcos x2＝0，则x＝0，或x2＝kπ＋，又x∈[0,4]，因此xk＝ (k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．
答案：C
9．（2011新课标全国，5分）函数y＝的图像与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：如图，两个函数图像都关于点(1,0)成中心对称，两个图像在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.
答案：D
10．（2011山东，5分）已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图像与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．
答案：B
11．（2010福建，5分）函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：法一：令f(x)＝0得，
或，
∴x＝－3或x＝e2.
法二：画出函数f(x)的图象可得其图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点．
答案：C
12．(2009·天津，5分)设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：f()＝＋1>0，f(1)＝－0>0，f(e)＝－1<0，根据闭区间上根的存在性定理．
答案：D
13．（2011北京，5分）已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是____．
解析：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，当0＜k＜1时，函数
f(x)与y＝k的图像有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)．
答案：(0,1)
14．(2009·山东，4分)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.
答案：(1，＋∞)
15．(2009·广东，14分)(本小题满分14分)已知二次函数y＝g(x)的导函数的图象与直线y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得极小值m－1(m≠0)．设f(x)＝，
(1)若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；
(2)k(k∈R)如何取值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点．
解：∵y＝g′(x)＝2ax＋b的图象与直线y＝2x平行，∴a＝1.
又∵y＝g(x)在x＝－1处取得极小值m－1，
∴－＝－1，g(－1)＝a(－1)2＋b(－1)＋c＝m－1，
所以b＝2，c＝m.从而f(x)＝＝＋x＋2.
(1)已知m≠0，设曲线y＝f(x)上点P的坐标为
P(x，y)，则点P到点Q(0,2)的距离为
|PQ|＝＝ ＝
≥ ＝ ，
当且仅当2x2＝⇒x＝± 时等号成立．
∵|PQ|的最小值为， ∴＝⇒|m|＋m＝1.
①当m＞0时，解得m＝＝－1.
②当m＜0时，解得m＝＝－－1. 故m＝－1或m＝－－1.
(2)y＝f(x)－kx的零点，即方程＋(1－k)x＋2＝0的解，
∵m≠0，∴＋(1－k)x＋2＝0与(k－1)x2－2x－m＝0有相同的解．
①若k＝1，(k－1)x2－2x－m＝0⇒x＝－≠0，
所以函数y＝f(x)－kx有零点x＝－.
②若k≠1，(k－1)x2－2x－m＝0的判别式
Δ＝4[1＋m(k－1)]．若Δ＝0⇒k＝1－，此时函数y＝f(x)－kx有一个零点x＝－m.
若Δ＞0⇒1＋m(k－1)＞0，∴当m＞0，k＞1－，或m＜0，k＜1－时，
方程(k－1)x2－2x－m＝0有两个解．
x1＝和x2＝.
此时函数y＝f(x)－kx有两个零点x1和x2.
若Δ＜0⇒1＋m(k－1)＜0， ∴当m＞0，k＜1－，或m＜0，k＞1－时，
方程(k－1)x2－2x－m＝0无实数解，此时函数y＝f(x)－kx没有零点．
第9节 函数模型及其应用
考点一 函数模型的实际应用
1．（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为________(m)．
解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力．如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝⇒AF＝x⇒FH＝40－x.则S＝x(40－x)≤2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号．所以满足题意的边长x为20(m)．
答案：20
2．（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想．
(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
由h>0，且r>0可得0
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
3．（2012江西，5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表( )
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.
线性约束条件为即
画出可行域，如图所示．
作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至过点B时，z取得最大值，由求得B(30,20)，故选B.
答案：B
4．（2011陕西，5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．
解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．
答案：2000
5．(2009·浙江，4分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时)
高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时)
低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月用电量为a＋b＝148.4(元)．
6．（2012湖南，13分）某企业接到生产3 000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正整数)．
(1)设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
(2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
解：(1)设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T1(x)，T2(x)，T3(x)，由题设有
T1(x)＝＝，T2(x)＝，T3(x)＝，
其中x，kx,200－(1＋k)x均为1到200之间的正整数．
(2)完成订单任务的时间为f(x)＝max{T1(x)，T2(x)，T3(x)}，其定义域为{x|0＜x＜，x∈N*}，易知，T1(x)，T2(x)为减函数，T3(x)为增函数．注意到T2(x)＝T1(x)，于是
①当k＝2时，T1(x)＝T2(x)，此时
f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}＝max{，}．
由函数T1(x)，T3(x)的单调性知，当＝时f(x)取得最小值，解得x＝.
由于44＜＜45，而f(44)＝T1(44)＝，f(45)＝T3(45)＝，f(44)＜f(45)．
故当x＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44)＝.
②当k＞2时，T1(x)＞T2(x)，由于k为正整数，故k≥3，此时≥＝.
记T(x)＝，φ(x)＝max{T1(x)，T(x)}，易知T(x)是增函数，则
f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}≥max{T1(x)，T(x)}＝φ(x)＝max{，}．
由函数T1(x)，T(x)的单调性知，当＝时φ(x)取最小值，解得x＝.
由于36＜＜37，而φ(36)＝T1(36)＝＞，
φ(37)＝T(37)＝＞.此时完成订单任务的最短时间大于.
(3)当k＜2时，T1(x)＜T2(x)，由于k为正整数，故k＝1，此时f(x)＝max{T2(x)，T3(x)}＝max{，}．
由函数T2(x)，T3(x)的单调性知，当＝时f(x)取最小值，解得x＝，类似(1)的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于.
综上所述，当k＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44,88,68.
7.(2011山东，12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解：(1)设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝(－r)．
由于l≥2r，因此0
y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0
当r3－＝0时，r＝. 令 ＝m，则m>0.
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0时，
当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0； 当r∈(m,2)时，y′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3
综上所述，当3
考点二 函数与其他知识的交汇
1．（2013湖南，5分）设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.
解析：本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含义、零点存在性定理及推理论证能力．
(1)由题设f(x)＝0，a＝b⇒2ax＝cx⇒＝，
又a＋b≤c，a＝b⇒≤⇒≤，x>0，所以≤⇒0
⇒＋>1，即f(x)>0，所以①正确；由(1)可知②正确；
由△ABC为钝角三角形，所以a2＋b2c，所以＋>1，所以f(1)>0，由零点存在性定理可知③正确．
答案：{x|0
(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．
解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．
(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝，
故f(x)>0的解集为{x|x1
(2)设d(a)＝，则d′(a)＝.令d′(a)＝0，得a＝1.由于0
当1
而＝＝<1，故d(1－k)
3．（2012江西，14分）若函数h(x)满足
①h(0)＝1，h(1)＝0；
②对任意a∈[0,1]，有h(h(a))＝a；
③在(0,1)上单调递减．
则称h(x)为补函数，已知函数h(x)＝()(λ>－1，p>0)．
(1)判断函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；
(2)若存在m∈[0,1]，使h(m)＝m，称m是函数h(x)的中介元．记p＝(n∈N＋)时h(x)的中介元为xn，且Sn＝i，若对任意的n∈N＋，都有Sn<，求λ的取值范围；
(3)当λ＝0，x∈(0,1)时，函数y＝h(x)的图像总在直线y＝1－x的上方，求p的取值范围．
解：(1)函数h(x)是补函数，证明如下：
①h(0)＝()＝1，h(1)＝()＝0；
②对任意a∈[0,1]，有
h(h(a))＝h(())＝()＝()＝a；
③令g(x)＝(h(x))p，
有g′(x)＝＝.
因为λ>－1，p>0，所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，故函数h(x)在(0,1)上单调递减．
(2)当p＝(n∈N＋)时，由h(x)＝x，
得：λx＋2x－1＝0 (*)，
(ⅰ)当λ＝0时，中介元xn＝()n；
(ⅱ)当λ>－1且λ≠0时，由(*)得x＝∈(0,1) 或x＝∉[0,1]；
得中介元xn＝()n.
综合(ⅰ)(ⅱ)：对任意的λ>－1，中介元为xn＝()n.(n∈N＋)，
于是，当λ>－1时，有Sn＝()i＝[1－()n]<，
当n无限增大时，()n无限接近于0，Sn无限接近于，
故对任意的n∈N＋，Sn<成立等价于≤，
即λ∈[3，＋∞)．
(3)当λ＝0时，h(x)＝(1－xp)，中介元为xp＝()，
(ⅰ)当0
(ⅱ)当p>1时，依题意只需(1－xp)>1－x在x∈(0,1)时恒成立，
也即xp＋(1－x)p<1在x∈(0,1)时恒成立，
设φ(x)＝xp＋(1－x)p，x∈[0,1]，则φ′(x)＝p[xp－1－(1－x)p－1]，
由φ′(x)＝0得x＝，且当x∈(0，)时，φ′(x)<0，
当x∈(，1)时，φ′(x)>0，
又因为φ(0)＝φ(1)＝1，所以当x∈(0,1)时，φ(x)<1恒成立．
综上：p的取值范围是(1，＋∞)．
4．(2011广东，14分)在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y＝x2.实数p，q满足p2－4q≥0，x1，x2是方程x2－px＋q＝0的两根，记φ(p，q)＝max{|x1|，|x2|}．
(1)过点A(p0，p)(p0≠0)作L的切线交y轴于点B.证明：对线段AB上的任一点Q(p，q)，有φ(p，q)＝；
(2)设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2－4b>0，a≠0.过M(a，b)作L的两条切线l1，l2，切点分别为E(p1，p)，
E′(p2，p)，l1，l2与y轴分别交于F，F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a，b)∈X ⇒⇐ |p1|>|p2| ⇒⇐ φ(a，b)＝；
(3)设D＝{(x，y)|y≤x－1，y≥(x＋1)2－}．当点(p，q)取遍D时，求φ(p，q)的最小值(记为φmin)和最大值(记为φmax)．
解：(1)证明：过点A的切线方程是y＝p0x－p， 所以B(0，－p)，
Q在线段AB上，所以q＝p0p－p(|p|≤|p0|)，
所以现方程为x2－px＋p0p－p＝0，可得x1＝p0，x2＝p－p0，
因为p0、p同号，易得φ(p，q)＝.
(2)证明：y′＝x，易得l1：y－p＝p1(x－p1)，即y＝p1x－p，
∵M(a，b)∈l1，∴b＝p1a－p且0<|a|<|p1|.
因为E′(p2，p)，所以kME′＝＝p2，
有p－(p1a－p)＝p2(p2－a)，
则p－p1a＝p－p2a，即p1＋p2＝2a，
由于a与p1同号，与p2异号，∴|p1|>|p2|.
反之，也成立．故M(a，b)∈X ⇒⇐ |p1|>|p2|，
由(1)证可知M(a，b)∈X⇒φ(a，b)＝，
当φ(a，b)＝时，逆推(1)证也可得M(a，b)∈l1＝X，
综上，M(a，b)∈X ⇒⇐ |p1|>|p2| ⇒⇐ φ(a，b)＝.
(3)由于点(p，q)必在曲线f(x)＝x2－px＋q上，
故此题即求当函数f(x)＝x2－px＋q经过D时，方程f(x)＝0的根的最大值与最小值．
易求得l：y＝x2在点(2,1)处的切线方程为y＝x－1，
由前证可知：
当点(p，q)∈{(x，y)|y＝x－1}时恒有φ(p，q)＝1，
令f(x)＝0可得x2－px＋q＝0，则x＝⇒φ(p，q)＝，
∵点(p，q)∈D，∴(p＋1)2－≤q≤p－1⇒(p＋1)2－5≤4q≤4p－4，
∴(p－2)2≤p2－4q≤－2p＋4，∴1≤φ(p，q)≤，
而当q＝(p＋1)2－时p2－4q＝－2p＋4，
∴φ(p，q)＝＝，
设g(x)＝(0≤x≤2)，令t＝，x＝(0≤t≤2)，
故g(t)＝－t2＋t＋1＝－(t－1)2＋，∴1≤g(x)≤，即1≤φ(p，q)≤，
∴φmin＝1，φmax＝.
第10节 变化率与导数、导数的计算
考点一 导数的几何意义
1．（2013广东，5分）若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
解析：本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算能力．y′|x＝1＝0，即当x＝1时，k＋＝k＋1＝0，解得k＝－1.
答案：－1
2．（2013北京，13分）设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．
(1)求L的方程；
(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．
解：本题考查导数的几何意义、导数在研究函数性质和不等式中的应用等基础知识和基本方法，意在考查函数与方程思想、化归与转化思想和考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及综合运用知识分析问题、解决问题的能力．
(1)设f(x)＝，则f′(x)＝. 所以f′(1)＝1，即L的斜率为1.
又L过点(1,0)，所以L的方程为y＝x－1.
(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)＞0(∀x＞0，x≠1)．
g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.
当0＜x＜1时，x2－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；
当x＞1时，x2－1＞0，ln x＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)单调递增．
所以，g(x)＞g(1)＝0(∀x＞0，x≠1)．
所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．
3．（2011山东，5分）曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
解析：y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.
答案：C
4．（2011湖南，5分）曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为.
答案：B
5．（2010辽宁，5分）已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，) C．(，] D．[，π)
解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，
因为ex>0，所以由均值不等式得k≥，又k<0，
∴－1≤k<0，即－1≤tanα<0，所以≤α<π.
答案：D
6．(2009·辽宁，5分)曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2
C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1
解析：y′＝()′＝，∴k＝y′|x＝1＝－2.
l：y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
答案：D
7．（2012新课标全国，5分）曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
解析：y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，
所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案：y＝4x－3
8．（2012广东，5分）曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：曲线方程为y＝x3－x＋3，则y′＝3x2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
答案：y＝2x＋1
9．（2011江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数ƒ(x)＝ex(x＞0)的图像上的动点，该图像在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是____．
解析：设点P的坐标为(x0，ex0)，则切线l的方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，则过点P作l的垂线m的方程为y－ex0＝－(x－x0)，令x＝0，得M(0，ex0－x0ex0)，N(0，ex0＋x0)，所以t＝ex0＋－，得t′＝(1－x0)(＋)，令t′＝0，得x0＝1，当0＜x0＜1时，t′＞0，t＝ex0＋－单调递增；当x0＞1时，t′＜0，t＝ex0＋－单调递减，所以当x0＝1时，t取最大值，为(e＋)．
答案：(e＋)
10．（2010江苏，5分）函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
解析：∵y′＝2x，∴在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
答案：21
11．(2009·福建，4分)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3ax2＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解，∴3a＝－，而x>0，∴a∈(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
考点二 导数的概念与运算
（2011江西，5分）若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f ′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：令f ′(x)＝2x－2－＝＞0，
利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.
答案：C
第11节 导数的应用
考点一 应用导数研究函数的单调性
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值．
(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
2.（2013山东，12分）已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)．
(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；
(2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小．
解：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和相关函数值的大小比较，考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力．
(1)由f(x)＝ax2＋bx－ln x，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝.
①当a＝0时，f′(x)＝.
(ⅰ)若b≤0，当x>0时，f′(x)<0恒成立，
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．
(ⅱ)若b>0，当0
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
②当a>0时，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0.
由Δ＝b2＋8a>0，得x1＝，x2＝.
当0
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
综上所述，
当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；
当a＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；
当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，＋∞.
(2)由题意知，函数f(x)在x＝1处取得最小值．
由(1)知是f(x)的唯一极小值点，
故＝1，整理得2a＋b＝1即b＝1－2a.
令g(x)＝2－4x＋ln x，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝，
当00，g(x)单调递增；当x>时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
因此g(x)≤＝1＋ln ＝1－ln 4<0.
故g(a)<0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0，即ln a<－2b.
3．（2013湖南，13分）已知函数f(x)＝ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.
解：本题主要考查函数求导、函数的单调区间和不等式的证明，意在结合转化思想和函数思想，考查考生的计算能力、利用函数思想证明不等式的能力．
(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝′ex＋ex＝ex＝ex.
当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)证明：当x<1时，由于>0，ex>0，故f(x)>0；
同理，当x>1时，f(x)<0.
当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1
令g(x)＝(1－x)ex－，则g′(x)＝－xe－x(e2x－1)．
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，从而g(x)
4．(2009·江苏，5分)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x2－10x－11)＝3(x＋1)(x－11)<0，
解得：－1
5．（2012福建，14分）已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；
(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
解：(1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2a＝0，
所以a＝0，即f(x)＝ex－ex.
此时f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1.
当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0.
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，
令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线y＝f(x)只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．
因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－ex0＋2a(x－x0)．
(1)若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，
则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；
当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零点x＝x0.
由P的任意性，a≥0不合题意．
(2)若a＜0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a.
令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x*＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时
h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，
h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．
①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；由x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0.知g(x)在R上单调递增．
所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*.
②若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时，有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0.
又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝ex＋ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)＜ex1＋ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，
其中b＝－(e＋f′(x0))，c＝ex1－f(x0)＋x0f′(x0)．
由于a＜0，则必存在x2＜x1，使得ax＋bx2＋c＜0.
所以g(x2)<0，故g(x)在(x2，x1)内存在零点．即g(x)在R上至少有两个零点．
③若x0，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．
综上所述，当a<0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
6．(2010新课标全国，12分)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加．
(2)f′(x)＝ex－1－2ax.
由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．
故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，
于是当x≥0时，f(x)≥0.
由ex>1＋x(x≠0)可得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，
f′(x)
综合得a的取值范围为(－∞，]．
7．(2011北京，13分)已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
解：(1)f ′(x)＝(x2－k2)e.
令f ′(x)＝0，得x＝±k.
当k>0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：
x
(－∞，－k)
－k
(－k，k)
k
(k，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
4k2e－1
0
所以 ，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
当k<0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：
x
(－∞，k)
k
(k，－k)
－k
(－k，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
4k2e－1
所以 ，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．
(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤.
当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.
所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.
解得－≤k<0.
故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0)．
考点二 应用导数研究函数的极值和最值
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A.∃ x0∈R，f(x0)＝0
B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0
解析：本题考查三次函数的性质，考查数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.
答案：C
2．（2013辽宁，5分）设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x>0时，f(x)( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
解析：本题考查导数的应用以及转化能力．由题意[x2f(x)]′＝，令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝，且f(x)＝，因此f′(x)＝＝.令h(x)＝ex－2g(x)，则h′(x)＝ex－2g′(x)＝ex－＝，所以x>2时，h′(x)>0；00时，f(x)是单调递增的，
f(x)既无极大值也无极小值．
答案：C
3．（2013湖北，5分）已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则( )
A．f(x1)＞0，f(x2)＞－ B．f(x1)＜0，f(x2)＜－
C．f(x1)＞0，f(x2)＜－ D．f(x1)＜0，f(x2)＞－
解析：本题主要考查函数与导数的基础知识与基本运算，意在考查考生分析问题、处理问题的能力．
∵f(x)＝x(ln x－ax)，
∴f′(x)＝ln x－2ax＋1.又函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2，
∴f′(x)＝ln x－2ax＋1有两个零点x1，x2，即函数g(x)＝ln x与函数h(x)＝2ax－1有两个交点．∴a>0，且0
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
最小值
最大值
∴f(x1)<0，f(x2)>f(1)＝－a>－.故选D.
答案：D
4．（2013福建，13分）已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解：本小题主要考查函数、导数的几何意义、函数的极值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
5．（2013浙江，14分）已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．
解：本题以三次函数为载体，主要考查利用导数研究函数的性质、二次函数、绝对值等基础知识，意在考查考生的推理能力，函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法．
(1)由题意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.
又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.
(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故
①当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，
故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.
②当a≥1时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，
故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.
③当0
x
0
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
3－3a
单调递增
极大值f(x1)
单调递减f(x2)
极小值
单调递增
3a－1
由于f(x1)＝1＋2(1－a)，f(x2)＝1－2(1－a)，
故f(x1)＋f(x2)＝2>0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a)>0.从而f(x1)>|f(x2)|.
所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}．
(ⅰ)当0|f(2)|.
又f(x1)－f(0)＝2(1－a)－(2－3a)＝>0，
故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a).
(ⅱ)当≤a<1时，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．
又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a)－(3a－2)＝，
所以当≤a<时，f(x1)>|f(2)|.
故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a).
当≤a<1时，f(x1)≤|f(2)|. 故|f(x)|max＝|f(2)|＝3a－1.
综上所述，|f(x)|max＝
6.（2011安徽，5分）函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图像如图所示，则m，n的值可能是( )
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2
C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1
解析：当x＝0.5时，f(x)＝a0.5m0.5n>0，∴a>0.
当m＝1，n＝1时，f(x)＝ax(1－x)图像关于直线x＝对称，所以A不可能；
当m＝1，n＝2时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x－1)(x－1)，
所以f(x)max＝f()＝且<0.5，由图可知B可能；
当m＝2，n＝1时，f(x)＝ax2(1－x)＝－a(x3－x2)，
f′(x)＝－ax(3x－2)，所以f(x)max＝f()＝， >0.5，所以C不可能；
当m＝3，n＝1时，f(x)＝ax3(1－x)＝－a(x4－x3)，f′(x)＝－ax2(4x－3)，
所以f(x)max＝f()＝，>0.5，所以D不可能．
答案：B
7．（2011湖南，5分）设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
A．1 B. C. D.
解析：|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值，h′(x)＝2x－＝，
显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.
答案：D
8．（2012江苏，16分）若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；
(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．
解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x<－2时，g′(x)<0；当－20，故－2是g(x)的极值点．
当－21时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．
当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.
当|d|<2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d>0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d<0，
所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．
①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2)＝2，此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．
②当x∈(1,2)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d<0，f(2)－d>0，y＝f(x)－d的图像不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有惟一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有惟一实根．
③当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d>0，f(1)－d<0，
y＝f(x)－d的图像不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有惟一实根．
由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；
当|d|<2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|<2，i＝3,4,5.
现考虑函数y＝h(x)的零点．
(ⅰ)当|c|＝2时，f(t)＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，而f(x)＝t1有三个不同的根，f(x)＝t2有两个不同的根，故y＝h(x)有5个零点．
(ⅱ)当|c|<2时，f(t)＝c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|<2，i＝3,4,5，而f(x)＝ti(i＝3,4,5)有三个不同的根，故y＝h(x)有9个零点．
综上可知，当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点；
当|c|<2时，函数y＝h(x)有9个零点．
9．(2010安徽，12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
2(1－ln2＋a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
考点三 利用导数研究函数的综合问题
1．（2013新课标全国Ⅰ，12分）设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
解：本题主要考查利用导数求解曲线的切线，利用函数的导数研究函数的最值，进而解答不等式恒成立问题，意在考查考生综合运用导数这一重要工具解答函数与不等式问题的综合能力．
(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，
则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．
由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.
(ⅰ)若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
(ⅲ)若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上，k的取值范围是[1，e2]．
2．(2013山东，13分)设函数f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．
(1)求f(x)的单调区间、最大值；
(2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数．
解：本题考查导数的运算、导数与函数单调性的关系、利用导数研究方程的根等基础知识和基本方法，意在考查数形结合思想、函数与方程思想和考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及综合运用知识分析问题、解决问题的能力．
(1)f′(x)＝(1－2x)e－2x，由f′(x)＝0，解得x＝.
当x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，
最大值为＝e－1＋c.
(2)令g(x)＝|ln x|－f(x)＝|ln x|－xe－2x－c，x∈(0，＋∞)．
①当x∈(1，＋∞)时，ln x>0，则g(x)＝ln x－xe－2x－c，
所以g′(x)＝e－2x.
因为2x－1>0，>0，所以g′(x)>0.
因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
②当x∈(0,1)时，ln x<0，则g(x)＝－ln x－xe－2x－c，
所以g′(x)＝e－2x.
因为e2x∈(1，e2)，e2x>1>x>0，所以－<－1.
又2x－1<1，所以－＋2x－1<0，即g′(x)<0.
因此g(x)在(0,1)上单调递减．
综合①②可知当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e－2－c.
当g(1)＝－e－2－c>0，即c<－e－2时，g(x)没有零点，
故关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为0；
当g(1)＝－e－2－c＝0，即c＝－e－2时，g(x)只有一个零点，
故关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为1；
当g(1)＝－e－2－c<0，即c>－e－2时，
①当x∈(1，＋∞)时，由(1)知
g(x)＝ln x－xe－2x－c≥ln x－>ln x－1－c，
要使g(x)>0，只需使ln x－1－c>0，即x∈(e1＋c，＋∞)；
②当x∈(0,1)时，由(1)知
g(x)＝－ln x－xe－2x－c≥－ln x－>－ln x－1－c，
要使g(x)>0，只需－ln x－1－c>0，即x∈(0，e－1－c)；
所以c>－e－2时，g(x)有两个零点，
故关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为2.
综上所述，
当c<－e－2时，关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为0；
当c＝－e－2时，关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为1；
当c>－e－2时，关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为2.
3．（2013陕西，14分）已知函数f(x)＝ex，x∈R.
(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；
(2)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数；
(3)设a
(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.
设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x的图象在P(x0，y0)处相切，
则有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝，
解得x0＝e2，k＝.
(2)曲线y＝ex与y＝mx2的公共点个数等于曲线y＝与y＝m的公共点个数．
令φ(x)＝，则φ′(x)＝，∴φ′(2)＝0.
当x∈(0,2)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0,2)上单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝.
当0
当m>时，在区间(0,2)内存在x1＝，使得φ(x1)>m，在(2，＋∞)内存在x2＝me2，使得φ(x2)>m.由φ(x)的单调性知，曲线y＝与y＝m在(0，＋∞)上恰有两个公共点．
综上所述，当x>0时，
若0
若m>，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点．
(3)法一：可以证明>.事实上，
>⇔>
⇔>⇔>1－
⇔>1－(b>a)． (*)
令ψ(x)＝＋－1(x≥0)，
则ψ′(x)＝－＝＝≥0(仅当x＝0时等号成立)，
∴ψ(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴x>0时，ψ(x)>ψ(0)＝0.
令x＝b－a，即得(*)式，结论得证．
法二：－＝－
＝
＝[(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2]，
设函数u(x)＝xex＋x－2ex＋2(x≥0)，
则u′(x)＝ex＋xex＋1－2ex，
令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝ex＋ex＋xex－2ex＝xex≥0(仅当x＝0时等号成立)，
∴u′(x)单调递增，
∴当x>0时，u′(x)>u′(0)＝0，∴u(x)单调递增．
当x>0时，u(x)>u(0)＝0.
令x＝b－a，则得(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2>0，
∴－>0，
因此，>.
4．（2012山东，13分）已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
解：(1)由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又ex>0，所以x∈(0,1)时，f′(x)>0；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(3)证明：因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，
所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．
因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－xln x<(1＋e－2)．
由(2)h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)，
因此当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，
故1－x－xln x≤1＋e－2.
设φ(x)＝ex－(x＋1)．因为φ′(x)＝ex－1＝ex－e0，
所以x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0，
故x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，
即>1. 所以1－x－xln x≤1＋e－2<(1＋e－2)．
因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
5．（2012浙江，14分）已知a＞0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.
(1)证明：当0≤x≤1时，
①函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a；
②f(x)＋|2a－b|＋a≥0；
(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a＋b的取值范围．
解：(1)①f′(x)＝12ax2－2b＝12a(x2－)．
当b≤0时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
当b＞0时，f′(x)＝12a(x＋)(x－)，
此时f(x)在[0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
所以当0≤x≤1时，f(x)max＝max{f(0)，f(1)}＝max{－a＋b,3a－b}＝＝|2a－b|＋a.
②由于0≤x≤1，故
当b≤2a时，
f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)＋3a－b＝4ax3－2bx＋2a≥4ax3－4ax＋2a＝2a(2x3－2x＋1)．
当b＞2a时，
f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)－a＋b＝4ax3＋2b(1－x)－2a＞4ax3＋4a(1－x)－2a＝2a(2x3－2x＋1)．
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则
g′(x)＝6x2－2＝6(x－)(x＋)，
于是
x
0
(0，)
(，1)
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
减
极小值
增
1
所以，g(x)min＝g()＝1－＞0.
所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.
故f(x)＋|2a－b|＋a≥2a(2x3－2x＋1)≥0.
(2)由①知，当0≤x≤1时，f(x)max＝|2a－b|＋a，所以|2a－b|＋a≤1.
若|2a－b|＋a≤1，则由②知f(x)≥－(|2a－b|＋a)≥－1.
所以－1≤f(x)≤1，对任意0≤x≤1恒成立的充要条件是
即
或
在直角坐标系aOb中，①所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.
作一组平行直线a＋b＝t(t∈R)，得－1＜a＋b≤3.
所以a＋b的取值范围是(－1,3]．
6．(2011天津，14分)已知a>0，函数f(x)＝lnx－ax2，x>0.(f(x)的图像连续不断)
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当a＝时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f()；
(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明≤a≤.
解：(1)f′(x)＝－2ax＝，x∈(0，＋∞)．
令f′(x)＝0，解得x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
所以，f(x)的单调递增区间是(0，)，f(x)的单调递减区间是(，＋∞)．
(2)证明：当a＝时，f(x)＝lnx－x2，由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．
令g(x)＝f(x)－f()．由于f(x)在(0,2)内单调递增，
故f(2)>f()，即g(2)>0.
取x′＝e>2，则g(x′)＝<0.
所以存在x0∈(2，x′)，使g(x0)＝0，即存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f()．(说明：x′的取法不唯一，只要满足x′>2，且g(x′)<0即可．)
(3)证明：由f(α)＝f(β)及(1)的结论知α<<β，
从而f(x)在[α，β]上的最小值为f(α)，又由β－α≥1，
α，β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3.
故即
从而≤a≤.
第12节 定积分与微积分基本定理
考点 定积分与微积分基本定理
1．（2013北京，5分）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A. B．2 C. D.
解析：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义、微积分基本定理等基础知识，考查数形结合思想以及考生的运算求解能力．由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l的方程为y＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2dx＝2＝.
答案：C
2．（2013江西，5分）若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1
S1＝x3＝－＝，S2＝ln x＝ln 2
3．（2013福建，4分）当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：
1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.
两边同时积分得：＋＋＋…＋xndx＋…＝dx，
从而得到如下等式：
1×＋×＋×＋…＋×＋…＝ln 2.
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C×＋C×＋C×＋…＋C×＝________.
解析：本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、类比推理能力和运算求解能力．
法一：设f(x)＝Cx＋×C x2＋×Cx3＋…＋×Cxn＋1，
所以f′(x)＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n，
所以f＝0f′(x)dx＝0(1＋x)ndx＝(1＋x)n＋10＝n＋1－(1＋0)n＋1＝.
法二：C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1
＝1×＋×n×2＋××3＋…＋××n＋1
＝(n＋1)×＋×2＋×3＋…＋×n＋1＝
＝＝.
答案：
4．（2013湖南，5分）若x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析：本小题主要考查定积分的计算．∵x2dx＝T3＝9，T>0，∴T＝3.
答案：3
5．（2012福建，5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
解析：阴影部分的面积为(－x)dx＝(x－x2)＝，故所求的概率P＝＝.
答案：C
6．（2012湖北，5分）已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )
A. B. C. D.
解析：由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为2(－x2＋1)dx＝2(－＋x)＝.
答案：B
7．（2011新课标全国，5分）由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )
A. B．4 C. D．6
解析：由y＝及y＝x－2可得，x＝4，所以由y＝及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为(－x＋2)dx＝(x－x2＋2x)|＝.
答案：C
8．（2011湖南，5分）由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1 C. D.
解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分∫cosxdx＝sinx|＝－(－)＝.
答案：D
9．（2010山东，5分）由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B. C. D.
解析：由题可知y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为
(x2－x3)dx＝(x3－x4) ＝－＝.
答案：A
10.（2010湖南，5分） dx等于( )
A．－2ln2 B．2ln2 C．－ln2 D．ln2
解析：dx＝lnx＝ln4－ln2＝ln2.
答案：D
11．(2009·福建，5分)－(1＋cosx)dx等于( )
A．π B．2 C．π－2 D．π＋2
解析：－(1＋cosx)dx＝20(1＋cosx)dx＝2(x＋sinx)|0＝2(＋1)＝π＋2.
答案：D
12．（2011陕西，5分）设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：显然f(1)＝lg1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3|＝1，得a＝1.
答案：1
13．(2010福建，14分)(1)已知函数f(x)＝x3－x，其图象记为曲线C.
(ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(ⅱ)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另一点P2(x2，f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；
(2)对于一般的三次函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，请给出类似于(1)(ⅱ)的正确命题，并予以证明．
解：法一：(1)(ⅰ)由f(x)＝x3－x得f′(x)＝3x2－1＝3(x－)(x＋)．
当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－，)时，f′(x)<0.
因此，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)
(ⅱ)曲线C在点P1处的切线方程为
y＝(3x－1)(x－x1)＋x－x1，
即y＝(3x－1)x－2x.
由
得x3－x＝(3x－1)x－2x，即(x－x1)2(x＋2x1)＝0，
解得x＝x1或x＝－2x1，故x2＝－2x1.
进而有S1＝| －2x1x1(x3－3xx＋2x)dx|＝|(x4－xx2＋2xx)－2x1x1|＝x.
用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3＝－2x2和S2＝x.
又x2＝－2x1≠0，所以S2＝x≠0，
因此有＝.
(2)记函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象为曲线C′，
类似于(1)(ⅱ)的正确命题为：
若对于任意不等于－的实数x1，
曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，
曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y＝g(x)的对称中心(－，g(－))平移至坐标原点，因而不妨设g(x)＝ax3＋hx，且x1≠0.
类似(1)(ⅱ)的计算可得S1＝ax，S2＝ax≠0. 故＝.
法二：(1)同法一．
(2)记函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象为曲线C′，
类似于(1)(ⅱ)的正确命题为：
若对于任意不等于－的实数x1，
曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．
证明如下：
由g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)得g′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
所以曲线C′在点(x1，g(x1))处的切线方程为y＝(3ax＋2bx1＋c)x－2ax－bx＋d.
由得(x－x1)2[a(x＋2x1)＋b]＝0，
∴x＝x1或x＝－－2x1，即x2＝－－2x1，故
S1＝| x1x2[ax3＋bx2－(3ax＋2bx1)x＋2ax＋bx]dx|＝，
用x2代替x1，重复上述计算过程，
可得x3＝－－2x2和S2＝.
又x2＝－－2x1且x1≠－，
所以S2＝＝＝≠0，
故＝.
第3章 三角函数、解三角形
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考点 任意角的三角函数
（2011江西，5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.
解析：r＝＝且sinθ＝－，所以sinθ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
答案：－8
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
考点 同角三角函数、诱导公式
1．(2013重庆，5分)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B. C. D．2－1
解析：本题考查三角函数求值问题，意在考查考生对公式的运用能力．
4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－
＝－＝＝
＝＝
＝＝＝.
答案：C
2．(2011山东，5分)若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan的值为( )
A．0 B. C．1 D.
解析：a满足9＝3a，由此得a＝2，tan＝tan＝.
答案：D
第3节 三角函数图像与性质
考点 正弦函数、余弦函数的图像和性质
1. (2013新课标全国Ⅰ，5分)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )
解析：本题主要考查数形结合思想，以及对问题的分析判断能力．首先知函数为奇函数，排除B.其次只需考虑x∈[0，π]的情形，又当x∈[0，π]时，f(x)≥0，于是排除A.∵f(x)＝(1－cos x)sin x，∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1，令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－，结合x∈[－π，π]，求得f(x)在[0，π]上的极大值点为π，靠近π，可知C对．
答案：C
2．(2013山东，5分)将函数y＝sin(2x ＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B. C．0 D．－
解析：本题考查三角函数的图象变换、性质等基础知识和基本方法，考查运算求解能力，考查方程思想．把函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到的图象的解析式是y＝sin ，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.
答案：B
3．(2013湖北，5分)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：本题考查三角函数的图象与性质，意在考查考生对三角函数变形以及图象平移等知识的掌握．y＝ cos x＋sin x＝2＝2sin的图象向左平移m个单位后，得到y＝2sin的图象，此图象关于y轴对称，则x＝0时，y＝±2，即2sin ＝±2，所以m＋＝＋kπ，k∈Z，由于m>0，所以mmin＝，故选B.
答案：B
4．(2013新课标全国Ⅰ，5分)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
解析：本题考查三角函数诱导公式、两角差的三角函数公式、三角函数的化简运算及求最值的方法，意在考查考生利用两角差的三角函数公式进行化简、运算和转化的能力．先利用asin x＋bcos x的结构通过构造进行合并化简为一个函数，然后讨论函数f(x)取到最值的条件，并利用诱导公式求解．f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝sin (x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.
答案：－
5．(2013江西，5分)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．
解析：本题考查三角恒等变换以及三角函数的周期性，意在考查考生的转化与化归能力以及运算能力．y＝sin 2x＋2 sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin(2x－)＋，所以该函数的最小正周期T＝＝π.
答案：π
6．(2013陕西，12分)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解：本题主要考查向量的数量积和三角恒等变换的方法以及三角函数的有界性，意在考查考生应用向量和三角工具解决问题的能力．
f(x)＝·( sin x，cos 2x)＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝cos sin 2x－sincos 2x＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质，知
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得的最小值－.
因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.
7．(2013湖南，12分)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
解：本小题主要考查两角差的正、余弦公式，二倍角公式，同角三角函数关系式及三角函数单调性，考查三角恒等变形能力和运算求解能力．属中档题．
f(x)＝sin＋cos＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，
g(x)＝2sin2＝1－cos x.
(1)由f(α)＝得sin α＝.又α是第一象限角，所以cos α>0.
从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.
(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1.
于是sin≥.
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.
8．(2012新课标全国，5分)已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)单调递减，则ω的取值范围是( )
A．[，] B．[，] C．(0，] D．(0,2]
解析：函数f(x)＝sin(ωx＋)的图像可看作是由函数f(x)＝sin x的图像先向左平移个单位得f(x)＝sin(x＋)的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到的，而函数f(x)＝sin(x＋)的减区间是[，]，所以要使函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上是减函数，需满足解得≤ω≤.
答案：A
9．(2012湖南，5分)函数f(x)＝sin x－cos(x＋)的值域为( )
A．[－2,2] B．[－， ]
C．[－1,1] D．[－， ]
解析：因为f(x)＝sin x－cos x＋sin x＝( sin x－cos x)＝sin(x－)，所以函数f(x)的值域为[－， ]．
答案：B
10．(2011山东，5分)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝( )
A．3 B．2 C. D.
解析：由于函数f(x)＝sinωx的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像可知，为这个函数的四分之一周期，故＝，解得ω＝.
答案：C
11．(2011安徽，5分)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z)
解析：因为当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，所以f()＝sin(＋φ)＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因为f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ<0，所以φ＝2kπ－，所以f(x)＝sin(2x－)，函数的单调递增区间为－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
所以x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
答案：C
12．(2010安徽，5分)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
解析：由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，则ω＝＝，
又当t＝0时，A的坐标为(，)，∴此函数为y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，
可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
答案：D
13．(2009山东，5分)将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos2x B．y＝2cos2x
C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝2sin2x
解析：y＝sin2x图象向左平移个单位得到y＝sin2(x＋)＝sin(2x＋)＝cos2x的图象，再向上平移1个单位得到y＝cos2x＋1＝2cos2x－1＋1＝2cos2x的图象．故选B.
答案：B
14．(2011江苏，5分)设定义在区间(0，)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
解析：设P(x0，y0)，则由消去y0得，6cosx0＝5tanx0⇒6cos2x0＝5sinx0，即6sin2x0＋5sin x0－6＝0，解得sinx0＝－(舍去)或，∵PP1⊥x轴，且点P、P1、P2共线，
∴|P1P2|＝sinx0＝.
答案：
15．(2011浙江，4分)函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是__________．
解析：f(x)＝＝－sin 4x，故其最小正周期为＝.
答案：
16．(2012天津，13分)已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝sin 2x·cos ＋cos 2x·sin ＋sin 2x·cos－cos 2x·sin ＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)． 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间[－，]上是增函数，在区间[，]上是减函数．又f(－)＝－1，f()＝，f()＝1，故函数f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－1.
17．(2010广东，14分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f(α＋)＝，求sinα.
解：(1)T＝.
(2)由题设可知A＝4且sin(3×＋φ)＝1，则φ＋＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵0<φ<π，∴φ＝. ∴f(x)＝4sin(3x＋)．
(3)∵f(α＋)＝4sin(2α＋)＝4cos2α＝，∴cos2α＝. ∴sin2α＝(1－cos2α)＝.
∴sinα＝±.
第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用
考点 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
1．函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )
解析：本题考查函数的性质在分析判断函数图象中的综合运用，考查一般与特殊的数学思想方法，考查运算求解能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当00，而当x＝π时，y＝－π<0，据此排除选项A、B、C，正确选项为D.
答案：D
2．(2013福建，5分)将函数f(x)＝sin (2x＋θ)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P，则φ的值可以是( )
A. B. C. D.
解析：本题主要考查三角函数图像的变换及三角函数值求角等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．因为函数f(x)的图像过点P，所以θ＝，所以f(x)＝sin；又函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝sin，所以sin＝，所以φ可以为.
答案：B
3．(2013四川，5分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4，
解析：本题考查三角函数的图象及基本性质，意在考查考生从图象中得到函数性质的转化能力．因为－＝·，所以ω＝2，又因为2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－<φ<，所以φ＝－，故选A.
答案：A
4．(2013安徽，12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．
(1)f(x)＝4cos ωx·sin＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
5．(2012浙江，5分)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析：变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A选项正确．
答案：A
6．(2011新课标全国，5分)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在(0，)单调递减 B．f(x)在(，)单调递减
C．f(x)在(0，)单调递增 D．f(x)在(，)单调递增
解析：y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ＋)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<可得φ＝，所以y＝cos2x，在(0，)单调递减．
答案：A
7．(2010福建，4分)已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________________．
解析：∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，所以f(x)与g(x)的最小正周期相等，
∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin(2x－)≤1， ∴－≤3sin(2x－)≤3，
即f(x)的取值范围为[－，3]．
答案：[－，3]
8．(2009江苏，5分)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由图中可以看出：T＝π，∴T＝π＝， ∴ω＝3. 答案：3
第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点 两角和与差的三角函数
1．(2013四川，5分)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力．因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－.又α∈，所以α＝，tan 2α＝tan ＝.
答案：
2．(2012山东，5分)若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B. C. D.
解析：因为θ∈[，]，所以2θ∈[，π]，所以cos 2θ<0，
所以cos 2θ＝－＝－.又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，
所以sin2θ＝，所以sin θ＝.
答案：D
3．(2012辽宁，5分)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( )
A．－1 B．－ C. D．1
解析：由sin α－cos α＝sin (α－)＝，α∈(0，π)，解得α＝，
所以tan α＝tan ＝－1.
答案：A
4．(2013新课标全国Ⅱ，5分)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．
法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，
因而sin θ＋cos θ＝ sin＝－.
法二：如果将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tan θ＝－.又因为θ在第二象限，则sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝－.
答案：－
5．(2013重庆，12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2 ＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
解：本题主要考查解三角形问题，意在考查考生对公式的运用能力．
(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cos C＝＝＝－. 故C＝.
(2)由题意得
＝.
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，
tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝. ①
因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，
因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝， 解得sin Asin B＝－＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.
6．(2011辽宁，5分)设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝( )
A．－ B．－ C. D.
解析：sin2θ＝－cos(＋2θ)＝2sin2(＋θ)－1＝2×()2－1＝－.
答案：A
7．(2010新课标全国，5分)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B. C．2 D．－2
解析：∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－，
∴＝＝＝
＝＝＝＝－.
答案：A
8．(2010福建，5分)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( )
A. B. C. D.
解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
答案：A
9．(2012江苏，5分)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
解析：因为α为锐角，cos(α＋)＝，所以sin(α＋)＝，sin 2(α＋)＝，
cos 2(α＋)＝，所以sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝×＝.
答案：
第6节 三角恒等变形
考 点 三角恒等变换
1．（2013广东，12分）已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
解：本题主要考查函数与三角函数的基础知识与运算、同角三角函数关系、特殊三角函数值、两角和与差的三角函数．在考查基础知识的同时突出基本运算能力，与2012年三角题相比较，试卷结构稳定，涉及求值知识点，稳定平和中有亮点，为高考复习作出了较好的方向指向．
(1)f＝cos＝cos＝×＝1.
(2)∵cos θ＝，θ∈，
∴sin θ＜0，sin θ＝－＝－.
故f＝cos＝cos＝
＝＝cos θ＋sin θ＝－＝－.
2．(2010天津，12分)在△ABC中，＝.
(1)证明B＝C；
(2)若cosA＝－，求sin(4B＋)的值．
解：(1)证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π＜B－C＜π，从而B－C＝0.
所以B＝C.
(2)由A＋B＋C＝π和(1)得A＝π－2B，故cos2B＝－cos(π－2B)＝－cosA＝.
又0＜2B＜π，于是sin2B＝＝.
从而sin4B＝2sin2Bcos2B＝，cos4B＝cos22B－sin22B＝－.
所以sin(4B＋)＝sin4Bcos＋cos4Bsin＝.
3．(2009·广东，12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cosφ的值．
解：(1)∵a⊥b，
∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ. ∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝.
∵θ∈(0，)，∴cosθ＝⇒sinθ＝.
(2)法一：由sin(θ－φ)＝有，
sinθcosφ－cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ－，
∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2cosφ＋＝1 ⇒5cos2φ－2cosφ－＝0.
解得cosφ＝，cosφ＝－， ∵0＜φ＜，∴cosφ＝.
法二：∵0＜θ，φ＜，∴－＜θ－φ＜. 所以cos(θ－φ)＝＝.
故cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)
＝·＋·＝.
4．(2012广东，12分)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(5α＋π)＝－，f(5β－π)＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)∵f(x)＝2cos(ωx＋)，ω>0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos(x＋)，
而α，β∈[0，]，f(5α＋)＝－，f(5β－)＝，
∴2cos[(5α＋)＋]＝－，2cos[(5β－)＋]＝，
即cos(α＋)＝－，cos β＝，于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
5．(2011江苏，14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
解：(1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.
故△ABC是直角三角形，且B＝. 所以sinC＝cosA＝.
6．(2009山东，12分)(本小题满分12分)设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝，
f()＝－，且C为锐角，求sinA.
解：(1)f(x)＝cos2xcos－sin2xsin＋
＝cos2x－sin2x＋－cos2x＝－sin2x.
所以，当2x＝－＋2kπ，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，
f(x)取得最大值，f(x)max＝，f(x)的最小正周期T＝＝π，
故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.
(2)由f()＝－，即－sinC＝－，
解得sinC＝，又C为锐角，所以C＝.
由cosB＝求得sinB＝.
因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.
第7节 正弦定理和余弦定理
考点 正、余弦定理及其应用
1．(2013天津，5分)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝( )
A. B. C. D.
解析：本题考查三角形中余弦定理、正弦定理的应用，意在考查考生分析问题的能力．由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.
再由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝.
答案：C
2．(2013湖南，5分)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于( )
A. B. C. D.
解析：本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力．由正弦定理可得，2asin B＝b可化为2sin Asin B＝sin B，又sin B≠0，所以sin A＝，又△ABC为锐角三角形，得A＝.
答案：A
3．(2013陕西，5分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝a sinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用．依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，∴A＝，故选B.
答案：B
4．(2013安徽，5分)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________.
解析：本题考查正弦定理和余弦定理的应用．由3sin A＝5sin B可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，
可得cos C＝＝＝－，故C＝.
答案：
5．(2013福建，4分)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
解析：本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．
因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，
所以sin＝，所以cos∠BAD＝，
在△BAD中，由余弦定理得，
BD＝＝ ＝.
答案：
6．(2013浙江，4分)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.
解析：本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算有关的问题．考查考生灵活利用公式的能力．△ABM中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0 ，＝，故sin∠BAC＝＝.
答案：
7．(2013新课标全国Ⅰ，12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解：本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力．
(1) 由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，
由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos30°＝.故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝.
8．(2013江西，12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解：本题主要考查三角变换与解三角形知识，意在考查考生综合运用知识的能力．
(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos A cos B－ sin Acos B＝0，
即有sin Asin B－ sin Acos B＝0，
因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝ ，又0
(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B.
因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝32＋.
又0
A. B．－ C．± D.
解析：由C＝2B得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理及8b＝5c
得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝2×()2－1＝.
答案：A
10．(2011辽宁，5分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝( )
A．2 B．2 C. D.
解析：由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB·(sin2A＋cos2A)＝sinA，所以sinB＝sinA.∴＝＝.
答案：D
11．(2010湖南，5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则( )
A．a>b B．a
解析：法一：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，b2＋ab－a2＝0，
即()2＋－1＝0， ＝<1，故b
b2＋ab－a2＝0，b＝，由a
12．(2011新课标全国，5分)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为____．
解析：在△ABC中，根据＝＝，得AB＝·sinC＝sinC＝2sinC，同理BC＝2sinA，因此AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin(π－C)＝4sinC＋2cosC＝2sin(C＋φ)(tanφ＝)，因此AB＋2BC的最大值为2.
答案：2
13．(2011北京，5分)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝____；
a＝____.
解析：因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sinA＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2.
答案： 2
14．(2010江苏，5分)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝6cosC，则＋的值是________．
解析：取a＝b＝1，则cosC＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝，∴c＝，
在如图所示的等腰三角形ABC中，
可得tanA＝tanB＝，又sinC＝，tanC＝2，
∴＋＝4.
另解：由＋＝6cosC得，＝6·，即a2＋b2＝c2，
∴＋＝tanC(＋)＝＝＝4.
答案：4
15．(2012新课标全国，12分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
解：(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得
sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.
因为B＝π－A－C，所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sin(A－)＝. 又0＜A＜π，故A＝.
(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
16． (2012浙江，14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为0＜A＜π，cos A＝，得sin A＝＝.
又cos C＝sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋sin C.
所以tan C＝.
(2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝.
于是sin B＝cos C＝. 由a＝及正弦定理＝，得c＝.
设△ABC的面积为S，则S＝acsin B＝.
17．(2010辽宁，12分) (本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)求sinB＋sinC的最大值．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得cosA＝，
故cosA＝－，A＝120°.
(2)由(1)得：sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝cosB＋sinB＝sin(60°＋B)．
故当B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.
第8节 解三角形应用举例
考点 解三角形在实际中的应用
1．(2013江苏，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：本题考查正弦、余弦定理，二次函数的最值，两角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生阅读审题建模的能力和解决实际问题的能力．
(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以
sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内．
2．(2010福建，12分)(本小题满分13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
解：法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝＝＝ .
故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.
即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B处相遇．则
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.
∵0
又t＝时，v＝30.
故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．
设小艇与轮船在C处相遇．在Rt△OAC中，OC＝20cos 30°＝10，AC＝20sin 30°＝10.
又AC＝30t，OC＝vt.
此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30.
即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.
又∠OAD＝60°，所以AD＝DO＝OA＝20，解得t＝.
据此可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．
证明如下：
如图，由(1)得OC＝10，AC＝10；故OC>AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．
设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，CD＝10tan θ，OD＝.
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为
t＝和t＝， 所以，＝.
由此可得，v＝. 又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.
从而，30°≤θ<90°.
由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为.
