2018年高考考点完全题数学（理）习题 单元质量测试5 word版含答案

这是一份2018年高考考点完全题数学（理）习题 单元质量测试5 word版含答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质量测试(五)  　　时间：120分钟　　　满分：150分第Ⅰ卷　(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数a的值为(　　)A.   B．－  C．3   D．－3答案　C解析　＝，由题意知2a－1＝a＋2，解之得a＝3.2．若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　)A．i   B．1  C．－i   D．－1答案　C解析　∵z为纯虚数，∴a＝，∴＝＝＝＝－i.3．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是(　　)A．ab<b2<1   B．logb<loga<0C．2b<2a<2   D．a2<ab<1答案　C解析　∵y＝2x是单调递增函数，且0<b<a<1，∴2b<2a<21，即2b<2a<2.4．命题p：∃α、β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；命题q：∀m∈R，m＋≥2，则下列结论正确的是(　　)A．p是假命题   B．q是真命题C．p∧q是假命题   D．(綈p)∨q是真命题答案　C解析　存在α、β满足题意，例如α＝0，β＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．而m＋≥2必须在m>0时才能成立，所以p真q假．所以选C.5．不等式≤x－2的解集是(　　)A．(－∞，0]∪(2,4]   B．∪(4，＋∞)答案　B解析　①当x－2>0，即x>2时，原不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－2<0，即x<2时，原不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.6．已知实数x，y满足若不等式ax－y≤3恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，4]   B.C.   D．答案　B解析　不等式组表示的平面区域如图所示，不等式ax－y≤3恒成立，即y≥ax－3恒成立，平面区域ABC在直线y＝ax－3上及上方，由图可知得A(1,1)，B(2,0)，C(1，－1)三点在直线上及上方，满足得a≤，故答案为B.7．按下图所示的程序框图，若输入a＝110011，则输出的b＝(　　)A．51   B．49  C．47   D．45答案　A解析　由题意知b＝1×20＋1×21＋0×22＋0×23＋1×24＋1×25＝51.故选A.8．若x，y满足约束条件则＋的最大值为(　　)A.   B．2  C.   D．3答案　D解析　要求＋的最大值，只要使x，y同时取得最小值即可，作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图知x，y在点B处同时取得最小值，由方程组得所以max＝＋＝3，故选D.9．不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)A．(－2,0)   B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2)   D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案　C解析　不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x<min，由于＋≥2 ＝8(当a＝4b时等号成立)，∴x2＋2x<8，解得－4<x<2，故选C.10．在程序框图中，输入N＝8，按程序运行后输出的结果是(　　)A．6   B．7  C．10   D．12答案　C解析　由于程序中根据k的取值不同，产生的T值也不同，故可将程序中的k值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8)．∵当k为偶数时，T＝；当为偶数，即k＝4n＋3，n∈Z时，T＝；否则，即k＝4n＋1，n∈Z时，T＝－.故可知：每组的4个数中，偶数值乘以累加至S，但两个奇数对应的T值相互抵消，即S＝(2＋4＋6＋8)＝10，故选C.11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，E为等边三角形ABC的中心，O为内切球与外接球球心．则AE＝a，DE＝a，设OA＝R，OE＝r，则OA2＝AE2＋OE2，即R2＝2＋2，∴R＝a，r＝a.∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1.故正四面体P－ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于，故选C.12．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　)A．16   B．25  C．36   D．49答案　A解析　因为a，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)＝20＋4≥20＋4×2 ＝36，当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．所以＋≥36－20＝16.第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为________．答案　13＋23＋33＋43＋…＋n3＝2解析　由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝2.14．已知某程序框图如图所示．若a＝0.62，b＝30.5，c＝log0.55，则输出的数是________．答案　解析　由程序框图可知，程序的功能是求三个数中的最大值，a＝0.62＝0.36<1，b＝30.5>1，c＝log0.55<0，故c<a<b，所以输出的数为b＝.15．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案　5　8解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．16．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．答案　4解析　依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，即x＋2y≥4.当且仅当即时等号成立．∴x＋2y的最小值是4.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i (i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解　由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1－2＝，即z1＝＋2＝＋2＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.又z1·z2是实数，∴4－a＝0，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.18．(本小题满分12分)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求＋的最小值．解　(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lg x＋lg y＝lg (xy)≤lg 10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.19．(本小题满分12分)设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明　∵a、b、c都是正数，∴，，都是正数．∴＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．三式相加，得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.当且仅当a＝b＝c时等号成立．20．(本小题满分12分)记fn(x，y)＝(x＋y)n－(xn＋yn)，其中x，y为正实数，n∈N*.给定正实数a，b满足a＝.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，fn(a，b)≥fn(2,2)．证明　欲证不等式为(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1.(*)(1)当n＝1时，不等式(*)左边＝0，右边＝0，不等式(*)成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式(*)成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1.由a>0，b>0及a＝，得a＋b＝ab.∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，从而ab≥4，a＋b＝ab≥4.进而akb＋abk≥2≥2＝2k＋2，则当n＝k＋1(k∈N*)时，不等式(*)左边＝(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1＝(a＋b)＋akb＋abk≥4＋2k＋2≥4×(22k－2k＋1)＋2k＋2＝22(k＋1)－2(k＋1)＋1＝不等式(*)右边，∴当n＝k＋1时，不等式(*)成立．由(1)(2)知，对n∈N*，不等式(*)成立，即原不等式成立．21．(本小题满分12分)已知不等式mx2－2x－m＋1<0.(1)是否存在m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．解　(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，f(x)＝1－2x，不满足f(x)<0恒成立；当m≠0时，f(x)＝mx2－2x－m＋1，要使f(x)<0恒成立，需则m无解．综上可知，不存在这样的m.(2)设g(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则g(m)为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线．由题意知，当－2≤m≤2时，g(m)的图象为在x轴下方的线段，∴即解①得x<或x>，解②得<x<.由①②，得<x<.∴x的取值范围为.22．(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解　(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200(400≤x≤600)，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立．故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80000＝－(x－300)2－35000.∵400≤x≤600，∴Smax＝－(400－300)2－35000＝－40000.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.