江苏省南通市通州区2021届高三第三次调研考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南通市通州区2021届高三第三次调研考试数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设集合A＝{x||x|≤2，x∈N}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{1}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．[﹣2，1]
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．的二项展开式中有理项有（ ）
A．3项B．4项C．5项D．6项
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．若非零实数a，b满足a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b≥2B．（a+b）
C．≥|a+b|D．
6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L＝+＝+（如图），其中h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）（参考数据：
A．6400mB．7200mC．8100mD．10000m
7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线C上位于第一象限内的一点，M为线段PF的中点，MQ垂直y轴于点Q，若直线QF的倾斜角为α，，则直线PF的倾斜角为（ ）
A．αB．2αC．π﹣αD．2α﹣π
8．已知点A，B，C是函数的图象和函数图象的连续三个交点，若△ABC是锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（0，）D．（0，）
二、多项选择题（共4小题）.
9．下列命题中正确的是（ ）
A．A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间基底，则A，B，M，N共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
D．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为
10．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N（μ，302）和N（280，402），则下列选项正确的是（ ）
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826．
A．若红玫瑰日销售量范围在（μ﹣30，280）的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在（280，320）的概率约为0.3413
11．已知椭圆C：+＝1上有一点P，F1、F2分别为左、右焦点，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列选项正确的是（ ）
A．若θ＝60°，则S＝3
B．若S＝9，则θ＝90°
C．若△PF1F2为钝角三角形，则S∈（0，）
D．椭圆C内接矩形的周长范围是（12，20]
12．设函数f（x）＝e2x﹣8ex+6x，若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则选项中满足条件的x0有（ ）
A．﹣ln2B．ln2C．ln4D．ln5
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．双曲线2x2﹣y2＝8的两条准线间的距离为 ．
14．为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A类药，2盒B类药，1盒C类药．若每天只能检测1盒药品，且3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测，则不同的检测方案的个数是 ．
15．无穷数列{an}满足：只要ap＝aq（p，q∈N*），必有ap+1＝aq+1，则称{an}为“和谐递进数列”．若{an}为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，a1＝a5＝1，a2＝2，则S2021＝ ．
16．正方体ABCD﹣A1B1G1D1的棱长为1，E，F分别为BC，CC1的中点．则平面AEF截正方体所得的截面面积为 ；以点E为球心，以为半径的球面与对角面ACC1A1的交线长为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）近似描述，试求出这个函数解析式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？
18．已知数列{an}满足：，anan+1＜0（n≥1），数列{bn}满足：bn＝an+12﹣an2（n≥1）．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式
（Ⅱ）证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
19．某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得﹣10分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得﹣10分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功．若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；
