2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第四章 三角函数、解三角形 第四节 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用 Word版含解析

第四节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

A组　基础题组

1.(2015山东,4,5分)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象(　　)

A.向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

2.(2016陕西渭南模拟)将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin的图象,则f(x)=(　　)

A.2sin  B.2sin

C.2sin  D.2sin

3.(2016河南洛阳统考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(　　)

A.f(x)=sin B.f(x)=sin

C.f(x)=sin D.f(x)=sin

4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)

A.5 B.6 C.8 D.10

5.已知直线y=m(0<m<2)与函数y=sinωx+cosωx(ω>0)的图象依次交于A(1,m),B(5,m),C(7,m)三点,则ω=(　　)

A.  B.  C.  D.

6.(2017福建南平模拟)将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位,纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是(　　)

A.x= B.x= C.x= D.x=-

7.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=(　　)

A.  B.  C.  D.

8.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图,则f=　　　　. 

9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=　　　　. 

10.已知f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=　　　　. 

11.已知函数f(x)=4cosωx·sin+a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求a和ω的值;

(2)求函数f(x)在0,π]上的单调递减区间.

12.(2016湖南长沙四校模拟)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度得到y=sinx的图象,则函数f(x)的单调递增区间为(　　)

A.,k∈Z

B.,k∈Z

C.,k∈Z

D.,k∈Z

13.要得到函数f(x)=cos的图象,只需将函数g(x)=sin的图象(　　)

A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

14.(2016宁夏银川模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为,若f=,则函数f(x)在上的最小值为(　　)

A. B.- C.- D.-

15.函数f(x)=cos(πx+φ)的部分图象如图所示.

(1)求φ及图中x0的值;

(2)设g(x)=f(x)+f,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.

16.已知函数f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-(ω>0),其最小正周期为.

(1)求f(x)的表达式;

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.

]

答案全解全析

A组　基础题组

1.B　将函数y=sin4x的图象向右平移个单位可得到函数y=sin=sin4x-的图象.

2.B　y=2siny=2sinf(x)=2sin6-=2sin.

3.D　由图象可知A=1,=-,∴T=π,

∴ω==2,故排除A,C,把x=,y=1代入检验知,选项D符合题意.

4.C　由题图可知-3+k=2,k=5,∴ymax=3+5=8.

5.A　f(x)=sinωx+cosωx=2sin.由f(1)=f(5)=f(7)知x=3和x=6是函数f(x)图象的相邻的两条对称轴,

∴=3,即T=6,∴=6(ω>0),得ω=,故选A.

6.A　将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到的图象对应的函数解析式为g(x)=sin,再将g(x)=sin的图象向左平移个单位(纵坐标不变)得到y=g=sin=sin=sin的图象,

由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+,k∈Z.当k=0时,x=,即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程,故选A.

7.D　由已知得g(x)=sin(2x-2φ),若满足|f(x1)-g(x2)|=2,则不妨设此时y=f(x)和y=g(x)分别取得最大值与最小值,又|x1-x2|min=,令2x1=,2x2-2φ=-,此时|x1-x2|==,又0<φ<,故φ=,故选D.

8.答案　

解析　由=-=×,得ω=2,

∴f(x)=Atan(2x+φ).

又图象过点,∴Atan=0,

又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=Atan.

又图象过点(0,1),即Atan=1,故A=1,

∴f(x)=tan,

∴f=tan=tan=.

9.答案　2+2

解析　由题图知A=2,ω==,且可取φ=0,则f(x)=2sin,则T=8,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0.

又2012=251×8+4,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2=2+2.

10.答案　

解析　依题意知,当x==时,y有最小值,

∴sin=-1,∴ω+=2kπ+(k∈Z).

∴ω=8k+(k∈Z),∵f(x)在区间上有最小值,无最大值,∴-≤,即ω≤12,令k=0,得ω=.

11.解析　(1)f(x)=4cosωx·sin+a=4cosωx·+a

=2sinωxcosωx+2cos2ωx-1+1+a=sin2ωx+cos2ωx+1+a=2sin+1+a.

当sin=1时,f(x)取得最大值2+1+a=3+a,

又f(x)图象上最高点的纵坐标为2,∴3+a=2,∴a=-1.

又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π,∴f(x)的最小正周期T=π,∴2ω==2,∴ω=1.

(2)由(1)得f(x)=2sin,

由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,

得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

令k=0,得≤x≤,

∴函数f(x)在0,π]上的单调递减区间为.

B组　提升题组

12.C　解法一:将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)后图象对应的函数为y=sin,再向左平移个单位长度得到的图象对应的函数为y=sinω+φ=

sinωx++φ=sinx,又ω>0,所以所以ω=2,又-≤φ<,所以φ=-,则f(x)=sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.则函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.选C.

解法二:将y=sinx的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数为y=sin,将函数y=sin的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)后图象对应的函数为y=sin=f(x),由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,则函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.选C.

13.C　因为f(x)=cos=sin=sin

=sin2+,

所以要得到函数f(x)=cos的图象,只需将函数g(x)=sin的图象向左平移个单位长度.故选C.

14.C　由题意得,函数f(x)的最小正周期T=4×=π=,解得ω=2.因为点在函数f(x)的图象上,所以Asin2×+φ=0,解得φ=kπ+,k∈Z,由0<φ<π,可得φ=.因为f=,所以Asin=,解得A=,所以f(x)=sin.当x∈时,2x+∈,则sin∈,则当2x+=,即x=时,函数f(x)取得最小值,且最小值为-,故选C.

15.解析　(1)由题图得f(0)=,所以cosφ=,因为0<φ<,所以φ=.

由于f(x)的最小正周期等于2,所以由题图可知1<x0<2,

故<πx0+<,

由f(x0)=得cos=,

所以πx0+=,x0=.

(2)由(1)得f(x)=cos.

因为f=cos=cos=-sinπx,

所以g(x)=f(x)+f

=cos-sinπx

=cosπxcos-sinπxsin-sinπx

=cosπx-sinπx-sinπx

=cosπx-sinπx=sin.

当x∈时,-≤-πx≤.

所以-≤sin≤1,

故当-πx=,即x=-时,g(x)取得最大值;

当-πx=-,即x=时,g(x)取得最小值-.

16.解析　(1)f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-=sin2ωx+-

=sin,

又f(x)的最小正周期T=,

所以T===,

所以ω=2,所以f(x)=sin.

(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象;再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,所以g(x)=sin,

当0≤x≤时,-≤2x-≤,

易知当-≤2x-≤,即0≤x≤π时,g(x)递增,且g(x)∈,当<2x-≤,即π<x≤时,g(x)递减,且g(x)∈.

又g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即函数y=g(x)与y=-k的图象在区间上有且只有一个交点,所以-≤-k<或-k=1,

解得-<k≤或k=-1,所以实数k的取值范围是∪{-1}.