于是，当θ＝30°时，t＝取得最小值，且最小值为.
法三：(1)同法一或法二．
(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
(v2－900)t2＋600t－400＝0.
(ⅰ)若0
得v≥15. 从而，t＝，v∈[15，30)．
①当t＝时，
令x＝，则x∈[0,15)，t＝＝≥，
当且仅当x＝0即v＝15时等号成立．
②当t＝时，同理可得
(ⅱ)若v＝30，则t＝；
综合(ⅰ)、(ⅱ)可知，当v＝30时，t取最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第1节 平面向量的概念及其线性运算
考点 平面向量的概念与线性运算
1．（2013重庆，5分）在平面上，⊥，| |＝| |＝1，＝＋.若| |<，则||的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：本题考查向量问题和圆中的最值问题，意在考查考生的转化化归以及逻辑思维能力．由题意得点B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心半径为的圆内，又⊥，＝＋，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，||最大，为，当P在半径为的圆周上时，||最小，为，故选D.
答案：D
2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
解析：本题考查平面向量的基本定理及基本运算，是基本题目，意在考查考生的运算求解能力．
选向量的基底为，，则＝－，＝＋，那么·＝·(－)＝2.
答案：2
3．（2013山东，4分）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解析：本题考查平面向量的线性运算、数量积运算、向量垂直的充要条件等基础知识．＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ＋＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.
答案：
4.(2013四川，5分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
解析：本题主要考查平面向量的运算，意在考查数形结合的思想．＋＝＝2，故λ＝2.
答案：2
5．（2010安徽，5分）设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a ·b＝ C．a∥b D．a－b与b垂直
解析：|a|＝＝1，|b|＝＝；
a·b＝1×＋0×＝；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．
答案：D
6．(2009·广东，5分)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．2 B．2
C．2 D．6
解析：本题实际上是求与的和向量，由余弦定理||2＝||2＋| |2－2||·||·cos∠OF1F3＝4＋16－2·2·4·(－)＝28.
∴||＝2，故选A.
答案：A
7.（2010山东，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
解析：如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．根据题意得劣弧D＝2，故∠DCP＝2弧度，则在△PCQ中，∠PCQ＝(2－)弧度，|CQ|＝cos(2－)＝sin 2，|PQ|＝sin(2－)＝－cos 2，所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量的坐标．
答案：(2－sin 2,1－cos 2)
8．（2010浙江，4分）在△ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
解析：·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝－＝9－×100＝－16.
答案：－16
9．（2011浙江，4分）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
解析：对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S0＝|α||β|·sin〈α，β〉×2＝|β|sin〈α，β〉＝，因此sin〈α，β〉＝∈[，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[，]．
答案：[，]
10．（2010浙江，4分）已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．
解析：如图，设＝α，＝β，则在△ABC中，∠ACB＝60°，
根据正弦定理＝，即|α|＝＝sin∠ABC，由于0°<∠ABC<120°，
所以0
第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
考点 平面向量的基本定理及坐标表示
1．（2013浙江，5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
解析：选D 本题主要考查平面向量的运算，向量的模、数量积的概念，向量运算的几何意义等，意在考查利用向量解决简单的平面几何问题的能力．设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(－2,0)，B(2,0)，则P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，∴＝(2－x,0)，＝(a－x，b)．∴＝(1,0)，＝(a－1，b)．
则·≥·⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，
即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．
∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.
即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC.
2．（2013辽宁，5分）已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 本题主要考查向量的坐标表示．由已知， 得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与同方向的单位向量是＝.
3．（2013福建，5分）在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
解析：选C 本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况．依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.
4．（2013陕西，5分）已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2), 若a∥b, 则实数m等于( )
A．－ B.
C．－或 D．0
解析：选C 本题主要考查向量平行的充要条件的坐标表示．a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，∴m＝±.
5．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，考查转化思想和运算能力．＝－＝(3,2－t)，由题意知·＝0，所以2×3＋2(2－t)＝0，t＝5.
答案：5
6．（2013北京，5分）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
解析：本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等基础知识，意在考查方程思想和考生的运算求解能力．设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
答案：4
7．（2012安徽，5分）在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)
解析：画出草图，可知点Q落在第三象限，则可排除B、D；代入A，cos∠QOP＝＝＝，所以∠QOP＝.代入C，cos∠QOP＝＝≠，故答案为A.
答案：A
8．（2010新课标全国，5分）a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)，由cos〈a，b〉＝＝.
答案：C
9．（2011北京，5分）已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝____.
解析：因为a－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c得×－3k＝0，解得k＝1.
答案：1
10．（2010陕西，5分）已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
解析：由已知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.
答案：－1
11．(2009·广东，5分)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.
解析：设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)
由题意⇒
∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
考点一 平面向量的数量积
1．（2013湖南，5分）已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
解析：本小题主要考查单位向量和向量的模的概念、向量垂直的条件，考查转化化归、数形结合、特殊与一般等数学思想．由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝，故由几何性质得 －1≤|c|≤ ＋1，即－1≤|c|≤＋1.
答案：A
2．（2013湖北，5分）已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念，意在考查考生对基础知识的掌握情况．＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影为||cos〈，〉＝||＝＝＝，故选A.
答案：A
3．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2.
答案：2
4．（2013浙江，4分）设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．
解析：本题考查向量的概念、运算、函数的最值等知识，考查转化与化归能力、函数与方程思想以及灵活利用知识分析问题、解决问题的能力．当x＝0时，＝0，当x≠0时，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，当且仅当＝－时取到最大值．
答案：2
5．（2013天津，5分）在平行四边形ABCD中， AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1, 则AB的长为________．
解析：本题考查平面向量的运算，意在考查考生的运算求解能力．设||＝x，x＞0，则·＝x.又·＝(＋)·(－)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.
答案：
6．（2013江西，5分）设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．
解析：本题考查向量的数量积、向量的射影及模长公式，意在考查考生的运算能力．依题意得|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，|b|＝2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝.
答案：
7．（2012辽宁，5分）已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
解析：由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.
答案：B
8．（2012湖南，5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝( )
A. B.
C．2 D.
解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c.·＝1，即accos B＝－1.在△ABC中，再根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，及AB＝c＝2，AC＝b＝3，可得a2＝3，即BC＝.
答案：A
9．（2011广东，5分）若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c， 则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案：D
10．（2011辽宁，5分）若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )
A.－1 B．1
C. D．2
解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，
因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，
故|a＋b－c|≤1.
答案：B
11．（2010辽宁，5分）平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于( )
A. B.
C. D.
解析：因为cos〈a，b〉＝，
所以sin∠AOB＝sin〈a，b〉＝ ，
则S△AOB＝×|a|×|b|×sin∠AOB＝×.
答案：C
12．（2010湖南，5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：法一：因为cosA＝， 故·＝||||cosA＝AC2＝16.
法二：在上的投影为||cosA＝||，故·＝||||cosA＝AC2＝16.
答案：D
13．(2009·福建，5分)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为两边的三角形的面积 B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
解析：∵|b·c|＝|b|·|c||cosθ|，
如图，∵a⊥c，∴|b·cosθ|就是以a、b为邻边的平行四边形的高，而|a|＝|c|，
∴|b·c|＝|a|(|b|·|cosθ|)，∴|b·c|表示以a、b为邻边的平行四边形的面积．
答案：C
14．（2012新课标全国，5分）已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
解析：依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos 45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，∴|b|＝＝3(负值舍去)．
答案：3
15．（2012安徽，5分）若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
解析：由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－，当且仅当2a＝－b时取等号．
答案：－
16. （2012江苏，5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.
答案：
考点二 平面向量的应用
1.（2013湖南，5分）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )
A．2 B．1
C. D.
解析：本小题主要考查对称性和解析法，考查转化化归、数形结合等数学思想．以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D，设AP＝x，从而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4－x)、P2(－x,0)与△ABC的重心D共线，
所以＝，求得x＝.
答案：D
2．（2013辽宁，12分）设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质．
(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
3．（2011山东，5分）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ (λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是( )
A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
解析：不妨设A(0,0)，B(1,0)，C(c,0)，D(d,0)，
根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，
即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c＝λ； (d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，
即(d,0)＝μ(1,0), 得d＝μ.根据＋＝2，
得＋＝2.线段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．
若C是线段AB的中点，则c＝，代入＋＝2，
得＝0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；
若C，D同时在线段AB上，则0
此时＋<1，与＋＝2矛盾．故选项D的说法是正确的．
答案：D
4．(2009·宁夏、海南，5分)已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋NC＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：||＝||＝||，即点O到三点A、B、C的距离相等，
所以点O为△ABC的外心．
如图，设D为BC边中点，
则＋＝2.
∵＋＋＝0 ∴＋2＝0，
∴＝2，∴A、D、N三点共线，
∴点N在BC边的中线上，
同理点N也在AB、AC边的中线上，所以点N是重心．
∵·＝·， ∴·－·＝0，
∴·(－)＝0，∴·＝0，∴⊥.
同理，⊥，⊥，∴点P是△ABC的垂心．
答案：C
5．(2009·天津，4分)在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________．
解析：由＝＝(1,1) 知AB綊DC.
又＋＝·知四边形ABCD为菱形，且AB＝AD＝，
又∵(＋)2＝3，∴∠ABC＝60°，BD＝.
在△ABD中，由余弦定理cos∠BAD＝＝－.
故sin∠BAD＝，∴SABCD＝××＝.
答案：
6．（2012湖北，12分）已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ
＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点(，0)，得f()＝0，
即λ＝－2sin(×－)＝－2sin＝－，即λ＝－.
故f(x)＝2sin(x－)－，
由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin(x－)≤1，
得－1－≤2sin(x－)－≤2－，
故函数f(x)在[0，]上的取值范围为[－1－，2－ ]．
7.（2011安徽，13分）设λ>0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程．
解：由＝λ知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，
则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①
再设B(x1，y1)，由＝λ，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，
解得②
将①式代入②式，消去y0，得
③
又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，再将③式代入y1＝x，
得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，
(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，
2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.
因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.
故所求点p的轨迹方程为y＝2x－1.
第4节 数系的扩充与复数的引入
考点一 复数的概念
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B.－ C.4 D.
解析：本题考查复数的概念、模的运算和复数的除法运算等知识，意在考查考生对复数的有关概念的理解与认识和运算能力．解题时，先根据复数模的运算求出等式右边的数值，再利用复数的除法运算法则进行化简计算，求出复数z，确定其虚部．因为|4＋3i|＝ ＝5，所以已知等式为(3－4i)z＝5，即z＝＝＝＝＝＋i，所以复数z的虚部为，选择D.
答案：D
2．（2013广东，5分）若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2,4) B．(2，－4) C．(4，－2) D．(4,2)
解析：本题考查复数的除法运算及几何意义，考查考生对复数代数运算的简单了解．由iz＝2＋4i，可得z＝＝＝4－2i，所以z对应的点的坐标是(4，－2)．
答案：C
3．（2013安徽，5分）设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
解析：本题考查了复数的代数运算、共轭复数和复数相等的概念，意在检测考生对基础知识和基本技能的掌握．设出复数的代数形式，利用复数相等直接求解．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，
∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
答案：A
4．（2013福建，5分）已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：本题考查复数的共轭复数的概念与复数的几何意义等基础知识，意在考查考生对概念的理解与应用能力．∵＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴复数z在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限．
答案：D
5．（2013湖南，5分）复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：小题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，属容易题．∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．
答案：B
6．（2013陕西，5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则＝ B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2· D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：本题考查共轭复数、复数的模、复数的运算以及命题真假的判断，意在考查考生综合运用知识的能力和逻辑推理能力．依据复数概念和运算，逐一进行推理判断．对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒＝，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋ i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．
答案：D
7．（2013湖北，5分）在复平面内，复数 z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：本题主要考查复数的基本运算和基本概念，意在考查考生的运算求解能力．z＝＝＝1＋i的共轭复数为1－i，对应的点为(1，－1)在第四象限．
答案：D
8．（2013四川，5分）如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B C．C D．D
解析：本题考查共轭复数的概念，意在考查考生对数形结合的思维方法的运用．因为x＋yi的共轭复数是x－yi，故选B.
答案：B
9．（2012新课标全国，5分）下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2， p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
解析：∵复数z＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．
答案：C
10．（2012湖南，5分）复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
解析：∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴＝－1－i.
答案：A
11．（2012陕西，5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
12．（2011山东，5分）复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝＝＝－i，其对应的点在第四象限．
答案：D
13．（2012江苏，5分）设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
解析：∵a＋bi＝＝＝5＋3i，∴a＝5，b＝3，故a＋b＝8.
答案：8
14．（2011江苏，5分）设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．
解析：z＝－1＝1＋3i，所以z的实部是1.
答案：1
15．（2010北京，5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为________．
解析：＝＝－1＋i，故其对应的点的坐标是(－1,1)．
答案：(－1,1)
考点二 复数的运算
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B.－1－i C.1＋i D.1－i
解析：本题主要考查复数的基本运算，属于基本能力题．z＝＝－1＋i，故选A.
答案：A
2．（2013山东，5分）复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i
解析：本题考查复数的概念、复数代数形式的运算等基础知识，考查运算求解能力．由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋＝3＋＝3＋2＋i＝5＋i，所以＝5－i.
答案：D
3．（2013浙江，5分）已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i
解析：本题主要考查复数的概念、复数的乘法运算法则，考查考生的运算能力．按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.
答案：B
4．（2013辽宁，5分）复数z＝的模为( )
A. B. C. D．2
解析：由已知，得z＝＝－－i，所以|z|＝.
答案：B
5．（2013江西，5分）已知集合M{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )
A．－2i B．2i C．－4i D．4i
解析：本题考查集合的交集运算及复数的四则运算，意在考查考生的运算能力．由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，故z＝＝＝－4i.
答案：C
6．（2013天津，5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
7．（2013重庆，5分）已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析：本题考查复数代数形式的四则运算，意在考查考生的计算能力.
＝＝2＋i，所以|z|＝.
答案：
8．（2013江苏，5分）设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
解析：本题考查复数的运算，复数的模的运算，意在考查学生的运算能力．
|z|＝|(2－i)2|＝|3－4i|＝5.
答案：5
9．(2012山东，5分)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
解析：z＝＝＝＝3＋5i.故选A.
答案：A
10．(2012福建，5分)若复数z满足zi＝1－i，则z等于( )
A．－1－i B．1－i C．－1＋i D．1＋i
解析：z＝＝＝－1－i.
答案：A
11．(2012浙江，5分)已知i是虚数单位，则＝( )
A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i
解析：＝＝1＋2i.
答案：D
12．（2011新课标全国，5分）复数的共轭复数是( )
A．－i B. C．－i D．i
解析：＝＝i，∴的共轭复数为－i.
答案：C
13．（2011福建，5分）i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )
A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.∈S
解析：∵i2＝－1，∴－1∈S.
答案：B
14．（2011辽宁，5分）a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝( )
A．2 B. C. D．1
解析：由已知||＝2得||＝|(a＋i)·(－i)|＝|－ai＋1|＝2，
所以 ＝2，∵a＞0，∴a＝.
答案：B
15．（2011北京，5分）复数＝( )
A．i B．－i C．－－i D．－＋i
解析：因为＝＝＝i.
答案：A
16．（2011湖南，5分）若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
解析：由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.
答案：D
17．（2010广东，5分）若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( )
A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i
解析：z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.
答案：A
18．（2010福建，5分）对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b＋c＋d等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．i
解析：根据集合元素的唯一性，知b＝－1，由c2＝－1得，c＝±i，
因为对任意x，y∈S必有xy∈S，所以当c＝i时d＝－i；
当c＝－i时，d＝i，所以b＋c＋d＝－1.
答案：B
19．（2010浙江，5分）对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析：|z|＝≤＝＝|x|＋|y|，D正确，易知A、B、C错误．
答案：D
20．（2010辽宁，5分）设a，b为实数，若复数＝1＋i，则( )
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
解析：等式的两边同乘以a＋bi，整理得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，
则∴a＝，b＝.
答案：A
21．(2009·宁夏、海南，5分)复数－＝( )
A．0 B．2 C．－2i D．2i
解析：－＝－＝－＝i＋i＝2i.
答案：D
22．(2009·安徽，5分)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15 B．－3 C．3 D．15
解析：＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，
∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－1×3＝－3.
答案：B
23．（2012湖南，5分）已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
解析：因为z＝(3＋i)2＝8＋6i，所以|z|＝＝10.
答案：10
24．（2010江苏，5分）设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．
解析：∵z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝，∴|z|＝＝2.
答案：2
25．(2009·福建，4分)若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
解析：∵＝a＋bi，∴＝a＋bi，
即1＋i＝a＋bi，∴a＝1，b＝1，∴a＋b＝2.
答案：2
第5章 数列
第1节 数列的概念及其函数特性
考点 数列通项公式的求解
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
解析：本题考查等比数列的定义、Sn与an之间的关系，意在考查考生利用分类讨论思想和等比数列的定义求解an的能力．求解本题时，按照n＝1和n≥2两种情况分类解答，当n≥2时，由已知得到Sn－1＝an－1＋，然后作差得an的表达形式，再利用等比数列的定义和通项公式求解．当n＝1时，由已知Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，由已知得到Sn－1＝an－1＋，所以an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1, 所以an＝－2an－1，所以数列{an}为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
2．（2013江西，5分）正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：本题主要考查数列的概念、一元二次方程、裂项求数列的和，旨在考查考生的转化、化归能力与运算求解能力．
(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以an＝2n.
(2)由an＝2n，bn＝，
则bn＝＝.
Tn＝＝＝.
3．（2010安徽，5分）设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B.16
C．49 D．64
解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.
答案：A
4．（2012湖北，5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：
(1)b2012是数列{an}中的第________项；
(2)b2k－1＝________.(用k表示)
解析：求出数列{an}，{bn}的通项公式．由题意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n∈N*，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由上述规律可知：b2k＝a5k＝(k为正整数)，b2k－1＝a5k－1＝＝，
故b2 012＝b2×1 006＝a5×1 006＝a5 030，即b2 012是数列{an}中的第5 030项。
答案：(1)5 030；(2)
5．（2010辽宁，5分）已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
解析：在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；
令n＝2得，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．
把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝＝n2－n，
∴an＝n2－n＋33.
∴＝＝n＋－1≥2－1，
当且仅当n＝，即n＝时取等号，而n∈N*， ∴“＝”取不到．
∵5<<6，
∴当n＝5时，＝5－1＋＝，
当n＝6时，＝6－1＋＝＝，
∵>， ∴的最小值是.
答案：
第2节 等差数列及其前n项和
考点一 等差数列的通项公式
1．（2013安徽，5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
解析：本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算，意在考查考生的运算求解能力．
根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.
答案：A
2．（2013新课标全国Ⅰ，12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解：本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列求和等．
(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝＝，从而数列的前n项和为＝.
3．（2013新课标全国Ⅱ，12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式及等差数列的求和，意在考查考生的运算求解能力．
(1)设{an}的公差为d.由题意，a＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝·(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
4．（2013山东，12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.
解：本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法等知识，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力．
(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得
解得a1＝1，d＝2.
因此an＝2n－1，n∈N*.
(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，
当n＝1时，＝；
当n≥2时，＝1－－＝，
所以＝，n∈N*.
由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝，n∈N*.
又Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Tn＝＋－＝－－，
所以Tn＝3－.
5．（2012福建，5分）等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：在等差数列{an}中，∵a1＋a5＝10，∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，
∴所求的公差为2.
答案：B
6．(2009·福建，5分)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )
A．1 B. C．2 D．3
解析：∵S3＝＝6，而a3＝4，∴a1＝0，∴d＝＝2.
答案：C
7．（2012广东，5分）已知递增的等差数列|an|满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由已知得即
解得
由于等差数列{an}是递增的等差数列，因此
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
答案：2n－1
8．(2011辽宁，12分)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
，解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(5分)
(2)设数列{}的前n项和为Sn， 即Sn＝a1＋＋…＋，
故S1＝1，＝＋＋…＋，
所以，当n＞1时，
＝a1＋＋…＋－＝1－(＋＋…＋)－
＝1－(1－)－＝.
所以Sn＝.
综上，数列{}的前n项和Sn＝.(12分)
考点二 等差数列的前n项和
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：本题考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式，意在考查考生通过等差数列的定义、通项公式、前n项和公式求解基本量的能力．根据已知条件，得到am和am＋1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，
由
得解得选择C.
答案：C
2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．
解析：本题考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识，对学生分析、转化、计算等能力要求较高．
由已知解得a1＝－3，
d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函数f(x)＝－在x＝处取得极小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49.
∴nSn 的最小值为－49.
答案：－49
3．（2013福建，12分）已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；
(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围．
解：本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．
(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，
即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.
(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>a＋8a1，
即a＋3a1－10<0，解得－5
A．58 B．88 C．143 D．176
解析：因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，
则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88.
答案：B
5．（2012浙江，5分）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
解析：A、B、D均正确，对于C，若首项为－1，d＝2时就不成立．
答案：C
6．（2011天津，5分）已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( )
A．－110 B．－90 C．90 D．110
解析：因为a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3a9，又因为公差为－2，
所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，
通项公式为an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，
所以S10＝＝5(20＋2)＝110.
答案：D
7．（2010福建，5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，
∴d＝＝2， ∴a6＝－1<0，a7＝1>0，
故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.
答案：A
8．（2011广东，5分）等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝____________.
解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，
得9×1＋d＝4×1＋d，所以d＝－.又ak＋a4＝0，
所以[1＋(k－1)×(－)]＋[1＋(4－1)×(－)]＝0. 即k＝10.
答案：10
9．（2011湖南，5分）设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝______.
解析：设数列的公差为d，则3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝5×1＋×2＝25.
答案：25
10．(2010山东，12分)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2.
由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，
所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)因为an＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)，
因此bn＝＝(－)．
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝，
所以数列{bn}的前n项和Tn＝.
11． (2009·江苏，14分)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．
解：(1)设公差为d，则a－a＝a－a. 由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，
因为d≠0.所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0，
又由S7得7a1＋d＝7. 解得a1＝－5，d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－7， 前n项和Sn＝n2－6n.
(2)＝.
令2m－3＝t，＝＝t＋－6，
因为t是奇数，且t＋－6为整数，
所以t可取的值为±1.
当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3，
2×5－7＝3是数列{an}中的项；
t＝－1，m＝1时，t＋－6＝－15，
数列{an}中的最小项是－5不符合．
所以满足条件的正整数m＝2.
考点三 等差数列的性质及应用
1．（2013广东，5分）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
解析：本题主要考查等差数列，考查考生的运算能力．利用等差数列的性质可快速求解．因为a3＋a8＝10，所以3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
答案：20
2．（2012江西，5分）设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
解析：法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
法二：∵2a3＝a1＋a5,2b3＝b1＋b5，
∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35.
答案：35
3．(2012安徽，12分)设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0.
证明{an}为等差数列的充分必要条件是：
对任何n∈N，都有＋＋…＋＝.
证明：先证必要性．
设数列{an}的公差为d，若d＝0，则所述等式显然成立．
若d≠0，则
＋＋…＋
＝(＋＋…＋)
＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(－)
＝·＝.
再证充分性．
法一：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N都成立．
首先，在等式
＋＝①
两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，
所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.
假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时
＋＋…＋＝，②
＋＋…＋＋＝.③
将②代入③，得
＋＝，
在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak，
将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.
由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有an＝a1＋(n－1)d.
所以{an}是公差为d的等差数列．
法二：(直接证法)依题意有
＋＋…＋＝，①
＋＋…＋＋＝.②
②－①得
＝－.
在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③
同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1.④
③－④得
2nan＋1＝n(an＋2＋an)．
即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an}是等差数列．
第3节 等比数列及其前n项和
考点一 等比数列的通项公式
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3 ＝ a2 ＋10a1 ，a5＝9，则a1＝( )
A. B．－ C. D．－
解析：本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力．由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝，故选C.
答案：C
2．（2013北京，5分）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想以及考生的运算求解能力．
q＝＝2，又a2＋a4＝20，故a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋1－2.
答案：2 2n＋1－2
3.（2013湖北，12分）已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
解：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式、不等式等基础知识和基本方法，考查方程思想、分类与整合思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．
(1) 设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得
解得或
故an＝·3n－1，或an＝－5·(－1)n－1.
(2)若an＝·3n－1，则＝·n－1，故是首项为，公比为的等比数列，
从而＝＝·<<1.
若an＝－5·(－1)n－1，则＝－(－1)n－1，故是首项为－，公比为－1的等比数列，
从而＝故<1.
综上，对任何正整数m，总有<1.
故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．
4．（2012辽宁，5分）已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案：2n
5．（2010福建，4分）在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
解析：∵在等比数列{an}中，前3项之和等于21，
∴＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.
答案：4n－1
6．(2011新课标全国，12分)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．
解：(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q＞0，
故q＝. 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2(－)．
＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.
所以数列{}的前n项和为－.
考点二 等比数列的前项和
1．（2013辽宁，5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析：本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况．由题意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由数列是递增数列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比数列的求和公式得S6＝63.
答案：63
2．（2013湖北，13分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式，也考查了分类讨论思想．
(1)设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.由题意得
即
解得故数列{an}的通项公式为an＝3(－2)n－1.
(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.
若存在n，使得Sn≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.
当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；
当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，则n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
3．（2013陕西，12分）设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解：本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法．
(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
4．（2010广东，5分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝( )
A．35 B．33 C．31 D．29
解析：设数列{an}的公比为q，a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1⇒a4＝2，
a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×⇒q＝，
故a1＝＝16，S5＝＝31.
答案：C
5．（2010安徽，5分）设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析：根据等比数列的性质：若{an}是等比数列，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，即X，Y－X，Z－Y成等比数列，
故(Y－X)2＝X(Z－Y)，整理得Y(Y－X)＝X(Z－X)，故选D.
答案：D
6．（2010辽宁，5分）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )
A. B. C. D.
解析：显然公比q≠1，由题意得，，解得，
∴S5＝＝＝.
答案：B
7．（2010天津，5分）已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5 B.或5 C. D.
解析：由题意可知＝，解得q＝2，
数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝.
答案：C
8．(2009·辽宁，5分)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B. C. D．3
解析：由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.
答案：B
考点三 等比数列的性质及应用
1．（2013江西，5分）等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
解析：选A 本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况．由等比数列的前三项为x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x＝－3，公比q＝＝2，所以第四项为(6x＋6)×q＝－24.
2．（2013江苏，5分）在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．
解析：本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力．
设等比数列{an}的公比为q(q>0)．由a5＝，a6＋a7＝3，可得(q＋q2)＝3，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，所以an＝2n－6，数列{an}的前n项和Sn＝2n－5－2－5，所以a1a2…an＝(a1an)＝2，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可得2n－5－2－5>2，由2n－5>2，可求得n的最大值为12，而当n＝13时，28－2－5>213不成立，所以n的最大值为12.
答案：12
3．（2012新课标全国，5分）已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5 C．－5 D．－7
解析：设数列{an}的公比为q，由
得或所以或
所以或所以a1＋a10＝－7.
答案：D
4．（2010北京，5分）在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝( )
A．9 B．10 C．11 D．12
解析：由题知am＝|q|m－1＝a1a2a3a4a5＝|q|10，所以m＝11.
答案：C
5．（2012浙江，4分）设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝____________.
解析：∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，
解得q＝－1(舍去)或q＝.
答案：
6．(2011江西，12分)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，
b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
解：(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.
所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．
由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得
a＝.
第4节 数列求和
考点一 等差数列与等比数列的综合
1．（2013福建，5分）已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是( )
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm
解析：本题考查等比数列的定义与通项公式、等差数列前n项和的公式等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、公式应用能力和运算求解能力．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，所以cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝aqm(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝aqm2(n－1)＋＝aqm2(n－1)＋，因为＝＝qm2，所以数列{cn}为等比数列，公比为qm2.
答案：C
2．（2013重庆，5分）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
解析：本题考查等差、等比数列的基本量运算，意在考查考生的基本运算能力．因为{an}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.
答案：64
3．（2013江苏，16分）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中 c为实数．
(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；
(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.
证明：本题考查等差、等比数列的定义，通项及前n项和，意在考查考生分析问题、解决问题的能力与推理论证能力．
由题设，Sn＝na＋d.
(1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.又b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4，即2＝a，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.
因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.
从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈N*，有
n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1)．
令A＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)
在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得
A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，
从而有
由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.
即d1－d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0.
若d1＝0，则由d1－d＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.
又cd1＝0，所以c＝0.
4．（2013浙江，14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2,5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2) 若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式，求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．
(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，
即d2－3d－4＝0. 故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则
当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
综上所述，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
5．（2013四川，12分）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
解：本题考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合等数学思想．设该数列公差为d，前n项和为Sn.由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)．
所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，
解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.
所以，数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝.
6．(2009·宁夏、海南，5分)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )
A．7 B．8 C．15 D．16
解析：∵4a1,2a2，a3成等差数列，∴4a2＝4a1＋a3.
∵{an}是等比数列，∴4a1·q＝4a1＋a1q2，a1＝1.
∴q2－4q＋4＝0，q＝2，∴S4＝＝15.
答案：C
7．（2011江苏，5分）设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
解析：设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}，故q的最小值是.
答案：
8．（2012山东，12分）在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
解：(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.
设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45， 故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
(2)对m∈N*，若9m
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝－
＝.
9．（2012广东，14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解：(1)当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3， ①
当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7， ②
又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)， ③
由①②③解得a1＝1.
(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，
两式相减得an＋1－3an＝2n，则－·＝1，
即＋2＝(＋2)．
又＋2＝3，知{＋2}是首项为3，公比为的等比数列，
∴＋2＝3()n－1，即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，
∴an＝3n－2n.
(3)证明：由(2)得＝＝＝<，
∴＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋(1－)<.
考点二 递推数列及其应用
1．（2013湖南，5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
解析：本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的求和等知识，考查推理论证能力及分类讨论思想．
(1)当n＝1时，S1＝(－1)a1－，得a1＝－.
当n≥2时，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－.当n为偶数时，Sn－1＝－，当n为奇数时，Sn＝Sn－1－，从而S1＝－，S3＝－，又由S3＝S2－＝－，得S2＝0，
则S3＝S2＋a3＝a3＝－.
(2)由(1)得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－－－－…－，S101＝－，
又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝2S3＋＋2S5＋＋2S7＋＋…＋2S101＋＝0，
故S1＋S2＋…＋S100＝.
答案：－
2．（2013湖南，13分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和．
解：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，结合转化思想，意在考查考生的运算求解能力．
(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a.
因为a1≠0，所以a1＝1.
令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.
当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an，
即an＝2an－1.
于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.
记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是
Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①
2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②
①－②得
－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.
从而Bn＝1＋(n－1)·2n.
3．（2013江西，12分）正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前项n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.
解：本题主要考查求一类特殊数列的和，意在考查考生的转化与化归的数学思想及运算求解能力．
(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，故bn＝＝＝.
Tn＝＝
<＝.
4．（2012新课标全国，5分）数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为( )
A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830
解析：不妨令a1＝1，根据题意，得a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当n为奇数时，an＝1，当n为偶数时构成以a2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以前60项和为
S60＝30＋2×30＋×4＝1 830.
答案：D
5．（2012江西，12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列{}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，
即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，
从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又a1＝S1＝，
所以an＝－n.
(2)因为bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.]
第5节 数列的综合应用
考点 数列与其他知识的交汇
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则( )
A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
解析：本题考查三角形面积公式和归纳推理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，对考生的归纳推理能力、逻辑思维能力要求较高．已知b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a2＝a1，故b2＝＝c1＋b1＜b1，c2＝＝b1＋c1＞c1，b2＋c2＝a1＋＝2a1，b2－c2＝＜0，即b2＜c2，b2c2＝·＝(b1＋c1)2＋b1c1＞b1c1.又a3＝a2＝a1，所以b3＝＝c2＋b2＜b2，c3＝＝b2＋c2＞c2，b3＋c3＝＋＝2a2＝2a1，b3－c3＝c2＋b2－＝＞0，即b3＞c3，b3c3＝＝(b2＋c2)2＋b2c2＞b2c2＞b1c1.又△AnBnCn的面积为Sn＝ ＝ ，其中p＝(an＋bn＋cn)，p(p－an)和p2－(bn＋cn)p都为定值，bncn逐渐递增，所以数列{Sn}为递增数列，选择B.
答案：B
2.（2013安徽，14分）如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．
解析：本题考查由数列递推求通项、三角形相似以及平行线分线段成比例等知识．令S△OA1B1＝m(m>0)，因为所有AnBn平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形AnBnBn＋1An＋1＝S梯形A1B1B2A2＝3m，
当n≥2时，＝＝＝，
故a＝a，
a＝a，
a＝a，
…
a＝a，
以上各式累乘可得：a＝(3n－2)a，因为a1＝1，所以an＝.
答案：an＝
3．（2013北京，14分）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解：本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力．
(1)依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.
(2)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1，
故数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
(3)证明：当n＝1时，＝1<；
当n＝2时，＋＝1＋＝<；
当n≥3时，＝<＝－，此时
＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－<.
综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<.
4．（2013北京，13分）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2, …的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.
(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(2)设d是非负整数．证明：dn＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
解：本题主要考查无穷数列的有关知识，考查了考生对新定义类数列的理解与运用，对考生的逻辑思维能力要求较高．
(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.
(2)证明：(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤…，
因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－aa＋1＝－d(n＝1,2,3…)．
(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，所以An＝Bn＋dn≤Bn，又an≤An，an＋1≥Bn，
所以an≤an＋1，
于是，An＝an，Bn＝an＋1，
因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，
即{an}是公差为d的等差数列．
(3)证明：因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.
故对任意n≥1，an≥B1＝1.
假设{an}(n≥2)中存在大于2的项．
设m为满足am＞2的最小正整数，
则m≥2，并且对任意1≤k＜m，ak≤2.
又a1＝2，所以Am－1＝2，且Am＝am＞2.
于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2.
故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与dm－1＝1矛盾．
所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.
因为对任意n≥1，an≤2＝a1，
所以An＝2.
故Bn＝An－dn＝2－1＝1.
因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.
5．（2012福建，4分）数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2 012＝________.
解析：∵an＝ncos＋1，∴a1＋a2＋a3＋a4＝6，a5＋a6＋a7＋a8＝6，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝6，k∈N，故S2 012＝503×6＝3 018.
答案：3 018
6．（2011福建，13分）已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．
解：(1)由q＝3，S3＝，得＝，解得a1＝.
所以an＝×3n－1＝3n－2.
(2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.
因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；
因为当x＝时f(x)取得最大值，所以sin(2×＋φ)＝1.
又0＜φ＜π，故φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin(2x＋)．
第6章 不等式、推理与证明
第1节 不等式性质
考点 不等式性质、不等关系、比较大小
1.（2011浙江，5分）若、为实数，则“”是“或”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：可分为两种情况:
当时，由两边同除可得；
当时，两边同除以可得.
∴“”是“或”的充分条件，
反之，当或时，可能有，
∴“”是“或”的不必要条件，故应为充分不必要条件.
选A.
2.（2011浙江，5分）设为实数，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：可分为两种情况:
当时，；当时， ,故不充分;
反之，当，有，故不必要，所以应为既不充分也不必要条件。
选D.
3.（2009四川，5分）已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
.
解析：显然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，
则同向不等式相加得＞， 即由“－＞－”“＞”
答案B
4.（2009安徽，5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是
（A）p:＞b+d , q:＞b且c＞d
（B）p:a＞1,b>1 q:的图像不过第二象限
（C）p: x=1, q:
（D）p:a＞1, q: 在上为增函数
解析：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可举反例.
选A
5.（2011广东，5分）不等式的解集是______.
解析：由得，两边平方得，即.
解得，所以原不等式的解集为.
答
6.（2011安徽，12分）（Ⅰ）设证明
（Ⅱ）设，证明
证明：（1）由于
所以要证明，
只需证
将上式中的右式减左式，得
既然所以从而所要证明的不等式成立.
（Ⅱ）设由对数的换底公式得
于是，所要证明的不等式即为
.
其中
故由（Ⅰ）成立知成立.
第2节 一元二次不等式及其应用
考点 一元二次不等式
1．（2013天津，5分）已知函数f(x)＝x(1＋a|x|). 设关于x的不等式f(x＋a)＜f(x)的解集为A.若⊆A, 则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
解析：本题考查函数与不等式的综合应用，意在考查考生的数形结合能力．由题意可得0∈A，即f(a)0时无解，所以a<0，此时1－a2>0，所以－1
2.（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15,20] B．[12,25]
C．[10,30] D．[20,30]
解析：本题考查三角形相似的性质，考查考生构建函数和不等式模型，利用解不等式求解实际应用题的能力．如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝＝，则有AF＝x，FH＝40－x，由题意知阴影部分的面积S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，即x∈[10,30]．
答案：C
3．(2013广东，5分)不等式x2＋x－2<0的解集为________．
解析：本题考查一元二次不等式的解集，考查考生的运算能力及数形结合思想的领悟能力．令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)·(x－1)，画出函数图象可知，
当－2
解析：本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的化归能力及运算能力．
由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x，所以f(x)＝
由f(x)>x，可得或
解得x>5或－5
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
5．（2013四川，5分）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．
解析：本题考查二次函数、不等式、函数的奇偶性，意在考查考生的运算能力和化归的数学思想．当x≥0时，f(x)＝x2－4x＜5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＜5的解集为(－5,5)．所以f(x＋2)＜5的解集为(－7,3)．
答案：(－7,3)
6．（2011广东，5分）不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A．(－，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(1，＋∞)
解析：由原不等式得(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＜－或x＞1.
答案：D
7．（2011湖南，5分）已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
解析：函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－b2＋4b－3＞－1.即b2－4b＋2＜0，解得2－＜b＜2＋.
答案：B
8．（2012江苏，5分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，
由一元二次方程根与系数的关系得
解得c＝9.
答案：9
9．（2010江苏，5分）已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
解析：由题意有或，
解得－1
10． (2009·江苏，16分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值；
(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋ ∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．
解：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0.
由a2≥1知a≤－1.
因此，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)记f(x)的最小值为g(a)．我们有
f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝
(i)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，
由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.
(ⅱ)当a<0时，f()＝a2.
若x>a，则由①知f(x)≥a2；
若x≤a，则x＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>a2. 此时g(a)＝a2.
综上得g(a)＝
(3)①当a∈(－∞，－∪，＋∞)时，解集为(a，＋∞)；
②当a∈－，)时，解集为，＋∞)；
③当a∈(－，－)时，解集为(a，∪，＋∞)．
第3节 基本不等式
考点一 基本不等式及其应用
1．（2013福建，5分）若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：本题主要考查基本不等式，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2，故选D.
答案：D
2．（2013山东，5分）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1 C. D．3
解析：本题考查基本不等式、二次函数的性质等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运算求解能力，.＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
答案：B
3．（2013山东，5分）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0 B. C．2 D.
解析：本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想．
＝＝＋－3≥2 －3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.
答案：C
4．（2012福建，5分）下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2＋)＞lg x(x＞0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＞1(x∈R)
解析：取x＝，则lg(x2＋)＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；
取x＝0，则＝1，故排除D.
答案：C
5．(2009·天津，5分)设a>0，b>0.或是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D.
解析：∵是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b. 即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.
此时＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝取等号)．
答案：B
6．（2012山东，4分）若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：若对任意x>0，≤a恒成立，
只需求得y＝的最大值即可．
因为x>0，所以
y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，
所以a的取值范围是[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
考点二 不等式的实际应用
1．（2010江苏，5分）将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
解析：如图，设AD＝x(0
又S△ADE＝x2，
∴梯形的面积为－x2，
∴s＝×(0
令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈(0，)时，s′<0，s递减；
当x∈(，1)时，s′>0，s递增；故当x＝时，s的最小值是.
答案：
2．（2012江苏，4分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．
第4节 简单的线性规划问题
考点一 二元一次不等式（组）与平面区域
1．（2013山东，5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－ D．－
解析：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力．已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－.
答案：C
2．（2013安徽，5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
解析：本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想．由||＝||＝·＝2，可得∠AOB＝，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，
由＝λ＋μ，可得⇒
因为|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，当，时，由可行域可得S0＝×2×＝，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4，故选D.
答案：D
3．（2013北京，5分）设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化思想以及考生分析问题、解决问题的能力．问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x－2y＝2经过第一、三、四象限，则点(－m，m)只能在第四象限，可得m＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x－2y＝2与阴影部分有公共点，则点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方，由于坐标原点使得x－2y－2＜0，故－m－2m－2＞0，即m＜－.
答案：C
4．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
解析：本题主要考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力．作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离，所以|OM|min＝＝.
答案：
5．（2013北京，5分）设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
解析：本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想．作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝，故最小距离为.
答案：
6．（2010福建，5分）设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( )
A. B．4 C. D．2
解析：平面区域Ω1如图中阴影部分所示，由于平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称，
因此，|AB|的最小值即为Ω1中的点A到直线3x－4y－9＝0的距离的最小值的2倍．
由图可知，当点A与点M(1,1)重合时，
Ω1中的点A到直线3x－4y－9＝0的距离取到最小值＝2，
故|AB|的最小值为2×2＝4.
答案：B
考点二 简单的线性规划问题
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
解析：本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝，故选B.
答案：B
2．(2013天津，5分)设变量x, y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4 C．1 D．2
解析：本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用．约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数y＝2x＋z经过可行域中的点(5,3)时，z取得最小值－7.
答案：A
3．(2013湖南，5分)若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是( )
A．－ B．0 C. D.
解析：本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题．求解本小题时一定要先比较直线x＋2y＝0与边界直线x＋y＝1的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值．作出题设约束条件的平面区域(图略)，由⇒可得(x＋2y)max＝＋2×＝.
答案：C
4．（2013广东，5分）给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
解析：本题考查线性规划、集合、直线方程等知识，考查考生的创新意识及运算能力、数形结合思想的应用．解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．
答案：6
5．（2013浙江，4分）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析：本题主要考查二元一次不等式组的平面区域、线性规划的最优解的问题，意在考查考生的数形结合能力．已知不等式组可表示成如图的可行域，当0≤－k<时，直线y＝－kx＋z经过点A(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点B(2,3)时，z最大，所以2k＋3＝12，解得k＝(舍去)；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点A(4,4)时，z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合，综上可知k＝2.
答案：2
6．（2013陕西，5分）若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
解析：本题考查分段函数的图象和线性规划的应用，考查考生的数形结合能力．由题意知y＝作出曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A(－1,2)时，2x－y取最小值－4.
答案：－4
7．（2012广东，5分）已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为( )
A．12 B．11 C．3 D．－1
解析：如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时， z取得最大值．由解得，此时，z＝y＋3x＝11.
答案：B
8．（2012辽宁，5分）设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为( )
A．20 B．35 C．45 D．55
解析：作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y＝－x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x＋3y取得最大值55.
答案：D
9．（2011广东，5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )
A．3 B．4 C．3 D．4
解析：画出区域D，如图中阴影部分所示，而z＝·＝x＋y，∴y＝－x＋z.
令l0：y＝－x，将l0平移到过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4.
答案：B
10．（2011安徽，5分）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
解析：法一：特殊值验证：当y＝1，x＝0时，x＋2y＝2，排除A，C；
当y＝－1，x＝0时，x＋2y＝－2.
法二：直接求解：如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax＝2，umin＝－2.
答案：B
11．（2011福建，5分）已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2]
解析：平面区域如图中阴影部分所示的△BDN，N(0,2)，D(1,1)，设点M(x，y)，因点A(－1,1)，则z＝·＝－x＋y，由图可知；当目标函数z＝－x＋y过点D时，zmin＝－1＋1＝0；当目标函数z＝－x＋y过点N时，zmax＝0＋2＝2，故z的取值范围为[0,2]，即·的取值范围为[0,2]．
答案：C
12．（2010山东，5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
解析：本题可以采取较为简单的方法，由于三条直线围成的平面区域是三角形，根据题意可知目标函数z＝3x－4y的最值一定在直线的交点处取得．
三条直线的交点分别为A(0,2)，B(3,5)，C(5,3)，
代入目标函数可得z＝3x－4y的最大值为3，在C点处取得；最小值为－11，在B点处取得．
答案：A
13．（2010北京，5分）设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y＝ax的图象经过点A时a取得最大值，
由方程组
解得x＝2，y＝9，即点A(2,9)，代入函数解析式得9＝a2，即a＝3，故1
14．(2009·宁夏、海南，5分)设x、y满足则z＝x＋y( )
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
解析：不等式组的平面区域为如图的阴影区域．x＋y在点A(2,0)处取最小值为2，无最大值．
答案：B
15．(2009·天津，5分)设变量x、y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A．6 B．7 C．8 D．23
解析：约束条件表示的平面区域如图
易知过C(2,1)时，目标函数z＝2x＋3y取得最小值．
∴zmin＝2×2＋3×1＝7.
答案：B
16．（2012陕西，5分）设函数f(x)＝
D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为______________．
解析：当x>0时，求导得f′(x)＝，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为(－，0)，(0，－1)，(1,0)，平移直线x－2y＝0，可知在点(0，－1)处z取得最大值2.
答案：2
17．（2010陕西，5分）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，
则根据题意得到约束条件为：，
目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
第5节 归纳推理与类比推理
考点 合理推理与演绎推理
1．（2013陕西，5分）观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________．
解析：本题考查考生的观察、归纳、推理能力．观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
2．（2013陕西，5分）观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律， 第n个等式可为________．
解析：本题主要考查归纳推理，考查考生的观察、归纳、猜测能力．观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)
3．（2013湖北，5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
解析：本题主要考查数列的相关知识，意在考查考生对等差数列的定义、通项公式的掌握程度．
N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以为首项，为公差的等差数列；数列{bk}是以为首项，－为公差的等差数列；所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
答案：1 000
4．（2012江西，5分）观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
答案：C
5．（2012湖北，5分）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．
解析：2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n＋1位有9×10n个．
答案：90 9×10n
6．（2011陕西，5分）观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________．
解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数应为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，所以第n行的个数应为2n－1.所以第5行数依次是5、6、7、…、13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.
答案：5＋6＋7＋…＋13＝81
7．（2010浙江，4分）设n≥2，n∈N，(2x＋)n－(3x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝－，T4＝0，T5＝－，…，Tn，…其中Tn＝________.
解析：根据已知条件，总结规律，进而可得.
答案：
8．（2010陕西，5分）观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
解析：观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
第6节 直接证明和间接证明
考点 直接证明和间接证明
(2009·广东，14分)已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝1,2，…)．从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn)．
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；
(2)证明：x1·x3·x5·…·x2n－1＜ ＜ sin.
解：(1)直线ln的方程为y＝kn(x＋1)，kn＞0.
代入曲线Cn的方程得：(k＋1)x2－2(n－k)x＋k＝0.
∵ln与Cn相切，∴方程②有等根xn，
Δ＝4(n－k)2－4(k＋1)k＝0⇒kn＝，
∴xn＝＝＝.
yn＝kn(xn＋1)＝·(＋1)＝.
(2)证明：由(1)知，xn＝，yn＝.
于是所证明的不等式变为
···…·＜＜sin
(a)先证明：···…·＜.(*)
∵4n2－1＜4n2，
∴(2n－1)(2n＋1)＜4n2⇒(2n－1)2(2n＋1)＜4n2(2n－1)．
∴＜.
∴···…·＜···…·＝.
(b)再证明＜2sin.
法一：令f(x)＝sinx－x：则f′(x)＝cosx－.
当x∈[0，)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在[0，)上单调递增，
又xn＝∈(0，)(n≥1)，
∴f(xn)＝sin－ ＞f(0)＝0. 所以＜sin.
故x1·x3·x5·…·x2n－1＜ ＜sin.
法二：令f(x)＝，
则f′(x)＝＝(x－tanx)．
令g(x)＝x－tanx，则g′(x)＝1－，
所以，当x∈(0，)时，g′(x)＜0，g(x)＜g(0)＝0.
∴f′(x)＜0，f(x)在[0，]上单调减少．
∵x＝∈(0，)(n≥1)，∴f(x)＝＞f()＝＞，
所以＜sin.
即···…·＜＜sin.
故x1·x3·x5·…·x2n－1＜ ＜sin.
第7节 数学归纳法
考点 数学归纳法
1．（2013江苏，10分）设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k，…，即当
(2)求集合P2 000中元素的个数．
解：本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计算原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力．
(1)由数列{an}的定义得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5.
(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．
事实上，①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；
②假设i＝m时成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．
综合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．
于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．
由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍数，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．
又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数．故当l＝i(2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为i2＋j.
又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.
2．（2012湖北，14分）(1)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x＞0)，其中r为有理数，且0＜r＜1.求f(x)的最小值；
(2)试用(1)的结果证明如下命题：
设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数．若b1＋b2＝1，则a1b1a2b2≤a1b1＋a2b2；
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
注：当α为正有理数时，有求导公式(xα)1＝αxα－1.
解：(1)f′(x)＝r－rxr－1＝r(1－xr－1)，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；
当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．
故函数f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝0.
(2)由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，即xr≤rx＋(1－r)， ①
若a1，a2中至少有一个为0，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立；
若a1，a2均不为0，又b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是
在①中令x＝，r＝b1，可得()b1≤b1·＋(1－b1)，
即ab11·a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.
综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数且b1＋b2＝1，总有ab11ab22≤a1b1＋a2b2. ②
(3)(2)中命题的推广形式为
设a1，a2，…，an为非负实数，b1，b2，…，bn为正有理数．
若b1＋b2＋…＋bn＝1，则ab11ab22…abnn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. ③
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，b1＝1，有a1≤a1，③成立．
(2)假设当n＝k时，③成立，即若a1，a2，…，ak为非负实数，b1，b2，…，bk为正有理数，
且b1＋b2＋…＋bk＝1，则ab11ab22…abkk≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk.
当n＝k＋1时，已知a1，a2，…，ak，ak＋1为非负实数，b1，b2，…，bk，bk＋1为正有理数，
且b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1＝1，
此时0＜bk＋1＜1，即1－bk＋1＞0，于是
ab11ab22…abkkabk＋1k＋1＝(ab11ab22…abkk)abk＋1k＋1
＝(aa…a)1－bk＋1abk＋1k＋1.
因＋＋…＋＝1，由归纳假设可得
aa…a≤a1·＋a2·＋…＋ak·
＝，
从而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤()1－bk＋1abk＋1k＋1.
又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得
()1－bk＋1abk＋1k＋1≤·
(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，
从而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，
故当n＝k＋1时，③成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n，所推广的命题成立．
说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n≥2成立，则后续证明中不需讨论n＝1的情况．
第7章 立体几何
第1节 简单几何体及三视图与直观图
考点一 柱、锥、台、球及其简单几何体的结构特征
1．（2013北京，5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________．
解析：本题考查空间几何体、点到直线的距离等基础知识，意在考查等价转化的数学思想和考生的空间想象能力．点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
答案：
2．（2011辽宁，5分）如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.
选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.