（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分ξ的分布列、期望和闯关成功的概率．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，BC＝CD＝2，AB＝4．M，N分别是AB，AD的中点，且PD⊥NC，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）已知三棱锥D﹣PAB的体积为，求二面角C﹣PN﹣M的大小．
21．已知函数f（x）＝a+lnx（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．
22．设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，过椭圆C上一点P（2，3）作两条不重合且倾斜角互补的直线PA、PB分别与椭圆C交于A、B两点，且AB中点为M．
（Ⅰ）求椭圆C方程．
（Ⅱ）椭圆C上是否存在不同于P的定点N，使得△MNP的面积为定值，如果存在，求定点N的坐标；如果不存在，说明理由．
参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．设集合A＝{x||x|≤2，x∈N}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{1}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．[﹣2，1]
解：∵A＝{x|﹣2≤x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：B．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
解：复数＝＝＝﹣i，
则＝+i，所以的虚部为．
故选：A．
3．的二项展开式中有理项有（ ）
A．3项B．4项C．5项D．6项
解：的二项展开式的通项公式为 Tr+1＝•（﹣1）r••，
令10﹣ 为整数，可得r＝0，3，6，9，故展开式中有理项有4项，
故选：B．
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为（ ）
A．B．C．D．
解：从该“数学风车”的八个顶点中任取两点的基本事件有＝28种，其中两点取自同一片“风叶”的4＝12种，故所求概率为：＝．
故选：A．
5．若非零实数a，b满足a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b≥2B．（a+b）
C．≥|a+b|D．
解：对于A、不等式使用的前提条件为：a和b都为正数，故A错误；
对于B：不等式使用的前提条件为a和b为同号，故B错误；
对于C：利用平方法，该不等式成立，故C正确；
对于D、不等式使用的前提条件为a和b为同号，故D错误；
故选：C．
6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L＝+＝+（如图），其中h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）（参考数据：
A．6400mB．7200mC．8100mD．10000m
解：根据题意可知，L＝390km，R＝8490km，h2＝0.025km，
因为L＝+＝+，
所以，
解得h1≈8.1km＝8100m．
故选：C．
7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线C上位于第一象限内的一点，M为线段PF的中点，MQ垂直y轴于点Q，若直线QF的倾斜角为α，，则直线PF的倾斜角为（ ）
A．αB．2αC．π﹣αD．2α﹣π
解：设点P的坐标为（，y），F（，0），
则由中点坐标公式可得点M的坐标为（，），
所以点Q的坐标为（0，），则直线QF的斜率为kQF＝﹣，直线PF的斜率为k＝，
设直线QF的倾斜角为α，直线PF的倾斜角为β，
则tanβ＝＝tan2α，
所以β＝2α+kπ，k∈Z，由于2α∈（π，2π），β∈[0，π），
故β＝2α﹣π，
故选：D．
8．已知点A，B，C是函数的图象和函数图象的连续三个交点，若△ABC是锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（0，）D．（0，）
解：作出两个函数的图象如图，则根据对称性知AB＝BC，即△ABC为等腰三角形，
三角函数的周期T＝，
且AC＝T，取AC的中点M，
连接BM，则BM⊥AC，
要使△ABC是锐角三角形，
只需要∠ABM＜45°即可，
即tan∠ABM＝＜1即可，即AM＜BM．
由sin（ωx+）＝sin（ωx﹣），
得sin（ωx+）＝sin（ωx﹣），
得ωx+＝π﹣（ωx﹣）＝﹣ωx，
得2ωx＝，得ωx＝，
则y＝sin（ωx+）＝sin（+）＝sin＝＝1，
即A点纵坐标为1，则BM＝2，
由AM＜BM得AC＜BM，即T＜2，
则T＜4，即＜4，得ω＞，
即ω的取值范围为（，+∞），
故选：A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列命题中正确的是（ ）
A．A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间基底，则A，B，M，N共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
D．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为
【解答】对于A，∵不能构成空间的一个基底，∴共面，则A，B，M，N共面，故A正确；
对于B，∵为空间的一个基底，∴，，不共面，
