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山东省烟台蓬莱市（五四制）2020-2021学年八年级上学期期末数学试题（word版 含答案）
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这是一份山东省烟台蓬莱市（五四制）2020-2021学年八年级上学期期末数学试题（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省烟台蓬莱市（五四制）2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
2．若分式值为0，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．篮球小组共有15名同学，在一次投篮比赛中，他们的成绩如右面的条形图所示，这15名同学进球数的众数和中位数分别是（ ）
A．6，7 B．7，9 C．9，7 D．9，9
5．如图，在平面直角坐标系中，可以看作是由经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，这个变化过程不可能是（ ）
A．先平移，再轴对称 B．先轴对称，再旋转
C．先旋转，再平移 D．先轴对称，再平移
6．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
8．已知四边形，对角线和交于点O，从下列条件中：①；②；③；④．任选其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
9．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（ ）
A．1区 B．2区 C．3区 D．4区
10．若，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
11．已知，，则M与N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．如图,四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点,则四边形EGFH的周长（ ）
A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关
C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关
二、填空题
13．如果，那么代数式的值是__________．
14．若将进行因式分解的结果为，则=_____．
15．某市对旧城区规划改建，根据2001年至2003年发展情况调查，制作成了房地产开发公司个数的条形图和各年度每个房地产开发公司平均建筑面积情况的条形图，利用统计图提供的信息计算出这3年中该市平均每年的建筑面积是_____万平方米．
16．如图，在菱形中，，点在上，若，则__________．
17．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM＝3，则矩形的对角线AC的长为_____．
18．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为_____．
三、解答题
19．将下列各式因式分解：
（1）
（2）
20．先化简，再求值：，其中a是整数，且满足，请取一个合适的a值代入求值．
21．直角坐标系中，A，B，P的位置如图所示，按要求完成下列各题：
（1）将线段AB向左平移5个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的线段A1B1；
（2）将线段AB绕点P顺时针旋转90°，画出旋转后的线段A2B2；
（3）作出线段AB关于点P成中心对称的线段A3B3．
22．6月26日是“国际禁毒日”某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，85，90，85，90，85，100；八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90；
整理数据：
80
85
90
95
100
七年级
2
2
3
2
1
八年级
1
2
4
1
分析数据：
平均数
中位数
众数
方差
七年级
89
90
39
八年级
90
30
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中的值
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；
（3）该校七八年级共600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？
23．如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，判断▱ADEF的形状；
（3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．
24．某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？
25．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接AE，点F，H，G分别为DE，AE，AB的中点连接FH，HG
（1）观察猜想图1中，线段FH与GH的数量关系是 ，位置关系是
（2）探究证明：把△CDE绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，连接AD，AE，BE判断△FHG的形状，并说明理由
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若CD＝4，AC＝8，请直接写出△FHG面积的最大值
参考答案
1．C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、图形既不是轴对称图形是中心对称图形，
B、图形是轴对称图形，
C、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形，
D、图形是轴对称图形.
故选C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．A
【分析】
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0，据此解答即可．
【详解】
解：根据题意得，，
解得：x=1，
故选：A．
【点睛】
要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
3．C
【分析】
分别利用提公因式法，完全平方公式、平方差公式对各选项逐一分解即可．
【详解】
解：A．，该选项分解错误，故不符合题意；
B．，该选项分解错误，故不符合题意；
C．，该选项分解正确，故符合题意；
D．，该选项分解错误，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了提公因式法，完全平方公式、平方差公式分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
4．C
【分析】
根据中位数、众数的意义求解即可．
【详解】
解：学生进球数最多的是9个，共有6人，因此众数是9，
将这15名同学进球的个数从小到大排列后处在第8位的是7个，因此中位数是7，
故选：C．
【点睛】
本题考查中位数、众数的意义和求法，理解中位数、众数的意义．掌握计算方法是正确解答的关键．
5．C
【分析】
根据轴对称的性质，平移的性质即可得到由 得到的过程．
【详解】
△AOB可以看作是由△OCD先向上平移，再轴对称，故选项A不符合题意；
△AOB可以看作是由△OCD先轴对称，再旋转，故选项B不符合题意；
△AOB不能由△OCD先旋转，再平移得到，故选项C符合题意；
△AOB可以看作是由△OCD先轴对称，再平移，故选项D不符合题意.
故选C.