选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．
选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．
答案：D
3．(2009·宁夏、海南，5分)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是( )
A． AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．异面直线AE、BF所成的角为定值
解析：如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC⊥BB1，
BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，
又∵BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，∴A对．
∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，∴B对．
S△BEF＝×EF×BB1＝××1＝，
AO⊥平面BB1D1D，AO＝，∴VA－BEF＝××＝，
∴三棱锥的体积为定值，C对．故选D.
答案：D
考点二 三视图与直观图
1．（2013新课标全国Ⅰ,5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
解析：本题考查空间组合体的三视图及组合体的体积计算，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及计算能力．先根据三视图判断出组合体的结构特征，再根据几何体的体积公式进行计算．根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋π×22×4＝16＋8π，选择A.
答案：A
2．(2013新课标全国Ⅱ,5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
解析：选A 本题考查三视图的基本知识．作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状．易知选A.
答案：A
3．(2013广东,5分)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4 B. C. D．6
解析：本题考查三视图及几何体体积的计算，考查考生的空间想象能力及运算能力．由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋＋S2)h＝×(1＋＋4)×2＝.
答案：B
4．(2013湖南,5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )
A．1 B. C. D.
解析：本小题主要考查三视图及考生的空间想象能力，考查函数与方程思想．由题可知正方体的底面与水平面平行，先把正方体正放，然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转，易知当正方体正放时，其正视图的面积最小，为1×1＝1；当正方体逆时针旋转45°时，其正视图的面积最大，为1×＝.而<1，所以正方体的正视图的面积不可能等于.
答案：C
5．(2013湖北,5分)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )
A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4
C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4
解析：本题考查三视图以及几何体的体积计算问题，意在考查考生空间想象能力和运算求解能力．由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V1＝π×(12＋22＋1×2)×1＝π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V4＝×(22＋2×4＋42)×1＝，比较大小可知答案选C.
答案：C
6．(2013陕西,5分)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．
解析：本题考查三视图和空间几何体之间的关系，涉及体积的计算方法，考查考生的空间想象能力及运算求解能力．易知原几何体是底面圆半经为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V＝××(π×12)×2＝.
答案：
7．(2012新课标全国,5分)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A．6 B．9 C．12 D．18
解析：由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为××6×3×3＝9.
答案：B
8．(2012广东,5分)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．12π B．45π C．57π D．81π
解析：由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V＝π×32×5＋×π×32×＝57π.
答案：C
9.(2011山东,5分)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个直角边所在侧面放在水平面上，就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上，即可使得这个四棱柱的正视图和俯视图符合要求，命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，命题③也是真命题．
答案：A
10．(2011广东,5分)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )
A．18 B．12 C．9 D．6
解析：该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，
故V＝3×3×＝9.
答案：C
11．(2011浙江,5分)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：从俯视图看，B和D符合，从正视图看D符合，而从侧视图看D也是符合的．
答案：D
12．(2011陕西,5分)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
A．8－ B．8－
C．8－2π D.
解析：圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝22×2－×π×12×2＝8－π，正确选项为A.
答案：A
13．(2010浙江,5分)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
解析：该空间几何体上半部分是底面边长为4的正方形，高为2的正四棱柱，其体积为4×4×2＝32(cm 3)．下半部分是上、下底面边长分别为4、8，高为2的正四棱台，其体积为×(16＋4×8＋64)×2＝(cm3)．故其总体积为32＋＝(cm3)．
答案：B
14．(2009·山东,5分)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为
V＝π·12·2＋·()2·＝2π＋，故选C.
答案：C
15．(2012天津,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析：由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6、3、1的长方体，下面是两个半径均为的球，其体积为6×3×1＋2××π×()3＝18＋9π.
答案：18＋9π
16．(2011辽宁,5分)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
解析：设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为2，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为，故所求矩形的面积为2.
答案：2
17．(2010湖南,5分)如图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________ cm.
解析：由题可知，××5×6×h＝20⇒h＝4(cm)．
答案：4
18．(2009·浙江,4分)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.
解析：由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为3 cm，高为1 cm的长方体构成，故其体积为2(3×3×1)＝18(cm3)．
答案：18
第2节 空间图形的基本关系与公理
考点 平行关系与垂直关系的综合问题
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l
解析：本题涉及直线与平面的基本知识，意在考查考生的空间想象能力、分析思想能力，难度中等偏下．由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
答案：D
2．（2013广东，5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：本题考查空间线与面的平行、垂直的位置关系，考查考生空间想象能力及符号语言识别能力．A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
答案：D
3．（2013江苏，14分）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
证明：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推理论证能力．
(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
4．（2010浙江，5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面知B正确．
答案：B
5．(2009·江苏，5分)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．
解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确．
由线面平行的判定定理可知，(2)正确．
对(3)来说，l只垂直于α和β的交线l，得不到l是α的垂线，故也得不出α⊥β.
对(4)来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.
也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不垂直于α.
答案：(1)(2)
6.（2012江苏，14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
解：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
7．(2011天津，13分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明PB∥平面ACM；
(2)证明AD⊥平面PAC；
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
解：(1)证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，
所以PB∥MO.
因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.
(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.
(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
第3节 平行关系
考点 平行关系
1．（2010山东，5分）在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：A项中平行直线的平行投影不一定重合，有可能平行，B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行、相交，C项中垂直于同一个平面的两个平面可能平行、相交，D项正确．
答案：D
2．(2009·福建，5分)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
解析：∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，
∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2.
答案：B
3.（2012山东，12分）如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
解：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.
由于CB＝CD，所以CO⊥BD，
又EC⊥BD，EC∩CO＝C，
CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，
因此BD⊥EO，又O为BD的中点，
所以BE＝DE.
(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，
因为M是AE的中点，所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形．
所以∠BDN＝30°，
又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，
所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，
所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，
故平面DMN∥平面BEC. 又DM⊂平面DMN，
所以DM∥平面BEC.
法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.
因为CB＝CD，∠BCD＝120°，
所以∠CBD＝30°.
因为△ABD为正三角形，
所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，
因此∠AFB＝30°，
所以AB＝AF. 又AB＝AD，
所以D为线段AF的中点．
连接DM，由于点M是线段AE的中点，
因此DM∥EF.
又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，
所以DM∥平面BEC.
第4节 垂直关系
考点 垂直关系
1．（2012安徽，5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若α⊥β，又α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β.
答案：A
2．（2011浙江，5分）下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．
答案：D
3．（2011新课标全国，12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，则
A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则
即 因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)．则cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角A－PB－C的余弦值为－.
第5节 简单几何体的面积和体积
考点 柱、锥、台、球的表面积和体积
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：本题考查正方体和球组成的组合体、球的体积的计算，意在考查考生的空间想象能力、转化化归能力以及运用体积公式进行计算的能力．解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R－2) cm(其中R为球半径)，再利用球半径、球心距和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝ cm3，选择A.
答案：A
2．（2013辽宁，5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A. B．2 C. D．3
解析：本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想．如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.
答案：C
3．（2012新课标全国，5分）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
解析：在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝；同理SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1× ＝，则三棱锥的体积为××2＝.
答案：A
4.（2012江西，5分）如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0
解析：(1)当0
∵SC与该截面垂直，∴SC⊥EF，SC⊥EI，
∴EF＝EI＝SEtan 60°＝x，SI＝2SE＝2x，IH＝FG＝BI＝1－2x，FI＝GH＝AH＝2x，∴五边形EFGHI的面积S＝FG×GH＋FI× ＝2x－3x2，
∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝(2x－3x2)×CE＋2×××1×(1－2x)×(1－2x)＝x3－x2＋，其图像不可能是一条线段，故排除C，D.
(2)当≤x<1时，过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG，则EG＝EF＝ECtan 60°＝(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱锥E－FGC底面FGC上的高h＝ECsin 45°＝(1－x)，∴V(x)＝×CG·CF·h＝(1－x)3，
∴V′(x)＝－(1－x)2，
又显然V′(x)＝－(1－x)2在区间(，1)上单调递增，V′(x)<0(x∈(，1))，
∴函数V(x)＝(1－x)3在区间(，1)上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B，应选A.
答案：A
5．（2011辽宁，5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为( )
A．3 B．2
C. D．1
解析：由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S－ABD和C－ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝(4－x)，所以x＝(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝S△ABD×4＝.
答案：C
6．（2010新课标全国，5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
解析：三棱柱如图所示，由题意可知：
球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处，
连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R，
由题意知：O1B＝×＝，
所以半径R2＝()2＋()2＝，
所以球的表面积是S＝4πR2＝.
答案：B
7．(2009·辽宁，5分)正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点．则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．3∶2
解析：∵G为PB中点，∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC.
又多边形ABCDEF是正六边形，∴S△ABC＝S△ACD，
∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC， ∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.
答案：C
8.（2012山东，4分）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．
解析：因为E点在线段AA1上，所以S△DED1＝×1×1＝，又因为F点在线段B1C上，所以点F到平面DED1的距离为1，即h＝1，
所以VD1－EDF＝VF－DED1＝×S△DED1×h＝××1＝.
答案：
第6节 空间向量及其运算
考点 利用空间向量证明直线和平面的位置关系
1.（2013浙江，15分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
(1)证明：PQ∥平面BCD；
(2)若二面角CBMD的大小为60°，求∠BDC的大小．
解：本题考查空间线面平行的证明，二面角的计算，以及三角形的有关知识，考查考生的推理论证能力、空间想象能力，以及利用空间向量解决相关问题的能力．
法一：(1)证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OP，OF，FQ.
因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝AD.
因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，
所以OP∥DM，且OP＝DM.
又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝AD.
从而OP∥FQ，且OP＝FQ，
所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.
又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
(2)作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，连接CH.
因为AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，所以AD⊥CG，
又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM⊂平面ABD，所以CG⊥BM.
又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，
∴BM⊥CH，所以∠CHG为二面角CBMD的平面角，即∠CHG＝60°.
设∠BDC＝θ. 在Rt△BCD中，CD＝BDcos θ＝2cos θ，
CG＝CDsin θ＝2cos θsin θ，BC＝BDsin θ＝2sin θ，
BG＝BCsin θ＝2sin2θ.
在Rt△BDM中，HG＝＝.
在Rt△CHG中，tan∠CHG＝＝＝. 所以tan θ＝.
从而θ＝60°，即∠BDC＝60°.
法二：(1)证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知A(0，，2)，
B(0，－，0)，D(0，，0)．
设点C的坐标为(x0，y0,0)．因为＝3，所以Q.
因为M为AD的中点，故M(0，，1)．又P为BM的中点，故P.所以＝.
又平面BCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，故·u＝0.
又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
(2)设m＝(x，y，z)为平面BMC的法向量．
由＝(－x0，－y0,1)，＝(0,2，1)知
取y＝－1，得m＝.
又平面BDM的一个法向量为n＝(1,0,0)，于是
|cos〈m，n〉|＝＝＝，
即2＝3. ①
又BC⊥CD，所以·＝0，故(－x0，－－y0,0)·(－x0，－y0,0)＝0，
即x＋y＝2. ②
联立①②，解得(舍去)或
所以tan∠BDC＝＝.
又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°.
2．(2011北京，14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
.解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC.
(2)设AC∩BD＝O. 因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz
则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，
所以＝(1，，－2)，＝(0，2，0)．
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ＝＝＝
(3)由(2)知＝(－1，，0)
设P(0，－，t)(t＞0)，则＝(－1，－，t)，
设平面PBC的一个法向量m＝(x，y，z)，则·m＝0，·m＝0，
所以
令y＝，则x＝3，z＝.
所以m＝(3，，)．
同理，平面PDC的一个法向量n＝(－3，，)．
因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0.
解得t＝，所以PA＝.
3．（2013天津，13分）如图， 四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 侧棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1CEC1的正弦值．
(3)设点M在线段C1E上， 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．
解：本小题主要考查空间线线、线面的位置关系，以及二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查考生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
(1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.
(2) ＝(1，－2，－1)．设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，
则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．
由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝－，
从而sin 〈m，〉＝.
所以二面角B1CEC1的正弦值为.
(3) ＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.于是＝，解得λ＝，所以AM＝.
法二：(1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，从而B1E2＝B1C＋EC，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E.又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.
(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.由(1)知，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1CEC1的平面角．在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin ∠B1GC1＝，
即二面角B1CEC1的正弦值为.
(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．
设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝x，AH＝x.在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，得EH＝MH＝x.在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，
得x2＝1＋x2＋x，
整理得5x2－2x－6＝0，解得x＝.所以线段AM的长为.
4.（2013湖北，12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足＝.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角ElC的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.
解：本题考查空间线面位置关系的判断和证明，考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间向量在立体几何中的应用，考查化归与转化思想，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．
(1)直线l∥平面PAC，证明如下：
连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.
而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.
(2)证明：法一：(综合法)如图1，连接BD，由(1)可知交线l即为直线BD，且l∥AC.
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC.
已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l.
而PC∩BC＝C，所以l⊥平面PBC.
连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF.
故∠CBF就是二面角ElC的平面角，即∠CBF＝β.
由＝，作DQ∥CP，且DQ＝CP.
连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP＝2PF，所以DQ＝PF，
从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD.
连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF＝θ.
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF为锐角，
故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即∠BDF＝α，
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得
sin θ＝，sin α＝，sin β＝，
从而sin αsin β＝·＝＝sin θ，
即sin θ＝sin αsin β.
法二：(向量法)如图2，由＝，作DQ∥CP，且DQ＝CP.
连接PQ，EF，BE，BF，BD，由(1)可知交线l即为直线BD.
以点C为原点，向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA＝a，CB＝b，CP＝2c，则有
C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，b,0)，P(0,0,2c)，Q(a，b，c)，E，F(0,0，c)．
于是＝，＝(－a，－b，c)，＝(0，－b，c)，
所以cos α＝＝，
从而sin α＝＝ .
又取平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)，
可得sin θ＝＝，
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
所以由可得取n＝(0，c，b)．
于是|cos β|＝＝，从而sin β＝ ＝.
故sin αsin β＝·＝＝sin θ，
即sin θ＝sin αsin β.
5．（2012福建，13分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．
解：(1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a，0,1)，故＝(0,1,1)，＝(－，1，－1)，＝(a,0,1)，＝(，1,0)．
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．
又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，则y＝－，z＝－a，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－，－a)．
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.
又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，
∴AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．
设与n所成的角为θ，
则cos θ＝＝ .
∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，
∴|cos θ|＝cos 30°，即＝，
解得a＝2，即AB的长为2.
第7节 立体几何中的空间向量方法
考点 利用空间向量求空间角
1．（2013新课标全国Ⅰ，12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．
解：本题主要考查空间几何体中的线线垂直的证明和线面角的计算，意在考查考生的空间想象能力、推理判断能力和计算能力．
(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即
可取n＝(，1，－1)．
故cosn，＝＝－.
所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
2．（2013新课标全国Ⅱ，12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.
(1)证明：BC1//平面A1CD；
(2)求二面角DA1CE的正弦值．
解：本题以直三棱柱为载体，考查直线与平面平行以及二面角的求解等知识，意在考查考生的空间想象能力以及化归转化能力、基本运算能力等．
(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝AB 得 AC⊥BC.
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m是平面A1CE的法向量，则
可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.
即二面角DA1CE的正弦值为.
3.(2013山东，12分)如图所示，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角DGHE的余弦值．
解：本题考查空间线面平行的判定定理、性质定理，二面角的求解，空间向量在立体几何中的应用等基础知识与方法，考查转化与化归思想等数学思想方法，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力．
(1)因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.
又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.
又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.
又EF∥AB，所以AB∥GH.
(2)法一：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ，
因为PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.
又BP∩BQ＝B，所以AB⊥平面PBQ.
由(1)知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.
又FH⊂平面PBQ，所以GH⊥FH.
同理可得GH⊥HC，
所以∠FHC为二面角DGHE的平面角．
设BA＝BQ＝BP＝2，连接FC，
在Rt△FBC中，由勾股定理得FC＝，
在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝.
又H为△PBQ的重心，所以HC＝PC＝.
同理FH＝.
在△FHC中，由余弦定理得cos ∠FHC＝＝－.
即二面角DGHE的余弦值为－.
法二：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°. 又PB⊥平面ABQ，
所以BA，BQ，BP两两垂直．
以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BA＝BQ＝BP＝2，
则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)．
所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，＝(－1，－1，2)， ＝(0，－1,2)．
设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由m·＝0，m·＝0，得
取y1＝1，得m＝(0,1,2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
由n·＝0，n·＝0，得
取z2＝1，得n＝(0,2,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
因为二面角DGHE为钝角，
所以二面角DGHE的余弦值为－.
4．（2013广东，14分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝.
图1 图2
(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．
解：本题考查线面垂直的判定定理、二面角等基础知识，考查空间向量在立体几何中的应用，考查化归与转化思想，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．
(1)证明：由题意，易得OC＝3，AC＝3，AD＝2 .
连接OD，OE.在△OCD中，由余弦定理可得
OD＝ ＝.
由翻折不变性可知A′D＝2 ，
所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.
同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.
(2)(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H，连接A′H，如图所示．
因为A′O⊥平面BCDE，所以A′H⊥CD，
所以∠A′HO为二面角A′CDB的平面角．
结合OC＝3，∠BCD＝45°，得OH＝，从而A′H＝ ＝.
所以cos ∠A′HO＝＝ ，所以二面角A′CDB的平面角的余弦值为.
(向量法)以O点为原点，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，
则A′(0,0，)，C(0，－3,0)，D(1，－2,0)，所以＝(0,3，)，＝(－1,2，)．
设n＝(x，y，z)为平面A′CD的法向量，则
即解得令x＝1，得n＝(1，－1，)，即n＝(1，－1，)为平面A′CD的一个法向量．
由(1)知，＝(0,0，)为平面CDB的一个法向量，
所以cos 〈n，〉＝＝＝，
即二面角A′CDB的平面角的余弦值为.
5.（2013辽宁，12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角CPBA的余弦值．
解：本题考查面面关系的证明及二面角的求解问题，也考查了应用空间向量求解立体几何问题，试题同时考查了考生的空间想象能力和推理归纳能力．
(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC. 因为BC⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)法一：过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.
如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.
因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．
故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．
设平面BCP的法向量为n1＝(x，y，z)，
则所以
不妨令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．
因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，
设平面ABP的法向量为n2＝(x，y，z)，
则所以
不妨令x＝1，则n2＝(1，，0)．
于是cos〈n1，n2〉＝＝，
所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.
法二：过C作CM⊥AB于M，
因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，
所以PA⊥CM，
故CM⊥平面PAB.
又因为PA∩AB＝A，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
过M作MN⊥PB于N，连接NC，
由三垂线定理得CN⊥PB，
所以∠CNM为二面角CPBA的平面角．
在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝.
在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.
因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以＝， 故MN＝.
又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.
所以二面角CPBA的余弦值为.
6.（2012陕西，5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，
C1(0,2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，
由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
7.（2012新课标全国，12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1BDC1的大小．
解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
BC⊂平面BCD，故DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1，0,1)，C1(0,0,2)．
则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)， ＝(－1,0,1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，
则即可取n＝(1,1,0)．
同理，设m是平面C1BD的法向量，则可取m＝(1,2,1)．
从而cosn，m＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
7．（2012浙江，15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值．
解：(1)因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.
又因为MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
(2)法一：连结AC交BD于O.以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．
在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，得
AC＝AB＝2，BD＝AB＝6.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.
在直角三角形PAC中，AC＝2，PA＝2，
AQ⊥PC，得QC＝2，PQ＝4.
由此知各点坐标如下，
A(－，0,0)，B(0，－3,0)，C(，0,0)，D(0,3,0)，P(－，0,2)，M(－，－，)，N(－，，)，Q(，0，)．
设m＝(x，y，z)为平面AMN的法向量．
由＝(，－，)，＝(，，)知
取z＝－1，得m＝(2，0，－1)．
设n＝(x，y，z)为平面QMN的法向量．
由＝(－，－，)，＝(－，，)知
取z＝5，得n＝(2，0,5)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
所以二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.
法二：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，得
AC＝AB＝BC＝CD＝DA，BD＝AB.
又因为PA⊥平面ABCD，所以
PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD.
所以PB＝PC＝PD.
所以△PBC≌△PDC.
而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQ＝NQ，且AM＝PB＝PD＝AN.
取线段MN的中点E，连结AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，
所以∠AEQ为二面角A－MN－Q的平面角．
由AB＝2，PA＝2，故
在△AMN中，AM＝AN＝3，MN＝BD＝3，得AE＝.
在直角三角形PAC中，AQ⊥PC，得AQ＝2，QC＝2，PQ＝4.
在△PBC中，cos∠BPC＝＝，得
MQ＝ ＝.
在等腰三角形MQN中，MQ＝NQ＝，MN＝3，得
QE＝ ＝.
在△AEQ中，AE＝，QE＝，AQ＝2，得
cos∠AEQ＝＝.
所以二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.
8．(2010广东，14分)如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足FB＝FD＝a，FE＝a.
(1)证明：EB⊥FD；
(2)已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得FQ＝FE，FR＝FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．
解：(1)证明：∵E为中点，AB＝BC，AC为直径，
∴EB⊥AD.
∵EF2＝6a2＝(a)2＋a2＝BF2＋BE2，∴EB⊥FB.
又∵BF∩BD＝B，∴EB⊥平面BDF.
∵FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD.
法一：(2)过D作HD∥QR，连接FC.
∵FQ＝FE，FR＝FB，∴QR∥EB，∴HD∥EB.
又∵D∈平面BED∩平面RQD，
∴HD为平面BED与平面PQD的交线，
∵BD，RD⊂平面BDF，EB⊥平面BDF，
∴HD⊥BD，HD⊥RD.
∴∠RDB为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角，
∵FB＝FD，BC＝CD，∴FC⊥BD，
∴cos∠FBC＝＝＝. ∴sin∠FBC＝.
∴RD＝＝＝a.
∴sin∠RDB＝·sin∠FBC＝·＝.
法二：(2)如图，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，过B作平面BEC的垂线，建立空间直角坐标系，连接FC，由此得B(0,0,0)，C(0，a,0)，D(0,2a,0)，E(a,0,0)．
∵FD＝FB，BC＝CD，∴FC⊥BD. ∴FC＝2a，
∵FQ＝FE，FR＝FB， ∴R(0，a，a)，
＝＝(a,0,0)． ∴＝(0，a，－a)．
设平面RQD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝0，n1·＝0， ∴n1＝(0,2,5)．
∵平面BED的法向量为n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝. ∴sin〈n1，n2〉＝.
∴平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为.
9．(2009·山东，12分)如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
(1)证明：直线EE1∥平面FCC1；
(2)求二面角B—FC1—C的余弦值．
解：(1)证明：法一：取A1B1的中点F1，连结FF1、C1F1，
由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，
因此平面FCC1即为平面C1CFF1，
连结A1D、F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，
所以四边形A1DCF1为平行四边形，
因此A1D∥F1C. 又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，
而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，
故EE1∥平面FCC1.
法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，
AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1，
又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
(2)法一：取FC的中点H，
由于FC＝BC＝FB，所以BH⊥FC.
又BH⊥CC1，所以BH⊥平面FCC1.
过H作HG⊥C1F于G，连结BG. 由于HG⊥C1F，BH⊥平面FCC1，
所以C1F⊥平面BHG，因此BG⊥C1F，所以∠BGH为所求二面角的平面角．
在Rt△BHG中，BH＝，
又FH＝1，且△FCC1为等腰直角三角形，
所以HG＝，BG＝ ＝，因此cos∠BGH＝＝＝，
即所求二面角的余弦值为.
法二：过D作DR⊥CD交AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
所以＝(0,2,0)，＝(－，－1,2)，
＝(，3,0)，
由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.
又CC1⊥平面ABCD，
所以为平面FCC1的一个法向量．
设平面BFC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
即取x＝1，得
因此n＝(1,0，)，
所以cos〈，n〉＝
＝＝＝.
故所求二面角的余弦值为.
考点二 利用向量解决立体几何中的探索问题
1．（2013福建，13分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值；
(3)现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)
解：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．
(1)证明：取CD的中点E，连接BE.
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.又BE∥AD，
∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，
∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，
所以＝(－4k,6k,0)，＝(0,3k,1)，＝(0,0,1)．
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由得
取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．
设AA1与平面AB1C所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，
故所求k的值为1.
(3)共有4种不同的方案．
f(k)＝
2．(2013四川，12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值．
解：本题主要考查基本作图、线面的平行与垂直、二面角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决立体几何问题的能力．
(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.
由已知，AB＝AC，D是BC的中点，
所以BC⊥AD，则直线l⊥AD.
因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.
又AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)法一：连接A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，连接AF.
由(1)知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN.
所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE.
所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.
故∠AFE为二面角AA1MN的平面角(设为θ)．
设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，
有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.
又P为AD的中点，所以M为AB的中点，且AP＝，AM＝1，
所以在Rt△AA1P中，A1P＝；在Rt△A1AM中，A1M＝.
从而AE＝＝，AF＝＝，
所以sin θ＝＝.
所以cos θ＝＝＝.
故二面角AA1MN的余弦值为.
法二：设A1A＝1.如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)．
则A1(0,0,0)，A(0,0,1)．
因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点，
故M，N，
所以＝，＝(0,0,1)，＝(，0,0)．
设平面AA1M的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
即故有
从而
取x1＝1，则y1＝－，所以n1＝(1，－，0)．
设平面A1MN的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
即
故有从而
取y2＝2，则z2＝－1，所以n2＝(0,2，－1)．
设二面角AA1MN的平面角为θ，又θ为锐角，
则cos θ＝＝＝.
故二面角AA1MN的余弦值为.
3．（2012北京，14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
解：(1)证明：因为AC⊥BC，DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以ED⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.
所以DE⊥A1C.
又因为A1C⊥CD.
所以A1C⊥平面BCDE.
(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1, )，B(3,0,0)，E(2,2,0)．
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则
n·A1B＝0，n·BE＝0.
又A1B＝(3，0，－2），＝(－1,2，0)，
所以
令y＝1，则x＝2，z＝.
所以n＝(2,1，)．
设CM与平面A1BE所成的角为θ.
因为CM(0，1，),所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝||＝＝.
所以CM与平面A1BE所成角的大小为.
(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]．
设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0.
又＝(0，2，－2)，＝(p，－2,0)，
所以
令x＝2，则y＝p，z＝. 所以m＝(2，p，)．
平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0，即4＋p＋p＝0.
解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．
所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．
4．(2009·宁夏、海南高考)(本小题满分12分)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍．P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
解：法一：(1)连结BD，设AC交BD于O.
由题意SO⊥AC. 在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵BD∩SO＝O，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.
(2)设正方形边长为a，则SD＝a.
又OD＝a，所以∠SDO＝60°.
连结OP，由(1)知AC⊥平面SBD，
所以AC⊥OP，且AC⊥OD，
所以∠POD是二面角P—AC—D的平面角．
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30° ，
即二面角P－AC－D的大小为30°.
(3)在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.
由(2)可得PD＝a，
故可在SP上取一点N，使PN＝PD.
过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连结BN.
在△BDN中，知BN∥PO.
又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，
得BE∥平面PAC.
由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1.
法二：(1)连结BD.设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O－xyz，如图．设底面边长为a，则高SO＝a.
于是S(0,0，a)，D(－a,0,0)，C(0，a,0)，
＝(0，a,0)，＝(－a,0，－a)，
·＝0，故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
(2)由题设知，平面PAC的一个法向量＝(a,0，a)，
平面DAC的一个法向量＝(0,0，a)．
设所求二面角为θ，
则cosθ＝＝，所求二面角的大小为30°.
(3)在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一个法向量，
且＝(a,0，a)，＝(0，－a，a)．
设＝t，
则＝＋＝＋t＝(－a，a(1－t)，at)．
而·＝0⇔t＝.
即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
第8章 平面解析几何
第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
考点 直线方程
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：本题考查直线与方程、三角形面积的求解等基础知识和方法，考查一般与特殊的思想，考查考生分析问题、解决问题的能力．
由消去x，得y＝，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点，结合图形知××＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝.
∵a＞0，∴＞0，解得b＜.
考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－，故答案为B.
答案：B
2．（2012山东，5分）过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析：本题考查直线与圆的位置关系、直线方程等基础知识和基本方法，考查数形结合思想、一般与特殊思想、等价转化思想等数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.
答案：A
3．（2012辽宁，5分）将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
解析：要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．
答案：C
4．（2010安徽，5分）过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为：x－2y＋c＝0，将点(1,0)代入x－2y＋c＝0，解得c＝－1，故直线方程为x－2y－1＝0.
答案：A
第2节 两条直线的位置关系
考点一 两条直线的位置关系
1．（2013天津，5分）已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切， 且与直线ax－y＋1＝0垂直， 则a＝( )
A．－ B．1 C．2 D.
解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查平面上两条直线垂直的条件，意在考查考生的等价转化能力．由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.
答案：C
2．（2012浙江，5分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由a＝1可得l1∥l2，反之由l1∥l2可得a＝1或a＝－2.
答案：A
考点二 点到直线的距离、平行直线间的距离
1．（2012江西，5分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2 B．4 C．5 D．10
解析：如图，以C为原点，CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b,0)，则D(，)，P(，)，由两点间的距离公式可得|PA|2＝＋，
|PB|2＝＋，|PC|2＝＋.
所以＝＝10.
答案：D
2．（2012浙江，4分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝____________.
解析：因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，则曲线C1与直线l不能相交，即x2＋a＞x，∴x2＋a－x＞0.
设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，
则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，
所以a＝.
答案：
第3节 圆的方程
考点 圆的方程
1．（2010福建，5分）以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
解析：抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，选项A中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A；
选项B中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B；
选项C中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.
答案：D
2．(2009·辽宁，5分)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：由圆心在直线x＋y＝0上．不妨设为C(a，－a)．
∴r＝＝，解得a＝1，r＝.
∴C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：B
3．（2010新课标全国，5分）圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
解析：由题意可知，原点到直线x＋y－2＝0的距离为圆的半径，即r＝＝，所以圆的方程为x2＋y2＝2.
答案：x2＋y2＝2
4．（2010广东，5分）已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是__________．
解析：设圆心为(a,0)(a<0)，则＝， 解得a＝－2，
故圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2.
答案：(x＋2)2＋y2＝2
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系
1．（2013江西，5分）过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A. B．－ C．± D．－
解析：本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，意在考查考生的数形结合的数学思想及运算能力．由y＝ 得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S△AOB＝|OA|·|OB|·sin ∠AOB＝sin ∠AOB.所以当sin ∠AOB＝1，即OA⊥OB时，S△AOB取得最大值，此时点O到直线l的距离d＝|OA|·sin 45°＝.设此时直线l的斜率为k，则方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，则有＝，解得k＝±，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故取k＝－.
答案：B
2．（2013山东，4分）过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力．最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.
答案：2
3．（2013江苏，14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：本题考查直线与圆的方程，两直线交点和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，意在考查学生用待定系数法处理问题的能力和用代数法处理几何性质的能力．
(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，
即1≤≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R； 由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为0，.
4．（2012天津，5分）设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )
A．[1－，1＋ ] B．(－∞，1－ ]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2 ] D．(－∞，2－2 ]∪[2＋2，＋∞)
解析：由题意可得＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤，解得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2.
答案：D
5．（2012陕西，5分）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
解析：把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l与圆C相交．
答案：A
6．（2011江西，5分）若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A．(－，) B．(－，0)∪(0，)
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：整理曲线C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝
7．（2012江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
解析：设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.
答案：
8．（2009山东，4分）已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
解析：依题意可设圆心坐标为(a,0)，a>0，
则半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为，根据勾股定理可得，
()2＋()2＝|a－1|2，解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，
则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9．（2010江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，
即要求圆心到直线的距离小于1，
即<1，解得－13
10.（2009江苏，16分）(本小题满分16分)(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．
解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，
所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d＝＝1.
由点到直线的距离公式得d＝，
从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，
所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P(a，b)满足条件，
不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，
则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．
因为圆C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即
＝，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk 或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，
因为k的取值有无穷多个，所以
或解得
或
这样点P只可能是点P1(，－)或点P2(－，)．
经检验点P1和P2满足题目条件．
考点二 圆与圆的位置关系
1．（2013重庆，5分）已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
解析：本题考查与圆有关的最值问题，意在考查考生数形结合的能力．两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|CC2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.
答案：A
2．（2012山东，5分）圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、之和为5，而1<<5，所以两圆相交．
答案：B
3．（2011江西，5分）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )
解析：如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.
以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．
观察各选项知，只有选项A符合
答案：A
4．(2009·天津，4分)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝，
如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2. 有|OC|＝＝1，∴a＝1.
答案：1
第5节 抛物线
考点 抛物线的定义、标准方程、几何性质
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：本题考查抛物线与圆的有关知识，意在考查考生综合运用知识的能力．
由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.
由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C.
答案： C
2．（2013北京，5分）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力．
因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
答案：2 x＝－1
3．（2013江西，5分）抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质，意在考查考生的数形结合思想以及转化与化归的能力．由x2＝2py(p>0)得焦点F，准线l为y＝－，所以可求得抛物线的准线与双曲线－＝1的交点A，B，
所以|AB|＝ ，则|AF|＝|AB|＝ ，所以＝sin ，即＝，
解得p＝6.
答案：6
4．（2013湖南，13分）过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1>0，k2>0，证明：·<2p2；
(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
解：本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及其几何意义，圆的方程及两圆的公共弦的求法，点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的位置关系，向量的数量积，基本不等式的应用，二次函数的最值的求法，考查运算求解能力和函数方程思想、转化化归思想和数形结合思想．属难题．
(1)由题意，抛物线E的焦点为F， 直线l1的方程为y＝k1x＋.
由得x2－2pk1x－p2＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.
所以点M的坐标为，＝(pk1，pk)．
同理可得点N的坐标为，＝(pk2，pk)．
于是·＝p2(k1k2＋kk)．
由题设，k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，
所以0
所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，从而圆M的半径r1＝pk＋p.
故圆M的方程为(x－pk1)2＋2＝(pk＋p)2，
化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0.
同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0.
于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0.
又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.
因为p>0，所以点M到直线l的距离
d＝＝＝.
故当k1＝－时，d取最小值.由题设，＝，解得p＝8.
故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.
5．（2012山东，5分）已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为(0，)，所以＝2，
所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.
答案：D
6．（2011新课标全国，5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
解析：设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为(，0)，将x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，∴p＝6.点P在准线上，到AB的距离为p＝6，
所以△PAB的面积为×6×12＝36.
答案：C
7．（2011辽宁，5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1 C. D.
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
8．（2012天津，5分）已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
解析：由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p>0)，焦点F(，0)，准线x＝－，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在直角三角形EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋＝2p，得p＝2.
答案：2
9.（2012陕西，5分）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．
解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2.
答案：2
10．（2010浙江，4分）设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点F的坐标为(，0)，线段FA的中点B的坐标为(，1)，代入抛物线方程得1＝2p×，解得p＝，故点B的坐标为(，1)，
故点B到该抛物线准线的距离为＋＝.
答案：
11．(2011新课标全国，12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，M点的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
解：(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．
所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．
再由题意可知(＋)·＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，因为y ′＝x，所以l的斜率为x0.
因此直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即x0x－2y＋2y0－x＝0.
则O点到l的距离d＝.又y0＝x－2，所以
d＝＝(＋)≥2，
当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
第6节 椭圆
考点一 椭圆的定义、标准方程
1.（2011新课标全国）椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
解析： 通过方程确定的值，离心率.由题意
选D
2. （2011新课标全国）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为 .
解析：的周长为，求得的值，再由离心率求得的值，可得椭圆的方程. 由＝16,得，又知离心率为，即，进而，所以，，
C的方程为.
3.（2011浙江高考）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 .
解析：设出A点坐标,利用题目条件建立方程即可, 注意把转化为坐标关系
解法一：设直线的反向延长线与椭圆交于点，又∵，由椭圆的对称性可得，设，，
又∵， ，
解之得，∴点A的坐标为.
解法二：椭圆的焦点分别为,设A点坐标为,B点坐标为（p,t）则,即，，故，且,由上面两式解得
,即点的坐标是(0,).
考点二 椭圆的简单几何性质
1.（2011天津）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左、右焦点．已知△为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
【思路点拨】由等腰三角形建立等式关系求出离心率；联立直线和椭圆的方程，表示出A、B的坐标，再由向量等式关系化简整理得到轨迹方程。
解析：（I）设由题意，可得，即整理得（舍），或所以。
（II）由（I）知可得椭圆方程为直线PF2方程为A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，
得
解得 得方程组的解
不妨设，设点M的坐标为，
于是，由
即，化简得
将所以
因此，点M的轨迹方程是
2.（2011天津）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2.点满足
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程.
【思路点拨】利用椭圆的几何性质、点到直线、两点间的距离公式，直线于圆的位置关系等知识求解.
解析：（Ⅰ）设，因为，
所以，整理得（舍）或
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线FF2的方程为A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得.解得，得方程组的解
不妨设，，
所以 于是
圆心到直线PF2的距离
，
整理得，得（舍），或
所以椭圆方程为
第7节 双曲线
考点一 双曲线的定义、标准方程
1．（2013广东，5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c＝3，a＝2，b＝ ＝ ＝，故双曲线的方程为－＝1.
答案：B
2．（2013湖北，5分）已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
解析：本题考查三角函数、双曲线等知识，意在考查考生对双曲线知识的掌握情况，会求实轴、虚轴、焦距和离心率的值，掌握三角函数的重要公式是求解本题的基础．双曲线C1的离心率e1＝＝ ＝ ＝，双曲线C2的离心率e2＝＝ ＝ ＝＝ ＝，所以e1＝e2，而双曲线C1的实轴长为2a1＝2cos θ，虚轴长为2b1＝2sin θ，焦距为2c1＝2 ＝2，双曲线C2的实轴长为2a2＝2sin θ，虚轴长为2b2＝2sin θsin θ，焦距为2c2＝2 ＝2 ＝2tan θ，所以A，B，C均不对，故选D.
答案：D
3．（2012湖南，5分）已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：根据已知列出方程即可．c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x经过点(2,1)，所以a＝2b，所以25＝4b2＋b2，由此得b2＝5，a2＝20，故所求的双曲线方程是－＝1.
答案：A
4．（2011山东，5分）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.
答案：A
5．（2011安徽，5分）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4.
答案：C
6．（2011安徽，5分）双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0)
解析：将双曲线方程化为标准方程为：
x2－＝1， ∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝， ∴c＝，
故右焦点坐标为(，0)．
答案：C
考点二 双曲线的简单几何性质
1．（2013福建，5分）双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B. C. D.
解析：本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，即x±2y＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为＝.
答案：C
2．（2013浙江，5分）如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)①，点A的坐标为(x0，y0)．
由题意得a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝，
所以解得x＝，y＝，又点A在双曲线上，代入①得，b2－a2＝a2b2③，联立②③解得a＝，所以e＝＝，故选D.
答案：D
3．（2013北京，5分）若双曲线－＝1 的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. y＝±2x B．y＝±x
C. y＝±x D. y＝±x
解析：本题考查双曲线的方程和简单几何性质，意在考查考生的运算求解能力．在双曲线中离心率e＝＝ ＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x.
答案：B
4．（2013陕西，5分）双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
解析：本题考查双曲线的几何性质和方程思想的具体应用．
⇒＝⇒m＝9.
答案：9
5．（2013江苏，5分）双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
解析：本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的运算能力．
令－＝0，解得y＝±x.
答案：y＝±x
6．（2013湖南，5分）设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
解析：本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在△PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－2·4a·2c·cos 30°，即3a2－2ac＋c2＝0，所以a－c＝0，故双曲线C的离心率为.
答案：
7．（2012新课标全国，5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )
A. B．2 C．4 D．8
解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.
答案：C
8．（2012浙江，5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±x，
因此有交点P(－，)，Q(，)，设PQ的中点为N，则点N的坐标为(，)，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3,0)，
因此有kMN＝＝－，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝，所以e＝.
答案：B
9．（2011湖南，5分）设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：双曲线方程－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数得a＝2.
答案：C
10．(2009·浙江，5分)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若＝，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于B(，)，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于C(，)，A(a,0)，
＝(－，)，＝(，－)．
∵＝，∴＝，b＝2a，
∴c2－a2＝4a2，∴e2＝＝5，∴e＝.
答案：C
11．（2012湖北，5分）如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率e＝________；
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.
解析：由题意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.
设sin θ＝，cos θ＝，
＝＝＝＝e2－＝.
答案：
12．（2011辽宁，5分）已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再有双曲线自身的一个等式a2＋b2＝c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以，离心率e＝2.
答案：2
13．（2010江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，
则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
第8节 曲线与方程
考点 曲线与方程
1．（2013陕西，13分）已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
解：本题考查圆的几何性质和轨迹方程的求解方法，探究直线恒过定点的问题，涉及平面几何性质的应用．
(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，
∴|O1M|＝ ，又|O1A|＝ ，
∴＝ ，
化简得y2＝8x(x≠0)．
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③
将①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，
∴直线l过定点(1,0)．
2．（2013四川，13分）已知椭圆C：＋＝1，(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．
解：本题考查椭圆的定义、离心率，直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹方程等知识，意在考查函数与方程、转化与化归的数学思想，考查考生的运算求解能力．
(1)由椭圆定义知，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2，所以a＝.
又由已知，c＝1，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.
设点Q的坐标为(x，y)．
①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，
此时点Q的坐标为.
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由＝＋，得
＝＋，即
＝＋＝. ①
将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0. ②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.
由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①中并化简，得x2＝. ③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪.
又满足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈.
由题意，Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1，
又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈[，)，且－1≤y≤1，则y∈.
所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.
3．（2011北京，5分）曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是____．
解析：因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．
答案：②③
4．（2012湖南，13分）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
(1)求曲线C1的方程；
(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
解：(1)法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.
(2)当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是＝3.
整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根，故
k1＋k2＝－＝－. ②
由得
k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0. ③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以
y1y2＝. ④
同理可得y3y4＝. ⑤
于是由②，④，⑤三式得
y1y2y3y4＝
＝
＝＝6 400.
所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.
5.（2012辽宁，12分）如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t12，b
(2)设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b
则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)．②
由①②得y2＝(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.从而y＝b2(1－)，代入③得－＝1(x<－a，y<0)．
(2)设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，
故xy＝xy.
因为点A，A′均在椭圆上，所以
b2x(1－)＝b2x(1－)．
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2.从而y＋y＝b2，
因此t＋t＝a2＋b2为定值．
6．(2010广东，14分)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．
解：(1)由题设知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，
则有直线A1P的方程为y＝(x＋)，①
直线A2Q的方程为y＝(x－)．②
法一：联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③
则x≠0，|x|<.
而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，∴－y＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为
＋y2＝1，x≠0且x≠±.
法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得
y2＝(x2－2)．③
又点P(x1，y1)在双曲线上，因此－y＝1，
即y＝－1.代入③式整理得＋y2＝1.
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合．
故点A1和A2均不在轨迹E上．
过点(0,1)及A2(，0)的直线l的方程为x＋y－＝0.
解方程组得x＝，y＝0.
所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.
故轨迹E不经过点(0,1)．
同理轨迹E也不经过点(0，－1)．
综上分析，轨迹E的方程为
＋y2＝1，x≠0且x≠±.
(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h>1)，
联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝ ，k2＝－.
由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝.
过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，
由×(－)＝－1，得h＝.此时，
l1，l2的方程分别为y＝x＋与y＝－x＋，
它们与轨迹E分别仅有一个交点(－，)与(，)．
所以，符合条件的h的值为或.
第9节 圆锥曲线的综合问题
考点 直线与圆锥曲线的位置关系
1．（2013安徽，5分）已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质，考查考生的转化与化归能力．
法一：设直线y＝a与y轴交于点M，抛物线y＝x2上要存在C点，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有交点即可，也就是使|AM|≤|MO|，即≤a(a>0)，所以a≥1.
法二：易知a>0，设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(－，a)，则＝(m－，m2－a)，＝(m＋，m2－a)，因为⊥，所以m2－a＋m4－2am2＋a2＝0，可得(m2－a)(m2＋1－a)＝0.因为由题易知m2≠a，所以m2＝a－1≥0，故a∈[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
2．（2013浙江，4分）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
解析：本题考查抛物线方程、性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想及运算求解能力．
法一：注意到|FQ|＝2，正好是抛物线通径的一半，所以点Q为通径的一个端点，其坐标为(1，±2)，这时A，B，Q三点重合，直线l的斜率为±1.
法二：令直线l的方程为x＝ty－1，由得y2－4ty＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝4，x1＋x2＝4t2－2，所以xQ＝2t2－1，yQ＝2t，|FQ|2＝(xQ－1)2＋y＝4，代入解得，t＝±1或t＝0(舍去)，即直线l的斜率为±1.
答案：±1
3．（2013新课标全国Ⅱ，12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
解：本题考查用待定系数法求椭圆方程以及直线与椭圆位置关系的问题，考查利用函数思想求最值，体现对考生综合素质特别是对考生分析问题、解决问题以及化归与转化能力的考查．
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3. 因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)由解得或
因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3,4＝.
因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝|x4－x3|＝ .
由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝ .
当n＝0时，S取得最大值，最大值为.
所以四边形ACBD面积的最大值为.
4．（2013浙江，15分）如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
解：本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
5．（2013江西，13分）如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(1，)，
离心率e＝，直线l的方程为x＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.
问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
解：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系等，旨在考查考生综合应用知识的能力．
(1)由P在椭圆上得，＋＝1.①
依题设知a＝2c，则b2＝3c2.②
②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一：由题意可设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)．③
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
x1＋x2＝，x1x2＝.④
在方程③中令x＝4得，M的坐标为(4,3k)．
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
由于A，F，B三点共线，则有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k.
所以k1＋k2＝＋＝＋－＝2k－·.⑤
④代入⑤得k1＋k2＝2k－·＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.故存在常数λ＝2符合题意．
法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为y＝(x－1)，
令x＝4，求得M，
从而直线PM的斜率为k3＝，
联立得A，
则直线PA的斜率为k1＝，直线PB的斜率为k2＝，所以k1＋k2＝＋＝＝2k3，
故存在常数λ＝2符合题意．
6．（2013福建，13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9)．
(1)求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；
(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．
解：本小题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想．
法一：(1)依题意，过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，
Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.
设Pi的坐标为(x，y)，由
得y＝x2，即x2＝10y.
所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋10.
由得x2－10kx－100＝0，
此时Δ＝100k2＋400>0，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
因为S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.
又x1·x2<0，所以x1＝－4x2，
分别代入①和②，得解得k＝±.
所以直线l的方程为y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.
法二：(1)点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E：x2＝10y上．
证明如下：过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，
Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.
由解得Pi的坐标为.
因为点Pi的坐标都满足方程x2＝10y，
所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
(2)同法一．
7．（2012辽宁，5分）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( )
A．1 B．3 C．－4 D．－8
解析：因为P，Q两点的横坐标分别为4，－2，且P，Q两点都在抛物线y＝x2上，所以P(4,8)，Q(－2,2)．因为y′＝x，所以kPA＝4，kQA＝－2，则直线PA，QA的方程联立得，即，可得A点坐标为(1，－4)．
答案：C
8．（2012北京，5分）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
解析：直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.
答案：
9．(2009·宁夏、海南，5分)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
解析：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，∴＝1，抛物线方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，
y＝4x1①
y＝4x2②
①－②得y－y＝4(x1－x2)，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴＝1，
∴直线l的斜率为1，且过点(2,2)，
∴直线方程为y－2＝x－2，∴x－y＝0.
答案：x－y＝0
10．（2012新课标全国，12分）设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.
由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.
因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，
所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－.
因为m的纵截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.
11．（2012广东，14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
解：(1)由e＝＝ ＝，得a＝b，
椭圆C：＋＝1，即x2＋3y2＝3b2，
设P(x，y)为C上任意一点，
则|PQ|＝＝，－b≤y≤b，
若b<1，则－b>－1，当y＝－b时，|PQ|max＝＝3，
又b>0，得b＝1(舍去)，
若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，|PQ|max＝＝3，得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)法一：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤.由题意可得S△AOB＝|OA|·|OB|sin ∠AOB＝sin ∠AOB≤，
当∠AOB＝90°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形，
此时圆心(0,0)到直线mx＋ny＝1的距离为，
则 ＝，得m2＋n2＝2，又＋n2＝1，
解得m2＝，n2＝，
即存在点M的坐标为(，)，(，－)，(－，)，(－，－)
满足题意，且△AOB的最大面积为.
法二：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤，
又设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得(m2＋n2)x2－2mx＋1－n2＝0，①
把n2＝1－代入①整理得(3＋2m2)x2－6mx＋m2＝0，
则Δ＝8m2(3－m2)≥0，
所以②
而S△AOB＝|OA|·|OB|sin ∠AOB＝sin ∠AOB，
当∠AOB＝90°，S△AOB取得最大值，
此时·＝x1x2＋y1y2＝0，又y1y2＝·＝，
所以x1x2＋＝0，
即3－3m(x1＋x2)＋(3＋2m2)·x1x2＝0，
把②代入上式整理得2m4－9m2＋9＝0，解得m2＝或m2＝3(舍去)，
所以m＝±，n＝± ＝±，
所以M点的坐标为(，)，(，－)，(－，)，
(－，－)，使得S△AOB取得最大值.
12．(2012安徽，13分)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.
(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；
(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
解：(1)法一：由条件知，P(－c，)．故直线PF2的斜率为kPF2＝＝－.
因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝x－.故Q(，2a)．
由题设知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.
故椭圆方程为＋＝1.
法二：设直线x＝与x轴交于点M.由条件知，P(－c，)．
因为△PF1F2∽△F2MQ，所以＝.
即＝，解得|MQ|＝2a.
所以解得a＝2，c＝1.
故椭圆方程为＋＝1.
(2)直线PQ的方程为＝，即y＝x＋a.
将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0，
解得x＝－c，y＝.
所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．
13．（2012福建，13分）如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解：法一：(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以4a＝8，a＝2.
又因为e＝，即＝，所以c＝1，
所以b＝＝.
故椭圆E的方程是＋＝1.
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P(－，)．
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m，k恒成立．
因为＝(－－x1，)，＝(4－x1,4k＋m)，
由·＝0，
得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，
整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)
由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
法二：(1)同法一．
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P(－，)．
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此时P(1，)，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为(x－)2＋(y－)2＝，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．
以下证明M(1,0)就是满足条件的点：
因为M的坐标为(1,0)，所以＝(－－1，)，＝(3,4k＋m)，从而·＝－－3＋＋3＝0，
故恒有⊥，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
14．（2011江苏，16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.
(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；
(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意的k＞0，求证：PA⊥PB.
解：(1)由题设知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，
所以线段MN中点的坐标为(－1，－)．
由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，
所以k＝＝.
(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得＋＝1，解得x＝±，因此P(，)，A(－，－)．
于是C(，0)，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.
因此，d＝＝.
(3)证明：法一：将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝±.
记μ＝，
则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)，于是C(μ，0)．
故直线AB的斜率为＝，
其方程为y＝(x－μ)，代入椭圆方程并由μ＝得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，
解得x＝或x＝－μ. 因此B(，)．
于是直线PB的斜率k1＝＝＝－.
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝.从而
k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝
＋1＝＝＝0.