∵，∴，，不共面，则也是空间的一个基底，故B正确；
对于C，因为，则，若l⊄α，则l∥α，但选项中没有条件l⊄α，有可能会出现l⊂α，故C错；
直线l的方向向量为，平面α的法向量为，
则直线l与平面α所成角的正弦值为|cs＜＞|＝||＝||＝，故D正确．
故选：ABD．
10．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N（μ，302）和N（280，402），则下列选项正确的是（ ）
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826．
A．若红玫瑰日销售量范围在（μ﹣30，280）的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在（280，320）的概率约为0.3413
解：若红玫瑰日销售量范围在（μ﹣30，280）的概率是0.6826，则μ+30＝280，即μ＝250．
∴红玫瑰日销售量的平均数约为250，故A正确；
∵红玫瑰日销售量的方差σ1＝900，白玫瑰日销售量的方差σ2＝1600，
红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B正确，C错误；
白玫瑰日销售量范围在（280，320）的概率P＝（μ＜X＜μ+σ）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.3413，故D正确．
故选：ABD．
11．已知椭圆C：+＝1上有一点P，F1、F2分别为左、右焦点，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列选项正确的是（ ）
A．若θ＝60°，则S＝3
B．若S＝9，则θ＝90°
C．若△PF1F2为钝角三角形，则S∈（0，）
D．椭圆C内接矩形的周长范围是（12，20]
解：由已知可得a＝4，b＝3，所以c＝，
选项A：因为S＝b＝9×，故A正确；
选项B：因为S＝，所以h＝＞b＝3，所以三角形PF1F2不存在，故B错误；
选项C：因为三角形PF1F2为钝角三角形，所以三角形PF1F2中有一个角大于90°，
当∠PF2F1＝90°时，S最大，设PF1＝m，PF2＝n，则有m2＝n2+4c2，又m+n＝2a，
所以m﹣n＝，则n＝，所以三角形PF1F2的面积为S＝，
所以三角形的面积S，故C正确；
选项D：设矩形边长为2x，2y，其中x＝acsθ＝4csθ，y＝bsinθ＝3sinθ，θ∈[0，2π），
所以周长为C＝4x+4y＝12sinθ+16csθ＝20（）＝20sin（θ+φ），（tanφ＝），
当sin（θ+φ）＝1时，Cmax＝20，Cmin＞4b＝12，故周长的范围为（12，20]，故D正确，
故选：ACD．
12．设函数f（x）＝e2x﹣8ex+6x，若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则选项中满足条件的x0有（ ）
A．﹣ln2B．ln2C．ln4D．ln5
解：根据题意，f（x）＝e2x﹣8ex+6x，
则f′（x）＝2e2x﹣8ex+6，f′′（x）＝4e2x﹣8ex＝4ex（ex﹣2），
若f′′（x）＝0，即4ex（ex﹣2）＝0，解可得x＝ln2，
在区间（﹣∞，ln2）上，f′′（x）＜0，f′（x）为减函数，
在区间（ln2，+∞）上，f′′（x）＞0，f′（x）为增函数，
若f′（x）＝2e2x﹣8ex+6＝0，变形可得（ex﹣1）（ex﹣3）＝0，解可得x＝0或x＝ln3，
在区间（﹣∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
在区间（0，ln3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
在区间（ln3，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则x0＞ln3，
分析选项可得：CD符合x0＞ln3，
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．双曲线2x2﹣y2＝8的两条准线间的距离为 ．
解：双曲线2x2﹣y2＝8的标准方程为：，
所以准线方程为：x＝±＝±＝±，
所以双曲线2x2﹣y2＝8的两条准线间的距离为：．
故答案为：．
14．为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A类药，2盒B类药，1盒C类药．若每天只能检测1盒药品，且3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测，则不同的检测方案的个数是 432 ．
解：根据题意，分3步分析：
先将2盒B类药，1盒C类药全排列，有A33种情况，排好后有4个空位可选，
再从3盒A类药中任选2盒，安排在相邻2天检测，有C32A22种情况，
最后和另外1盒A类药，安排2盒B类药，1盒C类药的4个空位中，有A42种情况，
则有A33C32A22A42＝432种检测方案，
故答案为：432．
15．无穷数列{an}满足：只要ap＝aq（p，q∈N*），必有ap+1＝aq+1，则称{an}为“和谐递进数列”．若{an}为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，a1＝a5＝1，a2＝2，则S2021＝ 7576 ．
解：∵{an}前四项成等比数列，a1＝1，a2＝2，
∴公比q＝＝2，∴a3＝22＝4，a4＝23＝8，
又{an}为“和谐递进数列”，a1＝a5＝1，
∴a2＝a6＝2，a3＝a7＝4，a4＝a8＝8，
……，
an＝an+4．
∴S2021＝a1+（a2+a3+a4+a5）×505＝1+（2+4+8+1）×505＝7576．
故答案为：7576．
