人教版七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试巩固练习

七年级数学下册第五章《相交线与平行线》

解答题专项提升练习（一）

1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC．

（1）图中∠AOF的余角是　   　（把符合条件的角都填上）；

（2）如果∠1＝28°，求∠2和∠3的度数．

2．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．

（1）如图1，求证：HG⊥HE；

（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；

（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．

3．综合探究：

已知，AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．

（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；

（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数．

4．如图，AC平分∠MAE，AE交DB于点F．

（1）若AB∥CE，∠BAE＝50°，求∠ACE的度数；

（2）若∠AFB＝∠CAM，说明∠ACE＝∠BDE的理由．

5．已知直线BC∥ED．

（1）如图1，若点A在直线DE上，且∠B＝44°，∠EAC＝57°，求∠BAC的度数；

（2）如图2，若点A是直线DE的上方一点，点G在BC的延长线上，求证：∠ACG＝∠BAC+∠ABC；

（3）如图3，FH平分∠AFE，CH平分∠ACG，且∠FHC比∠A的2倍少60°，直接写出∠A的度数．

6．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠B；

（1）求证：EF∥AB；

（2）求证：DE∥BC；

（3）若∠C＝80°，求∠AED的度数．

7．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．

（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；

（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；

（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，∠CFG＝β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？用含α，β的式子表示（不写理由）．

8．已知：如图，延长△ABC的边BC至点D，使CD＝BC，过点D作射线DP∥AB，E为射线DP上的动点

（1）如图1，若AC平分∠EAB，求证：AC⊥EC；

（2）如图2，分别过点A、D作直线EC的垂线AM、DN．若AB＝CB，∠B＝110°，当|AM﹣DN|的值最大时，求∠ACE为多少度？

9．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．

（1）求证：AB∥CD；

（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠1的度数．

10．如图，∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．求证：∠1＝∠3．

11．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．

（1）AD与BC平行吗？请说明理由；

（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？

（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．

12．已知：如图，直线a、b被直线c、d所截，且∠1＝∠2，∠3＝80°，要求∠5的度数，请完善下面的推理过程，并在括号内填上相应的依据．

解：∵∠1＝∠2　   　

∴　   　∥　   　

∴∠3＝　   　

又∵∠3＝80°（已知）

∴∠4＝　   　

∵∠4＝∠5　   　

∴∠5＝　   　．

13．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．

（1）如图1，求证：AB∥CD；

（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；

（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．

14．如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．

在下列解答中，填空：

证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），

∴AB∥DE（　   　）．

∴∠ABC＝∠BCD（　   　）．

∵∠P＝∠Q（已知），

∴PB∥（　   　）（　   　）．

∴∠PBC＝（　   　）（两直线平行，内错角相等）．

∵∠1＝∠ABC﹣（　   　），∠2＝∠BCD﹣（　   　），

∴∠1＝∠2（等量代换）．

15．如图，将三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF，A，D两点的距离为1，CE＝2，∠A＝70°．根据题意完成下列各题：