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
15． (2009·辽宁，12分)已知，椭圆C经过点A(1，)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
解：(1)由题意，c＝1，
可设椭圆方程为＋＝1.
因为A在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝3，b2＝－(舍去)．
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设直线AE方程为y＝k(x－1)＋，代入＋＝1，
得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4(－k)2－12＝0.
设E(xE，yE)，F(xF，yF)．
因为点A(1，)在椭圆上，所以
xE＝，yE＝kxE＋－k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得
xF＝，yF＝－kxF＋＋k.
所以直线EF的斜率
kEF＝＝＝.
即直线EF的斜率为定值，其值为.
第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布
第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考点 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．（2013山东，5分）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
解析：本题考查分步乘法计数原理的基础知识，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.
答案：B
2．（2012山东，5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )
A．232 B．252
C．472 D．484
解析：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C×C×C＝64种，若2张同色，则有C×C×C×C＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192种，剩余2张同色，则有C×C×C＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．
答案：C
3．（2010天津，5分）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有( )
A．288种 B．264种
C．240种 D．168种
解析：先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：
一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；
另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．
所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．
答案：B
第2节 排列与组合
考点 排列与组合
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
解析：本题考查排列组合、古典概型等基本知识，意在考查考生的基本运算能力与逻辑分析能力．
试验基本事件总个数为C，而和为5的取法有1,4与2,3两种取法，由古典概型概率计算公式得P＝＝，解得n＝8.
答案：8
2．（2013浙江，4分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
解析：本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能力以及利用所学知识解决问题的能力．“小集团”处理，特殊元素优先，CCAA＝480.
答案：480
3．（2013北京，5分）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
解析：本题考查排列组合中的分组安排问题，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A＝96.
答案：96
4．（2013重庆，5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．
解析：本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维能力．直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝590.
答案：590
5．（2012新课标全国，5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC＝12种安排方案．
答案：A
6．（2012广东，5分）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有CC＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有CC＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C×1＝5个．于是，所求概率为＝.
答案：D
7．（2011浙江，5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：基本事件共有A＝120种，同一科目的书都不相邻的情况可用间接法求解，即A－AAA×2－AAA＝48，因此同一科目的书都不相邻的概率是.
答案：B
8．（2010广东，5分）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
A．1 205秒 B．1 200秒
C．1 195秒 D．1 190秒
解析：共有A＝120个闪烁，119个间隔，每个闪烁需用时5秒，每个间隔需用时5秒，故共需要至少120×(5＋5)－5＝1 195秒．
答案：C
9．（2010北京，5分）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )
A．AA B．AC
C．AA D．AC
解析：本题采用插空法.8名学生的排列方法有A种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A，根据分步乘法计数原理，总的排法种数是AA.
答案：A
10．（2010湖南，5分）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11
C．12 D．15
解析：恰有0个，1个，2个对应位置上的数字相同的信息个数分别为1，C，C，
故至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋C＋C＝11个．
答案：B
11．(2009·广东，5分)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )
A．48种 B．12种
C．18种 D．36种
解析：若小张和小赵恰有1人入选，则共有：CCA＝24种方案；若小张和小赵两人都入选，则共有AA＝12，故总共有24＋12＝36种方案．故选D.
答案：D
12．(2009·辽宁，5分)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：
C×C＋C×C＝70种．
答案：A
13．（2010浙江，4分）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．
解析：上午测试安排有A种方法，下午测试分为：
(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；
(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有C种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有C种方法，其余两位只有一种方法，则共有C·C＝9种，
因此测试方法共有A·(2＋9)＝264种．
答案：264
14．(2009·宁夏、海南，5分)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．
解析：法一：先从7人中任取6人，共有C种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有种分法．最后排在周六和周日两天，有A种排法，
∴C××A＝140种．
法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C种排法，∴共有C×C＝140种．
答案：140
第3节 二项式定理
考点 二项式定理
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C.7 D.8
解析：本题考查二项式系数的性质，意在考查考生对二项式系数的性质的运用和计算能力．根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，C＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式，所以选择B.
答案：B
2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝( )
A．－4 B.－3
C．－2 D．－1
解析：本题涉及二项式定理、计数原理的知识，意在考查考生的分析能力与基本运算能力．展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.
答案：D
3．（2013陕西，5分）设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为( )
A．－20 B．20
C．－15 D．15
解析：本题考查分段函数和二项式定理的应用，解题关键是对复合函数的复合过程的理解．依据分段函数的解析式，得f(f(x))＝f(－)＝6，∴Tr＋1＝C(－1)rxr－3，则常数项为C(－1)3＝－20.
答案：A
4．（2013江西，5分）.5展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80
C．40 D．－40
解析：本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力．Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·(－2)r·x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为C×(－2)2＝40.
答案：C
5．（2013安徽，5分）若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.
解析：本题考查二项展开式的通项．二项式8展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝.
答案：
6．（2013浙江，5分）设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
解析：本题考查二项式定理及相关概念，考查利用二项式定理解决相关问题的能力以及考生的运算求解能力．Tr＋1＝(－1)rCx，令15－5r＝0，得r＝3，故常数项A＝(－1)3C＝－10.
答案：－10
7. （2013天津，5分）6的二项展开式中的常数项为________．
解析：本题考查二项式定理的应用，意在考查考生的运算求解能力．二项式6展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝C(－1)rx6－r，当6－r＝0，即r＝4时是常数项，所以常数项是C(－1)4＝15.
答案：15
8．（2013四川，5分）二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)
解析：本题考查二项式的通项，意在考查考生的运算能力．因为C＝10，故含x2的项的系数是10.
答案：10
9．（2012安徽，5分）(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：(－1)5的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5.当因式(x2＋2)中提供x2时，则取r＝4；当因式(x2＋2)中提供2时，则取r＝5，所以(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是5－2＝3.
答案：D
10．（2012天津，5分）在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10
C．40 D．－40
解析：二项式(2x2－)5展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x2)5－r(－)r＝C·25－r×(－1)rx10－3r，当r＝3时，含有x，其系数为C·22×(－1)3＝－40.
答案：D
11．（2012湖北，5分）设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
解析：512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．
答案：D
12．（2010陕西，5分）(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于( )
A．－1 B.
C．1 D．2
解析：利用(x＋)5的通项公式构建方程有Cx5－rarx－r＝Cx5－2rar＝10x3⇒r＝1，a＝2.
答案：D
13．（2012广东，5分）(x2＋)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)
解析：由(x2＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r()r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C＝＝20.
答案：20
14．（2010辽宁，5分）(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．
解析：(x－)6的展开式的通项
Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝(－1)rCx6－2r.
令6－2r＝0，得r＝3，令6－2r＝－1，得r＝(舍去)，
令6－2r＝－2，得r＝4.
所以所求的常数项为：(－1)3C＋(－1)4C＝－20＋15＝－5.
答案：－5
第4节 随机事件的概率
考点 随机事件及其概率
1．（2013安徽，5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：本题主要考查古典概型的概率计算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解．
事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－＝.
答案：D
2．（2013湖南，12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
解：本题主要考查统计初步与古典概型，意在考查考生的数据处理能力、运算能力．
(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为
P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
3.（2013江西，12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解：本题主要考查向量及其坐标表示、向量的数量积，考查利用列举法计算随机事件所包含的基本事件数及古典概型的概率求法等基础知识，意在考查考生的观察能力及分析、解决实际问题的能力．
(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；
数量积为0的有·，·，·，·，共4种；
数量积为1的有·，·，·，·，共4种．
故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P1＝；
因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.
4．（2011安徽，5分）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：假设正六边形的6个顶点分别为A、B、C、D、E、F，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果，故所求概率为.
答案：D
5．（2012江苏，5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p＝＝.
答案：
6．（2012新课标全国，12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频 数
10
20
16
16
15
13
10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；
②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85.
当日需求量n<17时，利润y＝10n－85.
所以y关于n的函数解析式为
y＝ (n∈N)．
(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为
(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.
第5节 古典概型
考点 古典概型
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. B. C. D.
解析：本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力，难度较小．从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是＝.
答案：B
2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
解析：本题主要考查古典概型，意在考查考生对基本概念的理解与基本方法的掌握．从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5”的结果有(1,4)，(2,3)，共2个，故所求概率为＝.
答案：
3．（2013山东，5分）某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解：本题主要考查古典概型，考查数据处理能力和运算能力．
(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人的身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到的2人的身高都在1.78以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1＝.
4．（2013辽宁，12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：本题主要考查用列举法列出基本事件空间以及基本事件，意在考查考生古典概型的一些基本概念和古典概率的求法．
(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
5．（2013天津，13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4, 则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标
(x, y, z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标
(x, y, z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品，
(ⅰ) 用产品编号列出所有可能的结果；
(ⅱ) 设事件B为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S都等于4”， 求事件B发生的概率．
解：本题主要考查用样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力．(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
6．（2013北京，13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解：本题主要考查考生利用古典概型处理较为热点的环境问题的能力，意在考查考生的推理论证能力、识图能力、等价转化能力．
(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”，
所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
7．（2012安徽，5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：标记红球为A，白球分别为B1、B2，黑球分别为C1、C2、C3，记事件M为“取出的两球一白一黑”．则基本事件有：(A，B1)、(A，B2)、(A，C1)、(A，C2)、(A，C3)、(B1，B2)、(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)、(C1，C2)、(C1，C3)、(C2，C3)，共15个．其中事件M包含的基本事件有：(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)，共6个．根据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)＝＝.
答案：B
8．（2011新课标全国，5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B. C. D.
解析：甲、乙各自参加一个兴趣小组是相互独立的事件，且每人报每个兴趣小组也是独立的，故两位同学参加同一兴趣小组的概率为C××＝.
答案：A
9．（2011浙江，5分）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A. B. C. D.
解析：从3个红球、2个白球中任取3个，根据穷举法，可以得到10个基本事件，其中没有白球的取法只有一种，因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P＝1－P(没有白球)＝1－＝.
答案：D
10．（2011江苏，5分）从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是____．
解析：采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为.
答案：
11．（2010江苏，5分）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
解析：设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：
AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.
答案：
12. （2012江西，12分）如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．
(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
(2)求这3点与原点O共面的概率．
解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：
x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种；
y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种；
z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种．
所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．
(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝＝.
(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝.
13．(2010福建，12分)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．
(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；
(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．
解：(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.
由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝＝.
第6节 模拟方法
考点 几何概型
1．（2013湖南，5分）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A. B. C. D.
解析：本题主要考查几何概型与三角形的最大角的性质，结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化能力和运算能力．由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝2＋AD2，解得2＝，即＝.
答案：D
2．（2013陕西，5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A．1－ B.－1 C．2－ D.
解析：本题考查几何概型的求解方法，涉及对立事件求解概率以及矩形和扇形面积的计算．由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为×π×12＝，矩形面积为2，则所求概率为＝1－.
答案：A
3．（2013山东，5分）在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．
解析：本题考查绝对值不等式的解法、几何概型等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力．当x≤－1时，不等式|x＋1|－|x－2|≥1，即－(x＋1)＋(x－2)＝－3≥1，此时无解；当－12时，不等式|x＋1|－|x－2|≥1，即x＋1－x＋2＝3≥1，解得x>2.在区间[－3,3]上不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集为1≤x≤3，故所求的概率为＝.
答案：
4．（2013福建，4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．
解析：本题考查了几何概型与随机模拟等知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．
因为0≤a≤1，由3a－1>0得
答案：
5．（2013湖北，5分）在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
解析：本题以非常简单的区间和不等式的解集立意，考查几何概型．
由几何概型知：＝⇒m＝3.
答案：3
6．（2012北京，5分）设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B. C. D.
解析：不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x，y)，则随机事件：在区域D内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2＋y2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为.
答案：D
7．（2011福建，5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P＝＝.
答案：C
8．（2011江西，5分）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为____．
解析：设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－＝.
答案：
第7节 离散型随机变量及其分布列
考点 离散型随机变量及其分布列
1．（2013新课标全国Ⅰ，12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解：本题主要考查独立重复试验和互斥事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等，意在考查考生的阅读理解能力及运用所学概率知识解决实际问题的能力．
(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)
＝×＋×＝.
(2)X可能的取值为400,500,800，并且
P(X＝400)＝1－－＝， P(X＝500)＝， P(X＝800)＝.
所以X的分布列为
X
400
500
800
P
EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.
2．(2013山东，12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．
解：本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的概率分布与数学期望等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．
(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝3＝， P(A2)＝C2×＝，P(A3)＝C22×＝.
所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C22×＝.
由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，
根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
又P(X＝1)＝P(A3)＝， P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
3．（2013湖南，12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，考查考生的阅读理解能力、收集数据的能力、运算求解能力和创新意识．
(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝，得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故所求的分布列为
Y
51
48
45
42
P
所求的数学期望为
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.
解析：∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，
因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，
P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：
4．（2012山东，12分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.
解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝B ＋C＋D，
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)＝P(B＋C＋D)
＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)
＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝.
(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.
根据事件的独立性和互斥性得
P(X＝0)＝P( )
＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝(1－)×(1－)×(1－)＝.
P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P()＝×(1－)×(1－)＝.
P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)
＝(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，
P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)＝××(1－)＋×(1－)×＝，
P(X＝4)＝P(CD)＝(1－)××＝，
P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
5．（2012江苏，10分）设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，
故P(ξ＝)＝＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
P(ξ)
因此E(ξ)＝1×＋×＝.
6．(2011新课标全国，12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质
量指标值t的关系式为y＝从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42，因此P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，
即X的分布列为
X
－2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望EX＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.
7．(2010山东，12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
(1)每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
(2)每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
(3)每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
①求甲同学能进入下一轮的概率；
②用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
解：设A，B，C，D分别为第一、二、三、四个问题．
用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确，
用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误．
则Mi与Ni是对立事件(i＝1,2,3,4)，由题意得
P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝，
所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝.
(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
则Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，
由于每题的答题结果相互独立，因此
P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4)
＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4)
＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)＋P(N1)P(M2)P(N3)P(M4)
＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝.
(2)由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4.
由于每题答题结果相互独立，
所以P(ξ＝2)＝P(N1N2)＝P(N1)P(N2)＝，
P(ξ＝3)＝P(M1M2M3)＋P(M1N2N3)
＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(M1)P(N2)P(N3)＝××＋××＝.
P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝.
因此随机变量ξ的分布列为
Ξ
2
3
4
P
所以Eξ＝2×＋3×＋4×＝.
第8节 n次独立重复试验与二项分布
考点一 二项分布及其应用
1．（2013安徽，13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.
(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.
解：本题主要考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
(1)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立．由于P(A)＝P(B)＝＝，故P()＝P()＝1－，因此学生甲收到活动通知信息的概率P＝1－2＝.
(2)当k＝n时，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1.
当k
CCC＝CCC.此时
P(X＝m)＝＝.
当k≤m
P(X＝m)在m＝2k－处达最大值．(注：[x]表示不超过x的最大整数)
下面证明k≤2k－
2．（2013福建，13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．
法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知可得，X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，
从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝，
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：
X1
0
2
4
P
X2
0
3
6
P
所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，
E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.
因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
3．（2013四川，12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
1 027
376
697
乙的频数统计表(部分)
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2 100
1 051
696
353
当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
解：本题主要考查算法与程序框图、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识．
(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；
当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.
所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.
(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：
输出y的值为1的频率
输出y的值为2的频率
输出y的值为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C×0×3＝， P(ξ＝1)＝C×1×2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×1＝， P(ξ＝3)＝C×3×0＝，
故ξ的分布列为
Ξ
0
1
2
3
P
所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
即ξ的数学期望为1.
4．（2010新课标全国，5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200
C．300 D．400
解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.
答案：B
5．（2010安徽，5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝； ②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立； ④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
解析：由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故①③错误；
∵P(B|A1)＝＝＝，故②正确；
由互斥事件的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④.
答案：②④
6．（2012辽宁，12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女10
55
合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.
由题意X～B(3，)，从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝np＝3×＝，
7．(2011天津，13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中，
(ⅰ)摸出3个白球的概率；
(ⅱ)获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
解：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.
(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－)2＝， P(X＝1)＝C×(1－)＝，
P(X＝2)＝()2＝.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
8．(2010广东，12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)．
(2)Y的可能取值为0,1,2.
P(Y＝0)＝＝. P(Y＝1)＝＝. P(Y＝2)＝＝.
Y的分布列为
Y
0
1
2
P
(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3.
令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，
则ξ～B(5,0.3)，
故所求概率为P(ξ＝2)＝C(0.3)2(0.7)3＝0.308 7.
9．(2009·广东，12分)根据空气质量指数API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：
API
0～50
51～100
101～150
151～200
201～250
251～300
＞300
级别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ1
Ⅲ2
Ⅳ1
Ⅳ2
Ⅴ
状况
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]，(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．
(结果用分数表示．已知57＝78 125,27＝128，＋＋＋＋＝，365＝73×5)
解：(1)根据频率分布直方图可知，
x＝{1－(＋＋＋＋)×50}÷50＝.
(2)空气质量为Y的天数＝(Y对应的频率÷组距)×组距×365天，
所以一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是
×50×365＝119(天)，×50×365＝100(天)．
(3)设A、B分别表示随机事件“空气质量为良”和“空气质量为轻微污染”，则事件A与B互斥．
所以空气质量为良或轻微污染的概率是
P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
设X表示该城市某一周的空气质量为良或轻微污染的天数．则X～B(7，)，
故所求的概率是P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－()7－7×()6＝.
第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
考点一 离散型随机变量及其分布列、期望与方差
1．（2013广东，5分）已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：本题考查离散型随机变量的数学期望，考查考生的识记能力．
E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝.
答案：A
2．（2013湖北，5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )
A. B. C. D.
解析：本题考查正方体中的概率和期望问题，意在考查考生的空间想象能力．
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝，
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)
＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝，.
答案：B
5．（2013北京，13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解：本题考查统计图、古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等基础知识，意在考查数形结合思想和考生的数据处理能力、运算求解能力．
设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2) 由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
7．（2013江西，12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
(1)求小波参加学校合唱团的概率；
(2)求X的分布列和数学期望．
解：本题将平面向量与概率统计知识相交汇，创新味十足，属能力立意的好题，主要考查平面向量的数量积、相互独立事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等相关知识．
(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
P
EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.
8．（2011浙江，4分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
解析：∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，
P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 答案：
9．(2009·广东，5分)已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
解析：由题意
解得a＝，b＝c＝.
答案：
10．（2012新课标全国，12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N)．
(2)①X可能的取值为60,70,80，并且
P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的数学期望为
EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为
DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为
EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为
DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，DX＜DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然EX＜EY，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为
EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果可以看出，EX＜EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．
11．（2012山东，12分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.
解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝B ＋C＋D，
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)＝P(B＋C＋D)
＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)
＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝.
(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.
根据事件的独立性和互斥性得
P(X＝0)＝P( )
＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝(1－)×(1－)×(1－)＝.
P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P()＝×(1－)×(1－)＝.
P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)
＝(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，
P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)
＝××(1－)＋×(1－)×＝，
P(X＝4)＝P(CD)＝(1－)××＝，
P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
12．（2012广东，13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
解：(1)由题意得：
10x＝1－(0.006×3＋0.01＋0.054)×10＝0.18，
所以x＝0.018.
(2)∵成绩不低于80分的学生共有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0.006×10×50＝3人，
ξ的可能值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，p(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
Ξ
0
1
2
P
∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
13．（2012江苏，10分）设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，
故P(ξ＝)＝＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
P(ξ)
因此E(ξ)＝1×＋×＝.
14．(2011新课标全国，12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42，因此P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，
即X的分布列为
X
－2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望EX＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.
15．(2010山东，12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
(1)每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
(2)每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
(3)每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
①求甲同学能进入下一轮的概率；
②用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
解：设A，B，C，D分别为第一、二、三、四个问题．
用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确，
用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误．
则Mi与Ni是对立事件(i＝1,2,3,4)，由题意得
P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝，
所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝.
(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
则Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，
由于每题的答题结果相互独立，因此
P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4)
＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4)
＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)＋P(N1)P(M2)P(N3)P(M4)
＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝.
(2)由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4.
由于每题答题结果相互独立，
所以P(ξ＝2)＝P(N1N2)＝P(N1)P(N2)＝，
P(ξ＝3)＝P(M1M2M3)＋P(M1N2N3)
＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(M1)P(N2)P(N3)＝××＋××＝.
P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝.
因此随机变量ξ的分布列为
Ξ
2
3
4
P
所以Eξ＝2×＋3×＋4×＝.
16．(2009·安徽，12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．
解：随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P
X的均值EX＝1×＋2×＋3×＝.
附：X的分布列的一种求法
共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：
①
②
③
④
⑤
⑥
A－B－C－D
BACD
ADBC
ACBD
ABCD
ABCD
在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人．
考点二 正态分布
1．（2013湖北，12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.)
(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
解：本题考查正态分布、简单的线性规划等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．
(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，
P(700
p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800
依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.
由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.
于是原问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆、B型车12辆．
2．（2010广东，5分）已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
解析：由题意可知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以图象关于y轴对称，
又知P(ξ>2)＝0.023，
所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.
答案：C
3．（2012新课标全国，5分）某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
解析：依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过1 000小时，元件正常工作的概率为0.5，则部件正常工作的概率为×[×＋×(1－)＋(1－)×]＝.
答案：
4．(2009·安徽，5分)若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
解析：∵X～N(μ，σ2)，∴由正态分布图象可知对称轴x＝μ，
∴P(X≤μ)＝. 答案：
第10章 算法初步、统计、统计案例
第1节 算法与算法框图
考点一 算法的含义、程序框图
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）执行右面的程序框图，如果输入的N＝4，
那么输出的S＝( )
A．1＋＋＋
B．1＋＋＋
C．1＋＋＋＋
D．1＋＋＋＋
解析：本题主要考查程序框图的识读、循环结构等知识，意在考查考生对算法意义的理解与应用．按程序框图逐步计算可知：S＝1＋＋＋.
答案：B
2.(2013山东,5分)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
A．0.2,0.2 B．0.2,0.8
C．0.8,0.2 D．0.8,0.8
解析：本题主要考查程序框图的运行途径，考查读图能力和运算能力．两次运行结果如下：
第一次：－1.2→－1.2＋1→－0.2＋1→0.8；
第二次：1.2→1.2－1→0.2.
答案：C
3．(2013广东,5分)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )
A．1 B．2
C．4 D．7
解析：本题主要考查程序框图知识，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力．根据程序框图，s＝1＋0＋1＋2＝4.
答案：C
4．(2013安徽,5分)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )
A. B.
C. D.
解析：本题主要考查程序框图的循环结构，计算输出结果，意在考查考生对循环结构的理解和累加求和．
第一次循环后：s＝0＋，n＝4；第二次循环后：s＝0＋＋，n＝6；第三次循环后：s＝0＋＋＋，n＝8，跳出循环，输出s＝0＋＋＋＝.
答案：C
5．(2013江西,5分)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )
A．S＜8 B．S＜9
C．S＜10 D．S＜11
解析：本题主要考查程序框图的概念、循环结构程序框图的应用，考查算法的基本思想．程序框图的运行过程为：
i＝1，S＝0→i＝1＋1＝2→i不是奇数→S＝2×2＋1＝5→符合条件→i＝2＋1＝3→i是奇数→S＝2×3＋2＝8→符合条件→i＝3＋1＝4→i不是奇数→S＝2×4＋1＝9→不符合条件→输出i＝4→结束．根据以上步骤，知应填入条件S＜9.
答案：B
6．(2013江苏,5分)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．
解析：本题考查算法的基本概念及流程图的运算法则，意在考查学生的逻辑推理能力及对循环结构的理解．
算法流程图执行过程如下：n＝1，a＝2，a<20；n＝2，a＝8，a<20; n＝3，a＝26，a>20，输出n＝3.
答案：3
7．(2013浙江,4分)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．
解析：本题主要考查算法的逻辑结构、循环结构的使用，程序框图及框图符号等基础知识，同时考查识图能力，逻辑思维能力和分析、解决问题能力．根据程序框图，可以逐个进行运算，k＝1，S＝1；S＝1＋，k＝2；S＝1＋＋，k＝3；S＝1＋＋＋，k＝4；
S＝1＋＋＋＋＝，k＝5，程序结束，此时S＝.
答案：
8．(2012新课标全国,5分)如果执行下边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则( )
A．A＋B为a1，a2，…，aN的和
B.为a1，a2，…，aN的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数
解析：结合题中程序框图，由当x＞A时A＝x可知A应为a1，a2，…，aN中最大的数，由当x＜B时B＝x可知B应为a1，a2，…，aN中最小的数．
答案：C
9．(2012陕西,5分)如图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入( )
A．q＝ B．q＝
C．q＝ D．q＝
解析：程序执行的过程是如果输入的成绩不小于60分即及格，就把变量M的值增加1，即变量M为成绩及格的人数，否则，由变量N统计不及格的人数，但总人数由变量i进行统计，不超过500就继续输入成绩，直到输入完500个成绩停止循环，输出变量q，变量q代表的含义为及格率，也就是＝.
答案：D
10.(2011新课标全国,5分)执行右图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )
A．120 B．720
C．1440 D．5040
解析：由程序框图可得，输出的p＝1×2×3×4×5×6＝720.
答案：B
11.(2011天津,5分)右图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )
A．S＝S*(n＋1)
B．S＝S*xn＋1
C．S＝S*n
D．S＝S*xn
解析：由题意可知，输出的是10个数的乘积，因此处理框中应是分别计算这10个数相乘，故循环体应为S＝S*xn.
答案：D
12．(2009·浙江,5分)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：当程序运行到k＝3时，S＝3＋23＝11<100.
当程序运行到k＝4时，S＝11＋211＝2059>100，故输出k的值为4.
答案：A
13．(2012江苏,5分)下图是一个算法流程图，则输出的k的值是________．
解析：由k2－5k＋4>0得k<1或k>4，所以k＝5.
答案：5
14．(2012湖南,5分)如果执行如图所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i＝________.
解析：执行程序，i，x的取值依次为i＝1，x＝3.5；i＝2，x＝2.5；i＝3，x＝1.5；i＝4，x＝0.5；结束循环，输出i的值为4.
答案：4
15．(2012江西,5分)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
解析：此框图依次执行如下循环：
第一次：T＝0，k＝1，sin >sin 0成立，a＝1，T＝T＋a＝1，k＝2,2<6，继续循环；
第二次：sin π>sin 不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝3,3<6，继续循环；
第三次：sin >sin π不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝4,4<6，继续循环；
第四次：sin 2π>sin 成立，a＝1，T＝T＋a＝2，k＝5，5<6，继续循环；
第五次：sin >sin 2π成立，a＝1，T＝T＋a＝3，k＝6，跳出循环，输出的结果是3.
答案：3
16.(2011安徽,5分)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是______________．
解析：第一次进入循环体有T＝0＋0，第二次有T＝0＋1，第三次有T＝0＋1＋2，……，第n次有T＝0＋1＋2＋…＋n－1(n＝1,2,3，…)，令T＝>105，解得n>15，故n＝16，k＝15.
答案：15
17．(2011湖南 ,5分)若执行如图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数等于______．
解析：算法的功能是求解三个数的方差，输出的是S＝＝.
答案：
18．(2010广东,5分)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4(单位：吨)．根据如图所示的程序框图，若x1，x2，x3，x4分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果s为__________．
解析：运行程序框图可知，i、s1与s的值依次如下：
s1：1,2.5,4,6，
s：1，×2.5，×4，×6，
i：2,3,4,5，
当i＝5时，终止循环，输出s＝×6＝1.5.
答案：1.5
考点二 基本算法语句
1．(2013陕西,5分)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )
输入x;
Ifx≤50 Theny=0.5*x
Else
y=25+0.6*(x-50)
End If
输出y.
A．25 B．30
C．31 D．61
解析：本题考查考生对算法语句的理解和分段函数的求值．阅读算法语句易知，本题是一个求解分段函数f(x)＝的值的算法，∴f(60)＝25＋0.6×(60－50)＝31.
答案：C
2．(2011江苏,5分)根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为____．
Read a，b
If a＞b Then
m ←a
Else
m ←b
End If
Print m
解析：此题的伪代码的含义：输出两数的较大者，所以m＝3.
答案：3
第2节 随机抽样
考点 随机抽样
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.系统抽样
解析：本题考查抽样方法的知识，意在考查考生对简单随机抽样、系统抽样及分层抽样的认识与区别，且能够对具体实际问题选择恰当的抽样方法解决问题的能力．由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.
答案：C
2．（2013湖南，5分）某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
解析：本小题主要考查抽样方法的意义，属容易题．由于被抽取的个体的属性具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．
答案：D
3．（2013陕西，5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：本题考查系统抽样的方法．依据系统抽样为等距抽样的特点，分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽1人，则抽到的人数为12.
答案：B
4．（2013江西，5分）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7 816
6 572
0 802
6 314
0 702
4 369
9 728
0 198
3 204
9 234
4 935
8 200
3 623
4 869
6 938
7 481
A.08 B．07
C．02 D．01
解析：本题考查统计中的抽样方法——随机数法，意在考查考生的观察能力和阅读理解能力．从左到右符合题意的5个个体的编号分别为：08,02,14,07,01，故第5个个体的编号为01.
答案：D
5．（2012山东，5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7 B．9
C．10 D．15
解析：从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人．
答案：C
6．（2011福建，5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名， 则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：由分层抽样的比例都等于样本容量比总体容量可知：若设高二年级抽取x人，则有＝，解得x＝8.
答案：B
7．（2012江苏，5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生
解析：由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的，利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50×＝15名学生．
答案：15
8．（2012福建，4分）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．
解析：应抽取女运动员的人数为：×28＝12.
答案：12
9．（2012浙江，4分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×＝160.
答案：160
10．（2011天津，5分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
解析：抽取的男运动员的人数为×48＝12.
答案：12
11．（2010北京，5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图). 由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
解析：根据频率之和等于1，可知(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，
解得a＝0.030；
身高在[120,150]内的频率为0.6，人数为60人，
抽取比例是，而身高在[140,150]内的学生人数是10，故应该抽取10×＝3人．
答案：0.030 3
12．(2009·辽宁，5分)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.
解析：依题意可知平均数＝＝1013.
答案：1013
第3节 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
考点 用样本估计总体
1．（2013安徽，5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
解析：本题考查抽样方法的特点、数字特征数的求解等基础知识．解题时只要求出平均数、方差就可以找出答案．若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错；由题目看不出是系统抽样，所以B错；
这五名男生成绩的平均数1＝＝90，
这五名女生成绩的平均数2＝＝91，
故这五名男生成绩的方差为[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，
这五名女生成绩的方差为[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以D错，故选C.
答案：C
2.（2013福建，5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
A．588 B．480
C．450 D．120
解析：本题考查频率分布直方图等基础知识，意在考查考生数形结合能力、运算求解能力．由频率分布直方图可得，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600－(0.005＋0.015)×10×600＝480.
答案：B
3．（2013重庆，5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
解析：本题考查了统计知识中平均数和茎叶图的知识，意在考查考生对概念的掌握能力及运算求解能力．由于甲组的中位数是15，可得x＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y＝8.
答案：C
4．（2013湖北，5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．
解析：本题考查统计，意在考查考生对频率分布直方图知识的掌握情况．
(1)根据频率和为1，得(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4；
(2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.
答案：0.004 4 70
5．（2013广东，12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
解：本题考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，考查数据处理能力、运算求解能力．
(1)样本均值为＝＝22.
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为＝，故推断该车间12名工人中有12×＝4名优秀工人．
(3)设事件A：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P(A)＝＝.
6．（2012安徽，5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
答案：C
7.（2012陕西，5分）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )
A.甲<乙，m甲>m乙 B.甲<乙，m甲
8．（2012江西，5分）样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝α＋(1－α)，其中0<α<，则n，m的大小关系为( )
A．nm
C．n＝m D．不能确定
解析：∵x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m，
x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym＝(m＋n)＝(m＋n)α＋(m＋n)(1－α)，
∴n＋m＝(m＋n)α＋(m＋n)(1－α)，
∴于是有n－m＝(m＋n)[α－(1－α)]＝(m＋n)(2α－1)，
∵0<α<，∴2α－1<0，∴n－m<0，即m>n.
答案：A
9．（2011江西，5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( )
A．me＝mo＝ B．me＝mo<
C．me
＝≈5.97.于是得mo
10.（2010陕西，5分）如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.A＞B，sA＞sB B.A＜B，sA＞sB
C.A＞B，sA＜sB D.A＜B，sA＜sB
解析：由图可知A组的6个数为2.5,10,5,7.5，2.5，10，
B组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，
所以A＝＝，
B＝＝.
显然A＜B，
又由图形可知，B组的数据分布比A均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA＞sB.
答案：B
11．(2009·山东，5分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A．90 B．75
C．60 D．45
解析：由频率分布直方图可知，产品净重小于100克的概率是0.05×2＋0.1×2＝0.3，所以样本中产品的个数为＝120，产品净重大于或等于104克的概率为0.075×2＝0.15，
∴产品净重大于或等于98克而小于104克的概率为1－0.15－0.1＝0.75，则净重在此范围内的产品个数为120×0.75＝90个．故选A.
答案：A
12．（2010江苏，5分）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.
解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，
故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的有0.3×100＝30(根)．
答案：30
13．(2009·江苏，5分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝________.
解析：甲＝7，s＝[12＋02＋02＋12＋02]＝，
乙＝7，s＝[12＋02＋12＋02＋22]＝，
∴s
14．(2011天津，13分)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，
(ⅰ)用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
(ⅱ)求这2人得分之和大于50的概率．
解：(1)4,6,6.
(2)(ⅰ)得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
(ⅱ)“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．
所以P(B)＝＝.
第4节 变量间的相关关系、统计案例
考点一 变量间的相关性
1．（2013福建，5分）已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，a′ D.
＝＝＝， ＝－＝－×＝－，
所以a′.
答案：C
2．（2013湖北，5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578：
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：本题主要考查两个变量的相关性，并能判断正相关和负相关．①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确．
答案：D
3.（2013重庆，13分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为
＝x＋.
解：本题主要考查两个变量的相关性、线性回归方程的求法及预报作用，考查考生的运算求解能力与逻辑思维能力．
(1)由题意知n＝10，＝xi＝＝8，＝yi＝＝2.
又x－n2＝720－10×82＝80，xiyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此可得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
4．（2012湖南，5分）设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．
答案：D
5．（2011山东，5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：样本中心点是(3.5,42)，则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
答案：B
6．（2011陕西，5分）设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D．直线l过点(，)
解析：回归直线过样本中心点(，)．
答案：D
7．（2011辽宁，5分）调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：以x＋1代x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，与＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
考点二 统计案例
1．（2013福建，12分）某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附：χ2＝
解：本题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想等．
(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝＝＝≈1.79.
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
2．(2010新课标全国，12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)K2＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
考点二 统计案例
1．（2013福建，12分）某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附：χ2＝
解：本题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想等．
(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝＝＝≈1.79.
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
2．(2010新课标全国，12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)K2＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
目 录
第1章 集合与常用逻辑用语 1
第1节 集合 1
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件 10
第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词 17
第2章 函数、导数及其应用 19
第1节 函数及其表示 19
第2节 函数的单调性与最值 27
第3节 函数的奇偶性及周期性 29
第4节 函数的图像 32
第5节 幂函数与二次函数 36
第6节 指数与指数函数 38
第8节 函数与方程 45
第9节 函数模型及其应用 51
第10节 变化率与导数、导数的计算 62
第11节 导数的应用 66
第12节 定积分与微积分基本定理 87
第3章 三角函数、解三角形 93
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 93
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 94
第3节 三角函数图像与性质 95
第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用 102
第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 105
第6节 三角恒等变形 109
第7节 正弦定理和余弦定理 113
第8节 解三角形应用举例 119
第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 123
第1节 平面向量的概念及其线性运算 123
第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 126
第4节 数系的扩充与复数的引入 138
第5章 数列 148
第1节 数列的概念及其函数特性 148
第2节 等差数列及其前n项和 151
第3节 等比数列及其前n项和 161
第4节 数列求和 169
第5节 数列的综合应用 177
第6章 不等式、推理与证明 182
第1节 不等式性质 182
第2节 一元二次不等式及其应用 185
第3节 基本不等式 189
第4节 简单的线性规划问题 193
第5节 归纳推理与类比推理 203
第6节 直接证明和间接证明 206
第7节 数学归纳法 208
第7章 立体几何 211
第1节 简单几何体及三视图与直观图 211
第2节 空间图形的基本关系与公理 221
第3节 平行关系 225
第4节 垂直关系 227
第5节 简单几何体的面积和体积 229
第6节 空间向量及其运算 234
第7节 立体几何中的空间向量方法 243
第8章 平面解析几何 264
第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 264
第2节 两条直线的位置关系 266
第3节 圆的方程 268
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 269
第6节 椭圆 280
第7节 双曲线 284
第8节 曲线与方程 291
第9节 圆锥曲线的综合问题 298
第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 314
第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 314
第2节 排列与组合 316
第3节 二项式定理 320
第4节 随机事件的概率 324
第5节 古典概型 328
第6节 模拟方法 334
第7节 离散型随机变量及其分布列 337
第8节 n次独立重复试验与二项分布 345
第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 355
第10章 算法初步、统计、统计案例 367
第1节 算法与算法框图 367
第2节 随机抽样 376
第3节 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体 380
第4节 变量间的相关关系、统计案例 387
第1章 集合与常用逻辑用语
第1节 集合
考点一 集合的含义与表示
1．(2013江西，5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝
A．4 B．2 C．0 D．0或4
解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．
答案：A
2．(2013山东，5分)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是
A．1 B．3 C．5 D．9
解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．
答案：C
3．(2012新课标全国，5分)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为
A．3 B．6 C．8 D．10
解析：列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
答案：D
4．(2012江西，5分)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素．
答案：C
5．(2009广东，5分)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
解析：由M＝{x|－2≤x－1≤2}得－1≤x≤3, 则M∩N＝{1,3}，有2个．
答案：B
考点二 集合的基本关系
1．(2013新课标全国Ⅰ，5分)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B
解析：本题考查一元二次不等式的解法和集合的运算，意在考查考生运用数轴进行集合运算的能力．解题时，先通过解一元二次不等式求出集合A，再借助数轴求解集合的运算．集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R，选择B.
答案：B
2．(2010浙江，5分)设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP
解析：集合Q＝{x|－2＜x＜2}，所以Q⊆P.
答案：B
3．(2010湖南，5分)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则
A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}
解析：由已知得M∩N＝{2,3}，故选C.
答案：C
4．(2009江苏，5分)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝______.
解析：可知A＝(0,4]，若A⊆B即(0,4]⊆(－∞，a)，则a>4，而a的取值范围为(c，＋∞)，∴c＝4.
答案：4
考点三 集合的基本运算
1．(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
解析：本题主要涉及简单不等式的解法以及集合的运算，属于基本题，考查考生的基本运算能力．不等式(x－1)2＜4等价于－2＜x－1＜2，得－1＜x＜3，故集合M＝{x|－1＜x＜3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.
答案：A
2．(2013浙江，5分)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝
A．(－2,1] B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：本题考查无限元素集合间的交、并、补运算以及简单的一元二次不等式的解法．浙江省每年都会有一道涉及集合的客观题，主要考查对集合语言 的理解以及简单的集合运算．T＝ {x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}，选C.
答案：C
3．(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)＝ 的定义域为M，则∁RM为
A．[－1,1] B．(－1,1)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：本题考查集合的概念和运算，涉及函数的定义域与不等式的求解．本题抓住集合元素是函数自变量，构建不等式并解一元二次不等式得到集合，然后利用补集的意义求解，使集合与函数有机结合，体现了转化化归思想的具体应用．从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.
答案：D
4．(2013湖北，5分)已知全集为R，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}
解析：本题主要考查集合的基本运算和不等式的求解，意在考查考生的运算求解能力．由题意可知，集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x<2或x>4}，此时A∩∁RB＝{x|0≤x<2或x>4}，故选C.
答案：C
5．(2013辽宁，5分)已知集合A＝{x|0
解析：本题考查集合的运算，同时考查对数不等式的解法．求解对数不等式时注意将常数转化为对应的对数，而后准确应用对数函数的单调性进行求解．
0
6．(2013四川，5分)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝
A．{－2} B．{2} C．{－2,2} D．∅
解析：本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握．由x2－4＝0，解得x＝±2，所以B＝{2，－2}，又A＝{－2}，所以A∩B＝{－2}，故选A.
答案：A
7．(2012山东，5分)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
解析：因为∁UA＝{0,4}，所以(∁UA)∪B＝{0,2,4}．
答案：C
8．(2012浙江，5分)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝
A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
解析：因为∁RB＝{x|x＞3或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．
答案：B
9．(2012北京，5分)已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝
A．(－∞，－1) B．(－1，－) C．(－，3) D．(3，＋∞)
解析：集合A＝(－，＋∞)，集合B＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故A∩B＝(3，＋∞)．
答案：D
10．(2012陕西，5分)集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝
A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2]
解析：由题意得M＝(1，＋∞)，N＝[－2,2]，故M∩N＝(1,2]．
答案：C
11．(2011辽宁，5分)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N＝
A．M B．N C．I D．∅
解析：本小题利用韦恩图解决，根据题意，N是M的真子集，所以M∪N＝M，选A.
答案：A
12．(2011北京，5分)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．
答案：C
13．(2011陕西，5分)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
解析：对于集合M，函数y＝|cos2x|，其值域为[0,1]，所以M＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式 ＜，即x2＜1，所以N＝(－1,1)，则M∩N＝[0,1)．正确选项为C.
答案：C
14．(2011江西，5分)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2},∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
答案：B
15．(2010新课标全国，5分)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝
A．(0,2) B．[0,2] C．{0,2} D．{0,1,2}
解析：∵A＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|0≤x≤16，x∈Z}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}．
答案：D
16．(2010安徽，5分)若集合A＝{x|logx≥}，则∁RA＝
A．(－∞，0]∪(，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．[，＋∞)
解析：不等式，
所以∁RA＝(－∞，0]∪(，＋∞)．
答案：A
17．(2010辽宁，5分)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：根据题意，画出韦恩图，得A＝{3,9}．
答案：D
18．(2010陕西，5分)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝
A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1
答案：D
19．(2009山东，5分)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，则A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的取值为
A．0 B．1 C．2 D．4
解析：选D 根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.
20．(2012江苏，5分)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
解析：集合A，B都是以列举法的形式给出，易得A∪B＝{1,2,4,6}．
答案：{1,2,4,6}
21．(2011江苏，5分)设集合A＝{(x，y)|≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．
解析：①若m＜0，则符合题的条件是：直线x＋y＝2m＋1与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，从而≤|m|，解得≤m≤，与m＜0矛盾；
②若m＝0，代入验证，可知不符合题意；
③若m＞0，则当≤m2，即m≥时，集合A表示一个环形区域，集合B表示一个带形区域，从而当直线x＋y＝2m＋1与x＋y＝2m中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，即符合题意，从而有≤|m|或≤|m|，解得≤m≤2＋，由于＞，所以≤m≤2＋.
综上所述，m的取值范围是≤m≤2＋.
答案：[，2＋]
考点四 抽象集合与新定义集合
1．(2013广东，5分)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x
C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
解析：本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，推理论证能力与创新意识．题目中x
2．(2013重庆，12分)对正整数n，记In＝{1,2，…，n}，Pn＝ .
(1)求集合P7中元素的个数；
(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．
解：本题主要考查集合运算，意在考查考生对新概念的理解能力．
(1)对于集合，当k＝1时与当k＝4时该集合中都含有元素1,2,3，因此集合P7中元素的个数为7×7－3＝46.
(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn⊇In，不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3∉A，即3∈B.同理6∈A,10∈B，又由假设可得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．
再证P14符合要求．当k＝1时，＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.
当k＝4时，集合中除整数外剩下的数组成集合，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝，B2＝.
当k＝9时，集合中除整数外剩下的数组成集合，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝，B3＝.
最后，集合C＝中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数．因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.
综上，所求n的最大值为14.
注：对P14的分拆方法不是唯一的．
3．(2011广东，12分)设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是
A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
解析：取T＝{x|x∈(－∞，0)，且x∈Z}，V＝{x|x∈(0，＋∞)，且x∈Z}∪{0}，可得T关于乘法不封闭，V关于乘法封闭，又取T＝{奇数}，V＝{偶数}，可得T，V关于乘法均封闭，故排除B、C、D，选A.
答案：A
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点一 命题及其关系
1．（2013陕西，5分）设z是复数， 则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析：本题主要考查复数的分类，复数代数形式的运算及命题真假的判断．实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得则b＝0，故选项A为真，同理选项B为真；而选项C为假，选项D为真．
答案：C
2．（2013天津，5分）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的， 则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
解析：本题考查命题真假的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的，所以①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于，等于圆的半径，所以③是真命题．故真命题的序号是①③.
答案：C
3．（2013四川，5分）设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点．在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段 AB上的任意点都是端点A，B的中位点．现有下列命题：
①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A，C，B三点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，C(c,0)，B(b,0)，0＜c＜b，对于平面内任意一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＝＋＋≥|x|＋|x－b|＋|x－c|.因为0＜c＜b，所以当x＝c时，(|MA|＋|MB|＋|MC|)min＝b，此时M(c,0)，也就是M点与C点重合，故①正确；对于②，设△ABC中∠C为直角，以C为原点，CA，CB分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy，并设点A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，M(x，y)为平面内任意一点，AB中点坐标为，则|MA|＋|MB|＋|MC|＝ ＋＋ ，当x＝，y＝时，|MA|＋|MB|＋|MC|＝ ，而当x＝0，y＝0时，|MA|＋|MB|＋|MC|＝a＋b，因为(a2＋b2)－(a＋b)2＝≥ab＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A，B，C，D四点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，0＜b＜c＜d，对于平面内任意一点M(x，y)，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＝＋＋＋≥|x|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|，因为0＜b＜c＜d，所以当x∈[b，c]时，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|取得最小值，此时M(x,0)，x∈[b，c]，不唯一，故③错误；对于④，由①可知A，C的中位点为线段AC之间的任意一点，B，D的中位点为线段BD之间的任意一点，所以A，B，C，D的中位点为线段AC与线段BD的交点，也就是梯形对角线的交点，故④正确．答案为①④.
答案：①④
4．（2012湖南，5分）命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
答案：C
5．（2012江西，5分）下列命题中，假命题为( )
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N＋，C＋C＋…＋C都是偶数
解析：空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A为真命题；令z1＝1＋bi，z2＝3－bi(b∈R)，显然z1＋z2＝4∈R，但z1，z2不互为共轭复数，B为假命题；假设x，y都不大于1，则x＋y>2不成立，故与题设条件“x＋y>2”矛盾，假设不成立，故C为真命题；C＋C＋…＋C＝2n为偶数，故D为真命题．排除A，C，D，选B.
答案：B
6．（2011新课标全国，5分）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|>1⇔θ∈[0，) p2：|a＋b|>1⇔θ∈(，π]
p3：|a－b|>1⇔θ∈[0，) p4：|a－b|>1⇔θ∈(，π]
其中的真命题是( )
A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4
解析：由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，
|b|＝1，∴a·b>－.故θ∈[0，)．当θ∈[0，)时，a·b>－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，即|a＋b|>1；由|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，
∴a·b<.故θ∈(，π]，反之也成立．
答案：A
7．（2011陕西，5分）设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a＝－b.”
答案：D
8．（2010天津，5分）命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：否命题是既否定题设又否定结论．
因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
答案：B
考点二 充分条件与必要条件
1．（2013山东，5分）给定两个命题p，q.若 p是q的必要而不充分条件，则p是 q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：考查等价转化的数学思想，考查分析问题和解决问题的能力．q⇒p等价于p⇒q，p⇒q等价于q⇒ p，故p是q的充分而不必要条件．
答案： A
2．（2013安徽，5分）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查二次函数图象性质以及图象变换，意在考查转化与化归思想．根据二次函数的图象可知f(x)在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，本题不难求解．f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a＝0或<0，也就是a≤0，故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.
答案： C
3．（2013福建，5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查集合与充分必要条件等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力．因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/ a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．
答案： A
4．（2013浙江，5分）已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查对必要条件、充分条件与充要条件的理解，考查三角函数的诱导公式、三角函数的奇偶性等，意在考查考生的推理能力以及三角函数性质的掌握等．若f(x)是奇函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)，且当φ＝时，f(x)为奇函数．
答案： B
5．（2013北京，5分）“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判断等基础知识和基本方法，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．
答案： A
6．（2012陕西，5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
7．（2011福建，5分）若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”；故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.
答案：A
8．（2011湖南，5分）设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：显然a＝1时一定有N⊆M，反之则不一定成立，如a＝－1.故是充分不必要条件．
答案：A
9．（2010辽宁，5分）已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是( )
A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0 B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
C．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0 D．∀x∈R，ax2－bx ≤ax－bx0
解析：设函数f(x)＝ax2－bx，∴f′(x)＝ax－b，由已知可得f′(x0)＝ax0－b＝0，
又因为a>0，所以可知x0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点．
由最小值定义可知选项C正确．
答案：C
10．（2010陕西，5分）对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为an＋1>|an|⇒an＋1>an⇒{an}为递增数列，但{an}为递增数列⇒an＋1>an推不出an＋1>|an|，故“an＋1>|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
答案：B
11．(2009·安徽，5分)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c>b＋d， q：a>b且c>d
B．p：a>1，b>1， q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1, q：x2＝x
D．p：a>1， q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析：⇒a＋c>b＋d(不等式的性质)，
反之不成立，例如：8＋2>6＋3，a＝8，b＝2，c＝6，d＝3.
a>b但c
12．(2009·浙江，5分)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a>0，b>0时显然有a＋b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a＋b>0且ab>0，则a，b同号且同正，即a>0，b>0.必要性成立．
答案：C
13．（2011陕西，5分）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词
考点一 简单的逻辑联结词
1．（2013湖北，5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(p)∨(q) B．p∨(q)
C．(p)∧(q) D．p∨q
解析：本题主要考查使用简单逻辑联结词来表示复合命题，意在考查考生对基础知识和基本概念的理解与掌握．由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(p)∨(q)．
答案：A
2．（2011北京，5分）若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．p是真命题 D．q是真命题
解析：只有q是真命题．
答案：D
3．（2010新课标全国，5分）已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数．
p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．
则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析：p1是真命题，则p1为假命题；p2是假命题，则p2为真命题；
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4.
答案：C
考点二 全称量词与存在量词
1．（2013重庆，5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )
A．存在x0∈R，使得x<0 B．对任意x∈R，都有x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0 D．不存在x0∈R，使得x2<0
解析：本题主要考查全称命题的否定．根据定义可知命题的否定为存在x0∈R，使得x<0，故选A.
