2021届天津市河北区高三下学期总复习质量调查（一）（一模）数学试题 PDF版

河北区2020－2021学年度高三年级总复习质量检测（一）

数 学 答 案

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

   （10）；               （11）；            （12），；

   （13），；           （14）；             （15），．

三、解答题：本大题共5小题，共75分．

（16）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）∵，

由正弦定理得，，即．     .…….……3分

由余弦定理得，．     .…….……6分

又，

∴．     .…….……7分

（Ⅱ）由，得．     .…….……8分

∴，．     .…….……12分

∴．…14分

（17）（本小题满分15分）

证明：（Ⅰ）∵，分别为，的中点，

∴．     .…….……2分

又平面，平面，

∴平面．     .…….……4分

解：（Ⅱ）由题意知，两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为

轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．

∴．设平面的法向量为，

则 即

不妨取，得．     .…….……7分

设直线与平面所成角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为．     .…….……9分

（Ⅲ）设的长为，则．

设平面的法向量为，

则 即

不妨取，得．     .…….……11分

平面的法向量．     .…….……12分

设二面角的平面角为，

则．

解得．经检验，符合题意．

故的长为．     .…….……15分

（18）（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

由题意得，     .…….……2分

解得，或，（舍）．     .…….……4分

∴，．     .…….……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

设数列的前项和为，

∴．

．

两式相减得，

     .…….……8分

   ．

∴．     .…….……10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）可得．

∴．     .…….……12分

∴     .…….……13分

设数列的前项和为，

．      .…….……15分

（19）（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）由题意得，     .…….……2分

又，  

∴．     .…….……4分

∴椭圆的方程为．     .…….……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，．

∵轴，

∴．

设（），则．

解得，则．     .…….……6分

又，

∴．

∴．．

设，，

则．

∴．     .…….……9分

①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为．

此时，不符合题意．     .…….……10分

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由  消去，整理得．     .…….……11分

∵，

∴     .…….……12分

将代入得

∴．

解得．     .…….……14分

∴直线的方程为或．     .…….……15分

（20）（本小题满分16分）

解：（Ⅰ）∵，

∴．     .…….……2分

∴．

又，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

     .…….……4分

（Ⅱ）函数的定义域为．    .…….……5分

由，得，

由，得，     .…….……7分

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．     .…….……9分

（Ⅲ）证明：∵，恒成立，

∴当时，恒成立．     .…….……10分

由（Ⅱ）知，．     .…….……11分

∵，

∴．

令，得或．     .…….……12分

①当，即时，

∵在上单调递增，

∴．

由，得．

故．     .…….……13分

②当，即时，

∵在上单调递减，在上单调递增，

∴．

由，得，不符合题意．     .…….……14分

③当，即时，

∵在上单调递减，

∴．

由，得，不符合题意．     .…….……15分

综上所述，实数的取值范围是．     .…….……16分

注：其他解法可参照评分标准酌情给分