（1）AC和DF的数量关系为　   　；AC和DF的位置关系为　   　；

（2）∠1＝　   　度

（3）BF＝　   　．

参考答案

1．解：（1）∵OF⊥OC，

∴∠FOC＝90°，

∴∠FOD＝90°，

∵∠AOD＝∠BOC，

∴∠AOF的余角是：∠AOD，∠BOC；

故答案为：∠AOD，∠BOC；

（2）∵OE平分∠AOD，

∴∠AOD＝2∠1＝56°，

∵∠2＝∠AOD，

∴∠2＝56°，

又∵OF⊥CO，

∴∠FOD＝90°，

∴∠3＝90°﹣∠AOD＝90°﹣56°＝34°．

2．证明：（1）∵AB∥CD，

∴∠AFE＝∠FED，

∵∠AGH＝∠FED，

∴∠AFE＝∠AGH，

∴EF∥GH，

∴∠FEH+∠H＝180°，

∵FE⊥HE，

∴∠FEH＝90°，

∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，

∴HG⊥HE；

（2）过点M作MQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴MQ∥CD，

过点H作HP∥AB，

∵AB∥CD，

∴HP∥CD，

∵GM平分∠HGB，

∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，

∵EM平分∠HED，

∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，

∵MQ∥AB，

∴∠BGM＝∠GMQ，

∵MQ∥CD，

∴∠QME＝∠MED，

∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，

∵HP∥AB，

∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，

∵HP∥CD，

∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，

∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），

∴∠GHE＝∠2GME；

（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，

由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，

由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，

∵∠AFE+∠BFE＝180°，

∴∠AFE＝180°﹣10x，

∵FK平分∠AFE，

∴∠AFK＝∠KFE＝∠AFE，

即，

解得：x＝5°，

∴∠BGH＝10x＝50°，

∵HP∥AB，HP∥CD，

∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，

∵∠GHE＝90°，

∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，

∴∠HED＝40°．

3．解：（1）如图1，过点G作GH∥AB，

∵AB∥CD，

∴GH∥AB∥CD，

∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，

∵GM⊥GN，

∴∠MGN＝∠MGH+∠HGN＝∠AMG+∠CNG＝90°；

答：∠AMG+∠CNG的度数为90°；

（2）如图2，过过点G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，

∵GK∥AB，AB∥CD，

∴GK∥CD，

∴∠KGN＝∠GND＝α，

∵GK∥AB，∠BMG＝40°，

∴∠MGK＝∠BMG＝40°，

∵MG平分∠BMP，

∴∠GMP＝∠BMG＝40°，

∴∠BMP＝80°，

∵ND平分∠GNP，

∴∠DNP＝∠GND＝α，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠QPN＝∠DNP＝α，

∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，

∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°．

4．解：（1）∵AC平分∠MAE，

∴∠MAC＝∠EAC．

∵∠BAE＝50°，

∴∠MAC＝∠EAC＝65°．

∵AB∥CE，

∴∠ACE＝∠MAC＝65°．

（2）∵∠AFB＝∠CAM，

∴∠AFB＝∠EAC．

∴AC∥BD．

∴∠ACE＝∠BDE．

5．解：（1）∵BC∥ED，∠B＝44°，

∴∠DAB＝∠B＝44°，

∵∠BAC＝180°﹣∠DAB﹣∠EAC

∴∠BAC＝180°﹣44°﹣57°＝79°．

（2）过点A作MN∥BG，

∴∠ACG＝∠MAC，∠ABC＝∠MAB

而∠MAC＝∠MAB+∠BAC

∴∠ACG＝∠MAB+∠BAC＝∠ABC+∠BAC．

（3）如图，设AC与FH交于点P

∵FH平分∠AFE，CH平分∠ACG

∴∠AFH＝∠EFH＝∠AFE，∠ACH＝∠HCG＝∠ACG

∵BC∥ED

∴∠AFE＝∠B

∴∠AFH＝∠B

∵∠A+∠B＝∠ACG

∴∠ACH＝∠ACG＝∠A+∠B

在△APF和△CPH中

∵∠APF＝∠CPH

∴∠A+∠B＝∠A+∠B+∠FHC

∴∠FHC＝∠A

∵∠FCH＝2∠A﹣60°

∴∠A＝2∠A﹣60°

∴∠A＝40°．

6．解：（1）证明：∵∠1＝∠2，

∴EF∥AB；

（2）∵EF∥AB，

∴∠3＝∠ADE，

∵∠3＝∠B，

∴∠ADE＝∠B，

∴DE∥BC；

（3）∵DE∥BC，

∴∠AED＝∠C，

∵∠C＝80°，

∴∠AED＝80°．

7．解：（1）∵AB∥CD，

∴∠1＝∠EGD．

∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，

∴2∠1+60°+∠1＝180°，解得∠1＝40°；

（2）如图，过点F作FP∥AB，

∵CD∥AB，

∴FP∥AB∥CD．

∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP．

∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG．

∵∠EFG＝90°，

∴∠AEF+∠FGC＝90°；

（3）α+β＝300°．理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°．