答案：A
2．（2013四川，5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．p：∃x∈A,2x∈B B．p：∃x∉A,2x∈B
C．p：∃x∈A,2x∉B D．p：∀x∉A,2x∉B
解析：本题主要考查含有一个量词的命题的否定，意在考查考生基础知识的掌握．由命题的否定易知选C，注意要把全称量词改为存在量词．
答案：C
3．（2012辽宁，5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则p是( )
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析：命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
答案：C
4．（2011安徽，5分）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：否定原题结论的同时要把量词做相应改变．
答案：D
5．（2010湖南，5分）下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2
解析：对于选项B，当x＝1时，结论不成立．
答案：B
6．(2009·天津，5分)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )
A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>0
解析：原命题的否定可写为：“不存在x0∈R,2x0≤0”．其等价命题是：“对任意的x∈R,2x>0”．
答案：D
7．（2010安徽，5分）命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
解析：由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．
答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
第2章 函数、导数及其应用
第1节 函数及其表示
考点一 函数的定义域与值域
1．(2013山东，5分)函数f(x)＝ ＋ 的定义域为( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
解析：本题主要考查函数的定义域的求法，考查运算能力．由题意得所以－3
2．（2013江西，5分）函数y＝ ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B.[0,1) C．(0,1] D．[0,1]
解析：本题考查函数的定义域，意在考查考生的运算能力．根据题意得
解得0≤x<1，即所求定义域为[0,1)．
答案： B
3．（2013辽宁，5分）已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：本题主要考查函数的奇偶性、对数的运算、判断两个对数的关系，意在考查考生准确找出问题切入点的能力，从而使计算简化．由已知，得f(－x)＝ln(＋3x)＋1，所以f(x)＋f(－x)＝2.因为lg 2，lg互为相反数，所以f(lg 2)＋＝2.
答案： D
4．（2013安徽，5分）函数y＝＋ 的定义域为________．
解析：本题主要考查函数定义域的求法以及不等式组的解法，意在考查考生的运算求解能力．
根据题意可知⇒⇒0
5．（2012江西，5分）下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )
A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝
解析：函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y＝的定义域为{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}，y＝的定义域为(0，＋∞)，y＝xex的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.
答案：D
6．（2011广东，5分）函数ƒ(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：由得x＞－1且x≠1，即函数ƒ(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
答案：C
7．（2010山东，5分）函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：因为3x＋1＞1，所以f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.
答案：A
8．（2010广东，5分）函数f(x)＝lg(x－2)的定义域是________．
解析：由x－2>0，可得x>2.
答案：(2，＋∞)
考点二 分段函数
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B.(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)＞ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，选择D.
答案：D
2．（2013福建，4分）已知函数f(x)＝则＝________.
解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．
∵＝－tan ＝－1，∴＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
答案：－2
3．（2013北京，5分）函数f(x)＝的值域为________．
解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．
分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x≥1时，logx≤0，当x<1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
4．（2012江西，5分）若函数f(x)＝则f(f(10))＝( )
A．lg 101 B．2 C．1 D．0
解析：f(10)＝lg 10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.
答案：B
5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15(1)，所以必有4
6．（2012江苏，5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f()＝f()，则a＋3b的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f()＝f(－)，且f(－1)＝f(1)，故f()＝f(－)，从而＝－a＋1,3a＋2b＝－2. ①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，故b＝－2a. ②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
答案：－10
7．（2011江苏，5分）已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，计算得a＝－(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得a＝－，符合题意.
所以综上所述，a＝－.
答案：－
考点三 函数的解析式与图像
1．(2013江西，5分)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x(0
解析：本题为江西的特色题——图形题，考查三角函数的定义及三角恒等变换，意在考查考生的识图能力．由题图知正三角形的高为1，则边长为，显然当x＝0时，y＝，且函数y＝f(x)是递增函数，可排除B；由平行线分线段成比例定理可知＝，即BE＝，而BE＝CD，所以y＝2EB＋BC＝2 － cos (0
2．(2013北京，5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D. e－x－1
解析：选D 本题考查函数的平移及对称性，意在考查考生对基础知识的掌握情况．与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案：D
3．(2013四川，5分)函数y＝的图象大致是( )
解析：本题考查函数的图象及其性质，意在考查考生对函数的定义域及值域等知识的理解与掌握．因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x<0时，y>0，所以B错；当x→＋∞时，y→0，所以D错，故选C.
答案：C
4．(2013浙江，4分)已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.
解析：本题主要考查函数的概念与函数值的计算，属于简单题，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由f(a)＝＝3，得a＝10.
答案：10
5. (2012新课标全国，5分)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图像大致为( )
解析：函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图像为B.
答案：B
6. (2011山东，5分)函数y＝－2sinx的图像大致是( )
解析：y′＝－2cosx，令y′＝0，得cosx＝，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数y＝－2sinx有无穷多个极值点，函数y＝－2sinx是奇函数，图像关于坐标原点对称，故只能是选项C的图像．
答案：C
7．(2010新课标全国，5分)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
解析：法一：(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为，排除A、D，由角速度为1知，当t＝或t＝时，P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C.
法二：由题意知P(2cos(t－)，2sin(t－))，∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2|sin(t－)|，
当t＝0时，d＝； 当t＝时，d＝0.故选C.
答案：C
8．(2010陕西，5分)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]
解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y＝[]．
答案：B
9. (2009·安徽，5分)设a
解析：当x>b时，y>0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C正确．
答案：C
第2节 函数的单调性与最值
考 点 函数的单调性与最值
1．(2013北京，5分)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D. y＝lg|x|
解析：本题主要考查一些常见函数的图像和性质，意在考查考生对幂函数、二次函数、指数函数、对数函数以及函数图像之间的变换关系的掌握情况．
y＝是奇函数，选项A错；y＝e－x是指数函数，非奇非偶，选项B错；y＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D错；只有选项C是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减．
答案：C
2．(2013湖北，5分)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数
解析：本题主要考查函数的图像和性质．当x∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数．故选D.
答案：D
3．（2012山东，5分）设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有0
答案：A
4．（2012广东，5分）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝()x D．y＝x＋
解析：选项A的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
答案：A
5．（2012陕西，5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3C． y＝ D． y＝x|x|
解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图像可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.
答案：D
6．(2009·辽宁，5分)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)
解析：f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，
∴f(2x－1)
第3节 函数的奇偶性及周期性
考 点 函数的奇偶性及周期性
1．(2013山东，5分)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时， f(x) ＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．2 B．1 C．0 D．－2
解析：本题主要考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力和转化思想．由f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：D
2．(2013广东，5分)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：本题考查函数的奇偶性，考查考生对函数性质——奇偶性的了解．由奇函数的概念可知，y＝x3，y＝2sin x是奇函数．
答案：C
3．(2013湖南，5分)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：本题主要考查奇函数与偶函数的定义和解方程组，意在考查考生的化简能力．由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3.
答案：B
4. (2013安徽，5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析：当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)．又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.
答案：－
5．（2012山东，5分）定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A．335 B．338 C．1 678 D．2 012
解析：由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.
答案：B
6．（2011广东，5分）设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．|f(x)|－g(x)是奇函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)－|g(x)|是奇函数 D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．
答案：D
7．（2011安徽，5分）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.
法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，
∴f(1)＝－2×12－1＝－3.
答案：A
8．（2010山东，5分）设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，因为当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
答案：A
9．（2010安徽，5分）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析：由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，
又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.
答案：A
10.（2011浙江，4分）若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，
∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
答案：0
第4节 函数的图像
考点 函数解析式与图象
1．(2013江西，5分)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x(0
解析：本题为江西的特色题——图形题，考查三角函数的定义及三角恒等变换，意在考查考生的识图能力．由题图知正三角形的高为1，则边长为，显然当x＝0时，y＝，且函数y＝f(x)是递增函数，可排除B；由平行线分线段成比例定理可知＝，即BE＝，而BE＝CD，所以y＝2EB＋BC＝2 － cos (0
2．(2013北京，5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D. e－x－1
解析：选D 本题考查函数的平移及对称性，意在考查考生对基础知识的掌握情况．与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案：D
3．(2013四川，5分)函数y＝的图象大致是( )
解析：本题考查函数的图象及其性质，意在考查考生对函数的定义域及值域等知识的理解与掌握．因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x<0时，y>0，所以B错；当x→＋∞时，y→0，所以D错，故选C.
答案：C
4．(2013浙江，4分)已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.
解析：本题主要考查函数的概念与函数值的计算，属于简单题，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由f(a)＝＝3，得a＝10.
答案：10
5. (2012新课标全国，5分)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图像大致为( )
解析：函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图像为B.
答案：B
6. (2011山东，5分)函数y＝－2sinx的图像大致是( )
解析：y′＝－2cosx，令y′＝0，得cosx＝，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数y＝－2sinx有无穷多个极值点，函数y＝－2sinx是奇函数，图像关于坐标原点对称，故只能是选项C的图像．
答案：C
7．(2010新课标全国，5分)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
解析：法一：(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为，排除A、D，由角速度为1知，当t＝或t＝时，P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C.
法二：由题意知P(2cos(t－)，2sin(t－))，∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2|sin(t－)|，
当t＝0时，d＝；当t＝时，d＝0.故选C.
答案：C
8．(2010陕西，5分)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]
解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y＝[]．
答案：B
9. (2009·安徽，5分)设a
解析：当x>b时，y>0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C正确．
答案：C
第5节 幂函数与二次函数
考点一 二次函数
1．（2013浙江，5分）已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：本题主要考查二次函数的图像与性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力以及分析问题、解决问题的能力．由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0.
答案： A
2．（2012山东，5分）设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )
A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0
解析：不妨设a<0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图像，如图所示，其中点A(x1，y1)关于原点的对称点C也在函数y＝的图像上，坐标为(－x1，－y1)，而点B的坐标(x2，y2)在图像上也明显的显示出来．由图可知，当a<0时，x2>－x1，所以x1＋x2>0，y2<－y1，所以y1＋y2<0，同理当a>0时，则有x1＋x2<0，y1＋y2>0.
答案：B
3．（2012北京，5分）已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：
①∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；
②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0，
则m的取值范围是________．
解析：当x＜1时，g(x)＜0，当x＞1时，g(x)＞0，当x＝1时，g(x)＝0.m＝0不符合要求；
当m＞0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m＞0时不符合第①条的要求；当m＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故m满足或者
解第一个不等式组得－4＜m＜－2，第二个不等式组无解，故所求m的取值范围是(－4，－2)．
答案：(－4，－2 )
考点二 幂函数
（2011陕西，5分）函数y＝x的图像是( )
解析：显然代数表达式“－ƒ(x)＝ƒ(－x)”，说明函数是奇函数．同时由当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x.
答案：B
第6节 指数与指数函数
考点 指数函数
1．(2013天津，5分)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
A．g(a)<0
2．(2013安徽，5分)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>lg 2} B．{x|－1
解析：本题考查一元二次不等式的求解、指对数运算．考查转化化归思想及考生的合情推理能力．因为一元二次不等式f(x)<0的解集为，所以可设f(x)＝a(x＋1)·(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)·<0，即10x<，x<－lg 2，故选D.
答案：D
3．（2010山东，5分）函数y＝2x－x2的图象大致是( )
解析：由函数解析式知2、4是函数的零点，所以排除B、C；当x→－∞时，根据指数函数与幂函数图象的变换趋势知y＜0，故选A.
答案：A
4．（2010安徽，5分）设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：构造指数函数y＝()x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b＜c；又y＝()x(x∈R)与y＝()x(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有()x＞()x，故()＞()，∴a＞c，故a＞c＞b.
答案：A
5．(2009·宁夏、海南，5分)用min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图．令x＋2＝10－x，x＝4.
当x＝4时，f(x)取最大值，f(4)＝4＋2＝6.
答案：C
6. （2012山东，4分）若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m>0，即m<.若a>1，则函数f(x)在[－1,2]上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当0
7．(2009·江苏，5分)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵a＝∈(0,1)，故am>an⇒m
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
解析：本题主要考查对数的基本运算以及同真数不同底数对数值大小的比较，意在考查考生分析问题与合理运用知识巧妙求解问题的能力．
a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c，故选D.
答案：D
2．(2013陕西，5分)设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·loga D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：本题主要考查对数的有关运算，考查运算能力．利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb，则B对．
答案：B
3．(2013四川，5分)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10 C．18 D．20
解析：本题考查对数运算、排列组合等基本知识和基本技能，意在考查考生分析问题和解决问题的数学应用能力．lg a－lg b＝lg ，lg 有多少个不同值，只要看不同值的个数，所以共有A－2＝20－2＝18个不同值．
答案：C
4．(2013四川，5分)lg＋lg的值是________．
解析：本题主要考查对数的运算，意在考查考生对基本性质与公式的掌握．lg＋lg＝lg(×)＝lg 10＝1.
答案：1
5．（2010新课标全国，5分）已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)
解析：由a，b，c互不相等，结合图象可知 ：
这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上，
不妨设a∈(0,1)，b∈(1,10)，c∈(10,12)，由f(a)＝f(b)得lga＋lgb＝0，
即lgab＝0，所以ab＝1，所以abc∈(10,12)．
答案：C
6．（2010天津，5分）设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：由题意可得
或，解之可得a>1或－1
7．（2010湖南，5分）函数y＝ax2＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
解析：从对数的底数入手进行讨论，再结合抛物线过原点，然后从抛物线对称轴的取值范围进行判断，故选D.
答案：D
8．(2009·山东，5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 009)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：∵x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，又f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，
两式相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，故f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故函数周期为6.∴f(2 009)＝f(6×334＋5)＝f(5)＝f(－1)＝log22＝1.故选C.
答案：C
9．(2009·广东，5分)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝( )
A．log2x B. C．logx D．x2
解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa＝，∴f(x)＝logx.故选C.
答案：C
考点二 指数函数、对数函数与幂函数的综合问题
1．（2013浙江，5分）已知x，y为正实数，则( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
解析：本题考查理解有理指数幂的含义、幂的运算，考查指数、对数函数的概念及其运算性质，意在考查考生基本的运算能力．取特殊值即可．如取x＝10，y＝1,2lg x＋lg y＝2,2lg(xy)＝2,2lg x＋2lg y＝3,2lg(x＋y)＝2lg 11,2lg x·lg y＝1,2lg x·2lg y＝2.
答案：D
2．（2012新课标全国，5分）设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )
A．1－ln 2 B.(1－ln 2)
C．1＋ln 2 D.(1＋ln 2)
解析：根据函数y＝ex和函数y＝ln 2x的图像可知两函数图像关于直线y＝x对称，故要求|PQ|的最小值可转化为求与直线y＝x平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y＝ex上的切点为A(m，n)，则A到直线y＝x的距离的2倍即为最小值．因为y′＝(ex)′＝ex，则em＝1，所以m＝ln 2，切点A的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y＝x的距离为d＝＝，所以2d＝(1－ln 2)．
3．（2012湖南，5分）已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为( )
A．16 B．8 C．8 D．4
解析：数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，
根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.
答案：B
4．（2011辽宁，5分）设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：当x≤1时，21－x≤2，解得，x≥0，所以，0≤x≤1；当x＞1时，1－log2x≤2，解得，x≥，所以，x＞1.综上可知x≥0.
答案：D
5．（2011天津，5分）已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝()log30.3，则( )
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
解析：因为c＝5－log30.3＝5log3，又log23.4>log3>1>log43.6>0，且指数函数y＝5x是R上的增函数，所以a>c>b.
答案：C
6．(2009·辽宁，5分)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝( )
A. B．3 C. D．4
解析：依题意：2x1－1＝－x1，log2(x2－1)＝－x2，
∴2x1－1＝－(x1－1)，log2(x2－1)＝－(x2－1)．
又函数y1＝2x与y2＝log2x互为反函数，∴x1－1＋x2－1＝，即x1＋x2＝＋2＝.
答案：C
第8节 函数与方程
考点 函数零点与方程的根
1．(2013安徽，5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1
解析：本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识．因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有两个不等的实根x1，x2.则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等的实根，即f(x)＝x1或f(x)＝x2，原方程根的个数就是这两个方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和．由上述可知函数f(x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是单调递增的，在区间(x1，x2)上是单调递减的，又f(x1)＝x1
2．(2013天津，5分)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝的图象，易知有2个交点．
答案：B
3．(2013湖南，5分)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
答案：B
4．(2013重庆，5分)若a
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a) 和(c，＋∞)内
解析：本题考查函数的零点，意在考查考生数形结合的能力．由已知易得f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
答案：A
5．(2013福建，5分)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
解析：本题考查集合、方程的根、计数原理等基础知识，意在考查考生的综合能力．因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或1或0或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.
答案：B
6．（2012辽宁，5分）设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：由题意知函数f(x)是偶函数，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函数图像，如图．由图可知函数y＝g(x)，y＝f(x)在[－，]图像有6个交点，故h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点有6个．
答案：B
7．（2012天津，5分）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：法一：函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y＝2x，y＝2－x3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.
法二：由题意知f(x)为单调增函数且f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，
所以在区间(0,1)内有且只有一个零点．
答案：B
8．（2012湖北，5分）函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：令xcos x2＝0，则x＝0，或x2＝kπ＋，又x∈[0,4]，因此xk＝ (k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．
答案：C
9．（2011新课标全国，5分）函数y＝的图像与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：如图，两个函数图像都关于点(1,0)成中心对称，两个图像在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.
答案：D
10．（2011山东，5分）已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图像与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．
答案：B
11．（2010福建，5分）函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：法一：令f(x)＝0得，
或，
∴x＝－3或x＝e2.
法二：画出函数f(x)的图象可得其图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点．
答案：C
12．(2009·天津，5分)设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：f()＝＋1>0，f(1)＝－0>0，f(e)＝－1<0，根据闭区间上根的存在性定理．
答案：D
13．（2011北京，5分）已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是____．
解析：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，当0＜k＜1时，函数
f(x)与y＝k的图像有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)．
答案：(0,1)
14．(2009·山东，4分)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.
答案：(1，＋∞)
15．(2009·广东，14分)(本小题满分14分)已知二次函数y＝g(x)的导函数的图象与直线y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得极小值m－1(m≠0)．设f(x)＝，
(1)若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；
(2)k(k∈R)如何取值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点．
解：∵y＝g′(x)＝2ax＋b的图象与直线y＝2x平行，∴a＝1.
又∵y＝g(x)在x＝－1处取得极小值m－1，
∴－＝－1，g(－1)＝a(－1)2＋b(－1)＋c＝m－1，
所以b＝2，c＝m.从而f(x)＝＝＋x＋2.
(1)已知m≠0，设曲线y＝f(x)上点P的坐标为
P(x，y)，则点P到点Q(0,2)的距离为
|PQ|＝＝ ＝
≥ ＝ ，
当且仅当2x2＝⇒x＝± 时等号成立．
∵|PQ|的最小值为， ∴＝⇒|m|＋m＝1.
①当m＞0时，解得m＝＝－1.
②当m＜0时，解得m＝＝－－1. 故m＝－1或m＝－－1.
(2)y＝f(x)－kx的零点，即方程＋(1－k)x＋2＝0的解，
∵m≠0，∴＋(1－k)x＋2＝0与(k－1)x2－2x－m＝0有相同的解．
①若k＝1，(k－1)x2－2x－m＝0⇒x＝－≠0，
所以函数y＝f(x)－kx有零点x＝－.
②若k≠1，(k－1)x2－2x－m＝0的判别式
Δ＝4[1＋m(k－1)]．若Δ＝0⇒k＝1－，此时函数y＝f(x)－kx有一个零点x＝－m.
若Δ＞0⇒1＋m(k－1)＞0，∴当m＞0，k＞1－，或m＜0，k＜1－时，
方程(k－1)x2－2x－m＝0有两个解．
x1＝和x2＝.
此时函数y＝f(x)－kx有两个零点x1和x2.
若Δ＜0⇒1＋m(k－1)＜0， ∴当m＞0，k＜1－，或m＜0，k＞1－时，
方程(k－1)x2－2x－m＝0无实数解，此时函数y＝f(x)－kx没有零点．
第9节 函数模型及其应用
考点一 函数模型的实际应用
1．（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为________(m)．
解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力．如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝⇒AF＝x⇒FH＝40－x.则S＝x(40－x)≤2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号．所以满足题意的边长x为20(m)．
答案：20
2．（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想．
(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
由h>0，且r>0可得0
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
3．（2012江西，5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表( )
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.
线性约束条件为即
画出可行域，如图所示．
作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至过点B时，z取得最大值，由求得B(30,20)，故选B.
答案：B
4．（2011陕西，5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．
解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．
答案：2000
5．(2009·浙江，4分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时)
高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时)
低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月用电量为a＋b＝148.4(元)．
6．（2012湖南，13分）某企业接到生产3 000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正整数)．
(1)设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
(2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
解：(1)设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T1(x)，T2(x)，T3(x)，由题设有
T1(x)＝＝，T2(x)＝，T3(x)＝，
其中x，kx,200－(1＋k)x均为1到200之间的正整数．
(2)完成订单任务的时间为f(x)＝max{T1(x)，T2(x)，T3(x)}，其定义域为{x|0＜x＜，x∈N*}，易知，T1(x)，T2(x)为减函数，T3(x)为增函数．注意到T2(x)＝T1(x)，于是
①当k＝2时，T1(x)＝T2(x)，此时
f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}＝max{，}．
由函数T1(x)，T3(x)的单调性知，当＝时f(x)取得最小值，解得x＝.
由于44＜＜45，而f(44)＝T1(44)＝，f(45)＝T3(45)＝，f(44)＜f(45)．
故当x＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44)＝.
②当k＞2时，T1(x)＞T2(x)，由于k为正整数，故k≥3，此时≥＝.
记T(x)＝，φ(x)＝max{T1(x)，T(x)}，易知T(x)是增函数，则
f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}≥max{T1(x)，T(x)}＝φ(x)＝max{，}．
由函数T1(x)，T(x)的单调性知，当＝时φ(x)取最小值，解得x＝.
由于36＜＜37，而φ(36)＝T1(36)＝＞，
φ(37)＝T(37)＝＞.此时完成订单任务的最短时间大于.
(3)当k＜2时，T1(x)＜T2(x)，由于k为正整数，故k＝1，此时f(x)＝max{T2(x)，T3(x)}＝max{，}．
由函数T2(x)，T3(x)的单调性知，当＝时f(x)取最小值，解得x＝，类似(1)的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于.
综上所述，当k＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44,88,68.
7.(2011山东，12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解：(1)设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝(－r)．
由于l≥2r，因此0
y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0
当r3－＝0时，r＝. 令 ＝m，则m>0.
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0
当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0； 当r∈(m,2)时，y′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3
综上所述，当3
考点二 函数与其他知识的交汇
1．（2013湖南，5分）设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.
解析：本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含义、零点存在性定理及推理论证能力．
(1)由题设f(x)＝0，a＝b⇒2ax＝cx⇒＝，
又a＋b≤c，a＝b⇒≤⇒≤，x>0，所以≤⇒0
⇒＋>1，即f(x)>0，所以①正确；由(1)可知②正确；
由△ABC为钝角三角形，所以a2＋b2
答案：{x|0
(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．
解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．
(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝，
故f(x)>0的解集为{x|x1
(2)设d(a)＝，则d′(a)＝.令d′(a)＝0，得a＝1.由于0
当1
而＝＝<1，故d(1－k)
3．（2012江西，14分）若函数h(x)满足
①h(0)＝1，h(1)＝0；
②对任意a∈[0,1]，有h(h(a))＝a；
③在(0,1)上单调递减．
则称h(x)为补函数，已知函数h(x)＝()(λ>－1，p>0)．
(1)判断函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；
(2)若存在m∈[0,1]，使h(m)＝m，称m是函数h(x)的中介元．记p＝(n∈N＋)时h(x)的中介元为xn，且Sn＝i，若对任意的n∈N＋，都有Sn<，求λ的取值范围；
(3)当λ＝0，x∈(0,1)时，函数y＝h(x)的图像总在直线y＝1－x的上方，求p的取值范围．
解：(1)函数h(x)是补函数，证明如下：
①h(0)＝()＝1，h(1)＝()＝0；
②对任意a∈[0,1]，有
h(h(a))＝h(())＝()＝()＝a；
③令g(x)＝(h(x))p，
有g′(x)＝＝.
因为λ>－1，p>0，所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，故函数h(x)在(0,1)上单调递减．
(2)当p＝(n∈N＋)时，由h(x)＝x，
得：λx＋2x－1＝0 (*)，
(ⅰ)当λ＝0时，中介元xn＝()n；
(ⅱ)当λ>－1且λ≠0时，由(*)得x＝∈(0,1) 或x＝∉[0,1]；
得中介元xn＝()n.
综合(ⅰ)(ⅱ)：对任意的λ>－1，中介元为xn＝()n.(n∈N＋)，
于是，当λ>－1时，有Sn＝()i＝[1－()n]<，
当n无限增大时，()n无限接近于0，Sn无限接近于，
故对任意的n∈N＋，Sn<成立等价于≤，
即λ∈[3，＋∞)．
(3)当λ＝0时，h(x)＝(1－xp)，中介元为xp＝()，
(ⅰ)当0
(ⅱ)当p>1时，依题意只需(1－xp)>1－x在x∈(0,1)时恒成立，
也即xp＋(1－x)p<1在x∈(0,1)时恒成立，
设φ(x)＝xp＋(1－x)p，x∈[0,1]，则φ′(x)＝p[xp－1－(1－x)p－1]，
由φ′(x)＝0得x＝，且当x∈(0，)时，φ′(x)<0，
当x∈(，1)时，φ′(x)>0，
又因为φ(0)＝φ(1)＝1，所以当x∈(0,1)时，φ(x)<1恒成立．
综上：p的取值范围是(1，＋∞)．
4．(2011广东，14分)在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y＝x2.实数p，q满足p2－4q≥0，x1，x2是方程x2－px＋q＝0的两根，记φ(p，q)＝max{|x1|，|x2|}．
(1)过点A(p0，p)(p0≠0)作L的切线交y轴于点B.证明：对线段AB上的任一点Q(p，q)，有φ(p，q)＝；
(2)设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2－4b>0，a≠0.过M(a，b)作L的两条切线l1，l2，切点分别为E(p1，p)，
E′(p2，p)，l1，l2与y轴分别交于F，F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a，b)∈X ⇒⇐ |p1|>|p2| ⇒⇐ φ(a，b)＝；
(3)设D＝{(x，y)|y≤x－1，y≥(x＋1)2－}．当点(p，q)取遍D时，求φ(p，q)的最小值(记为φmin)和最大值(记为φmax)．
解：(1)证明：过点A的切线方程是y＝p0x－p， 所以B(0，－p)，
Q在线段AB上，所以q＝p0p－p(|p|≤|p0|)，
所以现方程为x2－px＋p0p－p＝0，可得x1＝p0，x2＝p－p0，
因为p0、p同号，易得φ(p，q)＝.
(2)证明：y′＝x，易得l1：y－p＝p1(x－p1)，即y＝p1x－p，
∵M(a，b)∈l1，∴b＝p1a－p且0<|a|<|p1|.
因为E′(p2，p)，所以kME′＝＝p2，
有p－(p1a－p)＝p2(p2－a)，
则p－p1a＝p－p2a，即p1＋p2＝2a，
由于a与p1同号，与p2异号，∴|p1|>|p2|.
反之，也成立．故M(a，b)∈X ⇒⇐ |p1|>|p2|，
由(1)证可知M(a，b)∈X⇒φ(a，b)＝，
当φ(a，b)＝时，逆推(1)证也可得M(a，b)∈l1＝X，
综上，M(a，b)∈X ⇒⇐ |p1|>|p2| ⇒⇐ φ(a，b)＝.
(3)由于点(p，q)必在曲线f(x)＝x2－px＋q上，
故此题即求当函数f(x)＝x2－px＋q经过D时，方程f(x)＝0的根的最大值与最小值．
易求得l：y＝x2在点(2,1)处的切线方程为y＝x－1，
由前证可知：
当点(p，q)∈{(x，y)|y＝x－1}时恒有φ(p，q)＝1，
令f(x)＝0可得x2－px＋q＝0，则x＝⇒φ(p，q)＝，
∵点(p，q)∈D，∴(p＋1)2－≤q≤p－1⇒(p＋1)2－5≤4q≤4p－4，
∴(p－2)2≤p2－4q≤－2p＋4，∴1≤φ(p，q)≤，
而当q＝(p＋1)2－时p2－4q＝－2p＋4，
∴φ(p，q)＝＝，
设g(x)＝(0≤x≤2)，令t＝，x＝(0≤t≤2)，
故g(t)＝－t2＋t＋1＝－(t－1)2＋，∴1≤g(x)≤，即1≤φ(p，q)≤，
∴φmin＝1，φmax＝.
第10节 变化率与导数、导数的计算
考点一 导数的几何意义
1．（2013广东，5分）若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
解析：本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算能力．y′|x＝1＝0，即当x＝1时，k＋＝k＋1＝0，解得k＝－1.
答案：－1
2．（2013北京，13分）设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．
(1)求L的方程；
(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．
解：本题考查导数的几何意义、导数在研究函数性质和不等式中的应用等基础知识和基本方法，意在考查函数与方程思想、化归与转化思想和考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及综合运用知识分析问题、解决问题的能力．
(1)设f(x)＝，则f′(x)＝. 所以f′(1)＝1，即L的斜率为1.
又L过点(1,0)，所以L的方程为y＝x－1.
(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)＞0(∀x＞0，x≠1)．
g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.
当0＜x＜1时，x2－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；
当x＞1时，x2－1＞0，ln x＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)单调递增．
所以，g(x)＞g(1)＝0(∀x＞0，x≠1)．
所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．
3．（2011山东，5分）曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
解析：y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.
答案：C
4．（2011湖南，5分）曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为.
答案：B
5．（2010辽宁，5分）已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，) C．(，] D．[，π)
解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，
因为ex>0，所以由均值不等式得k≥，又k<0，
∴－1≤k<0，即－1≤tanα<0，所以≤α<π.
答案：D
6．(2009·辽宁，5分)曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2
C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1
解析：y′＝()′＝，∴k＝y′|x＝1＝－2.
l：y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
答案：D
7．（2012新课标全国，5分）曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
解析：y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，
所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案：y＝4x－3
8．（2012广东，5分）曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：曲线方程为y＝x3－x＋3，则y′＝3x2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
答案：y＝2x＋1
9．（2011江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数ƒ(x)＝ex(x＞0)的图像上的动点，该图像在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是____．
解析：设点P的坐标为(x0，ex0)，则切线l的方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，则过点P作l的垂线m的方程为y－ex0＝－(x－x0)，令x＝0，得M(0，ex0－x0ex0)，N(0，ex0＋x0)，所以t＝ex0＋－，得t′＝(1－x0)(＋)，令t′＝0，得x0＝1，当0＜x0＜1时，t′＞0，t＝ex0＋－单调递增；当x0＞1时，t′＜0，t＝ex0＋－单调递减，所以当x0＝1时，t取最大值，为(e＋)．
答案：(e＋)
10．（2010江苏，5分）函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
解析：∵y′＝2x，∴在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
答案：21
11．(2009·福建，4分)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3ax2＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解，∴3a＝－，而x>0，∴a∈(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
考点二 导数的概念与运算
（2011江西，5分）若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f ′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：令f ′(x)＝2x－2－＝＞0，
利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.
答案：C
第11节 导数的应用
考点一 应用导数研究函数的单调性
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值．
(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
2.（2013山东，12分）已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)．
(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；
(2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小．
解：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和相关函数值的大小比较，考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力．
(1)由f(x)＝ax2＋bx－ln x，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝.
①当a＝0时，f′(x)＝.
(ⅰ)若b≤0，当x>0时，f′(x)<0恒成立，
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．
(ⅱ)若b>0，当0
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
②当a>0时，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0.
由Δ＝b2＋8a>0，得x1＝，x2＝.
当0
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
综上所述，
当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；
当a＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；
当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，＋∞.
(2)由题意知，函数f(x)在x＝1处取得最小值．
由(1)知是f(x)的唯一极小值点，
故＝1，整理得2a＋b＝1即b＝1－2a.
令g(x)＝2－4x＋ln x，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝，
当0
因此g(x)≤＝1＋ln ＝1－ln 4<0.
故g(a)<0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0，即ln a<－2b.
3．（2013湖南，13分）已知函数f(x)＝ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.
解：本题主要考查函数求导、函数的单调区间和不等式的证明，意在结合转化思想和函数思想，考查考生的计算能力、利用函数思想证明不等式的能力．
(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝′ex＋ex＝ex＝ex.
当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)证明：当x<1时，由于>0，ex>0，故f(x)>0；
同理，当x>1时，f(x)<0.
当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1
令g(x)＝(1－x)ex－，则g′(x)＝－xe－x(e2x－1)．
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，从而g(x)
4．(2009·江苏，5分)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x2－10x－11)＝3(x＋1)(x－11)<0，
解得：－1
5．（2012福建，14分）已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；
(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
解：(1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2a＝0，
所以a＝0，即f(x)＝ex－ex.
此时f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1.
当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0.
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，
令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线y＝f(x)只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．
因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－ex0＋2a(x－x0)．
(1)若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，
则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；
当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零点x＝x0.
由P的任意性，a≥0不合题意．
(2)若a＜0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a.
令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x*＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时
h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，
h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．
①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；由x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0.知g(x)在R上单调递增．
所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*.
②若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时，有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0.
又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝ex＋ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)＜ex1＋ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，
其中b＝－(e＋f′(x0))，c＝ex1－f(x0)＋x0f′(x0)．
由于a＜0，则必存在x2＜x1，使得ax＋bx2＋c＜0.
所以g(x2)<0，故g(x)在(x2，x1)内存在零点．即g(x)在R上至少有两个零点．
③若x0
综上所述，当a<0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
6．(2010新课标全国，12分)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加．
(2)f′(x)＝ex－1－2ax.
由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．
故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，
于是当x≥0时，f(x)≥0.
由ex>1＋x(x≠0)可得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，
f′(x)
综合得a的取值范围为(－∞，]．
7．(2011北京，13分)已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
解：(1)f ′(x)＝(x2－k2)e.
令f ′(x)＝0，得x＝±k.
当k>0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：
x
(－∞，－k)
－k
(－k，k)
k
(k，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
4k2e－1
0
所以 ，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
当k<0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：
x
(－∞，k)
k
(k，－k)
－k
(－k，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
4k2e－1
所以 ，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．
(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤.
当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.
所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.
解得－≤k<0.
故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0)．
考点二 应用导数研究函数的极值和最值
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A.∃ x0∈R，f(x0)＝0
B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0
解析：本题考查三次函数的性质，考查数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.
答案：C
2．（2013辽宁，5分）设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x>0时，f(x)( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
解析：本题考查导数的应用以及转化能力．由题意[x2f(x)]′＝，令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝，且f(x)＝，因此f′(x)＝＝.令h(x)＝ex－2g(x)，则h′(x)＝ex－2g′(x)＝ex－＝，所以x>2时，h′(x)>0；0
f(x)既无极大值也无极小值．
答案：C
3．（2013湖北，5分）已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则( )
A．f(x1)＞0，f(x2)＞－ B．f(x1)＜0，f(x2)＜－
C．f(x1)＞0，f(x2)＜－ D．f(x1)＜0，f(x2)＞－
解析：本题主要考查函数与导数的基础知识与基本运算，意在考查考生分析问题、处理问题的能力．
∵f(x)＝x(ln x－ax)，
∴f′(x)＝ln x－2ax＋1.又函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2，
∴f′(x)＝ln x－2ax＋1有两个零点x1，x2，即函数g(x)＝ln x与函数h(x)＝2ax－1有两个交点．∴a>0，且0
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
最小值
最大值
∴f(x1)<0，f(x2)>f(1)＝－a>－.故选D.
答案：D
4．（2013福建，13分）已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解：本小题主要考查函数、导数的几何意义、函数的极值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
5．（2013浙江，14分）已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．
解：本题以三次函数为载体，主要考查利用导数研究函数的性质、二次函数、绝对值等基础知识，意在考查考生的推理能力，函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法．
(1)由题意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.
又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.
(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故
①当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，
故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.
②当a≥1时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，
故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.
③当0
x
0
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
3－3a
单调递增
极大值f(x1)
单调递减f(x2)
极小值
单调递增
3a－1
由于f(x1)＝1＋2(1－a)，f(x2)＝1－2(1－a)，
故f(x1)＋f(x2)＝2>0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a)>0.从而f(x1)>|f(x2)|.
所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}．
(ⅰ)当0
又f(x1)－f(0)＝2(1－a)－(2－3a)＝>0，
故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a).
(ⅱ)当≤a<1时，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．
又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a)－(3a－2)＝，
所以当≤a<时，f(x1)>|f(2)|.
故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a).
当≤a<1时，f(x1)≤|f(2)|. 故|f(x)|max＝|f(2)|＝3a－1.
综上所述，|f(x)|max＝
6.（2011安徽，5分）函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图像如图所示，则m，n的值可能是( )
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2
C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1
解析：当x＝0.5时，f(x)＝a0.5m0.5n>0，∴a>0.
当m＝1，n＝1时，f(x)＝ax(1－x)图像关于直线x＝对称，所以A不可能；
当m＝1，n＝2时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x－1)(x－1)，
所以f(x)max＝f()＝且<0.5，由图可知B可能；
当m＝2，n＝1时，f(x)＝ax2(1－x)＝－a(x3－x2)，
f′(x)＝－ax(3x－2)，所以f(x)max＝f()＝， >0.5，所以C不可能；
当m＝3，n＝1时，f(x)＝ax3(1－x)＝－a(x4－x3)，f′(x)＝－ax2(4x－3)，
所以f(x)max＝f()＝，>0.5，所以D不可能．
答案：B
7．（2011湖南，5分）设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
A．1 B. C. D.
解析：|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值，h′(x)＝2x－＝，
显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.
答案：D
8．（2012江苏，16分）若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；
(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．
解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x<－2时，g′(x)<0；当－2
当－2
所以g(x)的极值点为－2.
(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．
当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.
当|d|<2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d>0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d<0，
所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．
①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2)＝2，此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．
②当x∈(1,2)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d<0，f(2)－d>0，y＝f(x)－d的图像不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有惟一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有惟一实根．
③当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d>0，f(1)－d<0，
y＝f(x)－d的图像不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有惟一实根．
由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；
当|d|<2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|<2，i＝3,4,5.
现考虑函数y＝h(x)的零点．
(ⅰ)当|c|＝2时，f(t)＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，而f(x)＝t1有三个不同的根，f(x)＝t2有两个不同的根，故y＝h(x)有5个零点．
(ⅱ)当|c|<2时，f(t)＝c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|<2，i＝3,4,5，而f(x)＝ti(i＝3,4,5)有三个不同的根，故y＝h(x)有9个零点．
综上可知，当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点；
当|c|<2时，函数y＝h(x)有9个零点．
9．(2010安徽，12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
2(1－ln2＋a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
考点三 利用导数研究函数的综合问题
1．（2013新课标全国Ⅰ，12分）设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
解：本题主要考查利用导数求解曲线的切线，利用函数的导数研究函数的最值，进而解答不等式恒成立问题，意在考查考生综合运用导数这一重要工具解答函数与不等式问题的综合能力．
(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，
则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．
由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.
(ⅰ)若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
(ⅲ)若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上，k的取值范围是[1，e2]．
2．(2013山东，13分)设函数f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．
(1)求f(x)的单调区间、最大值；
(2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数．
解：本题考查导数的运算、导数与函数单调性的关系、利用导数研究方程的根等基础知识和基本方法，意在考查数形结合思想、函数与方程思想和考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及综合运用知识分析问题、解决问题的能力．
(1)f′(x)＝(1－2x)e－2x，由f′(x)＝0，解得x＝.
当x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，
最大值为＝e－1＋c.
(2)令g(x)＝|ln x|－f(x)＝|ln x|－xe－2x－c，x∈(0，＋∞)．
①当x∈(1，＋∞)时，ln x>0，则g(x)＝ln x－xe－2x－c，
所以g′(x)＝e－2x.
因为2x－1>0，>0，所以g′(x)>0.
因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
②当x∈(0,1)时，ln x<0，则g(x)＝－ln x－xe－2x－c，
所以g′(x)＝e－2x.
因为e2x∈(1，e2)，e2x>1>x>0，所以－<－1.
又2x－1<1，所以－＋2x－1<0，即g′(x)<0.
因此g(x)在(0,1)上单调递减．
综合①②可知当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e－2－c.
当g(1)＝－e－2－c>0，即c<－e－2时，g(x)没有零点，
故关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为0；
当g(1)＝－e－2－c＝0，即c＝－e－2时，g(x)只有一个零点，
故关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为1；
当g(1)＝－e－2－c<0，即c>－e－2时，
①当x∈(1，＋∞)时，由(1)知
g(x)＝ln x－xe－2x－c≥ln x－>ln x－1－c，
要使g(x)>0，只需使ln x－1－c>0，即x∈(e1＋c，＋∞)；
②当x∈(0,1)时，由(1)知
g(x)＝－ln x－xe－2x－c≥－ln x－>－ln x－1－c，
要使g(x)>0，只需－ln x－1－c>0，即x∈(0，e－1－c)；
所以c>－e－2时，g(x)有两个零点，
故关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为2.
综上所述，
当c<－e－2时，关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为0；
当c＝－e－2时，关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为1；
当c>－e－2时，关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为2.
3．（2013陕西，14分）已知函数f(x)＝ex，x∈R.
(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；
(2)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数；
(3)设a
(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.
设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x的图象在P(x0，y0)处相切，
则有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝，
解得x0＝e2，k＝.
(2)曲线y＝ex与y＝mx2的公共点个数等于曲线y＝与y＝m的公共点个数．
令φ(x)＝，则φ′(x)＝，∴φ′(2)＝0.
当x∈(0,2)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0,2)上单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝.
当0
当m>时，在区间(0,2)内存在x1＝，使得φ(x1)>m，在(2，＋∞)内存在x2＝me2，使得φ(x2)>m.由φ(x)的单调性知，曲线y＝与y＝m在(0，＋∞)上恰有两个公共点．
综上所述，当x>0时，
若0
若m>，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点．
(3)法一：可以证明>.事实上，
>⇔>
⇔>⇔>1－
⇔>1－(b>a)． (*)
令ψ(x)＝＋－1(x≥0)，
则ψ′(x)＝－＝＝≥0(仅当x＝0时等号成立)，
∴ψ(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴x>0时，ψ(x)>ψ(0)＝0.
令x＝b－a，即得(*)式，结论得证．
法二：－＝－
＝
＝[(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2]，
设函数u(x)＝xex＋x－2ex＋2(x≥0)，
则u′(x)＝ex＋xex＋1－2ex，
令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝ex＋ex＋xex－2ex＝xex≥0(仅当x＝0时等号成立)，
∴u′(x)单调递增，
∴当x>0时，u′(x)>u′(0)＝0，∴u(x)单调递增．
当x>0时，u(x)>u(0)＝0.
令x＝b－a，则得(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2>0，
∴－>0，
因此，>.
4．（2012山东，13分）已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
解：(1)由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又ex>0，所以x∈(0,1)时，f′(x)>0；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(3)证明：因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，
所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．
因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－xln x<(1＋e－2)．
由(2)h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)，
因此当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，
故1－x－xln x≤1＋e－2.
设φ(x)＝ex－(x＋1)．因为φ′(x)＝ex－1＝ex－e0，
所以x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0，
故x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，
即>1. 所以1－x－xln x≤1＋e－2<(1＋e－2)．
因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
5．（2012浙江，14分）已知a＞0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.
(1)证明：当0≤x≤1时，
①函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a；
②f(x)＋|2a－b|＋a≥0；
(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a＋b的取值范围．
解：(1)①f′(x)＝12ax2－2b＝12a(x2－)．
当b≤0时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
当b＞0时，f′(x)＝12a(x＋)(x－)，
此时f(x)在[0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
所以当0≤x≤1时，f(x)max＝max{f(0)，f(1)}＝max{－a＋b,3a－b}＝＝|2a－b|＋a.
②由于0≤x≤1，故
当b≤2a时，
f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)＋3a－b＝4ax3－2bx＋2a≥4ax3－4ax＋2a＝2a(2x3－2x＋1)．
当b＞2a时，
f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)－a＋b＝4ax3＋2b(1－x)－2a＞4ax3＋4a(1－x)－2a＝2a(2x3－2x＋1)．
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则
g′(x)＝6x2－2＝6(x－)(x＋)，
于是
x
0
(0，)
(，1)
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
减
极小值
增
1
所以，g(x)min＝g()＝1－＞0.
所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.
故f(x)＋|2a－b|＋a≥2a(2x3－2x＋1)≥0.
(2)由①知，当0≤x≤1时，f(x)max＝|2a－b|＋a，所以|2a－b|＋a≤1.
若|2a－b|＋a≤1，则由②知f(x)≥－(|2a－b|＋a)≥－1.
所以－1≤f(x)≤1，对任意0≤x≤1恒成立的充要条件是
即
或
在直角坐标系aOb中，①所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.
作一组平行直线a＋b＝t(t∈R)，得－1＜a＋b≤3.
所以a＋b的取值范围是(－1,3]．
6．(2011天津，14分)已知a>0，函数f(x)＝lnx－ax2，x>0.(f(x)的图像连续不断)
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当a＝时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f()；
(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明≤a≤.
解：(1)f′(x)＝－2ax＝，x∈(0，＋∞)．
令f′(x)＝0，解得x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
所以，f(x)的单调递增区间是(0，)，f(x)的单调递减区间是(，＋∞)．
(2)证明：当a＝时，f(x)＝lnx－x2，由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．
令g(x)＝f(x)－f()．由于f(x)在(0,2)内单调递增，
故f(2)>f()，即g(2)>0.
取x′＝e>2，则g(x′)＝<0.
所以存在x0∈(2，x′)，使g(x0)＝0，即存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f()．(说明：x′的取法不唯一，只要满足x′>2，且g(x′)<0即可．)
(3)证明：由f(α)＝f(β)及(1)的结论知α<<β，
从而f(x)在[α，β]上的最小值为f(α)，又由β－α≥1，
α，β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3.
故即
从而≤a≤.
第12节 定积分与微积分基本定理
考点 定积分与微积分基本定理
1．（2013北京，5分）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A. B．2 C. D.
解析：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义、微积分基本定理等基础知识，考查数形结合思想以及考生的运算求解能力．由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l的方程为y＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2dx＝2＝.
答案：C
2．（2013江西，5分）若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1
S1＝x3＝－＝，S2＝ln x＝ln 2
3．（2013福建，4分）当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：
1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.
两边同时积分得：＋＋＋…＋xndx＋…＝dx，
从而得到如下等式：
1×＋×＋×＋…＋×＋…＝ln 2.
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C×＋C×＋C×＋…＋C×＝________.
解析：本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、类比推理能力和运算求解能力．
法一：设f(x)＝Cx＋×C x2＋×Cx3＋…＋×Cxn＋1，
所以f′(x)＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n，
所以f＝0f′(x)dx＝0(1＋x)ndx＝(1＋x)n＋10＝n＋1－(1＋0)n＋1＝.
法二：C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1
＝1×＋×n×2＋××3＋…＋××n＋1
＝(n＋1)×＋×2＋×3＋…＋×n＋1＝
＝＝.
答案：
4．（2013湖南，5分）若x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析：本小题主要考查定积分的计算．∵x2dx＝T3＝9，T>0，∴T＝3.
答案：3
5．（2012福建，5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
解析：阴影部分的面积为(－x)dx＝(x－x2)＝，故所求的概率P＝＝.
答案：C
6．（2012湖北，5分）已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )
A. B. C. D.
解析：由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为2(－x2＋1)dx＝2(－＋x)＝.
答案：B
7．（2011新课标全国，5分）由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )
A. B．4 C. D．6
解析：由y＝及y＝x－2可得，x＝4，所以由y＝及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为(－x＋2)dx＝(x－x2＋2x)|＝.
答案：C
8．（2011湖南，5分）由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1 C. D.
解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分∫cosxdx＝sinx|＝－(－)＝.
答案：D
9．（2010山东，5分）由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B. C. D.
解析：由题可知y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为
(x2－x3)dx＝(x3－x4) ＝－＝.
答案：A
10.（2010湖南，5分） dx等于( )
A．－2ln2 B．2ln2 C．－ln2 D．ln2
解析：dx＝lnx＝ln4－ln2＝ln2.
答案：D
11．(2009·福建，5分)－(1＋cosx)dx等于( )
A．π B．2 C．π－2 D．π＋2
解析：－(1＋cosx)dx＝20(1＋cosx)dx＝2(x＋sinx)|0＝2(＋1)＝π＋2.
答案：D
12．（2011陕西，5分）设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：显然f(1)＝lg1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3|＝1，得a＝1.
答案：1
13．(2010福建，14分)(1)已知函数f(x)＝x3－x，其图象记为曲线C.
(ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(ⅱ)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另一点P2(x2，f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；
(2)对于一般的三次函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，请给出类似于(1)(ⅱ)的正确命题，并予以证明．
解：法一：(1)(ⅰ)由f(x)＝x3－x得f′(x)＝3x2－1＝3(x－)(x＋)．
当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－，)时，f′(x)<0.
因此，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)
(ⅱ)曲线C在点P1处的切线方程为
y＝(3x－1)(x－x1)＋x－x1，
即y＝(3x－1)x－2x.
由
得x3－x＝(3x－1)x－2x，即(x－x1)2(x＋2x1)＝0，
解得x＝x1或x＝－2x1，故x2＝－2x1.
进而有S1＝| －2x1x1(x3－3xx＋2x)dx|＝|(x4－xx2＋2xx)－2x1x1|＝x.
用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3＝－2x2和S2＝x.
又x2＝－2x1≠0，所以S2＝x≠0，
因此有＝.
(2)记函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象为曲线C′，
类似于(1)(ⅱ)的正确命题为：
若对于任意不等于－的实数x1，
曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，
曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y＝g(x)的对称中心(－，g(－))平移至坐标原点，因而不妨设g(x)＝ax3＋hx，且x1≠0.
类似(1)(ⅱ)的计算可得S1＝ax，S2＝ax≠0. 故＝.
法二：(1)同法一．
(2)记函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象为曲线C′，
类似于(1)(ⅱ)的正确命题为：
若对于任意不等于－的实数x1，
曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．
证明如下：
由g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)得g′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
所以曲线C′在点(x1，g(x1))处的切线方程为y＝(3ax＋2bx1＋c)x－2ax－bx＋d.
由得(x－x1)2[a(x＋2x1)＋b]＝0，
∴x＝x1或x＝－－2x1，即x2＝－－2x1，故
S1＝| x1x2[ax3＋bx2－(3ax＋2bx1)x＋2ax＋bx]dx|＝，
用x2代替x1，重复上述计算过程，
可得x3＝－－2x2和S2＝.
又x2＝－－2x1且x1≠－，
所以S2＝＝＝≠0，
故＝.
第3章 三角函数、解三角形
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考点 任意角的三角函数
（2011江西，5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.
解析：r＝＝且sinθ＝－，所以sinθ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
答案：－8
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
考点 同角三角函数、诱导公式
1．(2013重庆，5分)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B. C. D．2－1
解析：本题考查三角函数求值问题，意在考查考生对公式的运用能力．
4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－
＝－＝＝
＝＝
＝＝＝.