16．正方体ABCD﹣A1B1G1D1的棱长为1，E，F分别为BC，CC1的中点．则平面AEF截正方体所得的截面面积为 ；以点E为球心，以为半径的球面与对角面ACC1A1的交线长为 ．
解：如图，
连接AD1，则EF∥AD1，可得等腰梯形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面图形，
由正方体ABCD﹣A1B1G1D1的棱长为1，得，EF＝，
AE＝，则E到AD1的距离为＝，
∴＝；
∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
过E作EH⊥AC，则EH⊥平面AA1C1C，
∵E为BC的中点，∴EH＝AC＝，
又以E为球心，以为半径的球面与对角面ACC1A1相交，
∴球面被对角面ACC1A1所截圆的半径为，
由CH＝，HN＝，可得∠NHC＝，
∴球面与对角面ACC1A1的交线为以H为圆心，以为半径的圆的一段劣弧，
其长度为．
故答案为：；．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）近似描述，试求出这个函数解析式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？
解：（1）由表中的数据可得：A＝2.5，b＝5，
观察可知3：00和15：00时刻水深相同，故T＝12，
因为ω＞0，所以ω＝，
因为x＝3时y取到最大值，所以3×φ＝，
解得φ＝2kπ，k∈Z，
所以函数的解析式为y＝2.5sinx+5（1≤x≤23）；
（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，
所以2.5sinx+5≥6.25，即sin，
所以，
解得1+12m≤x≤5+12m，m∈N，
取m＝0或1，得1≤x≤5或13≤x≤17，
故该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时．
18．已知数列{an}满足：，anan+1＜0（n≥1），数列{bn}满足：bn＝an+12﹣an2（n≥1）．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式
（Ⅱ）证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
解：（Ⅰ）由题意可知，
令cn＝1﹣an2，则
又，则数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，即，
故，
又，anan+1＜0
故
因为＝，
故
（Ⅱ）假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，
由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，
于是有2bs＝br+bt成立，则只有可能有2bs＝br+bt成立，
∴
化简整理后可得，2＝（）r﹣s+（）t﹣s，
由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．
19．某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得﹣10分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得﹣10分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功．若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；
（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分ξ的分布列、期望和闯关成功的概率．
解：（1）设事件Ai为参赛者甲回答正确第i个问题（i＝1，2，3），
所以P＝P（A1A2）+P（A1A3）+P（A2A3）＝××+××+××＝．
（2）由题意，ξ所有可能取值为﹣20，﹣10，0，10，20，30，
P（ξ＝﹣20）＝P（）＝××＝，
P（ξ＝﹣10）＝P（A1）＝××＝，
P（ξ＝0）＝P（A3）+P（A2）＝××+××＝，
P（ξ＝10）＝P（A1A2）+P（A1A3）＝××+××＝，
P（ξ＝20）＝P（A2A3）＝××＝，
P（ξ＝30）＝P（A1A2A3）＝××＝，
所以ξ的分布列为：
E（ξ）＝（﹣20）×+（﹣10）×+0×+10×+20×+30×＝10．
由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为P（ξ＝20）+P（ξ＝30）＝．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，BC＝CD＝2，AB＝4．M，N分别是AB，AD的中点，且PD⊥NC，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）已知三棱锥D﹣PAB的体积为，求二面角C﹣PN﹣M的大小．
【解答】（1）证明：连结DM，则DC∥BM且DC＝BM，
所以四边形BCDM为平行四边形，所以DM∥BC且DM＝BC，
所以△AMD是正三角形，所以MN⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以MN⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，
所以PD⊥MN，又因为PD⊥NC，且MN∩NC＝N，MN，NC⊂平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD；
（2）解：连结BD，则BD∥MN，所以BD⊥AD，BD⊥PD，
在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2，
又AD＝2，AB＝4，所以DB＝，