即α﹣30°+β﹣90°＝180°，

整理得α+β＝180°+120°＝300°．

8．（1）证明：延长AC、ED交于点F，如图所示：

∵DP∥AB，

∴∠F＝∠BAC，

∵AC平分∠BAE，

∴∠EAC＝∠BAC，

∴∠F＝∠EAC，

∴AE＝FE，

在△CDF和△CBA中，，

∴△CDF≌△CBA（AAS），

∴CF＝AC，

∴AC⊥EC；

（2）当DN与DP重合，AM与AB重合时，|AM﹣DN|的值最大，此时|AM﹣DN|＝AB，

∵∠ABC＝110°，

∴∠CBM＝180°﹣110°＝70°，

∴∠BCM＝90°﹣70°＝20°，

又∵AB＝BC，

∴∠ACB＝（180°﹣110°）÷2＝35°，

∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCM＝180°﹣35°﹣20°＝125°，

答：∠ACE＝125°．

9．（1）证明：∵FG∥AE，

∴∠2＝∠3，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴AB∥CD．

（2）解：∵AB∥CD，

∴∠ABD+∠D＝180°，

∵∠D＝112°，

∴∠ABD＝180°﹣∠D＝68°，

∵BC平分∠ABD，

∴∠4＝∠ABD＝34°，

∵FG⊥BC，

∴∠1+∠4＝90°，

∴∠1＝90°﹣34°＝56°．

10．证明：∵∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，

∴∠ABF＝∠1，∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ABF+∠2＝90°，∠ABD+∠BDC＝2×90°＝180°，

∴AB∥DC，

∴∠ABF＝∠3，

∴∠3+∠2＝90°，

∴∠1＝∠3．

11．解：（1）AD∥BC，

理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，

∴∠ADF＝∠BCF，

∴AD∥BC；

（2）AB∥EF，

理由是：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠ABE，

∵∠ABC＝2∠E，

∴∠ABE＝∠E，

∴AB∥EF；

（3）∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，

∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，

∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，

∴∠ABE+∠BAF＝90°，

∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，

∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．

12．解：∵∠1＝∠2（已知）

∴a∥b  （内错角相等，两直线平行 ）

∴∠3＝∠4  （两直线平行，同位角相等 ）

又∵∠3＝80° （ 已知）

∴∠4＝80°（等量代换 ）

∵∠4＝∠5 （对顶角相等）

∴∠5＝80°．

故答案为（已知）；a，b；∠4；80°；（对顶角相等）；80°．

13．（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．

∴∠BGF+∠DHE＝180°，

∴AB∥CD；

（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，

又∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥MR．

∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．

∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．

（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，

∵射线GH是∠BGM的平分线，

∴，

∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，

∵，

∴，

∴∠FGN＝2β，

过点N作HT∥GN，

则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，

∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，

∠CGH＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，

∵AB∥CD，

∴∠AGH+∠CGH＝180°，

∴90°+α+2α+3β＝180°，

∴α+β＝30°，

∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．

14．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），

∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．

∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．

∵∠P＝∠Q（已知），

∴PB∥（CQ）（内错角相等，两直线平行）．

∴∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）．

∵∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ），

∴∠1＝∠2（等量代换）．

故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ，内错角相等，两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．

15．解：（1）AC和DF的关系式为AC＝DF，AC∥DF．

（2）∵三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF，

∴AB∥DE，

∵∠A＝70°，

∴∠1＝110（度）；

（3）BF＝BE+CE+CF＝2+1+1＝4．

故答案为：AC＝DF，AC∥DF；110；4；