答案：C
2．(2011山东，5分)若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan的值为( )
A．0 B. C．1 D.
解析：a满足9＝3a，由此得a＝2，tan＝tan＝.
答案：D
第3节 三角函数图像与性质
考点 正弦函数、余弦函数的图像和性质
1. (2013新课标全国Ⅰ，5分)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )
解析：本题主要考查数形结合思想，以及对问题的分析判断能力．首先知函数为奇函数，排除B.其次只需考虑x∈[0，π]的情形，又当x∈[0，π]时，f(x)≥0，于是排除A.∵f(x)＝(1－cos x)sin x，∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1，令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－，结合x∈[－π，π]，求得f(x)在[0，π]上的极大值点为π，靠近π，可知C对．
答案：C
2．(2013山东，5分)将函数y＝sin(2x ＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B. C．0 D．－
解析：本题考查三角函数的图象变换、性质等基础知识和基本方法，考查运算求解能力，考查方程思想．把函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到的图象的解析式是y＝sin ，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.
答案：B
3．(2013湖北，5分)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：本题考查三角函数的图象与性质，意在考查考生对三角函数变形以及图象平移等知识的掌握．y＝ cos x＋sin x＝2＝2sin的图象向左平移m个单位后，得到y＝2sin的图象，此图象关于y轴对称，则x＝0时，y＝±2，即2sin ＝±2，所以m＋＝＋kπ，k∈Z，由于m>0，所以mmin＝，故选B.
答案：B
4．(2013新课标全国Ⅰ，5分)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
解析：本题考查三角函数诱导公式、两角差的三角函数公式、三角函数的化简运算及求最值的方法，意在考查考生利用两角差的三角函数公式进行化简、运算和转化的能力．先利用asin x＋bcos x的结构通过构造进行合并化简为一个函数，然后讨论函数f(x)取到最值的条件，并利用诱导公式求解．f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝sin (x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.
答案：－
5．(2013江西，5分)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．
解析：本题考查三角恒等变换以及三角函数的周期性，意在考查考生的转化与化归能力以及运算能力．y＝sin 2x＋2 sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin(2x－)＋，所以该函数的最小正周期T＝＝π.
答案：π
6．(2013陕西，12分)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解：本题主要考查向量的数量积和三角恒等变换的方法以及三角函数的有界性，意在考查考生应用向量和三角工具解决问题的能力．
f(x)＝·( sin x，cos 2x)＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝cos sin 2x－sincos 2x＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质，知
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得的最小值－.
因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.
7．(2013湖南，12分)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
解：本小题主要考查两角差的正、余弦公式，二倍角公式，同角三角函数关系式及三角函数单调性，考查三角恒等变形能力和运算求解能力．属中档题．
f(x)＝sin＋cos＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，
g(x)＝2sin2＝1－cos x.
(1)由f(α)＝得sin α＝.又α是第一象限角，所以cos α>0.
从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.
(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1.
于是sin≥.
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.
8．(2012新课标全国，5分)已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)单调递减，则ω的取值范围是( )
A．[，] B．[，] C．(0，] D．(0,2]
解析：函数f(x)＝sin(ωx＋)的图像可看作是由函数f(x)＝sin x的图像先向左平移个单位得f(x)＝sin(x＋)的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到的，而函数f(x)＝sin(x＋)的减区间是[，]，所以要使函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上是减函数，需满足解得≤ω≤.
答案：A
9．(2012湖南，5分)函数f(x)＝sin x－cos(x＋)的值域为( )
A．[－2,2] B．[－， ]
C．[－1,1] D．[－， ]
解析：因为f(x)＝sin x－cos x＋sin x＝( sin x－cos x)＝sin(x－)，所以函数f(x)的值域为[－， ]．
答案：B
10．(2011山东，5分)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝( )
A．3 B．2 C. D.
解析：由于函数f(x)＝sinωx的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像可知，为这个函数的四分之一周期，故＝，解得ω＝.
答案：C
11．(2011安徽，5分)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z)
解析：因为当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，所以f()＝sin(＋φ)＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因为f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ<0，所以φ＝2kπ－，所以f(x)＝sin(2x－)，函数的单调递增区间为－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
所以x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
答案：C
12．(2010安徽，5分)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
解析：由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，则ω＝＝，
又当t＝0时，A的坐标为(，)，∴此函数为y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，
可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
答案：D
13．(2009山东，5分)将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos2x B．y＝2cos2x
C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝2sin2x
解析：y＝sin2x图象向左平移个单位得到y＝sin2(x＋)＝sin(2x＋)＝cos2x的图象，再向上平移1个单位得到y＝cos2x＋1＝2cos2x－1＋1＝2cos2x的图象．故选B.
答案：B
14．(2011江苏，5分)设定义在区间(0，)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
解析：设P(x0，y0)，则由消去y0得，6cosx0＝5tanx0⇒6cos2x0＝5sinx0，即6sin2x0＋5sin x0－6＝0，解得sinx0＝－(舍去)或，∵PP1⊥x轴，且点P、P1、P2共线，
∴|P1P2|＝sinx0＝.
答案：
15．(2011浙江，4分)函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是__________．
解析：f(x)＝＝－sin 4x，故其最小正周期为＝.
答案：
16．(2012天津，13分)已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝sin 2x·cos ＋cos 2x·sin ＋sin 2x·cos－cos 2x·sin ＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)． 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间[－，]上是增函数，在区间[，]上是减函数．又f(－)＝－1，f()＝，f()＝1，故函数f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－1.
17．(2010广东，14分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f(α＋)＝，求sinα.
解：(1)T＝.
(2)由题设可知A＝4且sin(3×＋φ)＝1，则φ＋＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵0<φ<π，∴φ＝. ∴f(x)＝4sin(3x＋)．
(3)∵f(α＋)＝4sin(2α＋)＝4cos2α＝，∴cos2α＝. ∴sin2α＝(1－cos2α)＝.
∴sinα＝±.
第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用
考点 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
1．函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )
解析：本题考查函数的性质在分析判断函数图象中的综合运用，考查一般与特殊的数学思想方法，考查运算求解能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当0
答案：D
2．(2013福建，5分)将函数f(x)＝sin (2x＋θ)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P，则φ的值可以是( )
A. B. C. D.
解析：本题主要考查三角函数图像的变换及三角函数值求角等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．因为函数f(x)的图像过点P，所以θ＝，所以f(x)＝sin；又函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝sin，所以sin＝，所以φ可以为.
答案：B
3．(2013四川，5分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4，
解析：本题考查三角函数的图象及基本性质，意在考查考生从图象中得到函数性质的转化能力．因为－＝·，所以ω＝2，又因为2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－<φ<，所以φ＝－，故选A.
答案：A
4．(2013安徽，12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．
(1)f(x)＝4cos ωx·sin＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
5．(2012浙江，5分)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析：变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A选项正确．
答案：A
6．(2011新课标全国，5分)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在(0，)单调递减 B．f(x)在(，)单调递减
C．f(x)在(0，)单调递增 D．f(x)在(，)单调递增
解析：y＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ＋)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<可得φ＝，所以y＝cos2x，在(0，)单调递减．
答案：A
7．(2010福建，4分)已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________________．
解析：∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，所以f(x)与g(x)的最小正周期相等，
∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin(2x－)≤1， ∴－≤3sin(2x－)≤3，
即f(x)的取值范围为[－，3]．
答案：[－，3]
8．(2009江苏，5分)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由图中可以看出：T＝π，∴T＝π＝， ∴ω＝3. 答案：3
第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点 两角和与差的三角函数
1．(2013四川，5分)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力．因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－.又α∈，所以α＝，tan 2α＝tan ＝.
答案：
2．(2012山东，5分)若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B. C. D.
解析：因为θ∈[，]，所以2θ∈[，π]，所以cos 2θ<0，
所以cos 2θ＝－＝－.又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，
所以sin2θ＝，所以sin θ＝.
答案：D
3．(2012辽宁，5分)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( )
A．－1 B．－ C. D．1
解析：由sin α－cos α＝sin (α－)＝，α∈(0，π)，解得α＝，
所以tan α＝tan ＝－1.
答案：A
4．(2013新课标全国Ⅱ，5分)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．
法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，
因而sin θ＋cos θ＝ sin＝－.
法二：如果将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tan θ＝－.又因为θ在第二象限，则sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝－.
答案：－
5．(2013重庆，12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2 ＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
解：本题主要考查解三角形问题，意在考查考生对公式的运用能力．
(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cos C＝＝＝－. 故C＝.
(2)由题意得
＝.
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，
tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝. ①
因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，
因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝， 解得sin Asin B＝－＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.
6．(2011辽宁，5分)设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝( )
A．－ B．－ C. D.
解析：sin2θ＝－cos(＋2θ)＝2sin2(＋θ)－1＝2×()2－1＝－.
答案：A
7．(2010新课标全国，5分)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B. C．2 D．－2
解析：∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－，
∴＝＝＝
＝＝＝＝－.
答案：A
8．(2010福建，5分)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( )
A. B. C. D.
解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
答案：A
9．(2012江苏，5分)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
解析：因为α为锐角，cos(α＋)＝，所以sin(α＋)＝，sin 2(α＋)＝，
cos 2(α＋)＝，所以sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝×＝.
答案：
第6节 三角恒等变形
考 点 三角恒等变换
1．（2013广东，12分）已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
解：本题主要考查函数与三角函数的基础知识与运算、同角三角函数关系、特殊三角函数值、两角和与差的三角函数．在考查基础知识的同时突出基本运算能力，与2012年三角题相比较，试卷结构稳定，涉及求值知识点，稳定平和中有亮点，为高考复习作出了较好的方向指向．
(1)f＝cos＝cos＝×＝1.
(2)∵cos θ＝，θ∈，
∴sin θ＜0，sin θ＝－＝－.
故f＝cos＝cos＝
＝＝cos θ＋sin θ＝－＝－.
2．(2010天津，12分)在△ABC中，＝.
(1)证明B＝C；
(2)若cosA＝－，求sin(4B＋)的值．
解：(1)证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π＜B－C＜π，从而B－C＝0.
所以B＝C.
(2)由A＋B＋C＝π和(1)得A＝π－2B，故cos2B＝－cos(π－2B)＝－cosA＝.
又0＜2B＜π，于是sin2B＝＝.
从而sin4B＝2sin2Bcos2B＝，cos4B＝cos22B－sin22B＝－.
所以sin(4B＋)＝sin4Bcos＋cos4Bsin＝.
3．(2009·广东，12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cosφ的值．
解：(1)∵a⊥b，
∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ. ∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝.
∵θ∈(0，)，∴cosθ＝⇒sinθ＝.
(2)法一：由sin(θ－φ)＝有，
sinθcosφ－cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ－，
∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2cosφ＋＝1 ⇒5cos2φ－2cosφ－＝0.
解得cosφ＝，cosφ＝－， ∵0＜φ＜，∴cosφ＝.
法二：∵0＜θ，φ＜，∴－＜θ－φ＜. 所以cos(θ－φ)＝＝.
故cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)
＝·＋·＝.
4．(2012广东，12分)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(5α＋π)＝－，f(5β－π)＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)∵f(x)＝2cos(ωx＋)，ω>0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos(x＋)，
而α，β∈[0，]，f(5α＋)＝－，f(5β－)＝，
∴2cos[(5α＋)＋]＝－，2cos[(5β－)＋]＝，
即cos(α＋)＝－，cos β＝，于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
5．(2011江苏，14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
解：(1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.
故△ABC是直角三角形，且B＝. 所以sinC＝cosA＝.
6．(2009山东，12分)(本小题满分12分)设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝，
f()＝－，且C为锐角，求sinA.
解：(1)f(x)＝cos2xcos－sin2xsin＋
＝cos2x－sin2x＋－cos2x＝－sin2x.
所以，当2x＝－＋2kπ，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，
f(x)取得最大值，f(x)max＝，f(x)的最小正周期T＝＝π，
故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.
(2)由f()＝－，即－sinC＝－，
解得sinC＝，又C为锐角，所以C＝.
由cosB＝求得sinB＝.
因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.
第7节 正弦定理和余弦定理
考点 正、余弦定理及其应用
1．(2013天津，5分)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝( )
A. B. C. D.
解析：本题考查三角形中余弦定理、正弦定理的应用，意在考查考生分析问题的能力．由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.
再由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝.
答案：C
2．(2013湖南，5分)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于( )
A. B. C. D.
解析：本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力．由正弦定理可得，2asin B＝b可化为2sin Asin B＝sin B，又sin B≠0，所以sin A＝，又△ABC为锐角三角形，得A＝.
答案：A
3．(2013陕西，5分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝a sinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用．依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，∴A＝，故选B.
答案：B
4．(2013安徽，5分)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________.
解析：本题考查正弦定理和余弦定理的应用．由3sin A＝5sin B可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，
可得cos C＝＝＝－，故C＝.
答案：
5．(2013福建，4分)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
解析：本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．
因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，
所以sin＝，所以cos∠BAD＝，
在△BAD中，由余弦定理得，
BD＝＝ ＝.
答案：
6．(2013浙江，4分)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.
解析：本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算有关的问题．考查考生灵活利用公式的能力．△ABM中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0 ，＝，故sin∠BAC＝＝.
答案：
7．(2013新课标全国Ⅰ，12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解：本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力．
(1) 由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，
由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos30°＝.故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝.
8．(2013江西，12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解：本题主要考查三角变换与解三角形知识，意在考查考生综合运用知识的能力．
(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos A cos B－ sin Acos B＝0，
即有sin Asin B－ sin Acos B＝0，
因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝ ，又0
(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B.
因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝32＋.
又0
A. B．－ C．± D.
解析：由C＝2B得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理及8b＝5c
得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝2×()2－1＝.
答案：A
10．(2011辽宁，5分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝( )
A．2 B．2 C. D.
解析：由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB·(sin2A＋cos2A)＝sinA，所以sinB＝sinA.∴＝＝.
答案：D
11．(2010湖南，5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则( )
A．a>b B．a
解析：法一：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，b2＋ab－a2＝0，
即()2＋－1＝0， ＝<1，故b
b2＋ab－a2＝0，b＝，由a
12．(2011新课标全国，5分)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为____．
解析：在△ABC中，根据＝＝，得AB＝·sinC＝sinC＝2sinC，同理BC＝2sinA，因此AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin(π－C)＝4sinC＋2cosC＝2sin(C＋φ)(tanφ＝)，因此AB＋2BC的最大值为2.
答案：2
13．(2011北京，5分)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝____；
a＝____.
解析：因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sinA＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2.
答案： 2
14．(2010江苏，5分)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝6cosC，则＋的值是________．
解析：取a＝b＝1，则cosC＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝，∴c＝，
在如图所示的等腰三角形ABC中，
可得tanA＝tanB＝，又sinC＝，tanC＝2，
∴＋＝4.
另解：由＋＝6cosC得，＝6·，即a2＋b2＝c2，
∴＋＝tanC(＋)＝＝＝4.
答案：4
15．(2012新课标全国，12分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
解：(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得
sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.
因为B＝π－A－C，所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sin(A－)＝. 又0＜A＜π，故A＝.
(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
16． (2012浙江，14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为0＜A＜π，cos A＝，得sin A＝＝.
又cos C＝sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋sin C.
所以tan C＝.
(2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝.
于是sin B＝cos C＝. 由a＝及正弦定理＝，得c＝.
设△ABC的面积为S，则S＝acsin B＝.
17．(2010辽宁，12分) (本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)求sinB＋sinC的最大值．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得cosA＝，
故cosA＝－，A＝120°.
(2)由(1)得：sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝cosB＋sinB＝sin(60°＋B)．
故当B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.
第8节 解三角形应用举例
考点 解三角形在实际中的应用
1．(2013江苏，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：本题考查正弦、余弦定理，二次函数的最值，两角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生阅读审题建模的能力和解决实际问题的能力．
(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以
sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内．
2．(2010福建，12分)(本小题满分13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
解：法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝＝＝ .
故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.
即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B处相遇．则
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.
∵0
又t＝时，v＝30.
故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．
设小艇与轮船在C处相遇．在Rt△OAC中，OC＝20cos 30°＝10，AC＝20sin 30°＝10.
又AC＝30t，OC＝vt.
此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30.
即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.
又∠OAD＝60°，所以AD＝DO＝OA＝20，解得t＝.
据此可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．
证明如下：
如图，由(1)得OC＝10，AC＝10；故OC>AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．
设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，CD＝10tan θ，OD＝.
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为
t＝和t＝， 所以，＝.
由此可得，v＝. 又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.
从而，30°≤θ<90°.
由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为.
于是，当θ＝30°时，t＝取得最小值，且最小值为.
法三：(1)同法一或法二．
(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
(v2－900)t2＋600t－400＝0.
(ⅰ)若0
得v≥15. 从而，t＝，v∈[15，30)．
①当t＝时，
令x＝，则x∈[0,15)，t＝＝≥，
当且仅当x＝0即v＝15时等号成立．
②当t＝时，同理可得
(ⅱ)若v＝30，则t＝；
综合(ⅰ)、(ⅱ)可知，当v＝30时，t取最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第1节 平面向量的概念及其线性运算
考点 平面向量的概念与线性运算
1．（2013重庆，5分）在平面上，⊥，| |＝| |＝1，＝＋.若| |<，则||的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：本题考查向量问题和圆中的最值问题，意在考查考生的转化化归以及逻辑思维能力．由题意得点B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心半径为的圆内，又⊥，＝＋，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，||最大，为，当P在半径为的圆周上时，||最小，为，故选D.
答案：D
2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
解析：本题考查平面向量的基本定理及基本运算，是基本题目，意在考查考生的运算求解能力．
选向量的基底为，，则＝－，＝＋，那么·＝·(－)＝2.
答案：2
3．（2013山东，4分）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解析：本题考查平面向量的线性运算、数量积运算、向量垂直的充要条件等基础知识．＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ＋＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.
答案：
4.(2013四川，5分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
解析：本题主要考查平面向量的运算，意在考查数形结合的思想．＋＝＝2，故λ＝2.
答案：2
5．（2010安徽，5分）设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a ·b＝ C．a∥b D．a－b与b垂直
解析：|a|＝＝1，|b|＝＝；
a·b＝1×＋0×＝；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．
答案：D
6．(2009·广东，5分)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．2 B．2
C．2 D．6
解析：本题实际上是求与的和向量，由余弦定理||2＝||2＋| |2－2||·||·cos∠OF1F3＝4＋16－2·2·4·(－)＝28.
∴||＝2，故选A.
答案：A
7.（2010山东，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
解析：如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．根据题意得劣弧D＝2，故∠DCP＝2弧度，则在△PCQ中，∠PCQ＝(2－)弧度，|CQ|＝cos(2－)＝sin 2，|PQ|＝sin(2－)＝－cos 2，所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量的坐标．
答案：(2－sin 2,1－cos 2)
8．（2010浙江，4分）在△ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
解析：·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝－＝9－×100＝－16.
答案：－16
9．（2011浙江，4分）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
解析：对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S0＝|α||β|·sin〈α，β〉×2＝|β|sin〈α，β〉＝，因此sin〈α，β〉＝∈[，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[，]．
答案：[，]
10．（2010浙江，4分）已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．
解析：如图，设＝α，＝β，则在△ABC中，∠ACB＝60°，
根据正弦定理＝，即|α|＝＝sin∠ABC，由于0°<∠ABC<120°，
所以0
第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
考点 平面向量的基本定理及坐标表示
1．（2013浙江，5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
解析：选D 本题主要考查平面向量的运算，向量的模、数量积的概念，向量运算的几何意义等，意在考查利用向量解决简单的平面几何问题的能力．设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(－2,0)，B(2,0)，则P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，∴＝(2－x,0)，＝(a－x，b)．∴＝(1,0)，＝(a－1，b)．
则·≥·⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，
即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．
∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.
即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC.
2．（2013辽宁，5分）已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 本题主要考查向量的坐标表示．由已知， 得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与同方向的单位向量是＝.
3．（2013福建，5分）在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
解析：选C 本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况．依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.
4．（2013陕西，5分）已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2), 若a∥b, 则实数m等于( )
A．－ B.
C．－或 D．0
解析：选C 本题主要考查向量平行的充要条件的坐标表示．a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，∴m＝±.
5．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，考查转化思想和运算能力．＝－＝(3,2－t)，由题意知·＝0，所以2×3＋2(2－t)＝0，t＝5.
答案：5
6．（2013北京，5分）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
解析：本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等基础知识，意在考查方程思想和考生的运算求解能力．设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
答案：4
7．（2012安徽，5分）在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)
解析：画出草图，可知点Q落在第三象限，则可排除B、D；代入A，cos∠QOP＝＝＝，所以∠QOP＝.代入C，cos∠QOP＝＝≠，故答案为A.
答案：A
8．（2010新课标全国，5分）a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)，由cos〈a，b〉＝＝.
答案：C
9．（2011北京，5分）已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝____.
解析：因为a－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c得×－3k＝0，解得k＝1.
答案：1
10．（2010陕西，5分）已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
解析：由已知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.
答案：－1
11．(2009·广东，5分)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.
解析：设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)
由题意⇒
∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
考点一 平面向量的数量积
1．（2013湖南，5分）已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
解析：本小题主要考查单位向量和向量的模的概念、向量垂直的条件，考查转化化归、数形结合、特殊与一般等数学思想．由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝，故由几何性质得 －1≤|c|≤ ＋1，即－1≤|c|≤＋1.
答案：A
2．（2013湖北，5分）已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念，意在考查考生对基础知识的掌握情况．＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影为||cos〈，〉＝||＝＝＝，故选A.
答案：A
3．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2.
答案：2
4．（2013浙江，4分）设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．
解析：本题考查向量的概念、运算、函数的最值等知识，考查转化与化归能力、函数与方程思想以及灵活利用知识分析问题、解决问题的能力．当x＝0时，＝0，当x≠0时，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，当且仅当＝－时取到最大值．
答案：2
5．（2013天津，5分）在平行四边形ABCD中， AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1, 则AB的长为________．
解析：本题考查平面向量的运算，意在考查考生的运算求解能力．设||＝x，x＞0，则·＝x.又·＝(＋)·(－)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.
答案：
6．（2013江西，5分）设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．
解析：本题考查向量的数量积、向量的射影及模长公式，意在考查考生的运算能力．依题意得|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，|b|＝2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝.
答案：
7．（2012辽宁，5分）已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
解析：由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.
答案：B
8．（2012湖南，5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝( )
A. B.
C．2 D.
解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c.·＝1，即accos B＝－1.在△ABC中，再根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，及AB＝c＝2，AC＝b＝3，可得a2＝3，即BC＝.
答案：A
9．（2011广东，5分）若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c， 则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案：D
10．（2011辽宁，5分）若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )
A.－1 B．1
C. D．2
解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，
因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，
故|a＋b－c|≤1.
答案：B
11．（2010辽宁，5分）平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于( )
A. B.
C. D.
解析：因为cos〈a，b〉＝，
所以sin∠AOB＝sin〈a，b〉＝ ，
则S△AOB＝×|a|×|b|×sin∠AOB＝×.
答案：C
12．（2010湖南，5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：法一：因为cosA＝， 故·＝||||cosA＝AC2＝16.
法二：在上的投影为||cosA＝||，故·＝||||cosA＝AC2＝16.
答案：D
13．(2009·福建，5分)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为两边的三角形的面积 B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
解析：∵|b·c|＝|b|·|c||cosθ|，
如图，∵a⊥c，∴|b·cosθ|就是以a、b为邻边的平行四边形的高，而|a|＝|c|，
∴|b·c|＝|a|(|b|·|cosθ|)，∴|b·c|表示以a、b为邻边的平行四边形的面积．
答案：C
14．（2012新课标全国，5分）已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
解析：依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos 45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，∴|b|＝＝3(负值舍去)．
答案：3
15．（2012安徽，5分）若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
解析：由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－，当且仅当2a＝－b时取等号．
答案：－
16. （2012江苏，5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.
答案：
考点二 平面向量的应用
1.（2013湖南，5分）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )
A．2 B．1
C. D.
解析：本小题主要考查对称性和解析法，考查转化化归、数形结合等数学思想．以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D，设AP＝x，从而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4－x)、P2(－x,0)与△ABC的重心D共线，
所以＝，求得x＝.
答案：D
2．（2013辽宁，12分）设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质．
(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
3．（2011山东，5分）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ (λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是( )
A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
解析：不妨设A(0,0)，B(1,0)，C(c,0)，D(d,0)，
根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，
即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c＝λ； (d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，
即(d,0)＝μ(1,0), 得d＝μ.根据＋＝2，
得＋＝2.线段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．
若C是线段AB的中点，则c＝，代入＋＝2，
得＝0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；
若C，D同时在线段AB上，则0
此时＋<1，与＋＝2矛盾．故选项D的说法是正确的．
答案：D
4．(2009·宁夏、海南，5分)已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋NC＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：||＝||＝||，即点O到三点A、B、C的距离相等，
所以点O为△ABC的外心．
如图，设D为BC边中点，
则＋＝2.
∵＋＋＝0 ∴＋2＝0，
∴＝2，∴A、D、N三点共线，
∴点N在BC边的中线上，
同理点N也在AB、AC边的中线上，所以点N是重心．
∵·＝·， ∴·－·＝0，
∴·(－)＝0，∴·＝0，∴⊥.
同理，⊥，⊥，∴点P是△ABC的垂心．
答案：C
5．(2009·天津，4分)在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________．
解析：由＝＝(1,1) 知AB綊DC.
又＋＝·知四边形ABCD为菱形，且AB＝AD＝，
又∵(＋)2＝3，∴∠ABC＝60°，BD＝.
在△ABD中，由余弦定理cos∠BAD＝＝－.
故sin∠BAD＝，∴SABCD＝××＝.
答案：
6．（2012湖北，12分）已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ
＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点(，0)，得f()＝0，
即λ＝－2sin(×－)＝－2sin＝－，即λ＝－.
故f(x)＝2sin(x－)－，
由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin(x－)≤1，
得－1－≤2sin(x－)－≤2－，
故函数f(x)在[0，]上的取值范围为[－1－，2－ ]．
7.（2011安徽，13分）设λ>0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程．
解：由＝λ知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，
则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①
再设B(x1，y1)，由＝λ，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，
解得②
将①式代入②式，消去y0，得
③
又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，再将③式代入y1＝x，
得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，
(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，
2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.
因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.
故所求点p的轨迹方程为y＝2x－1.
第4节 数系的扩充与复数的引入
考点一 复数的概念
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B.－ C.4 D.
解析：本题考查复数的概念、模的运算和复数的除法运算等知识，意在考查考生对复数的有关概念的理解与认识和运算能力．解题时，先根据复数模的运算求出等式右边的数值，再利用复数的除法运算法则进行化简计算，求出复数z，确定其虚部．因为|4＋3i|＝ ＝5，所以已知等式为(3－4i)z＝5，即z＝＝＝＝＝＋i，所以复数z的虚部为，选择D.
答案：D
2．（2013广东，5分）若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2,4) B．(2，－4) C．(4，－2) D．(4,2)
解析：本题考查复数的除法运算及几何意义，考查考生对复数代数运算的简单了解．由iz＝2＋4i，可得z＝＝＝4－2i，所以z对应的点的坐标是(4，－2)．
答案：C
3．（2013安徽，5分）设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
解析：本题考查了复数的代数运算、共轭复数和复数相等的概念，意在检测考生对基础知识和基本技能的掌握．设出复数的代数形式，利用复数相等直接求解．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，
∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
答案：A
4．（2013福建，5分）已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：本题考查复数的共轭复数的概念与复数的几何意义等基础知识，意在考查考生对概念的理解与应用能力．∵＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴复数z在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限．
答案：D
5．（2013湖南，5分）复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：小题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，属容易题．∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．
答案：B
6．（2013陕西，5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则＝ B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2· D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：本题考查共轭复数、复数的模、复数的运算以及命题真假的判断，意在考查考生综合运用知识的能力和逻辑推理能力．依据复数概念和运算，逐一进行推理判断．对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒＝，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋ i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．
答案：D
7．（2013湖北，5分）在复平面内，复数 z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：本题主要考查复数的基本运算和基本概念，意在考查考生的运算求解能力．z＝＝＝1＋i的共轭复数为1－i，对应的点为(1，－1)在第四象限．
答案：D
8．（2013四川，5分）如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B C．C D．D
解析：本题考查共轭复数的概念，意在考查考生对数形结合的思维方法的运用．因为x＋yi的共轭复数是x－yi，故选B.
答案：B
9．（2012新课标全国，5分）下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2， p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
解析：∵复数z＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．
答案：C
10．（2012湖南，5分）复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
解析：∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴＝－1－i.
答案：A
11．（2012陕西，5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
12．（2011山东，5分）复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝＝＝－i，其对应的点在第四象限．
答案：D
13．（2012江苏，5分）设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
解析：∵a＋bi＝＝＝5＋3i，∴a＝5，b＝3，故a＋b＝8.
答案：8
14．（2011江苏，5分）设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．
解析：z＝－1＝1＋3i，所以z的实部是1.
答案：1
15．（2010北京，5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为________．
解析：＝＝－1＋i，故其对应的点的坐标是(－1,1)．
答案：(－1,1)
考点二 复数的运算
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B.－1－i C.1＋i D.1－i
解析：本题主要考查复数的基本运算，属于基本能力题．z＝＝－1＋i，故选A.
答案：A
2．（2013山东，5分）复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i
解析：本题考查复数的概念、复数代数形式的运算等基础知识，考查运算求解能力．由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋＝3＋＝3＋2＋i＝5＋i，所以＝5－i.
答案：D
3．（2013浙江，5分）已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i
解析：本题主要考查复数的概念、复数的乘法运算法则，考查考生的运算能力．按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.
答案：B
4．（2013辽宁，5分）复数z＝的模为( )
A. B. C. D．2
解析：由已知，得z＝＝－－i，所以|z|＝.
答案：B
5．（2013江西，5分）已知集合M{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )
A．－2i B．2i C．－4i D．4i
解析：本题考查集合的交集运算及复数的四则运算，意在考查考生的运算能力．由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，故z＝＝＝－4i.
答案：C
6．（2013天津，5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
7．（2013重庆，5分）已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析：本题考查复数代数形式的四则运算，意在考查考生的计算能力.
＝＝2＋i，所以|z|＝.
答案：
8．（2013江苏，5分）设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
解析：本题考查复数的运算，复数的模的运算，意在考查学生的运算能力．
|z|＝|(2－i)2|＝|3－4i|＝5.
答案：5
9．(2012山东，5分)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
解析：z＝＝＝＝3＋5i.故选A.
答案：A
10．(2012福建，5分)若复数z满足zi＝1－i，则z等于( )
A．－1－i B．1－i C．－1＋i D．1＋i
解析：z＝＝＝－1－i.
答案：A
11．(2012浙江，5分)已知i是虚数单位，则＝( )
A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i
解析：＝＝1＋2i.
答案：D
12．（2011新课标全国，5分）复数的共轭复数是( )
A．－i B. C．－i D．i
解析：＝＝i，∴的共轭复数为－i.
答案：C
13．（2011福建，5分）i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )
A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.∈S
解析：∵i2＝－1，∴－1∈S.
答案：B
14．（2011辽宁，5分）a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝( )
A．2 B. C. D．1
解析：由已知||＝2得||＝|(a＋i)·(－i)|＝|－ai＋1|＝2，
所以 ＝2，∵a＞0，∴a＝.
答案：B
15．（2011北京，5分）复数＝( )
A．i B．－i C．－－i D．－＋i
解析：因为＝＝＝i.
答案：A
16．（2011湖南，5分）若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
解析：由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.
答案：D
17．（2010广东，5分）若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( )
A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i
解析：z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.
答案：A
18．（2010福建，5分）对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b＋c＋d等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．i
解析：根据集合元素的唯一性，知b＝－1，由c2＝－1得，c＝±i，
因为对任意x，y∈S必有xy∈S，所以当c＝i时d＝－i；
当c＝－i时，d＝i，所以b＋c＋d＝－1.
答案：B
19．（2010浙江，5分）对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析：|z|＝≤＝＝|x|＋|y|，D正确，易知A、B、C错误．
答案：D
20．（2010辽宁，5分）设a，b为实数，若复数＝1＋i，则( )
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
解析：等式的两边同乘以a＋bi，整理得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，
则∴a＝，b＝.
答案：A
21．(2009·宁夏、海南，5分)复数－＝( )
A．0 B．2 C．－2i D．2i
解析：－＝－＝－＝i＋i＝2i.
答案：D
22．(2009·安徽，5分)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15 B．－3 C．3 D．15
解析：＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，
∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－1×3＝－3.
答案：B
23．（2012湖南，5分）已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
解析：因为z＝(3＋i)2＝8＋6i，所以|z|＝＝10.
答案：10
24．（2010江苏，5分）设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．
解析：∵z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝，∴|z|＝＝2.
答案：2
25．(2009·福建，4分)若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
解析：∵＝a＋bi，∴＝a＋bi，
即1＋i＝a＋bi，∴a＝1，b＝1，∴a＋b＝2.
答案：2
第5章 数列
第1节 数列的概念及其函数特性
考点 数列通项公式的求解
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
解析：本题考查等比数列的定义、Sn与an之间的关系，意在考查考生利用分类讨论思想和等比数列的定义求解an的能力．求解本题时，按照n＝1和n≥2两种情况分类解答，当n≥2时，由已知得到Sn－1＝an－1＋，然后作差得an的表达形式，再利用等比数列的定义和通项公式求解．当n＝1时，由已知Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，由已知得到Sn－1＝an－1＋，所以an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1, 所以an＝－2an－1，所以数列{an}为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
2．（2013江西，5分）正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：本题主要考查数列的概念、一元二次方程、裂项求数列的和，旨在考查考生的转化、化归能力与运算求解能力．
(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以an＝2n.
(2)由an＝2n，bn＝，
则bn＝＝.
Tn＝＝＝.
3．（2010安徽，5分）设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B.16
C．49 D．64
解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.
答案：A
4．（2012湖北，5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：
(1)b2012是数列{an}中的第________项；
(2)b2k－1＝________.(用k表示)
解析：求出数列{an}，{bn}的通项公式．由题意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n∈N*，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由上述规律可知：b2k＝a5k＝(k为正整数)，b2k－1＝a5k－1＝＝，
故b2 012＝b2×1 006＝a5×1 006＝a5 030，即b2 012是数列{an}中的第5 030项。
答案：(1)5 030；(2)
5．（2010辽宁，5分）已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
解析：在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；
令n＝2得，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．
把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝＝n2－n，
∴an＝n2－n＋33.
∴＝＝n＋－1≥2－1，
当且仅当n＝，即n＝时取等号，而n∈N*， ∴“＝”取不到．
∵5<<6，
∴当n＝5时，＝5－1＋＝，
当n＝6时，＝6－1＋＝＝，
∵>， ∴的最小值是.
答案：
第2节 等差数列及其前n项和
考点一 等差数列的通项公式
1．（2013安徽，5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
解析：本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算，意在考查考生的运算求解能力．
根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.
答案：A
2．（2013新课标全国Ⅰ，12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解：本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列求和等．
(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝＝，从而数列的前n项和为＝.
3．（2013新课标全国Ⅱ，12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式及等差数列的求和，意在考查考生的运算求解能力．
(1)设{an}的公差为d.由题意，a＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝·(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
4．（2013山东，12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.
解：本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法等知识，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力．
(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得
解得a1＝1，d＝2.
因此an＝2n－1，n∈N*.
(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，
当n＝1时，＝；
当n≥2时，＝1－－＝，
所以＝，n∈N*.
由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝，n∈N*.
又Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Tn＝＋－＝－－，
所以Tn＝3－.
5．（2012福建，5分）等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：在等差数列{an}中，∵a1＋a5＝10，∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，
∴所求的公差为2.
答案：B
6．(2009·福建，5分)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )
A．1 B. C．2 D．3
解析：∵S3＝＝6，而a3＝4，∴a1＝0，∴d＝＝2.
答案：C
7．（2012广东，5分）已知递增的等差数列|an|满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由已知得即
解得
由于等差数列{an}是递增的等差数列，因此
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
答案：2n－1
8．(2011辽宁，12分)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
，解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(5分)
(2)设数列{}的前n项和为Sn， 即Sn＝a1＋＋…＋，
故S1＝1，＝＋＋…＋，
所以，当n＞1时，
＝a1＋＋…＋－＝1－(＋＋…＋)－
＝1－(1－)－＝.
所以Sn＝.
综上，数列{}的前n项和Sn＝.(12分)
考点二 等差数列的前n项和
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：本题考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式，意在考查考生通过等差数列的定义、通项公式、前n项和公式求解基本量的能力．根据已知条件，得到am和am＋1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，
由
得解得选择C.
答案：C
2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．
解析：本题考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识，对学生分析、转化、计算等能力要求较高．
由已知解得a1＝－3，
d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函数f(x)＝－在x＝处取得极小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49.
∴nSn 的最小值为－49.
答案：－49
3．（2013福建，12分）已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；
(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围．
解：本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．
(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，
即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.
(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>a＋8a1，
即a＋3a1－10<0，解得－5
A．58 B．88 C．143 D．176
解析：因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，
则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88.
答案：B
5．（2012浙江，5分）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
解析：A、B、D均正确，对于C，若首项为－1，d＝2时就不成立．
答案：C
6．（2011天津，5分）已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( )
A．－110 B．－90 C．90 D．110
解析：因为a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3a9，又因为公差为－2，
所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，
通项公式为an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，
所以S10＝＝5(20＋2)＝110.
答案：D
7．（2010福建，5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，
∴d＝＝2， ∴a6＝－1<0，a7＝1>0，
故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.
答案：A
8．（2011广东，5分）等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝____________.
解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，
得9×1＋d＝4×1＋d，所以d＝－.又ak＋a4＝0，
所以[1＋(k－1)×(－)]＋[1＋(4－1)×(－)]＝0. 即k＝10.
答案：10
9．（2011湖南，5分）设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝______.
解析：设数列的公差为d，则3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝5×1＋×2＝25.
答案：25
10．(2010山东，12分)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2.
由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，
所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)因为an＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)，
因此bn＝＝(－)．
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝，
所以数列{bn}的前n项和Tn＝.
11． (2009·江苏，14分)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．
解：(1)设公差为d，则a－a＝a－a. 由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，
因为d≠0.所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0，
又由S7得7a1＋d＝7. 解得a1＝－5，d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－7， 前n项和Sn＝n2－6n.
(2)＝.
令2m－3＝t，＝＝t＋－6，
因为t是奇数，且t＋－6为整数，
所以t可取的值为±1.
当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3，
2×5－7＝3是数列{an}中的项；
t＝－1，m＝1时，t＋－6＝－15，
数列{an}中的最小项是－5不符合．
所以满足条件的正整数m＝2.
考点三 等差数列的性质及应用
1．（2013广东，5分）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
解析：本题主要考查等差数列，考查考生的运算能力．利用等差数列的性质可快速求解．因为a3＋a8＝10，所以3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
答案：20
2．（2012江西，5分）设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
解析：法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
法二：∵2a3＝a1＋a5,2b3＝b1＋b5，
∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35.
答案：35
3．(2012安徽，12分)设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0.
证明{an}为等差数列的充分必要条件是：
对任何n∈N，都有＋＋…＋＝.
证明：先证必要性．
设数列{an}的公差为d，若d＝0，则所述等式显然成立．
若d≠0，则
＋＋…＋
＝(＋＋…＋)
＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(－)
＝·＝.
再证充分性．
法一：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N都成立．
首先，在等式
＋＝①
两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，
所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.
假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时
＋＋…＋＝，②
＋＋…＋＋＝.③
将②代入③，得
＋＝，
在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak，
将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.
由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有an＝a1＋(n－1)d.
所以{an}是公差为d的等差数列．
法二：(直接证法)依题意有
＋＋…＋＝，①
＋＋…＋＋＝.②
②－①得
＝－.
在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③
同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1.④
③－④得
2nan＋1＝n(an＋2＋an)．
即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an}是等差数列．
第3节 等比数列及其前n项和
考点一 等比数列的通项公式
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3 ＝ a2 ＋10a1 ，a5＝9，则a1＝( )
A. B．－ C. D．－
解析：本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力．由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝，故选C.
答案：C
2．（2013北京，5分）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想以及考生的运算求解能力．
q＝＝2，又a2＋a4＝20，故a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋1－2.
答案：2 2n＋1－2
3.（2013湖北，12分）已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
解：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式、不等式等基础知识和基本方法，考查方程思想、分类与整合思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．
(1) 设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得
解得或
故an＝·3n－1，或an＝－5·(－1)n－1.
(2)若an＝·3n－1，则＝·n－1，故是首项为，公比为的等比数列，
从而＝＝·<<1.
若an＝－5·(－1)n－1，则＝－(－1)n－1，故是首项为－，公比为－1的等比数列，
从而＝故<1.
综上，对任何正整数m，总有<1.
故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．
4．（2012辽宁，5分）已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案：2n
5．（2010福建，4分）在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
解析：∵在等比数列{an}中，前3项之和等于21，
∴＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.
答案：4n－1
6．(2011新课标全国，12分)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．
解：(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q＞0，
故q＝. 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2(－)．
＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.
所以数列{}的前n项和为－.
考点二 等比数列的前项和
1．（2013辽宁，5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析：本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况．由题意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由数列是递增数列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比数列的求和公式得S6＝63.
答案：63
2．（2013湖北，13分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式，也考查了分类讨论思想．
(1)设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.由题意得
即
解得故数列{an}的通项公式为an＝3(－2)n－1.
(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.
若存在n，使得Sn≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.
当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；
当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，则n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
3．（2013陕西，12分）设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解：本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法．
(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
4．（2010广东，5分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝( )
A．35 B．33 C．31 D．29
解析：设数列{an}的公比为q，a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1⇒a4＝2，
a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×⇒q＝，
故a1＝＝16，S5＝＝31.
答案：C
5．（2010安徽，5分）设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析：根据等比数列的性质：若{an}是等比数列，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，即X，Y－X，Z－Y成等比数列，
故(Y－X)2＝X(Z－Y)，整理得Y(Y－X)＝X(Z－X)，故选D.
答案：D
6．（2010辽宁，5分）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )
A. B. C. D.
解析：显然公比q≠1，由题意得，，解得，
∴S5＝＝＝.
答案：B
7．（2010天津，5分）已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5 B.或5 C. D.
解析：由题意可知＝，解得q＝2，
数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝.
答案：C
8．(2009·辽宁，5分)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B. C. D．3
解析：由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.
答案：B
考点三 等比数列的性质及应用
1．（2013江西，5分）等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
解析：选A 本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况．由等比数列的前三项为x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x＝－3，公比q＝＝2，所以第四项为(6x＋6)×q＝－24.
2．（2013江苏，5分）在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．
解析：本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力．
设等比数列{an}的公比为q(q>0)．由a5＝，a6＋a7＝3，可得(q＋q2)＝3，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，所以an＝2n－6，数列{an}的前n项和Sn＝2n－5－2－5，所以a1a2…an＝(a1an)＝2，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可得2n－5－2－5>2，由2n－5>2，可求得n的最大值为12，而当n＝13时，28－2－5>213不成立，所以n的最大值为12.
答案：12
3．（2012新课标全国，5分）已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5 C．－5 D．－7
解析：设数列{an}的公比为q，由
得或所以或
所以或所以a1＋a10＝－7.
答案：D
4．（2010北京，5分）在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝( )
A．9 B．10 C．11 D．12
解析：由题知am＝|q|m－1＝a1a2a3a4a5＝|q|10，所以m＝11.
答案：C
5．（2012浙江，4分）设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝____________.
解析：∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，
解得q＝－1(舍去)或q＝.
答案：
6．(2011江西，12分)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，
b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
解：(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.
所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．
由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得
a＝.
第4节 数列求和
考点一 等差数列与等比数列的综合
1．（2013福建，5分）已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是( )
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm
解析：本题考查等比数列的定义与通项公式、等差数列前n项和的公式等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、公式应用能力和运算求解能力．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，所以cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝aqm(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝aqm2(n－1)＋＝aqm2(n－1)＋，因为＝＝qm2，所以数列{cn}为等比数列，公比为qm2.
答案：C
2．（2013重庆，5分）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
解析：本题考查等差、等比数列的基本量运算，意在考查考生的基本运算能力．因为{an}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.
答案：64
3．（2013江苏，16分）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中 c为实数．
(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；
(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.
证明：本题考查等差、等比数列的定义，通项及前n项和，意在考查考生分析问题、解决问题的能力与推理论证能力．
由题设，Sn＝na＋d.
(1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.又b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4，即2＝a，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.
因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.
从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈N*，有
n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1)．
令A＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)
在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得
A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，
从而有
由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.
即d1－d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0.
若d1＝0，则由d1－d＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.
又cd1＝0，所以c＝0.
4．（2013浙江，14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2,5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2) 若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式，求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．
(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，
即d2－3d－4＝0. 故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则
当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
综上所述，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
5．（2013四川，12分）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
解：本题考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合等数学思想．设该数列公差为d，前n项和为Sn.由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)．
所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，
解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.
所以，数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝.
6．(2009·宁夏、海南，5分)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )
A．7 B．8 C．15 D．16
解析：∵4a1,2a2，a3成等差数列，∴4a2＝4a1＋a3.
∵{an}是等比数列，∴4a1·q＝4a1＋a1q2，a1＝1.
∴q2－4q＋4＝0，q＝2，∴S4＝＝15.
答案：C
7．（2011江苏，5分）设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
解析：设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}，故q的最小值是.
答案：
8．（2012山东，12分）在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
解：(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.
设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45， 故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
(2)对m∈N*，若9m
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝－
＝.
9．（2012广东，14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解：(1)当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3， ①
当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7， ②
又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)， ③
由①②③解得a1＝1.
(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，
两式相减得an＋1－3an＝2n，则－·＝1，
即＋2＝(＋2)．
又＋2＝3，知{＋2}是首项为3，公比为的等比数列，
∴＋2＝3()n－1，即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，
∴an＝3n－2n.
(3)证明：由(2)得＝＝＝<，
∴＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋(1－)<.
考点二 递推数列及其应用
1．（2013湖南，5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
解析：本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的求和等知识，考查推理论证能力及分类讨论思想．
(1)当n＝1时，S1＝(－1)a1－，得a1＝－.
当n≥2时，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－.当n为偶数时，Sn－1＝－，当n为奇数时，Sn＝Sn－1－，从而S1＝－，S3＝－，又由S3＝S2－＝－，得S2＝0，
则S3＝S2＋a3＝a3＝－.
(2)由(1)得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－－－－…－，S101＝－，
又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝2S3＋＋2S5＋＋2S7＋＋…＋2S101＋＝0，
故S1＋S2＋…＋S100＝.
答案：－
2．（2013湖南，13分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和．
解：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，结合转化思想，意在考查考生的运算求解能力．
(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a.
因为a1≠0，所以a1＝1.
令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.
当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an，
即an＝2an－1.
于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.
记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是
Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①
2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②
①－②得
－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.
从而Bn＝1＋(n－1)·2n.
3．（2013江西，12分）正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前项n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.
解：本题主要考查求一类特殊数列的和，意在考查考生的转化与化归的数学思想及运算求解能力．
(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，故bn＝＝＝.
Tn＝＝
<＝.
4．（2012新课标全国，5分）数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为( )
A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830
解析：不妨令a1＝1，根据题意，得a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当n为奇数时，an＝1，当n为偶数时构成以a2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以前60项和为
S60＝30＋2×30＋×4＝1 830.
答案：D
5．（2012江西，12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列{}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，
即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，
从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又a1＝S1＝，
所以an＝－n.
(2)因为bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.]
第5节 数列的综合应用
考点 数列与其他知识的交汇
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则( )
A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
解析：本题考查三角形面积公式和归纳推理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，对考生的归纳推理能力、逻辑思维能力要求较高．已知b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a2＝a1，故b2＝＝c1＋b1＜b1，c2＝＝b1＋c1＞c1，b2＋c2＝a1＋＝2a1，b2－c2＝＜0，即b2＜c2，b2c2＝·＝(b1＋c1)2＋b1c1＞b1c1.又a3＝a2＝a1，所以b3＝＝c2＋b2＜b2，c3＝＝b2＋c2＞c2，b3＋c3＝＋＝2a2＝2a1，b3－c3＝c2＋b2－＝＞0，即b3＞c3，b3c3＝＝(b2＋c2)2＋b2c2＞b2c2＞b1c1.又△AnBnCn的面积为Sn＝ ＝ ，其中p＝(an＋bn＋cn)，p(p－an)和p2－(bn＋cn)p都为定值，bncn逐渐递增，所以数列{Sn}为递增数列，选择B.
答案：B
2.（2013安徽，14分）如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．
解析：本题考查由数列递推求通项、三角形相似以及平行线分线段成比例等知识．令S△OA1B1＝m(m>0)，因为所有AnBn平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形AnBnBn＋1An＋1＝S梯形A1B1B2A2＝3m，
当n≥2时，＝＝＝，
故a＝a，
a＝a，
a＝a，
…
a＝a，
以上各式累乘可得：a＝(3n－2)a，因为a1＝1，所以an＝.
答案：an＝
3．（2013北京，14分）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解：本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力．
(1)依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.
(2)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1，
故数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
(3)证明：当n＝1时，＝1<；
当n＝2时，＋＝1＋＝<；
当n≥3时，＝<＝－，此时
＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－<.
综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<.
4．（2013北京，13分）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2, …的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.
(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(2)设d是非负整数．证明：dn＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
解：本题主要考查无穷数列的有关知识，考查了考生对新定义类数列的理解与运用，对考生的逻辑思维能力要求较高．
(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.
(2)证明：(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤…，
因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－aa＋1＝－d(n＝1,2,3…)．
(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，所以An＝Bn＋dn≤Bn，又an≤An，an＋1≥Bn，
所以an≤an＋1，
于是，An＝an，Bn＝an＋1，
因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，
即{an}是公差为d的等差数列．
(3)证明：因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.
故对任意n≥1，an≥B1＝1.
假设{an}(n≥2)中存在大于2的项．
设m为满足am＞2的最小正整数，
则m≥2，并且对任意1≤k＜m，ak≤2.
又a1＝2，所以Am－1＝2，且Am＝am＞2.
于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2.
故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与dm－1＝1矛盾．
所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.
因为对任意n≥1，an≤2＝a1，
所以An＝2.
故Bn＝An－dn＝2－1＝1.
因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.
5．（2012福建，4分）数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2 012＝________.
解析：∵an＝ncos＋1，∴a1＋a2＋a3＋a4＝6，a5＋a6＋a7＋a8＝6，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝6，k∈N，故S2 012＝503×6＝3 018.
答案：3 018
6．（2011福建，13分）已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．
解：(1)由q＝3，S3＝，得＝，解得a1＝.
所以an＝×3n－1＝3n－2.
(2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.
因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；
因为当x＝时f(x)取得最大值，所以sin(2×＋φ)＝1.
又0＜φ＜π，故φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin(2x＋)．
第6章 不等式、推理与证明
第1节 不等式性质
考点 不等式性质、不等关系、比较大小
1.（2011浙江，5分）若、为实数，则“”是“或”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：可分为两种情况:
当时，由两边同除可得；
当时，两边同除以可得.