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-轴对称，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线．
6．B
【分析】
先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得．
【详解】
解：根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°＝8，
则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为：8﹣3＝5（条）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线．
7．D
【分析】
根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
【详解】
解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．
故选D．
8．A
【分析】
以①④作为条件能够判定四边形ABCD是平行四边形，根据平行得出全等三角形，即可得解；
【详解】
以①④作为条件能够判定四边形ABCD是平行四边形；
理由：如图所示，
∵，
∴，
在△AOB和△COD中，
，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析判断是解题的关键．
9．D
【详解】
解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心O，
根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.
【点睛】
本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键.
10．A
【分析】
先根据求出ab与a-b的关系，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
解：∵，即ab=-3（a-b），
∴原式==-3．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
11．B
【分析】
利用完全平方公式把N-M变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】
解：N-M=（m2-3m）-（m-4）
=m2-3m-m+4
=m2-4m+4
=（m-2）2≥0，
∴N-M≥0，即M≤N，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
12．B
【分析】
根据中位线的性质即可进行判断.
【详解】
∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点,
∴四边形EGFH的周长=FH+GE+FG+HE=BC+BC+AD+AD= BC+AD,
故选B.
【点睛】
此题主要考查中点四边形的性质，解题的关键是熟知三角形的中位线定理.
13．3
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入可得答案．
【详解】
，
，
，
当 ，即 时，
原式 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题关键．
14．-2
【分析】
将（3x+2）（x-1）展开，则3x2-mx+n=3x2-x-2，从而求出m、n的值，进一步求得mn的值．
【详解】
解：∵（3x+2）（x-1）=3x2-x-2，
∴3x2-mx+n=3x2-x-2，
∴m=1，n=-2，
∴mn=-2.
故答案为-2．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，知道因式分解前后两式相等是解题的关键．
15．702
【分析】
根据加权平均数的计算方法进行求解即可．
【详解】
解：3年中该市平均每年的建筑面积＝（15×9+30×30+51×21）÷3＝702（万平方米）．
故答案为：702．
【点睛】
本题考查求加权平均数，掌握求加权平均数的方法是解题的关键．
16．115°
【分析】
先根据菱形性质求出∠BCD，∠ACE，再根据求出∠AEC，最后根据两直线平行，同旁内角互补解题即可．
【详解】
解：四边形ABCD是菱形，，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°，
∵ ，
∴∠ACE=∠AEC=65°，
∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．
【点睛】
本题考查了菱形性质，等腰三角形性质，解题方法较多，根据菱形性质求解∠ACE是解题关键．
17．
【分析】
连接AM，在Rt△ADM中，利用勾股定理求出AD2，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：如图，连接AM．
∵直线MN垂直平分AC，
∴MA＝MC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵DM＝2，MA＝3，
∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，
∴AC＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（﹣1，5）
【详解】
【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．
【详解】如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
，
∴△OGM≌△EOH（ASA），
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（﹣3，2），
∴O′（﹣，），
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5），
故答案是：（﹣1，5）．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键.
19．（1）；（2）
【分析】
（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用十字相乘法分解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．；当时，原式
【分析】
根据分式的性质进行化简，再代入求值即可；
【详解】
解：，
，
，
，
∵a是整数，且满足，
∴，
由题意得，，
∴当时，原式；
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，准确计算是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据平移的性质作出A，B的对应点A1，B1，连接即可；
（2）根据旋转的性质作出A，B的对应点A2，B2，连接即可；
（3）根据中心对称的性质作出A，B的对应点A3，B3，连接即可．
【详解】
解：（1）如图，线段A1B1即为所求；
（2）如图，线段A2B2即为所求；
（3）如图，线段A3B3即为所求．
【点睛】
本题考查作图−旋转变换，平移变换以及中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（1），，，；（2）八年级成绩较好，理由见解析；（3）390人
【分析】
（1）通过八年级抽取人数10人，即可得到a，根据中位数、平均数、众数的定义得到b、c、d；
（2）由于中位数和众数相同，通过分析平均数和方差即可得到答案；
（3）根据抽取的人中，不低于90分的比例即可得到两个年级共多少名学生达到“优秀”．
【详解】
解：（1），
七年级成绩按从小到大顺序排列为80，85，85，85，90，90，90，95，95，100，
∴中位数，
，
八年级成绩90出现次数最多，因此众数，
∴，，，；
（2）七八年级成绩的众数和中位数相同，但是八年级的平均成绩比七年级的高，且从方差看，八年级的成绩更稳定，综上八年级成绩较好．
（3）七年级抽取的10人中，不低于90分的有6人，
八年级抽取的10人中，不低于90分的有7人，
（人）
所以两个年级共390名学生达到“优秀”．
【点睛】
本题考查了中位数、众数、方差、平均数，以及样本估计总体，审清题中数据并了解基本的定义是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）▱ADEF的形状为菱形，理由见解析；（3）四边形AEGF是矩形，理由见解析.