故△DAB的面积为，
由等体积法可得，
所以，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面PNC的一个法向量为，
则有，即，
令x＝1，则，
所以，
设平面PNM的一个法向量为，
则有，即，
令a＝1，则，所以，
所以，
所以，
由图形可得，二面角C﹣PN﹣M为锐角，
所以二面角C﹣PN﹣M的大小为30°．
21．已知函数f（x）＝a+lnx（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．
解：（1）由函数f（x）＝a+lnx（a∈R），得f′（x）＝（lnx+2）．
另f′（x）＝0，得x＝e﹣2．列表如下：
因此，函数f（x）的单调递增区间为（e﹣2，+∞），单调减区间为（0，e﹣2）．
（2）由（1）可知，fmin（x）＝f（e﹣2）＝a﹣2e﹣1．
（i）当a＞2e﹣1时，由f（x）≥f（e﹣2）＝a﹣2e﹣1＞0，得函数f（x）的零点个数为0．
（ii）当a＝2e﹣1时，因f（x）在（e﹣2，+∞）上是单调增，在（0，e﹣2）上单调减，
故x∈（0，e﹣2）∪（e﹣2，+∞）时，f（x）＞f（e﹣2）＝0．
此时，函数f（x）的零点个数为1．
（iii）当a＜2e﹣1时，fmin（x）＝a﹣2e﹣1＜0．
①a≤0时，因为当x∈（0，e﹣2]时，f（xa+lnx＜x≤0，
所以，函数f（x）在区间（0，e﹣2]上无零点；
另一方面，因为f（x）在[e﹣2，+∞）单调递增，且f（e﹣2）＝a﹣2e﹣1＜0，
由e﹣2a∈（e﹣2，+∞），且f（e﹣2a）＝a（1﹣2e﹣a）＞0，
此时，函数f（x）在（e﹣2，+∞）上有且只有一个零点．
所以，当a≤0时，函数f（x）零点个数为1．
②0＜a＜2e﹣1时，因为f（x）在[e﹣2，+∞）上单调递增，且f（1）＝a＞0，f（e﹣2）＝a﹣2e﹣1＜0，
所以函数f（x）在区间（e﹣2，+∞）上有且只有一个零点；
另一方面，因为f（x）在（0，e2]上是单调递减，且f（e﹣2）＝a﹣2e﹣1＜0
又∈（0，e﹣2），且f（）＝a﹣＞a﹣＝0，（当x＞0时，ex＞x2成立）
此时，函数f（x）在（0，e2）上有且只有一个零点．
所以，当0＜a＜2e﹣1，函数f（x）的零点个数为2．
综上所述，当a＞2e﹣1时，f（x）的零点个数为0；
当a＝2e﹣1时，或a≤0时，f（x）的零点个数为1；
当0＜a＜2e﹣1时，f（x）的零点个数为2．
22．设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，过椭圆C上一点P（2，3）作两条不重合且倾斜角互补的直线PA、PB分别与椭圆C交于A、B两点，且AB中点为M．
（Ⅰ）求椭圆C方程．
（Ⅱ）椭圆C上是否存在不同于P的定点N，使得△MNP的面积为定值，如果存在，求定点N的坐标；如果不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）依题意得，
解得a＝4，，c＝2，
所以椭圆C：．
（Ⅱ）解法一：因为直线PA、PB的倾斜角互补，
所以设直线PA、PB的方程为y﹣3＝k（x﹣2），y﹣3＝﹣k（x﹣2），
所以A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程消元得：（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣3）x+4（4k2﹣12k﹣3）＝0，
所以，所以，
所以，
同理得，，
设M（x，y），则，，
所以，所以点M在直线上，
所以当PN∥OM时，△MNP的面积为定值．
此时PN的直线方程为，即，
因为消元得：x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2（舍去）．
所以椭圆C上存在不同于P的定点N（4，0），使得△MNP的面积为定值．
（Ⅱ）解法二：
设直线PA、PB的斜率为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），
因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以k1+k2＝0，
设直线AB的方程为y＝kx+b，
联立方程消元得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣48＝0，
所以，，，
所以，
所以2kx1x2+（b﹣2k﹣3）（x1+x2）﹣4（b﹣3）＝0，
所以，
所以4k2﹣8k+3+2kb﹣b＝0，所以（2k﹣1）（2k﹣3）+b（2k﹣1）＝0，
所以（2k﹣1）（2k﹣3+b）＝0所以或2k＝3﹣b（舍去）
直线OM的斜率．所以点M在直线上，
所以当PN∥OM时，△MNP的面积为定值．
此时PN的直线方程为，即，
因为消元得：x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2（舍去）．
所以椭圆C上存在不同于P的定点N（4，0），使得△MNP的面积为定值．
时刻
0：00
1：00
2：00
3：00
4：00
5：00
水深
5.000
6.250
7.165
7.500
7.165
6.250
时刻
6：00
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8：00
9：00
10：00
11：00
水深
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
时刻
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ξ
﹣20
﹣10
0
10
20
30
P
x
（0，e﹣2）
e﹣2
（e﹣2，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）

极小值