∴“”是“或”的充分条件，
反之，当或时，可能有，
∴“”是“或”的不必要条件，故应为充分不必要条件.
选A.
2.（2011浙江，5分）设为实数，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：可分为两种情况:
当时，；当时， ,故不充分;
反之，当，有，故不必要，所以应为既不充分也不必要条件。
选D.
3.（2009四川，5分）已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
.
解析：显然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，
则同向不等式相加得＞， 即由“－＞－”“＞”
答案B
4.（2009安徽，5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是
（A）p:＞b+d , q:＞b且c＞d
（B）p:a＞1,b>1 q:的图像不过第二象限
（C）p: x=1, q:
（D）p:a＞1, q: 在上为增函数
解析：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可举反例.
选A
5.（2011广东，5分）不等式的解集是______.
解析：由得，两边平方得，即.
解得，所以原不等式的解集为.
答
6.（2011安徽，12分）（Ⅰ）设证明
（Ⅱ）设，证明
证明：（1）由于
所以要证明，
只需证
将上式中的右式减左式，得
既然所以从而所要证明的不等式成立.
（Ⅱ）设由对数的换底公式得
于是，所要证明的不等式即为
.
其中
故由（Ⅰ）成立知成立.
第2节 一元二次不等式及其应用
考点 一元二次不等式
1．（2013天津，5分）已知函数f(x)＝x(1＋a|x|). 设关于x的不等式f(x＋a)＜f(x)的解集为A.若⊆A, 则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
解析：本题考查函数与不等式的综合应用，意在考查考生的数形结合能力．由题意可得0∈A，即f(a)
2.（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15,20] B．[12,25]
C．[10,30] D．[20,30]
解析：本题考查三角形相似的性质，考查考生构建函数和不等式模型，利用解不等式求解实际应用题的能力．如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝＝，则有AF＝x，FH＝40－x，由题意知阴影部分的面积S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，即x∈[10,30]．
答案：C
3．(2013广东，5分)不等式x2＋x－2<0的解集为________．
解析：本题考查一元二次不等式的解集，考查考生的运算能力及数形结合思想的领悟能力．令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)·(x－1)，画出函数图象可知，
当－2
解析：本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的化归能力及运算能力．
由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x，所以f(x)＝
由f(x)>x，可得或
解得x>5或－5
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
5．（2013四川，5分）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．
解析：本题考查二次函数、不等式、函数的奇偶性，意在考查考生的运算能力和化归的数学思想．当x≥0时，f(x)＝x2－4x＜5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＜5的解集为(－5,5)．所以f(x＋2)＜5的解集为(－7,3)．
答案：(－7,3)
6．（2011广东，5分）不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A．(－，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(1，＋∞)
解析：由原不等式得(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＜－或x＞1.
答案：D
7．（2011湖南，5分）已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
解析：函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－b2＋4b－3＞－1.即b2－4b＋2＜0，解得2－＜b＜2＋.
答案：B
8．（2012江苏，5分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，
由一元二次方程根与系数的关系得
解得c＝9.
答案：9
9．（2010江苏，5分）已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
解析：由题意有或，
解得－1
10． (2009·江苏，16分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值；
(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋ ∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．
解：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0.
由a2≥1知a≤－1.
因此，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)记f(x)的最小值为g(a)．我们有
f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝
(i)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，
由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.
(ⅱ)当a<0时，f()＝a2.
若x>a，则由①知f(x)≥a2；
若x≤a，则x＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>a2. 此时g(a)＝a2.
综上得g(a)＝
(3)①当a∈(－∞，－∪，＋∞)时，解集为(a，＋∞)；
②当a∈－，)时，解集为，＋∞)；
③当a∈(－，－)时，解集为(a，∪，＋∞)．
第3节 基本不等式
考点一 基本不等式及其应用
1．（2013福建，5分）若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：本题主要考查基本不等式，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2，故选D.
答案：D
2．（2013山东，5分）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1 C. D．3
解析：本题考查基本不等式、二次函数的性质等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运算求解能力，.＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
答案：B
3．（2013山东，5分）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0 B. C．2 D.
解析：本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想．
＝＝＋－3≥2 －3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.
答案：C
4．（2012福建，5分）下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2＋)＞lg x(x＞0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＞1(x∈R)
解析：取x＝，则lg(x2＋)＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；
取x＝0，则＝1，故排除D.
答案：C
5．(2009·天津，5分)设a>0，b>0.或是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D.
解析：∵是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b. 即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.
此时＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝取等号)．
答案：B
6．（2012山东，4分）若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：若对任意x>0，≤a恒成立，
只需求得y＝的最大值即可．
因为x>0，所以
y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，
所以a的取值范围是[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
考点二 不等式的实际应用
1．（2010江苏，5分）将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
解析：如图，设AD＝x(0
又S△ADE＝x2，
∴梯形的面积为－x2，
∴s＝×(0
令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈(0，)时，s′<0，s递减；
当x∈(，1)时，s′>0，s递增；故当x＝时，s的最小值是.
答案：
2．（2012江苏，4分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．
第4节 简单的线性规划问题
考点一 二元一次不等式（组）与平面区域
1．（2013山东，5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－ D．－
解析：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力．已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－.
答案：C
2．（2013安徽，5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
解析：本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想．由||＝||＝·＝2，可得∠AOB＝，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，
由＝λ＋μ，可得⇒
因为|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，当，时，由可行域可得S0＝×2×＝，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4，故选D.
答案：D
3．（2013北京，5分）设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化思想以及考生分析问题、解决问题的能力．问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x－2y＝2经过第一、三、四象限，则点(－m，m)只能在第四象限，可得m＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x－2y＝2与阴影部分有公共点，则点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方，由于坐标原点使得x－2y－2＜0，故－m－2m－2＞0，即m＜－.
答案：C
4．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
解析：本题主要考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力．作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离，所以|OM|min＝＝.
答案：
5．（2013北京，5分）设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
解析：本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想．作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝，故最小距离为.
答案：
6．（2010福建，5分）设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( )
A. B．4 C. D．2
解析：平面区域Ω1如图中阴影部分所示，由于平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称，
因此，|AB|的最小值即为Ω1中的点A到直线3x－4y－9＝0的距离的最小值的2倍．
由图可知，当点A与点M(1,1)重合时，
Ω1中的点A到直线3x－4y－9＝0的距离取到最小值＝2，
故|AB|的最小值为2×2＝4.
答案：B
考点二 简单的线性规划问题
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
解析：本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝，故选B.
答案：B
2．(2013天津，5分)设变量x, y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4 C．1 D．2
解析：本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用．约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数y＝2x＋z经过可行域中的点(5,3)时，z取得最小值－7.
答案：A
3．(2013湖南，5分)若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是( )
A．－ B．0 C. D.
解析：本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题．求解本小题时一定要先比较直线x＋2y＝0与边界直线x＋y＝1的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值．作出题设约束条件的平面区域(图略)，由⇒可得(x＋2y)max＝＋2×＝.
答案：C
4．（2013广东，5分）给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
解析：本题考查线性规划、集合、直线方程等知识，考查考生的创新意识及运算能力、数形结合思想的应用．解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．
答案：6
5．（2013浙江，4分）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析：本题主要考查二元一次不等式组的平面区域、线性规划的最优解的问题，意在考查考生的数形结合能力．已知不等式组可表示成如图的可行域，当0≤－k<时，直线y＝－kx＋z经过点A(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点B(2,3)时，z最大，所以2k＋3＝12，解得k＝(舍去)；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点A(4,4)时，z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合，综上可知k＝2.
答案：2
6．（2013陕西，5分）若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
解析：本题考查分段函数的图象和线性规划的应用，考查考生的数形结合能力．由题意知y＝作出曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A(－1,2)时，2x－y取最小值－4.
答案：－4
7．（2012广东，5分）已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为( )
A．12 B．11 C．3 D．－1
解析：如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时， z取得最大值．由解得，此时，z＝y＋3x＝11.
答案：B
8．（2012辽宁，5分）设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为( )
A．20 B．35 C．45 D．55
解析：作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y＝－x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x＋3y取得最大值55.
答案：D
9．（2011广东，5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )
A．3 B．4 C．3 D．4
解析：画出区域D，如图中阴影部分所示，而z＝·＝x＋y，∴y＝－x＋z.
令l0：y＝－x，将l0平移到过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4.
答案：B
10．（2011安徽，5分）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
解析：法一：特殊值验证：当y＝1，x＝0时，x＋2y＝2，排除A，C；
当y＝－1，x＝0时，x＋2y＝－2.
法二：直接求解：如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax＝2，umin＝－2.
答案：B
11．（2011福建，5分）已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2]
解析：平面区域如图中阴影部分所示的△BDN，N(0,2)，D(1,1)，设点M(x，y)，因点A(－1,1)，则z＝·＝－x＋y，由图可知；当目标函数z＝－x＋y过点D时，zmin＝－1＋1＝0；当目标函数z＝－x＋y过点N时，zmax＝0＋2＝2，故z的取值范围为[0,2]，即·的取值范围为[0,2]．
答案：C
12．（2010山东，5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
解析：本题可以采取较为简单的方法，由于三条直线围成的平面区域是三角形，根据题意可知目标函数z＝3x－4y的最值一定在直线的交点处取得．
三条直线的交点分别为A(0,2)，B(3,5)，C(5,3)，
代入目标函数可得z＝3x－4y的最大值为3，在C点处取得；最小值为－11，在B点处取得．
答案：A
13．（2010北京，5分）设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y＝ax的图象经过点A时a取得最大值，
由方程组
解得x＝2，y＝9，即点A(2,9)，代入函数解析式得9＝a2，即a＝3，故1
14．(2009·宁夏、海南，5分)设x、y满足则z＝x＋y( )
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
解析：不等式组的平面区域为如图的阴影区域．x＋y在点A(2,0)处取最小值为2，无最大值．
答案：B
15．(2009·天津，5分)设变量x、y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A．6 B．7 C．8 D．23
解析：约束条件表示的平面区域如图
易知过C(2,1)时，目标函数z＝2x＋3y取得最小值．
∴zmin＝2×2＋3×1＝7.
答案：B
16．（2012陕西，5分）设函数f(x)＝
D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为______________．
解析：当x>0时，求导得f′(x)＝，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为(－，0)，(0，－1)，(1,0)，平移直线x－2y＝0，可知在点(0，－1)处z取得最大值2.
答案：2
17．（2010陕西，5分）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，
则根据题意得到约束条件为：，
目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
第5节 归纳推理与类比推理
考点 合理推理与演绎推理
1．（2013陕西，5分）观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________．
解析：本题考查考生的观察、归纳、推理能力．观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
2．（2013陕西，5分）观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律， 第n个等式可为________．
解析：本题主要考查归纳推理，考查考生的观察、归纳、猜测能力．观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)
3．（2013湖北，5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
解析：本题主要考查数列的相关知识，意在考查考生对等差数列的定义、通项公式的掌握程度．
N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以为首项，为公差的等差数列；数列{bk}是以为首项，－为公差的等差数列；所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
答案：1 000
4．（2012江西，5分）观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
答案：C
5．（2012湖北，5分）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．
解析：2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n＋1位有9×10n个．
答案：90 9×10n
6．（2011陕西，5分）观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________．
解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数应为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，所以第n行的个数应为2n－1.所以第5行数依次是5、6、7、…、13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.
答案：5＋6＋7＋…＋13＝81
7．（2010浙江，4分）设n≥2，n∈N，(2x＋)n－(3x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝－，T4＝0，T5＝－，…，Tn，…其中Tn＝________.
解析：根据已知条件，总结规律，进而可得.
答案：
8．（2010陕西，5分）观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
解析：观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
第6节 直接证明和间接证明
考点 直接证明和间接证明
(2009·广东，14分)已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝1,2，…)．从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn)．
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；
(2)证明：x1·x3·x5·…·x2n－1＜ ＜ sin.
解：(1)直线ln的方程为y＝kn(x＋1)，kn＞0.
代入曲线Cn的方程得：(k＋1)x2－2(n－k)x＋k＝0.
∵ln与Cn相切，∴方程②有等根xn，
Δ＝4(n－k)2－4(k＋1)k＝0⇒kn＝，
∴xn＝＝＝.
yn＝kn(xn＋1)＝·(＋1)＝.
(2)证明：由(1)知，xn＝，yn＝.
于是所证明的不等式变为
···…·＜＜sin
(a)先证明：···…·＜.(*)
∵4n2－1＜4n2，
∴(2n－1)(2n＋1)＜4n2⇒(2n－1)2(2n＋1)＜4n2(2n－1)．
∴＜.
∴···…·＜···…·＝.
(b)再证明＜2sin.
法一：令f(x)＝sinx－x：则f′(x)＝cosx－.
当x∈[0，)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在[0，)上单调递增，
又xn＝∈(0，)(n≥1)，
∴f(xn)＝sin－ ＞f(0)＝0. 所以＜sin.
故x1·x3·x5·…·x2n－1＜ ＜sin.
法二：令f(x)＝，
则f′(x)＝＝(x－tanx)．
令g(x)＝x－tanx，则g′(x)＝1－，
所以，当x∈(0，)时，g′(x)＜0，g(x)＜g(0)＝0.
∴f′(x)＜0，f(x)在[0，]上单调减少．
∵x＝∈(0，)(n≥1)，∴f(x)＝＞f()＝＞，
所以＜sin.
即···…·＜＜sin.
故x1·x3·x5·…·x2n－1＜ ＜sin.
第7节 数学归纳法
考点 数学归纳法
1．（2013江苏，10分）设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k，…，即当
(2)求集合P2 000中元素的个数．
解：本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计算原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力．
(1)由数列{an}的定义得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5.
(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．
事实上，①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；
②假设i＝m时成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．
综合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．
于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．
由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍数，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．
又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数．故当l＝i(2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为i2＋j.
又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.
2．（2012湖北，14分）(1)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x＞0)，其中r为有理数，且0＜r＜1.求f(x)的最小值；
(2)试用(1)的结果证明如下命题：
设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数．若b1＋b2＝1，则a1b1a2b2≤a1b1＋a2b2；
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
注：当α为正有理数时，有求导公式(xα)1＝αxα－1.
解：(1)f′(x)＝r－rxr－1＝r(1－xr－1)，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；
当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．
故函数f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝0.
(2)由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，即xr≤rx＋(1－r)， ①
若a1，a2中至少有一个为0，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立；
若a1，a2均不为0，又b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是
在①中令x＝，r＝b1，可得()b1≤b1·＋(1－b1)，
即ab11·a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.
综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数且b1＋b2＝1，总有ab11ab22≤a1b1＋a2b2. ②
(3)(2)中命题的推广形式为
设a1，a2，…，an为非负实数，b1，b2，…，bn为正有理数．
若b1＋b2＋…＋bn＝1，则ab11ab22…abnn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. ③
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，b1＝1，有a1≤a1，③成立．
(2)假设当n＝k时，③成立，即若a1，a2，…，ak为非负实数，b1，b2，…，bk为正有理数，
且b1＋b2＋…＋bk＝1，则ab11ab22…abkk≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk.
当n＝k＋1时，已知a1，a2，…，ak，ak＋1为非负实数，b1，b2，…，bk，bk＋1为正有理数，
且b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1＝1，
此时0＜bk＋1＜1，即1－bk＋1＞0，于是
ab11ab22…abkkabk＋1k＋1＝(ab11ab22…abkk)abk＋1k＋1
＝(aa…a)1－bk＋1abk＋1k＋1.
因＋＋…＋＝1，由归纳假设可得
aa…a≤a1·＋a2·＋…＋ak·
＝，
从而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤()1－bk＋1abk＋1k＋1.
又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得
()1－bk＋1abk＋1k＋1≤·
(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，
从而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，
故当n＝k＋1时，③成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n，所推广的命题成立．
说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n≥2成立，则后续证明中不需讨论n＝1的情况．
第7章 立体几何
第1节 简单几何体及三视图与直观图
考点一 柱、锥、台、球及其简单几何体的结构特征
1．（2013北京，5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________．
解析：本题考查空间几何体、点到直线的距离等基础知识，意在考查等价转化的数学思想和考生的空间想象能力．点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
答案：
2．（2011辽宁，5分）如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.
选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.
选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．
选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．
答案：D
3．(2009·宁夏、海南，5分)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是( )
A． AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．异面直线AE、BF所成的角为定值
解析：如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC⊥BB1，
BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，
又∵BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，∴A对．
∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，∴B对．
S△BEF＝×EF×BB1＝××1＝，
AO⊥平面BB1D1D，AO＝，∴VA－BEF＝××＝，
∴三棱锥的体积为定值，C对．故选D.
答案：D
考点二 三视图与直观图
1．（2013新课标全国Ⅰ,5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
解析：本题考查空间组合体的三视图及组合体的体积计算，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及计算能力．先根据三视图判断出组合体的结构特征，再根据几何体的体积公式进行计算．根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋π×22×4＝16＋8π，选择A.
答案：A
2．(2013新课标全国Ⅱ,5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
解析：选A 本题考查三视图的基本知识．作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状．易知选A.
答案：A
3．(2013广东,5分)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4 B. C. D．6
解析：本题考查三视图及几何体体积的计算，考查考生的空间想象能力及运算能力．由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋＋S2)h＝×(1＋＋4)×2＝.
答案：B
4．(2013湖南,5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )
A．1 B. C. D.
解析：本小题主要考查三视图及考生的空间想象能力，考查函数与方程思想．由题可知正方体的底面与水平面平行，先把正方体正放，然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转，易知当正方体正放时，其正视图的面积最小，为1×1＝1；当正方体逆时针旋转45°时，其正视图的面积最大，为1×＝.而<1，所以正方体的正视图的面积不可能等于.
答案：C
5．(2013湖北,5分)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )
A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4
C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4
解析：本题考查三视图以及几何体的体积计算问题，意在考查考生空间想象能力和运算求解能力．由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V1＝π×(12＋22＋1×2)×1＝π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V4＝×(22＋2×4＋42)×1＝，比较大小可知答案选C.
答案：C
6．(2013陕西,5分)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．
解析：本题考查三视图和空间几何体之间的关系，涉及体积的计算方法，考查考生的空间想象能力及运算求解能力．易知原几何体是底面圆半经为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V＝××(π×12)×2＝.
答案：
7．(2012新课标全国,5分)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A．6 B．9 C．12 D．18
解析：由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为××6×3×3＝9.
答案：B
8．(2012广东,5分)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．12π B．45π C．57π D．81π
解析：由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V＝π×32×5＋×π×32×＝57π.
答案：C
9.(2011山东,5分)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个直角边所在侧面放在水平面上，就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上，即可使得这个四棱柱的正视图和俯视图符合要求，命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，命题③也是真命题．
答案：A
10．(2011广东,5分)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )
A．18 B．12 C．9 D．6
解析：该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，
故V＝3×3×＝9.
答案：C
11．(2011浙江,5分)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：从俯视图看，B和D符合，从正视图看D符合，而从侧视图看D也是符合的．
答案：D
12．(2011陕西,5分)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
A．8－ B．8－
C．8－2π D.
解析：圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝22×2－×π×12×2＝8－π，正确选项为A.
答案：A
13．(2010浙江,5分)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
解析：该空间几何体上半部分是底面边长为4的正方形，高为2的正四棱柱，其体积为4×4×2＝32(cm 3)．下半部分是上、下底面边长分别为4、8，高为2的正四棱台，其体积为×(16＋4×8＋64)×2＝(cm3)．故其总体积为32＋＝(cm3)．
答案：B
14．(2009·山东,5分)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为
V＝π·12·2＋·()2·＝2π＋，故选C.
答案：C
15．(2012天津,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析：由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6、3、1的长方体，下面是两个半径均为的球，其体积为6×3×1＋2××π×()3＝18＋9π.
答案：18＋9π
16．(2011辽宁,5分)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
解析：设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为2，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为，故所求矩形的面积为2.
答案：2
17．(2010湖南,5分)如图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________ cm.
解析：由题可知，××5×6×h＝20⇒h＝4(cm)．
答案：4
18．(2009·浙江,4分)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.
解析：由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为3 cm，高为1 cm的长方体构成，故其体积为2(3×3×1)＝18(cm3)．
答案：18
第2节 空间图形的基本关系与公理
考点 平行关系与垂直关系的综合问题
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l
解析：本题涉及直线与平面的基本知识，意在考查考生的空间想象能力、分析思想能力，难度中等偏下．由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
答案：D
2．（2013广东，5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：本题考查空间线与面的平行、垂直的位置关系，考查考生空间想象能力及符号语言识别能力．A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
答案：D
3．（2013江苏，14分）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
证明：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推理论证能力．
(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
4．（2010浙江，5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面知B正确．
答案：B
5．(2009·江苏，5分)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．
解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确．
由线面平行的判定定理可知，(2)正确．
对(3)来说，l只垂直于α和β的交线l，得不到l是α的垂线，故也得不出α⊥β.
对(4)来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.
也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不垂直于α.
答案：(1)(2)
6.（2012江苏，14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
解：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
7．(2011天津，13分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明PB∥平面ACM；
(2)证明AD⊥平面PAC；
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
解：(1)证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，
所以PB∥MO.
因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.
(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.
(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
第3节 平行关系
考点 平行关系
1．（2010山东，5分）在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：A项中平行直线的平行投影不一定重合，有可能平行，B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行、相交，C项中垂直于同一个平面的两个平面可能平行、相交，D项正确．
答案：D
2．(2009·福建，5分)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
解析：∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，
∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2.
答案：B
3.（2012山东，12分）如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
解：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.
由于CB＝CD，所以CO⊥BD，
又EC⊥BD，EC∩CO＝C，
CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，
因此BD⊥EO，又O为BD的中点，
所以BE＝DE.
(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，
因为M是AE的中点，所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形．
所以∠BDN＝30°，
又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，
所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，
所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，
故平面DMN∥平面BEC. 又DM⊂平面DMN，
所以DM∥平面BEC.
法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.
因为CB＝CD，∠BCD＝120°，
所以∠CBD＝30°.
因为△ABD为正三角形，
所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，
因此∠AFB＝30°，
所以AB＝AF. 又AB＝AD，
所以D为线段AF的中点．
连接DM，由于点M是线段AE的中点，
因此DM∥EF.
又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，
所以DM∥平面BEC.
第4节 垂直关系
考点 垂直关系
1．（2012安徽，5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若α⊥β，又α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β.
答案：A
2．（2011浙江，5分）下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．
答案：D
3．（2011新课标全国，12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，则
A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则
即 因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)．则cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角A－PB－C的余弦值为－.
第5节 简单几何体的面积和体积
考点 柱、锥、台、球的表面积和体积
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：本题考查正方体和球组成的组合体、球的体积的计算，意在考查考生的空间想象能力、转化化归能力以及运用体积公式进行计算的能力．解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R－2) cm(其中R为球半径)，再利用球半径、球心距和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝ cm3，选择A.
答案：A
2．（2013辽宁，5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A. B．2 C. D．3
解析：本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想．如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.
答案：C
3．（2012新课标全国，5分）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
解析：在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝；同理SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1× ＝，则三棱锥的体积为××2＝.
答案：A
4.（2012江西，5分）如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0
解析：(1)当0
∵SC与该截面垂直，∴SC⊥EF，SC⊥EI，
∴EF＝EI＝SEtan 60°＝x，SI＝2SE＝2x，IH＝FG＝BI＝1－2x，FI＝GH＝AH＝2x，∴五边形EFGHI的面积S＝FG×GH＋FI× ＝2x－3x2，
∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝(2x－3x2)×CE＋2×××1×(1－2x)×(1－2x)＝x3－x2＋，其图像不可能是一条线段，故排除C，D.
(2)当≤x<1时，过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG，则EG＝EF＝ECtan 60°＝(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱锥E－FGC底面FGC上的高h＝ECsin 45°＝(1－x)，∴V(x)＝×CG·CF·h＝(1－x)3，
∴V′(x)＝－(1－x)2，
又显然V′(x)＝－(1－x)2在区间(，1)上单调递增，V′(x)<0(x∈(，1))，
∴函数V(x)＝(1－x)3在区间(，1)上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B，应选A.
答案：A
5．（2011辽宁，5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为( )
A．3 B．2
C. D．1
解析：由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S－ABD和C－ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝(4－x)，所以x＝(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝S△ABD×4＝.
答案：C
6．（2010新课标全国，5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
解析：三棱柱如图所示，由题意可知：
球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处，
连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R，
由题意知：O1B＝×＝，
所以半径R2＝()2＋()2＝，
所以球的表面积是S＝4πR2＝.
答案：B
7．(2009·辽宁，5分)正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点．则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．3∶2
解析：∵G为PB中点，∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC.
又多边形ABCDEF是正六边形，∴S△ABC＝S△ACD，
∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC， ∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.
答案：C
8.（2012山东，4分）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．
解析：因为E点在线段AA1上，所以S△DED1＝×1×1＝，又因为F点在线段B1C上，所以点F到平面DED1的距离为1，即h＝1，
所以VD1－EDF＝VF－DED1＝×S△DED1×h＝××1＝.
答案：
第6节 空间向量及其运算
考点 利用空间向量证明直线和平面的位置关系
1.（2013浙江，15分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
(1)证明：PQ∥平面BCD；
(2)若二面角CBMD的大小为60°，求∠BDC的大小．
解：本题考查空间线面平行的证明，二面角的计算，以及三角形的有关知识，考查考生的推理论证能力、空间想象能力，以及利用空间向量解决相关问题的能力．
法一：(1)证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OP，OF，FQ.
因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝AD.
因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，
所以OP∥DM，且OP＝DM.
又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝AD.
从而OP∥FQ，且OP＝FQ，
所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.
又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
(2)作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，连接CH.
因为AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，所以AD⊥CG，
又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM⊂平面ABD，所以CG⊥BM.
又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，
∴BM⊥CH，所以∠CHG为二面角CBMD的平面角，即∠CHG＝60°.
设∠BDC＝θ. 在Rt△BCD中，CD＝BDcos θ＝2cos θ，
CG＝CDsin θ＝2cos θsin θ，BC＝BDsin θ＝2sin θ，
BG＝BCsin θ＝2sin2θ.
在Rt△BDM中，HG＝＝.
在Rt△CHG中，tan∠CHG＝＝＝. 所以tan θ＝.
从而θ＝60°，即∠BDC＝60°.
法二：(1)证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知A(0，，2)，
B(0，－，0)，D(0，，0)．
设点C的坐标为(x0，y0,0)．因为＝3，所以Q.
因为M为AD的中点，故M(0，，1)．又P为BM的中点，故P.所以＝.
又平面BCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，故·u＝0.
又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
(2)设m＝(x，y，z)为平面BMC的法向量．
由＝(－x0，－y0,1)，＝(0,2，1)知
取y＝－1，得m＝.
又平面BDM的一个法向量为n＝(1,0,0)，于是
|cos〈m，n〉|＝＝＝，
即2＝3. ①
又BC⊥CD，所以·＝0，故(－x0，－－y0,0)·(－x0，－y0,0)＝0，
即x＋y＝2. ②
联立①②，解得(舍去)或
所以tan∠BDC＝＝.
又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°.
2．(2011北京，14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
.解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC.
(2)设AC∩BD＝O. 因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz
则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，
所以＝(1，，－2)，＝(0，2，0)．
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ＝＝＝
(3)由(2)知＝(－1，，0)
设P(0，－，t)(t＞0)，则＝(－1，－，t)，
设平面PBC的一个法向量m＝(x，y，z)，则·m＝0，·m＝0，
所以
令y＝，则x＝3，z＝.
所以m＝(3，，)．
同理，平面PDC的一个法向量n＝(－3，，)．
因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0.
解得t＝，所以PA＝.
3．（2013天津，13分）如图， 四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 侧棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1CEC1的正弦值．
(3)设点M在线段C1E上， 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．
解：本小题主要考查空间线线、线面的位置关系，以及二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查考生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
(1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.
(2) ＝(1，－2，－1)．设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，
则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．
由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝－，
从而sin 〈m，〉＝.
所以二面角B1CEC1的正弦值为.
(3) ＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.于是＝，解得λ＝，所以AM＝.
法二：(1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，从而B1E2＝B1C＋EC，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E.又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.
(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.由(1)知，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1CEC1的平面角．在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin ∠B1GC1＝，
即二面角B1CEC1的正弦值为.
(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．
设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝x，AH＝x.在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，得EH＝MH＝x.在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，
得x2＝1＋x2＋x，
整理得5x2－2x－6＝0，解得x＝.所以线段AM的长为.
4.（2013湖北，12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足＝.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角ElC的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.
解：本题考查空间线面位置关系的判断和证明，考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间向量在立体几何中的应用，考查化归与转化思想，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．
(1)直线l∥平面PAC，证明如下：
连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.
而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.
(2)证明：法一：(综合法)如图1，连接BD，由(1)可知交线l即为直线BD，且l∥AC.
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC.
已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l.
而PC∩BC＝C，所以l⊥平面PBC.
连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF.
故∠CBF就是二面角ElC的平面角，即∠CBF＝β.
由＝，作DQ∥CP，且DQ＝CP.
连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP＝2PF，所以DQ＝PF，
从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD.
连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF＝θ.
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF为锐角，
故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即∠BDF＝α，
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得
sin θ＝，sin α＝，sin β＝，
从而sin αsin β＝·＝＝sin θ，
即sin θ＝sin αsin β.
法二：(向量法)如图2，由＝，作DQ∥CP，且DQ＝CP.
连接PQ，EF，BE，BF，BD，由(1)可知交线l即为直线BD.
以点C为原点，向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA＝a，CB＝b，CP＝2c，则有
C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，b,0)，P(0,0,2c)，Q(a，b，c)，E，F(0,0，c)．
于是＝，＝(－a，－b，c)，＝(0，－b，c)，
所以cos α＝＝，
从而sin α＝＝ .
又取平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)，
可得sin θ＝＝，
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
所以由可得取n＝(0，c，b)．
于是|cos β|＝＝，从而sin β＝ ＝.
故sin αsin β＝·＝＝sin θ，
即sin θ＝sin αsin β.
5．（2012福建，13分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．
解：(1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a，0,1)，故＝(0,1,1)，＝(－，1，－1)，＝(a,0,1)，＝(，1,0)．
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．
又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，则y＝－，z＝－a，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－，－a)．
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.
又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，
∴AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．
设与n所成的角为θ，
则cos θ＝＝ .
∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，
∴|cos θ|＝cos 30°，即＝，
解得a＝2，即AB的长为2.
第7节 立体几何中的空间向量方法
考点 利用空间向量求空间角
1．（2013新课标全国Ⅰ，12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．
解：本题主要考查空间几何体中的线线垂直的证明和线面角的计算，意在考查考生的空间想象能力、推理判断能力和计算能力．
(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即
可取n＝(，1，－1)．
故cosn，＝＝－.
所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
2．（2013新课标全国Ⅱ，12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.
(1)证明：BC1//平面A1CD；
(2)求二面角DA1CE的正弦值．
解：本题以直三棱柱为载体，考查直线与平面平行以及二面角的求解等知识，意在考查考生的空间想象能力以及化归转化能力、基本运算能力等．
(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝AB 得 AC⊥BC.
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m是平面A1CE的法向量，则
可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.
即二面角DA1CE的正弦值为.
3.(2013山东，12分)如图所示，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角DGHE的余弦值．
解：本题考查空间线面平行的判定定理、性质定理，二面角的求解，空间向量在立体几何中的应用等基础知识与方法，考查转化与化归思想等数学思想方法，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力．
(1)因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.
又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.
又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.
又EF∥AB，所以AB∥GH.
(2)法一：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ，
因为PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.
又BP∩BQ＝B，所以AB⊥平面PBQ.
由(1)知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.
又FH⊂平面PBQ，所以GH⊥FH.
同理可得GH⊥HC，
所以∠FHC为二面角DGHE的平面角．
设BA＝BQ＝BP＝2，连接FC，
在Rt△FBC中，由勾股定理得FC＝，
在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝.
又H为△PBQ的重心，所以HC＝PC＝.
同理FH＝.
在△FHC中，由余弦定理得cos ∠FHC＝＝－.
即二面角DGHE的余弦值为－.
法二：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°. 又PB⊥平面ABQ，
所以BA，BQ，BP两两垂直．
以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BA＝BQ＝BP＝2，
则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)．
所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，＝(－1，－1，2)， ＝(0，－1,2)．
设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由m·＝0，m·＝0，得
取y1＝1，得m＝(0,1,2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
由n·＝0，n·＝0，得
取z2＝1，得n＝(0,2,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
因为二面角DGHE为钝角，
所以二面角DGHE的余弦值为－.
4．（2013广东，14分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝.
图1 图2
(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．
解：本题考查线面垂直的判定定理、二面角等基础知识，考查空间向量在立体几何中的应用，考查化归与转化思想，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．
(1)证明：由题意，易得OC＝3，AC＝3，AD＝2 .
连接OD，OE.在△OCD中，由余弦定理可得
OD＝ ＝.
由翻折不变性可知A′D＝2 ，
所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.
同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.
(2)(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H，连接A′H，如图所示．
因为A′O⊥平面BCDE，所以A′H⊥CD，
所以∠A′HO为二面角A′CDB的平面角．
结合OC＝3，∠BCD＝45°，得OH＝，从而A′H＝ ＝.
所以cos ∠A′HO＝＝ ，所以二面角A′CDB的平面角的余弦值为.
(向量法)以O点为原点，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，
则A′(0,0，)，C(0，－3,0)，D(1，－2,0)，所以＝(0,3，)，＝(－1,2，)．
设n＝(x，y，z)为平面A′CD的法向量，则
即解得令x＝1，得n＝(1，－1，)，即n＝(1，－1，)为平面A′CD的一个法向量．
由(1)知，＝(0,0，)为平面CDB的一个法向量，
所以cos 〈n，〉＝＝＝，
即二面角A′CDB的平面角的余弦值为.
5.（2013辽宁，12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角CPBA的余弦值．
解：本题考查面面关系的证明及二面角的求解问题，也考查了应用空间向量求解立体几何问题，试题同时考查了考生的空间想象能力和推理归纳能力．
(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC. 因为BC⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)法一：过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.
如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.
因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．
故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．
设平面BCP的法向量为n1＝(x，y，z)，
则所以
不妨令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．
因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，
设平面ABP的法向量为n2＝(x，y，z)，
则所以
不妨令x＝1，则n2＝(1，，0)．
于是cos〈n1，n2〉＝＝，
所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.
法二：过C作CM⊥AB于M，
因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，
所以PA⊥CM，
故CM⊥平面PAB.
又因为PA∩AB＝A，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
过M作MN⊥PB于N，连接NC，
由三垂线定理得CN⊥PB，
所以∠CNM为二面角CPBA的平面角．
在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝.
在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.
因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以＝， 故MN＝.
又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.
所以二面角CPBA的余弦值为.
6.（2012陕西，5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，
C1(0,2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，
由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
7.（2012新课标全国，12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1BDC1的大小．
解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
BC⊂平面BCD，故DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1，0,1)，C1(0,0,2)．
则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)， ＝(－1,0,1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，
则即可取n＝(1,1,0)．
同理，设m是平面C1BD的法向量，则可取m＝(1,2,1)．
从而cosn，m＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
7．（2012浙江，15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值．
解：(1)因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.
又因为MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
(2)法一：连结AC交BD于O.以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．
在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，得
AC＝AB＝2，BD＝AB＝6.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.
在直角三角形PAC中，AC＝2，PA＝2，
AQ⊥PC，得QC＝2，PQ＝4.
由此知各点坐标如下，
A(－，0,0)，B(0，－3,0)，C(，0,0)，D(0,3,0)，P(－，0,2)，M(－，－，)，N(－，，)，Q(，0，)．
设m＝(x，y，z)为平面AMN的法向量．
由＝(，－，)，＝(，，)知
取z＝－1，得m＝(2，0，－1)．
设n＝(x，y，z)为平面QMN的法向量．
由＝(－，－，)，＝(－，，)知
取z＝5，得n＝(2，0,5)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
所以二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.
法二：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，得
AC＝AB＝BC＝CD＝DA，BD＝AB.
又因为PA⊥平面ABCD，所以
PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD.
所以PB＝PC＝PD.
所以△PBC≌△PDC.
而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQ＝NQ，且AM＝PB＝PD＝AN.
取线段MN的中点E，连结AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，
所以∠AEQ为二面角A－MN－Q的平面角．
由AB＝2，PA＝2，故
在△AMN中，AM＝AN＝3，MN＝BD＝3，得AE＝.
在直角三角形PAC中，AQ⊥PC，得AQ＝2，QC＝2，PQ＝4.
在△PBC中，cos∠BPC＝＝，得
MQ＝ ＝.
在等腰三角形MQN中，MQ＝NQ＝，MN＝3，得
QE＝ ＝.
在△AEQ中，AE＝，QE＝，AQ＝2，得
cos∠AEQ＝＝.
所以二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.
8．(2010广东，14分)如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足FB＝FD＝a，FE＝a.
(1)证明：EB⊥FD；
(2)已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得FQ＝FE，FR＝FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．
解：(1)证明：∵E为中点，AB＝BC，AC为直径，
∴EB⊥AD.
∵EF2＝6a2＝(a)2＋a2＝BF2＋BE2，∴EB⊥FB.
又∵BF∩BD＝B，∴EB⊥平面BDF.
∵FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD.
法一：(2)过D作HD∥QR，连接FC.
∵FQ＝FE，FR＝FB，∴QR∥EB，∴HD∥EB.
又∵D∈平面BED∩平面RQD，
∴HD为平面BED与平面PQD的交线，
∵BD，RD⊂平面BDF，EB⊥平面BDF，
∴HD⊥BD，HD⊥RD.
∴∠RDB为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角，
∵FB＝FD，BC＝CD，∴FC⊥BD，
∴cos∠FBC＝＝＝. ∴sin∠FBC＝.
∴RD＝＝＝a.
∴sin∠RDB＝·sin∠FBC＝·＝.
法二：(2)如图，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，过B作平面BEC的垂线，建立空间直角坐标系，连接FC，由此得B(0,0,0)，C(0，a,0)，D(0,2a,0)，E(a,0,0)．
∵FD＝FB，BC＝CD，∴FC⊥BD. ∴FC＝2a，
∵FQ＝FE，FR＝FB， ∴R(0，a，a)，
＝＝(a,0,0)． ∴＝(0，a，－a)．
设平面RQD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝0，n1·＝0， ∴n1＝(0,2,5)．
∵平面BED的法向量为n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝. ∴sin〈n1，n2〉＝.
∴平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为.
9．(2009·山东，12分)如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
(1)证明：直线EE1∥平面FCC1；
(2)求二面角B—FC1—C的余弦值．
解：(1)证明：法一：取A1B1的中点F1，连结FF1、C1F1，
由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，
因此平面FCC1即为平面C1CFF1，
连结A1D、F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，
所以四边形A1DCF1为平行四边形，
因此A1D∥F1C. 又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，
而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，
故EE1∥平面FCC1.
法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，
AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1，
又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
(2)法一：取FC的中点H，
由于FC＝BC＝FB，所以BH⊥FC.
又BH⊥CC1，所以BH⊥平面FCC1.
过H作HG⊥C1F于G，连结BG. 由于HG⊥C1F，BH⊥平面FCC1，
所以C1F⊥平面BHG，因此BG⊥C1F，所以∠BGH为所求二面角的平面角．
在Rt△BHG中，BH＝，
又FH＝1，且△FCC1为等腰直角三角形，
所以HG＝，BG＝ ＝，因此cos∠BGH＝＝＝，
即所求二面角的余弦值为.
法二：过D作DR⊥CD交AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
所以＝(0,2,0)，＝(－，－1,2)，
＝(，3,0)，
由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.
又CC1⊥平面ABCD，
所以为平面FCC1的一个法向量．
设平面BFC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
即取x＝1，得
因此n＝(1,0，)，
所以cos〈，n〉＝
＝＝＝.
故所求二面角的余弦值为.
考点二 利用向量解决立体几何中的探索问题
1．（2013福建，13分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值；
(3)现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)
解：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．
(1)证明：取CD的中点E，连接BE.
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.又BE∥AD，
∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，
∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，
所以＝(－4k,6k,0)，＝(0,3k,1)，＝(0,0,1)．
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由得
取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．
设AA1与平面AB1C所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，
故所求k的值为1.
(3)共有4种不同的方案．
f(k)＝
2．(2013四川，12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值．
解：本题主要考查基本作图、线面的平行与垂直、二面角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决立体几何问题的能力．
(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.
由已知，AB＝AC，D是BC的中点，
所以BC⊥AD，则直线l⊥AD.
因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.
又AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)法一：连接A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，连接AF.
由(1)知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN.
所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE.
所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.
故∠AFE为二面角AA1MN的平面角(设为θ)．
设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，
有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.
又P为AD的中点，所以M为AB的中点，且AP＝，AM＝1，
所以在Rt△AA1P中，A1P＝；在Rt△A1AM中，A1M＝.
从而AE＝＝，AF＝＝，
所以sin θ＝＝.
所以cos θ＝＝＝.
故二面角AA1MN的余弦值为.
法二：设A1A＝1.如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)．
则A1(0,0,0)，A(0,0,1)．
因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点，
故M，N，
所以＝，＝(0,0,1)，＝(，0,0)．
设平面AA1M的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
即故有
从而
取x1＝1，则y1＝－，所以n1＝(1，－，0)．
设平面A1MN的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
即
故有从而
取y2＝2，则z2＝－1，所以n2＝(0,2，－1)．
设二面角AA1MN的平面角为θ，又θ为锐角，
则cos θ＝＝＝.
故二面角AA1MN的余弦值为.
3．（2012北京，14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
解：(1)证明：因为AC⊥BC，DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以ED⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.
所以DE⊥A1C.
又因为A1C⊥CD.
所以A1C⊥平面BCDE.
(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1, )，B(3,0,0)，E(2,2,0)．
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则
n·A1B＝0，n·BE＝0.
又A1B＝(3，0，－2），＝(－1,2，0)，
所以
令y＝1，则x＝2，z＝.
所以n＝(2,1，)．
设CM与平面A1BE所成的角为θ.
因为CM(0，1，),所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝||＝＝.
所以CM与平面A1BE所成角的大小为.
(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]．
设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0.
又＝(0，2，－2)，＝(p，－2,0)，
所以
令x＝2，则y＝p，z＝. 所以m＝(2，p，)．
平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0，即4＋p＋p＝0.
解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．
所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．
4．(2009·宁夏、海南高考)(本小题满分12分)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍．P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
解：法一：(1)连结BD，设AC交BD于O.
由题意SO⊥AC. 在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵BD∩SO＝O，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.
(2)设正方形边长为a，则SD＝a.
又OD＝a，所以∠SDO＝60°.
连结OP，由(1)知AC⊥平面SBD，
所以AC⊥OP，且AC⊥OD，
所以∠POD是二面角P—AC—D的平面角．
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30° ，
即二面角P－AC－D的大小为30°.
(3)在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.
由(2)可得PD＝a，
故可在SP上取一点N，使PN＝PD.
过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连结BN.
在△BDN中，知BN∥PO.
又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，
得BE∥平面PAC.
由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1.
法二：(1)连结BD.设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O－xyz，如图．设底面边长为a，则高SO＝a.
于是S(0,0，a)，D(－a,0,0)，C(0，a,0)，
＝(0，a,0)，＝(－a,0，－a)，
·＝0，故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
(2)由题设知，平面PAC的一个法向量＝(a,0，a)，
平面DAC的一个法向量＝(0,0，a)．
设所求二面角为θ，
则cosθ＝＝，所求二面角的大小为30°.
(3)在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一个法向量，
且＝(a,0，a)，＝(0，－a，a)．
设＝t，
则＝＋＝＋t＝(－a，a(1－t)，at)．
而·＝0⇔t＝.
即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
第8章 平面解析几何
第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
考点 直线方程
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：本题考查直线与方程、三角形面积的求解等基础知识和方法，考查一般与特殊的思想，考查考生分析问题、解决问题的能力．
由消去x，得y＝，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点，结合图形知××＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝.
∵a＞0，∴＞0，解得b＜.
考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－，故答案为B.
答案：B
2．（2012山东，5分）过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析：本题考查直线与圆的位置关系、直线方程等基础知识和基本方法，考查数形结合思想、一般与特殊思想、等价转化思想等数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.
答案：A
3．（2012辽宁，5分）将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
解析：要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．
答案：C
4．（2010安徽，5分）过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为：x－2y＋c＝0，将点(1,0)代入x－2y＋c＝0，解得c＝－1，故直线方程为x－2y－1＝0.
答案：A
第2节 两条直线的位置关系
考点一 两条直线的位置关系
1．（2013天津，5分）已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切， 且与直线ax－y＋1＝0垂直， 则a＝( )
A．－ B．1 C．2 D.
解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查平面上两条直线垂直的条件，意在考查考生的等价转化能力．由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.
答案：C
2．（2012浙江，5分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由a＝1可得l1∥l2，反之由l1∥l2可得a＝1或a＝－2.
答案：A
考点二 点到直线的距离、平行直线间的距离
1．（2012江西，5分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2 B．4 C．5 D．10
解析：如图，以C为原点，CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b,0)，则D(，)，P(，)，由两点间的距离公式可得|PA|2＝＋，
|PB|2＝＋，|PC|2＝＋.
所以＝＝10.
答案：D
2．（2012浙江，4分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝____________.
解析：因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，则曲线C1与直线l不能相交，即x2＋a＞x，∴x2＋a－x＞0.
设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，
则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，
所以a＝.
答案：
第3节 圆的方程
考点 圆的方程
1．（2010福建，5分）以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
解析：抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，选项A中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A；
选项B中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B；
选项C中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.
答案：D
2．(2009·辽宁，5分)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：由圆心在直线x＋y＝0上．不妨设为C(a，－a)．
∴r＝＝，解得a＝1，r＝.
∴C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：B
3．（2010新课标全国，5分）圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
解析：由题意可知，原点到直线x＋y－2＝0的距离为圆的半径，即r＝＝，所以圆的方程为x2＋y2＝2.
答案：x2＋y2＝2
4．（2010广东，5分）已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是__________．
解析：设圆心为(a,0)(a<0)，则＝， 解得a＝－2，
故圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2.
答案：(x＋2)2＋y2＝2
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系
1．（2013江西，5分）过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A. B．－ C．± D．－
解析：本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，意在考查考生的数形结合的数学思想及运算能力．由y＝ 得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S△AOB＝|OA|·|OB|·sin ∠AOB＝sin ∠AOB.所以当sin ∠AOB＝1，即OA⊥OB时，S△AOB取得最大值，此时点O到直线l的距离d＝|OA|·sin 45°＝.设此时直线l的斜率为k，则方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，则有＝，解得k＝±，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故取k＝－.
答案：B
2．（2013山东，4分）过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力．最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.
答案：2
3．（2013江苏，14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：本题考查直线与圆的方程，两直线交点和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，意在考查学生用待定系数法处理问题的能力和用代数法处理几何性质的能力．
(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，
即1≤≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R； 由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为0，.
4．（2012天津，5分）设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )
A．[1－，1＋ ] B．(－∞，1－ ]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2 ] D．(－∞，2－2 ]∪[2＋2，＋∞)
解析：由题意可得＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤，解得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2.
答案：D
5．（2012陕西，5分）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
解析：把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l与圆C相交．
答案：A
6．（2011江西，5分）若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A．(－，) B．(－，0)∪(0，)
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：整理曲线C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝
7．（2012江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
解析：设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.
答案：
8．（2009山东，4分）已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
解析：依题意可设圆心坐标为(a,0)，a>0，
则半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为，根据勾股定理可得，
()2＋()2＝|a－1|2，解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，
则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9．（2010江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，
即要求圆心到直线的距离小于1，
即<1，解得－13
10.（2009江苏，16分）(本小题满分16分)(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．
解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，
所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d＝＝1.
由点到直线的距离公式得d＝，
从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，
所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P(a，b)满足条件，
不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，
则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．
因为圆C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即
＝，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk 或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，
因为k的取值有无穷多个，所以
或解得
或
这样点P只可能是点P1(，－)或点P2(－，)．
经检验点P1和P2满足题目条件．
考点二 圆与圆的位置关系
1．（2013重庆，5分）已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
解析：本题考查与圆有关的最值问题，意在考查考生数形结合的能力．两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|CC2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.
答案：A
2．（2012山东，5分）圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、之和为5，而1<<5，所以两圆相交．
答案：B
3．（2011江西，5分）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )
解析：如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.
以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．
观察各选项知，只有选项A符合
答案：A
4．(2009·天津，4分)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝，
如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2. 有|OC|＝＝1，∴a＝1.
答案：1
第5节 抛物线
考点 抛物线的定义、标准方程、几何性质
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：本题考查抛物线与圆的有关知识，意在考查考生综合运用知识的能力．
由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.
由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C.
答案： C
2．（2013北京，5分）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力．
因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
答案：2 x＝－1
3．（2013江西，5分）抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质，意在考查考生的数形结合思想以及转化与化归的能力．由x2＝2py(p>0)得焦点F，准线l为y＝－，所以可求得抛物线的准线与双曲线－＝1的交点A，B，
所以|AB|＝ ，则|AF|＝|AB|＝ ，所以＝sin ，即＝，
解得p＝6.
答案：6
4．（2013湖南，13分）过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1>0，k2>0，证明：·<2p2；
(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
解：本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及其几何意义，圆的方程及两圆的公共弦的求法，点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的位置关系，向量的数量积，基本不等式的应用，二次函数的最值的求法，考查运算求解能力和函数方程思想、转化化归思想和数形结合思想．属难题．
(1)由题意，抛物线E的焦点为F， 直线l1的方程为y＝k1x＋.
由得x2－2pk1x－p2＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.
所以点M的坐标为，＝(pk1，pk)．
同理可得点N的坐标为，＝(pk2，pk)．
于是·＝p2(k1k2＋kk)．
由题设，k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，
所以0
所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，从而圆M的半径r1＝pk＋p.
故圆M的方程为(x－pk1)2＋2＝(pk＋p)2，
化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0.
同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0.
于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0.
又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.
因为p>0，所以点M到直线l的距离
d＝＝＝.
故当k1＝－时，d取最小值.由题设，＝，解得p＝8.
故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.
5．（2012山东，5分）已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为(0，)，所以＝2，
所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.
答案：D
6．（2011新课标全国，5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
解析：设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为(，0)，将x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，∴p＝6.点P在准线上，到AB的距离为p＝6，
所以△PAB的面积为×6×12＝36.
答案：C
7．（2011辽宁，5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1 C. D.
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
8．（2012天津，5分）已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
解析：由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p>0)，焦点F(，0)，准线x＝－，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在直角三角形EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋＝2p，得p＝2.
答案：2
9.（2012陕西，5分）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．
解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2.
答案：2
10．（2010浙江，4分）设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点F的坐标为(，0)，线段FA的中点B的坐标为(，1)，代入抛物线方程得1＝2p×，解得p＝，故点B的坐标为(，1)，
故点B到该抛物线准线的距离为＋＝.