【分析】
(1)根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
(2)根据三角形中位线定理得到DE=AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明；
(3)根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【详解】
(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF=∠BDE，
∴AD∥EF，又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
(2)解：□ADEF的形状为菱形，
理由如下：∵点D为AB中点，
∴AD=AB，
∵DE∥AC，点D为AB中点，
∴DE=AC，
∵AB=AC，
∴AD=DE，
∴平行四边形ADEF为菱形，
(3)四边形AEGF是矩形，
理由如下：由(1)得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE，
∵EG=DE，
∴AF∥DE，AF=GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD=AG，EG=DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
故答案为(1)证明见解析；(2)菱形；(3)矩形.
【点睛】
本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
24．（1）A型芯片的单价为26元，B型芯片时单价为35元；（2）购买A型芯片50条，B型芯片150条时，购买总费用最低，为6550元
【分析】
（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x-9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，再设购买总费用为W元，求出W关于a的一次函数关系式，根据函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）设B型芯片单价x元，则A型芯片单价为元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解
元
答：A型芯片的单价为26元，B型芯片时单价为35元．
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条
根据题意得，
解得，
设购买总费用为W元，
则
∵
∴W随a的增大而减小
当时，元
答：购买A型芯片50条，B型芯片150条时，购买总费用最低，为6550元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）灵活运用一次函数的性质．
25．（1）FH＝GH，FH⊥HG；（2）△FGP是等腰直角三角形，理由见解析；（3）18
【分析】
（1）直接利用三角形的中位线定理得出FH＝GH，再借助三角形的外角的性质即可得出∠FHG＝90°，即可得出结论；
（2）由题意可证△CAD≌△CBE，可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，根据三角形中位线定理，可证HG＝HF，HF∥AD，HG∥BE，根据角的数量关系可求∠GHF＝90°，即可证△FGH是等腰直角三角形；
（3）由题意可得S△HGF最大＝HG2，HG最大时，△FGH面积最大，点D在AC的延长线上，即可求出△FGH面积的最大值．
【详解】
解：（1）∵AC＝BC，CD＝CE，
∴AD＝BE，
∵点F是DE的中点，点H是AE的中点，
∴FH＝AD，
∵点G是AB的中点，点H是AE的中点，
∴GH＝BE，
∴FH＝GH，
∵点F是DE的中点，点H是AE的中点，
∴FH∥AD，
∴∠FHE＝∠CAE
∵点G是AB的中点，点H是AE的中点，
∴GH∥BE，
∴∠AGH＝∠B，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∵∠EGH＝∠B+∠BAE，
∴∠FHG＝∠FHE+∠EHG＝∠CAE+∠B+∠BAE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴FH⊥HG，
故答案为：FH＝GH，FH⊥HG；
（2）△FGP是等腰直角三角形
理由：由旋转知，∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，
由三角形的中位线得，HG＝BE，HF＝AD，
∴HG＝HF，
∴△FGH是等腰三角形，
由三角形的中位线得，HG∥BE，
∴∠AGH＝∠ABE，
由三角形的中位线得，HF∥AD，
∴∠FHE＝∠DAE，
∵∠EHG＝∠BAE+∠AGH＝∠BAE+∠ABE，
∴∠GHF＝∠FHE+∠EHG
＝∠DAE+∠BAE+∠ABE
＝∠BAD+∠ABE
＝∠BAC+∠CAD+∠ABC﹣∠CBE
＝∠CBA+∠CAB，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠GHF＝90°，
∴△FGH是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△FGH是等腰直角三角形，HG＝HF＝AD，
∵S△HGF＝HG2，
∴HG最大时，△FGH面积最大，
∴点D在AC的延长线上，
∵CD＝4，AC＝8
∴AD＝AC+CD＝12，
∴HG＝×12＝6．
∴S△PGF最大＝HG2＝18．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的中位线定理，判断出HG⊥FH是解本题的关键．
山东省烟台蓬莱市（五四制）2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
2．若分式值为0，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．篮球小组共有15名同学，在一次投篮比赛中，他们的成绩如右面的条形图所示，这15名同学进球数的众数和中位数分别是（ ）
A．6，7 B．7，9 C．9，7 D．9，9
5．如图，在平面直角坐标系中，可以看作是由经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，这个变化过程不可能是（ ）
A．先平移，再轴对称 B．先轴对称，再旋转
C．先旋转，再平移 D．先轴对称，再平移
6．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