答案：
11．(2011新课标全国，12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，M点的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
解：(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．
所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．
再由题意可知(＋)·＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，因为y ′＝x，所以l的斜率为x0.
因此直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即x0x－2y＋2y0－x＝0.
则O点到l的距离d＝.又y0＝x－2，所以
d＝＝(＋)≥2，
当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
第6节 椭圆
考点一 椭圆的定义、标准方程
1.（2011新课标全国）椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
解析： 通过方程确定的值，离心率.由题意
选D
2. （2011新课标全国）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为 .
解析：的周长为，求得的值，再由离心率求得的值，可得椭圆的方程. 由＝16,得，又知离心率为，即，进而，所以，，
C的方程为.
3.（2011浙江高考）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 .
解析：设出A点坐标,利用题目条件建立方程即可, 注意把转化为坐标关系
解法一：设直线的反向延长线与椭圆交于点，又∵，由椭圆的对称性可得，设，，
又∵， ，
解之得，∴点A的坐标为.
解法二：椭圆的焦点分别为,设A点坐标为,B点坐标为（p,t）则,即，，故，且,由上面两式解得
,即点的坐标是(0,).
考点二 椭圆的简单几何性质
1.（2011天津）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左、右焦点．已知△为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
【思路点拨】由等腰三角形建立等式关系求出离心率；联立直线和椭圆的方程，表示出A、B的坐标，再由向量等式关系化简整理得到轨迹方程。
解析：（I）设由题意，可得，即整理得（舍），或所以。
（II）由（I）知可得椭圆方程为直线PF2方程为A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，
得
解得 得方程组的解
不妨设，设点M的坐标为，
于是，由
即，化简得
将所以
因此，点M的轨迹方程是
2.（2011天津）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2.点满足
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程.
【思路点拨】利用椭圆的几何性质、点到直线、两点间的距离公式，直线于圆的位置关系等知识求解.
解析：（Ⅰ）设，因为，
所以，整理得（舍）或
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线FF2的方程为A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得.解得，得方程组的解
不妨设，，
所以 于是
圆心到直线PF2的距离
，
整理得，得（舍），或
所以椭圆方程为
第7节 双曲线
考点一 双曲线的定义、标准方程
1．（2013广东，5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c＝3，a＝2，b＝ ＝ ＝，故双曲线的方程为－＝1.
答案：B
2．（2013湖北，5分）已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
解析：本题考查三角函数、双曲线等知识，意在考查考生对双曲线知识的掌握情况，会求实轴、虚轴、焦距和离心率的值，掌握三角函数的重要公式是求解本题的基础．双曲线C1的离心率e1＝＝ ＝ ＝，双曲线C2的离心率e2＝＝ ＝ ＝＝ ＝，所以e1＝e2，而双曲线C1的实轴长为2a1＝2cos θ，虚轴长为2b1＝2sin θ，焦距为2c1＝2 ＝2，双曲线C2的实轴长为2a2＝2sin θ，虚轴长为2b2＝2sin θsin θ，焦距为2c2＝2 ＝2 ＝2tan θ，所以A，B，C均不对，故选D.
答案：D
3．（2012湖南，5分）已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：根据已知列出方程即可．c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x经过点(2,1)，所以a＝2b，所以25＝4b2＋b2，由此得b2＝5，a2＝20，故所求的双曲线方程是－＝1.
答案：A
4．（2011山东，5分）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.
答案：A
5．（2011安徽，5分）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4.
答案：C
6．（2011安徽，5分）双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0)
解析：将双曲线方程化为标准方程为：
x2－＝1， ∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝， ∴c＝，
故右焦点坐标为(，0)．
答案：C
考点二 双曲线的简单几何性质
1．（2013福建，5分）双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B. C. D.
解析：本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，即x±2y＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为＝.
答案：C
2．（2013浙江，5分）如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)①，点A的坐标为(x0，y0)．
由题意得a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝，
所以解得x＝，y＝，又点A在双曲线上，代入①得，b2－a2＝a2b2③，联立②③解得a＝，所以e＝＝，故选D.
答案：D
3．（2013北京，5分）若双曲线－＝1 的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. y＝±2x B．y＝±x
C. y＝±x D. y＝±x
解析：本题考查双曲线的方程和简单几何性质，意在考查考生的运算求解能力．在双曲线中离心率e＝＝ ＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x.
答案：B
4．（2013陕西，5分）双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
解析：本题考查双曲线的几何性质和方程思想的具体应用．
⇒＝⇒m＝9.
答案：9
5．（2013江苏，5分）双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
解析：本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的运算能力．
令－＝0，解得y＝±x.
答案：y＝±x
6．（2013湖南，5分）设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
解析：本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在△PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－2·4a·2c·cos 30°，即3a2－2ac＋c2＝0，所以a－c＝0，故双曲线C的离心率为.
答案：
7．（2012新课标全国，5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )
A. B．2 C．4 D．8
解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.
答案：C
8．（2012浙江，5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±x，
因此有交点P(－，)，Q(，)，设PQ的中点为N，则点N的坐标为(，)，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3,0)，
因此有kMN＝＝－，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝，所以e＝.
答案：B
9．（2011湖南，5分）设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：双曲线方程－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数得a＝2.
答案：C
10．(2009·浙江，5分)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若＝，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于B(，)，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于C(，)，A(a,0)，
＝(－，)，＝(，－)．
∵＝，∴＝，b＝2a，
∴c2－a2＝4a2，∴e2＝＝5，∴e＝.
答案：C
11．（2012湖北，5分）如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率e＝________；
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.
解析：由题意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.
设sin θ＝，cos θ＝，
＝＝＝＝e2－＝.
答案：
12．（2011辽宁，5分）已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再有双曲线自身的一个等式a2＋b2＝c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以，离心率e＝2.
答案：2
13．（2010江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，
则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
第8节 曲线与方程
考点 曲线与方程
1．（2013陕西，13分）已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
解：本题考查圆的几何性质和轨迹方程的求解方法，探究直线恒过定点的问题，涉及平面几何性质的应用．
(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，
∴|O1M|＝ ，又|O1A|＝ ，
∴＝ ，
化简得y2＝8x(x≠0)．
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③
将①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，
∴直线l过定点(1,0)．
2．（2013四川，13分）已知椭圆C：＋＝1，(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．
解：本题考查椭圆的定义、离心率，直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹方程等知识，意在考查函数与方程、转化与化归的数学思想，考查考生的运算求解能力．
(1)由椭圆定义知，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2，所以a＝.
又由已知，c＝1，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.
设点Q的坐标为(x，y)．
①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，
此时点Q的坐标为.
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由＝＋，得
＝＋，即
＝＋＝. ①
将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0. ②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.
由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①中并化简，得x2＝. ③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪.
又满足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈.
由题意，Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1，
又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈[，)，且－1≤y≤1，则y∈.
所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.
3．（2011北京，5分）曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是____．
解析：因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．
答案：②③
4．（2012湖南，13分）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
(1)求曲线C1的方程；
(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
解：(1)法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.
(2)当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是＝3.
整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根，故
k1＋k2＝－＝－. ②
由得
k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0. ③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以
y1y2＝. ④
同理可得y3y4＝. ⑤
于是由②，④，⑤三式得
y1y2y3y4＝
＝
＝＝6 400.
所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.
5.（2012辽宁，12分）如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t12，b
(2)设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b
则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)．②
由①②得y2＝(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.从而y＝b2(1－)，代入③得－＝1(x<－a，y<0)．
(2)设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，
故xy＝xy.
因为点A，A′均在椭圆上，所以
b2x(1－)＝b2x(1－)．
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2.从而y＋y＝b2，
因此t＋t＝a2＋b2为定值．
6．(2010广东，14分)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．
解：(1)由题设知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，
则有直线A1P的方程为y＝(x＋)，①
直线A2Q的方程为y＝(x－)．②
法一：联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③
则x≠0，|x|<.
而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，∴－y＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为
＋y2＝1，x≠0且x≠±.
法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得
y2＝(x2－2)．③
又点P(x1，y1)在双曲线上，因此－y＝1，
即y＝－1.代入③式整理得＋y2＝1.
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合．
故点A1和A2均不在轨迹E上．
过点(0,1)及A2(，0)的直线l的方程为x＋y－＝0.
解方程组得x＝，y＝0.
所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.
故轨迹E不经过点(0,1)．
同理轨迹E也不经过点(0，－1)．
综上分析，轨迹E的方程为
＋y2＝1，x≠0且x≠±.
(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h>1)，
联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝ ，k2＝－.
由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝.
过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，
由×(－)＝－1，得h＝.此时，
l1，l2的方程分别为y＝x＋与y＝－x＋，
它们与轨迹E分别仅有一个交点(－，)与(，)．
所以，符合条件的h的值为或.
第9节 圆锥曲线的综合问题
考点 直线与圆锥曲线的位置关系
1．（2013安徽，5分）已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质，考查考生的转化与化归能力．
法一：设直线y＝a与y轴交于点M，抛物线y＝x2上要存在C点，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有交点即可，也就是使|AM|≤|MO|，即≤a(a>0)，所以a≥1.
法二：易知a>0，设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(－，a)，则＝(m－，m2－a)，＝(m＋，m2－a)，因为⊥，所以m2－a＋m4－2am2＋a2＝0，可得(m2－a)(m2＋1－a)＝0.因为由题易知m2≠a，所以m2＝a－1≥0，故a∈[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
2．（2013浙江，4分）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
解析：本题考查抛物线方程、性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想及运算求解能力．
法一：注意到|FQ|＝2，正好是抛物线通径的一半，所以点Q为通径的一个端点，其坐标为(1，±2)，这时A，B，Q三点重合，直线l的斜率为±1.
法二：令直线l的方程为x＝ty－1，由得y2－4ty＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝4，x1＋x2＝4t2－2，所以xQ＝2t2－1，yQ＝2t，|FQ|2＝(xQ－1)2＋y＝4，代入解得，t＝±1或t＝0(舍去)，即直线l的斜率为±1.
答案：±1
3．（2013新课标全国Ⅱ，12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
解：本题考查用待定系数法求椭圆方程以及直线与椭圆位置关系的问题，考查利用函数思想求最值，体现对考生综合素质特别是对考生分析问题、解决问题以及化归与转化能力的考查．
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3. 因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)由解得或
因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3,4＝.
因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝|x4－x3|＝ .
由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝ .
当n＝0时，S取得最大值，最大值为.
所以四边形ACBD面积的最大值为.
4．（2013浙江，15分）如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
解：本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
5．（2013江西，13分）如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(1，)，
离心率e＝，直线l的方程为x＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.
问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
解：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系等，旨在考查考生综合应用知识的能力．
(1)由P在椭圆上得，＋＝1.①
依题设知a＝2c，则b2＝3c2.②
②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一：由题意可设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)．③
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
x1＋x2＝，x1x2＝.④
在方程③中令x＝4得，M的坐标为(4,3k)．
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
由于A，F，B三点共线，则有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k.
所以k1＋k2＝＋＝＋－＝2k－·.⑤
④代入⑤得k1＋k2＝2k－·＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.故存在常数λ＝2符合题意．
法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为y＝(x－1)，
令x＝4，求得M，
从而直线PM的斜率为k3＝，
联立得A，
则直线PA的斜率为k1＝，直线PB的斜率为k2＝，所以k1＋k2＝＋＝＝2k3，
故存在常数λ＝2符合题意．
6．（2013福建，13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9)．
(1)求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；
(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．
解：本小题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想．
法一：(1)依题意，过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，
Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.
设Pi的坐标为(x，y)，由
得y＝x2，即x2＝10y.
所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋10.
由得x2－10kx－100＝0，
此时Δ＝100k2＋400>0，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
因为S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.
又x1·x2<0，所以x1＝－4x2，
分别代入①和②，得解得k＝±.
所以直线l的方程为y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.
法二：(1)点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E：x2＝10y上．
证明如下：过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，
Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.
由解得Pi的坐标为.
因为点Pi的坐标都满足方程x2＝10y，
所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.
(2)同法一．
7．（2012辽宁，5分）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( )
A．1 B．3 C．－4 D．－8
解析：因为P，Q两点的横坐标分别为4，－2，且P，Q两点都在抛物线y＝x2上，所以P(4,8)，Q(－2,2)．因为y′＝x，所以kPA＝4，kQA＝－2，则直线PA，QA的方程联立得，即，可得A点坐标为(1，－4)．
答案：C
8．（2012北京，5分）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
解析：直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.
答案：
9．(2009·宁夏、海南，5分)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
解析：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，∴＝1，抛物线方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，
y＝4x1①
y＝4x2②
①－②得y－y＝4(x1－x2)，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴＝1，
∴直线l的斜率为1，且过点(2,2)，
∴直线方程为y－2＝x－2，∴x－y＝0.
答案：x－y＝0
10．（2012新课标全国，12分）设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.
由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.
因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，
所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－.
因为m的纵截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.
11．（2012广东，14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
解：(1)由e＝＝ ＝，得a＝b，
椭圆C：＋＝1，即x2＋3y2＝3b2，
设P(x，y)为C上任意一点，
则|PQ|＝＝，－b≤y≤b，
若b<1，则－b>－1，当y＝－b时，|PQ|max＝＝3，
又b>0，得b＝1(舍去)，
若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，|PQ|max＝＝3，得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)法一：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤.由题意可得S△AOB＝|OA|·|OB|sin ∠AOB＝sin ∠AOB≤，
当∠AOB＝90°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形，
此时圆心(0,0)到直线mx＋ny＝1的距离为，
则 ＝，得m2＋n2＝2，又＋n2＝1，
解得m2＝，n2＝，
即存在点M的坐标为(，)，(，－)，(－，)，(－，－)
满足题意，且△AOB的最大面积为.
法二：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤，
又设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得(m2＋n2)x2－2mx＋1－n2＝0，①
把n2＝1－代入①整理得(3＋2m2)x2－6mx＋m2＝0，
则Δ＝8m2(3－m2)≥0，
所以②
而S△AOB＝|OA|·|OB|sin ∠AOB＝sin ∠AOB，
当∠AOB＝90°，S△AOB取得最大值，
此时·＝x1x2＋y1y2＝0，又y1y2＝·＝，
所以x1x2＋＝0，
即3－3m(x1＋x2)＋(3＋2m2)·x1x2＝0，
把②代入上式整理得2m4－9m2＋9＝0，解得m2＝或m2＝3(舍去)，
所以m＝±，n＝± ＝±，
所以M点的坐标为(，)，(，－)，(－，)，
(－，－)，使得S△AOB取得最大值.
12．(2012安徽，13分)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.
(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；
(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
解：(1)法一：由条件知，P(－c，)．故直线PF2的斜率为kPF2＝＝－.
因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝x－.故Q(，2a)．
由题设知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.
故椭圆方程为＋＝1.
法二：设直线x＝与x轴交于点M.由条件知，P(－c，)．
因为△PF1F2∽△F2MQ，所以＝.
即＝，解得|MQ|＝2a.
所以解得a＝2，c＝1.
故椭圆方程为＋＝1.
(2)直线PQ的方程为＝，即y＝x＋a.
将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0，
解得x＝－c，y＝.
所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．
13．（2012福建，13分）如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解：法一：(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以4a＝8，a＝2.
又因为e＝，即＝，所以c＝1，
所以b＝＝.
故椭圆E的方程是＋＝1.
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P(－，)．
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m，k恒成立．
因为＝(－－x1，)，＝(4－x1,4k＋m)，
由·＝0，
得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，
整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)
由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
法二：(1)同法一．
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P(－，)．
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此时P(1，)，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为(x－)2＋(y－)2＝，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．
以下证明M(1,0)就是满足条件的点：
因为M的坐标为(1,0)，所以＝(－－1，)，＝(3,4k＋m)，从而·＝－－3＋＋3＝0，
故恒有⊥，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
14．（2011江苏，16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.
(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；
(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意的k＞0，求证：PA⊥PB.
解：(1)由题设知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，
所以线段MN中点的坐标为(－1，－)．
由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，
所以k＝＝.
(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得＋＝1，解得x＝±，因此P(，)，A(－，－)．
于是C(，0)，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.
因此，d＝＝.
(3)证明：法一：将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝±.
记μ＝，
则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)，于是C(μ，0)．
故直线AB的斜率为＝，
其方程为y＝(x－μ)，代入椭圆方程并由μ＝得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，
解得x＝或x＝－μ. 因此B(，)．
于是直线PB的斜率k1＝＝＝－.
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝.从而
k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝
＋1＝＝＝0.
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
15． (2009·辽宁，12分)已知，椭圆C经过点A(1，)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
解：(1)由题意，c＝1，
可设椭圆方程为＋＝1.
因为A在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝3，b2＝－(舍去)．
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设直线AE方程为y＝k(x－1)＋，代入＋＝1，
得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4(－k)2－12＝0.
设E(xE，yE)，F(xF，yF)．
因为点A(1，)在椭圆上，所以
xE＝，yE＝kxE＋－k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得
xF＝，yF＝－kxF＋＋k.
所以直线EF的斜率
kEF＝＝＝.
即直线EF的斜率为定值，其值为.
第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布
第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考点 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．（2013山东，5分）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
解析：本题考查分步乘法计数原理的基础知识，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.
答案：B
2．（2012山东，5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )
A．232 B．252
C．472 D．484
解析：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C×C×C＝64种，若2张同色，则有C×C×C×C＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192种，剩余2张同色，则有C×C×C＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．
答案：C
3．（2010天津，5分）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有( )
A．288种 B．264种
C．240种 D．168种
解析：先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：
一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；
另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．
所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．
答案：B
第2节 排列与组合
考点 排列与组合
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
解析：本题考查排列组合、古典概型等基本知识，意在考查考生的基本运算能力与逻辑分析能力．
试验基本事件总个数为C，而和为5的取法有1,4与2,3两种取法，由古典概型概率计算公式得P＝＝，解得n＝8.
答案：8
2．（2013浙江，4分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
解析：本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能力以及利用所学知识解决问题的能力．“小集团”处理，特殊元素优先，CCAA＝480.
答案：480
3．（2013北京，5分）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
解析：本题考查排列组合中的分组安排问题，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A＝96.
答案：96
4．（2013重庆，5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．
解析：本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维能力．直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝590.
答案：590
5．（2012新课标全国，5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC＝12种安排方案．
答案：A
6．（2012广东，5分）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有CC＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有CC＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C×1＝5个．于是，所求概率为＝.
答案：D
7．（2011浙江，5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：基本事件共有A＝120种，同一科目的书都不相邻的情况可用间接法求解，即A－AAA×2－AAA＝48，因此同一科目的书都不相邻的概率是.
答案：B
8．（2010广东，5分）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
A．1 205秒 B．1 200秒
C．1 195秒 D．1 190秒
解析：共有A＝120个闪烁，119个间隔，每个闪烁需用时5秒，每个间隔需用时5秒，故共需要至少120×(5＋5)－5＝1 195秒．
答案：C
9．（2010北京，5分）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )
A．AA B．AC
C．AA D．AC
解析：本题采用插空法.8名学生的排列方法有A种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A，根据分步乘法计数原理，总的排法种数是AA.
答案：A
10．（2010湖南，5分）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11
C．12 D．15
解析：恰有0个，1个，2个对应位置上的数字相同的信息个数分别为1，C，C，
故至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋C＋C＝11个．
答案：B
11．(2009·广东，5分)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )
A．48种 B．12种
C．18种 D．36种
解析：若小张和小赵恰有1人入选，则共有：CCA＝24种方案；若小张和小赵两人都入选，则共有AA＝12，故总共有24＋12＝36种方案．故选D.
答案：D
12．(2009·辽宁，5分)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：
C×C＋C×C＝70种．
答案：A
13．（2010浙江，4分）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．
解析：上午测试安排有A种方法，下午测试分为：
(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；
(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有C种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有C种方法，其余两位只有一种方法，则共有C·C＝9种，
因此测试方法共有A·(2＋9)＝264种．
答案：264
14．(2009·宁夏、海南，5分)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．
解析：法一：先从7人中任取6人，共有C种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有种分法．最后排在周六和周日两天，有A种排法，
∴C××A＝140种．
法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C种排法，∴共有C×C＝140种．
答案：140
第3节 二项式定理
考点 二项式定理
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C.7 D.8
解析：本题考查二项式系数的性质，意在考查考生对二项式系数的性质的运用和计算能力．根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，C＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式，所以选择B.
答案：B
2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝( )
A．－4 B.－3
C．－2 D．－1
解析：本题涉及二项式定理、计数原理的知识，意在考查考生的分析能力与基本运算能力．展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.
答案：D
3．（2013陕西，5分）设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为( )
A．－20 B．20
C．－15 D．15
解析：本题考查分段函数和二项式定理的应用，解题关键是对复合函数的复合过程的理解．依据分段函数的解析式，得f(f(x))＝f(－)＝6，∴Tr＋1＝C(－1)rxr－3，则常数项为C(－1)3＝－20.
答案：A
4．（2013江西，5分）.5展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80
C．40 D．－40
解析：本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力．Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·(－2)r·x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为C×(－2)2＝40.
答案：C
5．（2013安徽，5分）若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.
解析：本题考查二项展开式的通项．二项式8展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝.
答案：
6．（2013浙江，5分）设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
解析：本题考查二项式定理及相关概念，考查利用二项式定理解决相关问题的能力以及考生的运算求解能力．Tr＋1＝(－1)rCx，令15－5r＝0，得r＝3，故常数项A＝(－1)3C＝－10.
答案：－10
7. （2013天津，5分）6的二项展开式中的常数项为________．
解析：本题考查二项式定理的应用，意在考查考生的运算求解能力．二项式6展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝C(－1)rx6－r，当6－r＝0，即r＝4时是常数项，所以常数项是C(－1)4＝15.
答案：15
8．（2013四川，5分）二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)
解析：本题考查二项式的通项，意在考查考生的运算能力．因为C＝10，故含x2的项的系数是10.
答案：10
9．（2012安徽，5分）(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：(－1)5的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5.当因式(x2＋2)中提供x2时，则取r＝4；当因式(x2＋2)中提供2时，则取r＝5，所以(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是5－2＝3.
答案：D
10．（2012天津，5分）在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10
C．40 D．－40
解析：二项式(2x2－)5展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x2)5－r(－)r＝C·25－r×(－1)rx10－3r，当r＝3时，含有x，其系数为C·22×(－1)3＝－40.
答案：D
11．（2012湖北，5分）设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
解析：512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．
答案：D
12．（2010陕西，5分）(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于( )
A．－1 B.
C．1 D．2
解析：利用(x＋)5的通项公式构建方程有Cx5－rarx－r＝Cx5－2rar＝10x3⇒r＝1，a＝2.
答案：D
13．（2012广东，5分）(x2＋)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)
解析：由(x2＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r()r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C＝＝20.
答案：20
14．（2010辽宁，5分）(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．
解析：(x－)6的展开式的通项
Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝(－1)rCx6－2r.
令6－2r＝0，得r＝3，令6－2r＝－1，得r＝(舍去)，
令6－2r＝－2，得r＝4.
所以所求的常数项为：(－1)3C＋(－1)4C＝－20＋15＝－5.
答案：－5
第4节 随机事件的概率
考点 随机事件及其概率
1．（2013安徽，5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：本题主要考查古典概型的概率计算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解．
事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－＝.
答案：D
2．（2013湖南，12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
解：本题主要考查统计初步与古典概型，意在考查考生的数据处理能力、运算能力．
(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为
P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
3.（2013江西，12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解：本题主要考查向量及其坐标表示、向量的数量积，考查利用列举法计算随机事件所包含的基本事件数及古典概型的概率求法等基础知识，意在考查考生的观察能力及分析、解决实际问题的能力．
(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；
数量积为0的有·，·，·，·，共4种；
数量积为1的有·，·，·，·，共4种．
故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P1＝；
因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.
4．（2011安徽，5分）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：假设正六边形的6个顶点分别为A、B、C、D、E、F，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果，故所求概率为.
答案：D
5．（2012江苏，5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p＝＝.
答案：
6．（2012新课标全国，12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频 数
10
20
16
16
15
13
10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；
②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85.
当日需求量n<17时，利润y＝10n－85.
所以y关于n的函数解析式为
y＝ (n∈N)．
(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为
(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.
第5节 古典概型
考点 古典概型
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. B. C. D.
解析：本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力，难度较小．从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是＝.
答案：B
2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
解析：本题主要考查古典概型，意在考查考生对基本概念的理解与基本方法的掌握．从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5”的结果有(1,4)，(2,3)，共2个，故所求概率为＝.
答案：
3．（2013山东，5分）某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解：本题主要考查古典概型，考查数据处理能力和运算能力．
(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人的身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到的2人的身高都在1.78以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1＝.
4．（2013辽宁，12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：本题主要考查用列举法列出基本事件空间以及基本事件，意在考查考生古典概型的一些基本概念和古典概率的求法．
(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
5．（2013天津，13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4, 则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标
(x, y, z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标
(x, y, z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品，
(ⅰ) 用产品编号列出所有可能的结果；
(ⅱ) 设事件B为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S都等于4”， 求事件B发生的概率．
解：本题主要考查用样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力．(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
6．（2013北京，13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解：本题主要考查考生利用古典概型处理较为热点的环境问题的能力，意在考查考生的推理论证能力、识图能力、等价转化能力．
(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”，
所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
7．（2012安徽，5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：标记红球为A，白球分别为B1、B2，黑球分别为C1、C2、C3，记事件M为“取出的两球一白一黑”．则基本事件有：(A，B1)、(A，B2)、(A，C1)、(A，C2)、(A，C3)、(B1，B2)、(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)、(C1，C2)、(C1，C3)、(C2，C3)，共15个．其中事件M包含的基本事件有：(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)，共6个．根据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)＝＝.
答案：B
8．（2011新课标全国，5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B. C. D.
解析：甲、乙各自参加一个兴趣小组是相互独立的事件，且每人报每个兴趣小组也是独立的，故两位同学参加同一兴趣小组的概率为C××＝.
答案：A
9．（2011浙江，5分）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A. B. C. D.
解析：从3个红球、2个白球中任取3个，根据穷举法，可以得到10个基本事件，其中没有白球的取法只有一种，因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P＝1－P(没有白球)＝1－＝.
答案：D
10．（2011江苏，5分）从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是____．
解析：采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为.
答案：
11．（2010江苏，5分）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
解析：设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：
AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.
答案：
12. （2012江西，12分）如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．
(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
(2)求这3点与原点O共面的概率．
解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：
x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种；
y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种；
z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种．
所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．
(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝＝.
(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝.
13．(2010福建，12分)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．
(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；
(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．
解：(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.
由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝＝.
第6节 模拟方法
考点 几何概型
1．（2013湖南，5分）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A. B. C. D.
解析：本题主要考查几何概型与三角形的最大角的性质，结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化能力和运算能力．由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝2＋AD2，解得2＝，即＝.
答案：D
2．（2013陕西，5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A．1－ B.－1 C．2－ D.
解析：本题考查几何概型的求解方法，涉及对立事件求解概率以及矩形和扇形面积的计算．由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为×π×12＝，矩形面积为2，则所求概率为＝1－.
答案：A
3．（2013山东，5分）在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．
解析：本题考查绝对值不等式的解法、几何概型等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力．当x≤－1时，不等式|x＋1|－|x－2|≥1，即－(x＋1)＋(x－2)＝－3≥1，此时无解；当－1
答案：
4．（2013福建，4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．
解析：本题考查了几何概型与随机模拟等知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．
因为0≤a≤1，由3a－1>0得
答案：
5．（2013湖北，5分）在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
解析：本题以非常简单的区间和不等式的解集立意，考查几何概型．
由几何概型知：＝⇒m＝3.
答案：3
6．（2012北京，5分）设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B. C. D.
解析：不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x，y)，则随机事件：在区域D内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2＋y2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为.
答案：D
7．（2011福建，5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P＝＝.
答案：C
8．（2011江西，5分）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为____．
解析：设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－＝.
答案：
第7节 离散型随机变量及其分布列
考点 离散型随机变量及其分布列
1．（2013新课标全国Ⅰ，12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解：本题主要考查独立重复试验和互斥事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等，意在考查考生的阅读理解能力及运用所学概率知识解决实际问题的能力．
(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)
＝×＋×＝.
(2)X可能的取值为400,500,800，并且
P(X＝400)＝1－－＝， P(X＝500)＝， P(X＝800)＝.
所以X的分布列为
X
400
500
800
P
EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.
2．(2013山东，12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．
解：本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的概率分布与数学期望等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．
(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝3＝， P(A2)＝C2×＝，P(A3)＝C22×＝.
所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C22×＝.
由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，
根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
又P(X＝1)＝P(A3)＝， P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
3．（2013湖南，12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，考查考生的阅读理解能力、收集数据的能力、运算求解能力和创新意识．
(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝，得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故所求的分布列为
Y
51
48
45
42
P
所求的数学期望为
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.
解析：∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，
因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，
P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：
4．（2012山东，12分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.
解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝B ＋C＋D，
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)＝P(B＋C＋D)
＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)
＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝.
(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.
根据事件的独立性和互斥性得
P(X＝0)＝P( )
＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝(1－)×(1－)×(1－)＝.
P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P()＝×(1－)×(1－)＝.
P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)
＝(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，
P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)＝××(1－)＋×(1－)×＝，
P(X＝4)＝P(CD)＝(1－)××＝，
P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
5．（2012江苏，10分）设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，
故P(ξ＝)＝＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
P(ξ)
因此E(ξ)＝1×＋×＝.
6．(2011新课标全国，12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质
量指标值t的关系式为y＝从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42，因此P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，
即X的分布列为
X
－2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望EX＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.
7．(2010山东，12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
(1)每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
(2)每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
(3)每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
①求甲同学能进入下一轮的概率；
②用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
解：设A，B，C，D分别为第一、二、三、四个问题．
用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确，
用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误．
则Mi与Ni是对立事件(i＝1,2,3,4)，由题意得
P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝，
所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝.
(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
则Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，
由于每题的答题结果相互独立，因此
P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4)
＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4)
＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)＋P(N1)P(M2)P(N3)P(M4)
＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝.
(2)由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4.
由于每题答题结果相互独立，
所以P(ξ＝2)＝P(N1N2)＝P(N1)P(N2)＝，
P(ξ＝3)＝P(M1M2M3)＋P(M1N2N3)
＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(M1)P(N2)P(N3)＝××＋××＝.
P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝.
因此随机变量ξ的分布列为
Ξ
2
3
4
P
所以Eξ＝2×＋3×＋4×＝.
第8节 n次独立重复试验与二项分布
考点一 二项分布及其应用
1．（2013安徽，13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.
(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.
解：本题主要考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
(1)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立．由于P(A)＝P(B)＝＝，故P()＝P()＝1－，因此学生甲收到活动通知信息的概率P＝1－2＝.
(2)当k＝n时，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1.
当k
CCC＝CCC.此时
P(X＝m)＝＝.
当k≤m
P(X＝m)在m＝2k－处达最大值．(注：[x]表示不超过x的最大整数)
下面证明k≤2k－
2．（2013福建，13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．
法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知可得，X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，
从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝，
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：
X1
0
2
4
P
X2
0
3
6
P
所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，
E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.
因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
3．（2013四川，12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
1 027
376
697
乙的频数统计表(部分)
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2 100
1 051
696
353
当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
解：本题主要考查算法与程序框图、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识．
(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；
当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.
所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.
(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：
输出y的值为1的频率
输出y的值为2的频率
输出y的值为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C×0×3＝， P(ξ＝1)＝C×1×2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×1＝， P(ξ＝3)＝C×3×0＝，
故ξ的分布列为
Ξ
0
1
2
3
P
所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
即ξ的数学期望为1.
4．（2010新课标全国，5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200
C．300 D．400
解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.
答案：B
5．（2010安徽，5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝； ②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立； ④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
解析：由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故①③错误；
∵P(B|A1)＝＝＝，故②正确；
由互斥事件的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④.
答案：②④
6．（2012辽宁，12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女10
55
合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.
由题意X～B(3，)，从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝np＝3×＝，
7．(2011天津，13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中，
(ⅰ)摸出3个白球的概率；
(ⅱ)获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
解：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.
(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－)2＝， P(X＝1)＝C×(1－)＝，
P(X＝2)＝()2＝.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
8．(2010广东，12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)．
(2)Y的可能取值为0,1,2.
P(Y＝0)＝＝. P(Y＝1)＝＝. P(Y＝2)＝＝.
Y的分布列为
Y
0
1
2
P
(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3.
令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，
则ξ～B(5,0.3)，
故所求概率为P(ξ＝2)＝C(0.3)2(0.7)3＝0.308 7.
9．(2009·广东，12分)根据空气质量指数API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：
API
0～50
51～100
101～150
151～200
201～250
251～300
＞300
级别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ1
Ⅲ2
Ⅳ1
Ⅳ2
Ⅴ
状况
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]，(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．
(结果用分数表示．已知57＝78 125,27＝128，＋＋＋＋＝，365＝73×5)
解：(1)根据频率分布直方图可知，
x＝{1－(＋＋＋＋)×50}÷50＝.
(2)空气质量为Y的天数＝(Y对应的频率÷组距)×组距×365天，
所以一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是
×50×365＝119(天)，×50×365＝100(天)．
(3)设A、B分别表示随机事件“空气质量为良”和“空气质量为轻微污染”，则事件A与B互斥．
所以空气质量为良或轻微污染的概率是
P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
设X表示该城市某一周的空气质量为良或轻微污染的天数．则X～B(7，)，
故所求的概率是P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－()7－7×()6＝.
第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
考点一 离散型随机变量及其分布列、期望与方差
1．（2013广东，5分）已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：本题考查离散型随机变量的数学期望，考查考生的识记能力．
E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝.
答案：A
2．（2013湖北，5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )
A. B. C. D.
解析：本题考查正方体中的概率和期望问题，意在考查考生的空间想象能力．
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝，
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)
＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝，.
答案：B
5．（2013北京，13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解：本题考查统计图、古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等基础知识，意在考查数形结合思想和考生的数据处理能力、运算求解能力．
设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2) 由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
7．（2013江西，12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
(1)求小波参加学校合唱团的概率；
(2)求X的分布列和数学期望．
解：本题将平面向量与概率统计知识相交汇，创新味十足，属能力立意的好题，主要考查平面向量的数量积、相互独立事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等相关知识．
(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
P
EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.
8．（2011浙江，4分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
解析：∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，
P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 答案：
9．(2009·广东，5分)已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
解析：由题意
解得a＝，b＝c＝.
答案：
10．（2012新课标全国，12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N)．
(2)①X可能的取值为60,70,80，并且
P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的数学期望为
EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为
DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为
EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为
DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，DX＜DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然EX＜EY，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为
EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果可以看出，EX＜EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．
11．（2012山东，12分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.
解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝B ＋C＋D，
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)＝P(B＋C＋D)
＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)
＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝.
(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.
根据事件的独立性和互斥性得
P(X＝0)＝P( )
＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝(1－)×(1－)×(1－)＝.
P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P()＝×(1－)×(1－)＝.
P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)
＝(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，
P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)
＝××(1－)＋×(1－)×＝，
P(X＝4)＝P(CD)＝(1－)××＝，
P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
12．（2012广东，13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
解：(1)由题意得：
10x＝1－(0.006×3＋0.01＋0.054)×10＝0.18，
所以x＝0.018.
(2)∵成绩不低于80分的学生共有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0.006×10×50＝3人，
ξ的可能值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，p(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
Ξ
0
1
2
P
∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
13．（2012江苏，10分）设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，
故P(ξ＝)＝＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
P(ξ)
因此E(ξ)＝1×＋×＝.
14．(2011新课标全国，12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42，因此P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，
即X的分布列为
X
－2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望EX＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.
15．(2010山东，12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
(1)每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
(2)每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
(3)每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
①求甲同学能进入下一轮的概率；
②用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
解：设A，B，C，D分别为第一、二、三、四个问题．
用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确，
用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误．
则Mi与Ni是对立事件(i＝1,2,3,4)，由题意得
P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝，
所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝.
(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
则Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，
由于每题的答题结果相互独立，因此
P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4)
＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4)
＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)＋P(N1)P(M2)P(N3)P(M4)
＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝.
(2)由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4.
由于每题答题结果相互独立，
所以P(ξ＝2)＝P(N1N2)＝P(N1)P(N2)＝，
P(ξ＝3)＝P(M1M2M3)＋P(M1N2N3)
＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(M1)P(N2)P(N3)＝××＋××＝.
P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝.
因此随机变量ξ的分布列为
Ξ
2
3
4
P
所以Eξ＝2×＋3×＋4×＝.
16．(2009·安徽，12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．
解：随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P
X的均值EX＝1×＋2×＋3×＝.
附：X的分布列的一种求法
共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：
①
②
③
④
⑤
⑥
A－B－C－D
BACD
ADBC
ACBD
ABCD
ABCD
在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人．
考点二 正态分布
1．（2013湖北，12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.)
(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
解：本题考查正态分布、简单的线性规划等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．
(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，
P(700
p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800
依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.
由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.
于是原问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆、B型车12辆．
2．（2010广东，5分）已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
解析：由题意可知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以图象关于y轴对称，
又知P(ξ>2)＝0.023，
所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.
答案：C
3．（2012新课标全国，5分）某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
解析：依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过1 000小时，元件正常工作的概率为0.5，则部件正常工作的概率为×[×＋×(1－)＋(1－)×]＝.
答案：
4．(2009·安徽，5分)若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
解析：∵X～N(μ，σ2)，∴由正态分布图象可知对称轴x＝μ，
∴P(X≤μ)＝. 答案：
第10章 算法初步、统计、统计案例
第1节 算法与算法框图
考点一 算法的含义、程序框图
1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）执行右面的程序框图，如果输入的N＝4，
那么输出的S＝( )
A．1＋＋＋
B．1＋＋＋
C．1＋＋＋＋
D．1＋＋＋＋
解析：本题主要考查程序框图的识读、循环结构等知识，意在考查考生对算法意义的理解与应用．按程序框图逐步计算可知：S＝1＋＋＋.
答案：B
2.(2013山东,5分)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
A．0.2,0.2 B．0.2,0.8
C．0.8,0.2 D．0.8,0.8
解析：本题主要考查程序框图的运行途径，考查读图能力和运算能力．两次运行结果如下：
第一次：－1.2→－1.2＋1→－0.2＋1→0.8；
第二次：1.2→1.2－1→0.2.
答案：C
3．(2013广东,5分)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )
A．1 B．2
C．4 D．7
解析：本题主要考查程序框图知识，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力．根据程序框图，s＝1＋0＋1＋2＝4.
答案：C
4．(2013安徽,5分)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )
A. B.
C. D.
解析：本题主要考查程序框图的循环结构，计算输出结果，意在考查考生对循环结构的理解和累加求和．
第一次循环后：s＝0＋，n＝4；第二次循环后：s＝0＋＋，n＝6；第三次循环后：s＝0＋＋＋，n＝8，跳出循环，输出s＝0＋＋＋＝.
答案：C
5．(2013江西,5分)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )
A．S＜8 B．S＜9
C．S＜10 D．S＜11
解析：本题主要考查程序框图的概念、循环结构程序框图的应用，考查算法的基本思想．程序框图的运行过程为：
i＝1，S＝0→i＝1＋1＝2→i不是奇数→S＝2×2＋1＝5→符合条件→i＝2＋1＝3→i是奇数→S＝2×3＋2＝8→符合条件→i＝3＋1＝4→i不是奇数→S＝2×4＋1＝9→不符合条件→输出i＝4→结束．根据以上步骤，知应填入条件S＜9.
答案：B
6．(2013江苏,5分)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．
解析：本题考查算法的基本概念及流程图的运算法则，意在考查学生的逻辑推理能力及对循环结构的理解．
算法流程图执行过程如下：n＝1，a＝2，a<20；n＝2，a＝8，a<20; n＝3，a＝26，a>20，输出n＝3.
答案：3
7．(2013浙江,4分)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．
解析：本题主要考查算法的逻辑结构、循环结构的使用，程序框图及框图符号等基础知识，同时考查识图能力，逻辑思维能力和分析、解决问题能力．根据程序框图，可以逐个进行运算，k＝1，S＝1；S＝1＋，k＝2；S＝1＋＋，k＝3；S＝1＋＋＋，k＝4；
S＝1＋＋＋＋＝，k＝5，程序结束，此时S＝.
答案：
8．(2012新课标全国,5分)如果执行下边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则( )
A．A＋B为a1，a2，…，aN的和
B.为a1，a2，…，aN的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数
解析：结合题中程序框图，由当x＞A时A＝x可知A应为a1，a2，…，aN中最大的数，由当x＜B时B＝x可知B应为a1，a2，…，aN中最小的数．
答案：C
9．(2012陕西,5分)如图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入( )
A．q＝ B．q＝
C．q＝ D．q＝
解析：程序执行的过程是如果输入的成绩不小于60分即及格，就把变量M的值增加1，即变量M为成绩及格的人数，否则，由变量N统计不及格的人数，但总人数由变量i进行统计，不超过500就继续输入成绩，直到输入完500个成绩停止循环，输出变量q，变量q代表的含义为及格率，也就是＝.
答案：D
10.(2011新课标全国,5分)执行右图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )
A．120 B．720
C．1440 D．5040
解析：由程序框图可得，输出的p＝1×2×3×4×5×6＝720.
答案：B
11.(2011天津,5分)右图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )
A．S＝S*(n＋1)
B．S＝S*xn＋1
C．S＝S*n
D．S＝S*xn
解析：由题意可知，输出的是10个数的乘积，因此处理框中应是分别计算这10个数相乘，故循环体应为S＝S*xn.
答案：D
12．(2009·浙江,5分)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：当程序运行到k＝3时，S＝3＋23＝11<100.
当程序运行到k＝4时，S＝11＋211＝2059>100，故输出k的值为4.
答案：A
13．(2012江苏,5分)下图是一个算法流程图，则输出的k的值是________．
解析：由k2－5k＋4>0得k<1或k>4，所以k＝5.
答案：5
14．(2012湖南,5分)如果执行如图所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i＝________.
解析：执行程序，i，x的取值依次为i＝1，x＝3.5；i＝2，x＝2.5；i＝3，x＝1.5；i＝4，x＝0.5；结束循环，输出i的值为4.
答案：4
15．(2012江西,5分)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
解析：此框图依次执行如下循环：
第一次：T＝0，k＝1，sin >sin 0成立，a＝1，T＝T＋a＝1，k＝2,2<6，继续循环；
第二次：sin π>sin 不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝3,3<6，继续循环；
第三次：sin >sin π不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝4,4<6，继续循环；
第四次：sin 2π>sin 成立，a＝1，T＝T＋a＝2，k＝5，5<6，继续循环；
第五次：sin >sin 2π成立，a＝1，T＝T＋a＝3，k＝6，跳出循环，输出的结果是3.
答案：3
16.(2011安徽,5分)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是______________．
解析：第一次进入循环体有T＝0＋0，第二次有T＝0＋1，第三次有T＝0＋1＋2，……，第n次有T＝0＋1＋2＋…＋n－1(n＝1,2,3，…)，令T＝>105，解得n>15，故n＝16，k＝15.
答案：15
17．(2011湖南 ,5分)若执行如图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数等于______．
解析：算法的功能是求解三个数的方差，输出的是S＝＝.
答案：
18．(2010广东,5分)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4(单位：吨)．根据如图所示的程序框图，若x1，x2，x3，x4分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果s为__________．
解析：运行程序框图可知，i、s1与s的值依次如下：
s1：1,2.5,4,6，
s：1，×2.5，×4，×6，
i：2,3,4,5，
当i＝5时，终止循环，输出s＝×6＝1.5.
答案：1.5
考点二 基本算法语句
1．(2013陕西,5分)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )
输入x;
Ifx≤50 Theny=0.5*x
Else
y=25+0.6*(x-50)
End If
输出y.
A．25 B．30
C．31 D．61
解析：本题考查考生对算法语句的理解和分段函数的求值．阅读算法语句易知，本题是一个求解分段函数f(x)＝的值的算法，∴f(60)＝25＋0.6×(60－50)＝31.
答案：C
2．(2011江苏,5分)根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为____．
Read a，b
If a＞b Then
m ←a
Else
m ←b
End If
Print m
解析：此题的伪代码的含义：输出两数的较大者，所以m＝3.
答案：3
第2节 随机抽样
考点 随机抽样
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.系统抽样
解析：本题考查抽样方法的知识，意在考查考生对简单随机抽样、系统抽样及分层抽样的认识与区别，且能够对具体实际问题选择恰当的抽样方法解决问题的能力．由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.
答案：C
2．（2013湖南，5分）某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
解析：本小题主要考查抽样方法的意义，属容易题．由于被抽取的个体的属性具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．
答案：D
3．（2013陕西，5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：本题考查系统抽样的方法．依据系统抽样为等距抽样的特点，分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽1人，则抽到的人数为12.
答案：B
4．（2013江西，5分）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7 816
6 572
0 802
6 314
0 702
4 369
9 728
0 198
3 204
9 234
4 935
8 200
3 623
4 869
6 938
7 481
A.08 B．07
C．02 D．01
解析：本题考查统计中的抽样方法——随机数法，意在考查考生的观察能力和阅读理解能力．从左到右符合题意的5个个体的编号分别为：08,02,14,07,01，故第5个个体的编号为01.
答案：D
5．（2012山东，5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7 B．9
C．10 D．15
解析：从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人．
答案：C
6．（2011福建，5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名， 则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：由分层抽样的比例都等于样本容量比总体容量可知：若设高二年级抽取x人，则有＝，解得x＝8.
答案：B
7．（2012江苏，5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生
解析：由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的，利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50×＝15名学生．
答案：15
8．（2012福建，4分）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．
解析：应抽取女运动员的人数为：×28＝12.
答案：12
9．（2012浙江，4分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×＝160.
答案：160
10．（2011天津，5分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
解析：抽取的男运动员的人数为×48＝12.
答案：12
11．（2010北京，5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图). 由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
解析：根据频率之和等于1，可知(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，
解得a＝0.030；
身高在[120,150]内的频率为0.6，人数为60人，
抽取比例是，而身高在[140,150]内的学生人数是10，故应该抽取10×＝3人．
答案：0.030 3
12．(2009·辽宁，5分)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.
解析：依题意可知平均数＝＝1013.
答案：1013
第3节 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
考点 用样本估计总体
1．（2013安徽，5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
解析：本题考查抽样方法的特点、数字特征数的求解等基础知识．解题时只要求出平均数、方差就可以找出答案．若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错；由题目看不出是系统抽样，所以B错；
这五名男生成绩的平均数1＝＝90，
这五名女生成绩的平均数2＝＝91，
故这五名男生成绩的方差为[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，
这五名女生成绩的方差为[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以D错，故选C.
答案：C
2.（2013福建，5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
A．588 B．480
C．450 D．120
解析：本题考查频率分布直方图等基础知识，意在考查考生数形结合能力、运算求解能力．由频率分布直方图可得，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600－(0.005＋0.015)×10×600＝480.
答案：B
3．（2013重庆，5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
解析：本题考查了统计知识中平均数和茎叶图的知识，意在考查考生对概念的掌握能力及运算求解能力．由于甲组的中位数是15，可得x＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y＝8.
答案：C
4．（2013湖北，5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．
解析：本题考查统计，意在考查考生对频率分布直方图知识的掌握情况．
(1)根据频率和为1，得(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4；
(2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.
答案：0.004 4 70
5．（2013广东，12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
解：本题考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，考查数据处理能力、运算求解能力．
(1)样本均值为＝＝22.
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为＝，故推断该车间12名工人中有12×＝4名优秀工人．
(3)设事件A：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P(A)＝＝.
6．（2012安徽，5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
答案：C
7.（2012陕西，5分）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )
A.甲<乙，m甲>m乙 B.甲<乙，m甲
8．（2012江西，5分）样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝α＋(1－α)，其中0<α<，则n，m的大小关系为( )
A．n
C．n＝m D．不能确定
解析：∵x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m，
x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym＝(m＋n)＝(m＋n)α＋(m＋n)(1－α)，
∴n＋m＝(m＋n)α＋(m＋n)(1－α)，
∴于是有n－m＝(m＋n)[α－(1－α)]＝(m＋n)(2α－1)，
∵0<α<，∴2α－1<0，∴n－m<0，即m>n.
答案：A
9．（2011江西，5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( )
A．me＝mo＝ B．me＝mo<
C．me
＝≈5.97.于是得mo
10.（2010陕西，5分）如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.A＞B，sA＞sB B.A＜B，sA＞sB
C.A＞B，sA＜sB D.A＜B，sA＜sB
解析：由图可知A组的6个数为2.5,10,5,7.5，2.5，10，
B组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，
所以A＝＝，
B＝＝.
显然A＜B，
又由图形可知，B组的数据分布比A均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA＞sB.
答案：B
11．(2009·山东，5分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A．90 B．75
C．60 D．45
解析：由频率分布直方图可知，产品净重小于100克的概率是0.05×2＋0.1×2＝0.3，所以样本中产品的个数为＝120，产品净重大于或等于104克的概率为0.075×2＝0.15，
∴产品净重大于或等于98克而小于104克的概率为1－0.15－0.1＝0.75，则净重在此范围内的产品个数为120×0.75＝90个．故选A.
答案：A
12．（2010江苏，5分）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.
解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，
故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的有0.3×100＝30(根)．
答案：30
13．(2009·江苏，5分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝________.
解析：甲＝7，s＝[12＋02＋02＋12＋02]＝，
乙＝7，s＝[12＋02＋12＋02＋22]＝，
∴s
14．(2011天津，13分)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，
(ⅰ)用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
(ⅱ)求这2人得分之和大于50的概率．
解：(1)4,6,6.
(2)(ⅰ)得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
(ⅱ)“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．
所以P(B)＝＝.
第4节 变量间的相关关系、统计案例
考点一 变量间的相关性
1．（2013福建，5分）已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，
＝＝＝， ＝－＝－×＝－，
所以
答案：C
2．（2013湖北，5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578：
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：本题主要考查两个变量的相关性，并能判断正相关和负相关．①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确．
答案：D
3.（2013重庆，13分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为
＝x＋.
解：本题主要考查两个变量的相关性、线性回归方程的求法及预报作用，考查考生的运算求解能力与逻辑思维能力．
(1)由题意知n＝10，＝xi＝＝8，＝yi＝＝2.
又x－n2＝720－10×82＝80，xiyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此可得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
4．（2012湖南，5分）设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．
答案：D
5．（2011山东，5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：样本中心点是(3.5,42)，则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
答案：B
6．（2011陕西，5分）设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D．直线l过点(，)
解析：回归直线过样本中心点(，)．
答案：D
7．（2011辽宁，5分）调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：以x＋1代x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，与＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
考点二 统计案例
1．（2013福建，12分）某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附：χ2＝
解：本题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想等．
(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝＝＝≈1.79.
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
2．(2010新课标全国，12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)K2＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
考点二 统计案例
1．（2013福建，12分）某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附：χ2＝
解：本题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想等．
(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝＝＝≈1.79.
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
2．(2010新课标全国，12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)K2＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
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