8．已知四边形，对角线和交于点O，从下列条件中：①；②；③；④．任选其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
9．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（ ）
A．1区 B．2区 C．3区 D．4区
10．若，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
11．已知，，则M与N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．如图,四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点,则四边形EGFH的周长（ ）
A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关
C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关
二、填空题
13．如果，那么代数式的值是__________．
14．若将进行因式分解的结果为，则=_____．
15．某市对旧城区规划改建，根据2001年至2003年发展情况调查，制作成了房地产开发公司个数的条形图和各年度每个房地产开发公司平均建筑面积情况的条形图，利用统计图提供的信息计算出这3年中该市平均每年的建筑面积是_____万平方米．
16．如图，在菱形中，，点在上，若，则__________．
17．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM＝3，则矩形的对角线AC的长为_____．
18．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为_____．
三、解答题
19．将下列各式因式分解：
（1）
（2）
20．先化简，再求值：，其中a是整数，且满足，请取一个合适的a值代入求值．
21．直角坐标系中，A，B，P的位置如图所示，按要求完成下列各题：
（1）将线段AB向左平移5个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的线段A1B1；
（2）将线段AB绕点P顺时针旋转90°，画出旋转后的线段A2B2；
（3）作出线段AB关于点P成中心对称的线段A3B3．
22．6月26日是“国际禁毒日”某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，85，90，85，90，85，100；八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90；
整理数据：
80
85
90
95
100
七年级
2
2
3
2
1
八年级
1
2
4
1
分析数据：
平均数
中位数
众数
方差
七年级
89
90
39
八年级
90
30
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中的值
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；
（3）该校七八年级共600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？
23．如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，判断▱ADEF的形状；
（3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．
24．某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？
25．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接AE，点F，H，G分别为DE，AE，AB的中点连接FH，HG
（1）观察猜想图1中，线段FH与GH的数量关系是 ，位置关系是
（2）探究证明：把△CDE绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，连接AD，AE，BE判断△FHG的形状，并说明理由
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若CD＝4，AC＝8，请直接写出△FHG面积的最大值
参考答案
1．C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、图形既不是轴对称图形是中心对称图形，
B、图形是轴对称图形，
C、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形，
D、图形是轴对称图形.
故选C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．A
【分析】
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0，据此解答即可．
【详解】
解：根据题意得，，
解得：x=1，
故选：A．
【点睛】
要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
3．C
【分析】
分别利用提公因式法，完全平方公式、平方差公式对各选项逐一分解即可．
【详解】
解：A．，该选项分解错误，故不符合题意；
B．，该选项分解错误，故不符合题意；
C．，该选项分解正确，故符合题意；
D．，该选项分解错误，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了提公因式法，完全平方公式、平方差公式分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
4．C
【分析】
根据中位数、众数的意义求解即可．
【详解】
解：学生进球数最多的是9个，共有6人，因此众数是9，
将这15名同学进球的个数从小到大排列后处在第8位的是7个，因此中位数是7，
故选：C．
【点睛】
本题考查中位数、众数的意义和求法，理解中位数、众数的意义．掌握计算方法是正确解答的关键．
5．C
【分析】
根据轴对称的性质，平移的性质即可得到由 得到的过程．
【详解】
△AOB可以看作是由△OCD先向上平移，再轴对称，故选项A不符合题意；
△AOB可以看作是由△OCD先轴对称，再旋转，故选项B不符合题意；
△AOB不能由△OCD先旋转，再平移得到，故选项C符合题意；
△AOB可以看作是由△OCD先轴对称，再平移，故选项D不符合题意.
故选C.
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-轴对称，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线．
6．B
【分析】
先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得．
【详解】
解：根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°＝8，
则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为：8﹣3＝5（条）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线．
7．D
【分析】
根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
【详解】
解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．
故选D．
8．A
【分析】
以①④作为条件能够判定四边形ABCD是平行四边形，根据平行得出全等三角形，即可得解；
【详解】
以①④作为条件能够判定四边形ABCD是平行四边形；
理由：如图所示，
∵，
∴，
在△AOB和△COD中，
，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析判断是解题的关键．
9．D
【详解】
解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心O，
根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.
【点睛】
本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键.
10．A
【分析】
先根据求出ab与a-b的关系，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
解：∵，即ab=-3（a-b），
∴原式==-3．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
11．B
【分析】
利用完全平方公式把N-M变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】
解：N-M=（m2-3m）-（m-4）
=m2-3m-m+4
=m2-4m+4
=（m-2）2≥0，
∴N-M≥0，即M≤N，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
12．B
【分析】
根据中位线的性质即可进行判断.
【详解】
∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点,
∴四边形EGFH的周长=FH+GE+FG+HE=BC+BC+AD+AD= BC+AD,
故选B.
【点睛】
此题主要考查中点四边形的性质，解题的关键是熟知三角形的中位线定理.
13．3
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入可得答案．
【详解】
，
，
，
当 ，即 时，
原式 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题关键．
14．-2
【分析】
将（3x+2）（x-1）展开，则3x2-mx+n=3x2-x-2，从而求出m、n的值，进一步求得mn的值．
【详解】
解：∵（3x+2）（x-1）=3x2-x-2，
∴3x2-mx+n=3x2-x-2，
∴m=1，n=-2，
∴mn=-2.
故答案为-2．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，知道因式分解前后两式相等是解题的关键．
15．702
【分析】
根据加权平均数的计算方法进行求解即可．
【详解】
解：3年中该市平均每年的建筑面积＝（15×9+30×30+51×21）÷3＝702（万平方米）．
故答案为：702．
【点睛】
本题考查求加权平均数，掌握求加权平均数的方法是解题的关键．
16．115°
【分析】
先根据菱形性质求出∠BCD，∠ACE，再根据求出∠AEC，最后根据两直线平行，同旁内角互补解题即可．
【详解】
解：四边形ABCD是菱形，，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°，
∵ ，
∴∠ACE=∠AEC=65°，
∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．
【点睛】
本题考查了菱形性质，等腰三角形性质，解题方法较多，根据菱形性质求解∠ACE是解题关键．
17．
【分析】
连接AM，在Rt△ADM中，利用勾股定理求出AD2，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：如图，连接AM．
∵直线MN垂直平分AC，
∴MA＝MC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵DM＝2，MA＝3，
∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，
∴AC＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（﹣1，5）
【详解】
【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．
【详解】如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
，
∴△OGM≌△EOH（ASA），
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（﹣3，2），
∴O′（﹣，），
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5），
故答案是：（﹣1，5）．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键.
19．（1）；（2）
【分析】
（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用十字相乘法分解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．；当时，原式
【分析】
根据分式的性质进行化简，再代入求值即可；
【详解】
解：，
，
，
，
∵a是整数，且满足，
∴，
由题意得，，
∴当时，原式；
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，准确计算是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据平移的性质作出A，B的对应点A1，B1，连接即可；
（2）根据旋转的性质作出A，B的对应点A2，B2，连接即可；
（3）根据中心对称的性质作出A，B的对应点A3，B3，连接即可．
【详解】
解：（1）如图，线段A1B1即为所求；
（2）如图，线段A2B2即为所求；
（3）如图，线段A3B3即为所求．
【点睛】
本题考查作图−旋转变换，平移变换以及中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（1），，，；（2）八年级成绩较好，理由见解析；（3）390人
【分析】
（1）通过八年级抽取人数10人，即可得到a，根据中位数、平均数、众数的定义得到b、c、d；
（2）由于中位数和众数相同，通过分析平均数和方差即可得到答案；
（3）根据抽取的人中，不低于90分的比例即可得到两个年级共多少名学生达到“优秀”．
【详解】
解：（1），
七年级成绩按从小到大顺序排列为80，85，85，85，90，90，90，95，95，100，
∴中位数，
，
八年级成绩90出现次数最多，因此众数，
∴，，，；
（2）七八年级成绩的众数和中位数相同，但是八年级的平均成绩比七年级的高，且从方差看，八年级的成绩更稳定，综上八年级成绩较好．
（3）七年级抽取的10人中，不低于90分的有6人，
八年级抽取的10人中，不低于90分的有7人，
（人）
所以两个年级共390名学生达到“优秀”．
【点睛】
本题考查了中位数、众数、方差、平均数，以及样本估计总体，审清题中数据并了解基本的定义是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）▱ADEF的形状为菱形，理由见解析；（3）四边形AEGF是矩形，理由见解析.
【分析】
(1)根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
(2)根据三角形中位线定理得到DE=AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明；
(3)根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【详解】
(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF=∠BDE，
∴AD∥EF，又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
(2)解：□ADEF的形状为菱形，
理由如下：∵点D为AB中点，
∴AD=AB，
∵DE∥AC，点D为AB中点，
∴DE=AC，
∵AB=AC，
∴AD=DE，
∴平行四边形ADEF为菱形，
(3)四边形AEGF是矩形，
理由如下：由(1)得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE，
∵EG=DE，
∴AF∥DE，AF=GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD=AG，EG=DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
故答案为(1)证明见解析；(2)菱形；(3)矩形.
【点睛】
本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
24．（1）A型芯片的单价为26元，B型芯片时单价为35元；（2）购买A型芯片50条，B型芯片150条时，购买总费用最低，为6550元
【分析】
（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x-9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，再设购买总费用为W元，求出W关于a的一次函数关系式，根据函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）设B型芯片单价x元，则A型芯片单价为元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解
元
答：A型芯片的单价为26元，B型芯片时单价为35元．
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条
根据题意得，
解得，
设购买总费用为W元，
则
∵
∴W随a的增大而减小
当时，元
答：购买A型芯片50条，B型芯片150条时，购买总费用最低，为6550元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）灵活运用一次函数的性质．
25．（1）FH＝GH，FH⊥HG；（2）△FGP是等腰直角三角形，理由见解析；（3）18
【分析】
（1）直接利用三角形的中位线定理得出FH＝GH，再借助三角形的外角的性质即可得出∠FHG＝90°，即可得出结论；
（2）由题意可证△CAD≌△CBE，可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，根据三角形中位线定理，可证HG＝HF，HF∥AD，HG∥BE，根据角的数量关系可求∠GHF＝90°，即可证△FGH是等腰直角三角形；
（3）由题意可得S△HGF最大＝HG2，HG最大时，△FGH面积最大，点D在AC的延长线上，即可求出△FGH面积的最大值．
【详解】
解：（1）∵AC＝BC，CD＝CE，
∴AD＝BE，
∵点F是DE的中点，点H是AE的中点，
∴FH＝AD，
∵点G是AB的中点，点H是AE的中点，
∴GH＝BE，
∴FH＝GH，
∵点F是DE的中点，点H是AE的中点，
∴FH∥AD，
∴∠FHE＝∠CAE
∵点G是AB的中点，点H是AE的中点，
∴GH∥BE，
∴∠AGH＝∠B，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∵∠EGH＝∠B+∠BAE，
∴∠FHG＝∠FHE+∠EHG＝∠CAE+∠B+∠BAE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴FH⊥HG，
故答案为：FH＝GH，FH⊥HG；
（2）△FGP是等腰直角三角形
理由：由旋转知，∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，
由三角形的中位线得，HG＝BE，HF＝AD，
∴HG＝HF，
∴△FGH是等腰三角形，
由三角形的中位线得，HG∥BE，
∴∠AGH＝∠ABE，
由三角形的中位线得，HF∥AD，
∴∠FHE＝∠DAE，
∵∠EHG＝∠BAE+∠AGH＝∠BAE+∠ABE，
∴∠GHF＝∠FHE+∠EHG
＝∠DAE+∠BAE+∠ABE
＝∠BAD+∠ABE
＝∠BAC+∠CAD+∠ABC﹣∠CBE
＝∠CBA+∠CAB，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠GHF＝90°，
∴△FGH是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△FGH是等腰直角三角形，HG＝HF＝AD，
∵S△HGF＝HG2，
∴HG最大时，△FGH面积最大，
∴点D在AC的延长线上，
∵CD＝4，AC＝8
∴AD＝AC+CD＝12，
∴HG＝×12＝6．
∴S△PGF最大＝HG2＝18．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的中位线定理，判断出HG⊥FH是解本题的关键．
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