2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解一元二次不等式可得集合B，利用交集定义求解即可.

【详解】

集合，

，

．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题.

2．若（是虚数单位），则的共轭复数为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由复数除法法则计算出，再由共轭复数概念写出共轭复数．

【详解】

，∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．

3．已知向量，满足，，则（  ）

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】A

【解析】由向量数量积的运算法则计算．

【详解】

．

故选：A．

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题．

4．已知，则的值为 (    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据诱导公式可化简已知条件得，再利用二倍角的正切公式求得结果.

【详解】

由题意得：   

本题正确选项：

【点睛】

本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值.

5．函数y＝的图象大致是(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；

取x＝－1，y＝＝＞0，故再排除B；

当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故→0且大于0，故排除D，选C.

6．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为，选C.

【考点】古典概型

【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.

7．已知函数，则（）

A． B． C． D．5

【答案】A

【解析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.

【详解】

，

，

，

故选A.

【点睛】

本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.

8．高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）

A．① B．② C．④ D．⑤

【答案】C

【解析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．

【详解】

（1）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客④比①快60s．

（2）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，所以疏散1000名乘客②比⑤快80s．

（3）同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，所以疏散1000名乘客①比③快100s．

（4）同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以疏散1000名乘客④比②快60s．

（5）同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客⑤比③快20s．

综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④．

【点睛】

本题考查推理的应用，考查分析判断的能力，解题的关键是读懂题意，然后得到每两个安全出口疏散1000名乘客所用时间的大小关系，比较后可得结果．

9．已知函数的最小正周期为，若在时所求函数值中没有最小值，则实数的范围是(  )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先根据函数的最小正周期为，求得，根据函数在给定区间上没有最小值，结合函数的图象，得出，从而求得结果.

【详解】

因为函数的最小正周期为，

所以，

当时，，

因为时所求函数值中没有最小值，

所以，解得，

所以的取值范围是，

故选D.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦函数的图象和性质，函数的最小正周期以及函数的最值，属于简单题目.

10．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则(    )

A．4 B． C． D．

【答案】D

【解析】先利用得到函数的周期性，再利用函数的奇偶性和对数运算进行求解．

【详解】

因为函数满足，所以，即函数是以为周期的周期函数，又函数是定义在上的奇函数，且时，，所以．故选D．

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用以及对数运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．本题的易错点在于“正确根据判定函数是以为周期的周期函数，而不是图象关于直线对称”，在处理函数的周期性和对称性时，要注意以下结论：若函数满足或，则函数的图象关于直线对称；若函数满足或，则函数是以为周期的周期函数.

11．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解.

【详解】

双曲线的渐近线方程为，

由对称性，不妨取，即．

又曲线化为，

则其圆心的坐标为，半径为．

由题得，圆心到直线的距离，

又由点到直线的距离公式．可得．

解得，所以．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

12．已知函数，，其中．若的图象在点处的切线与的图象在点处的切线重合，则a的取值范围为（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先根据导数的几何意义写出函数在点A与函数在B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出，令，则，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出的取值范围．

【详解】

∵，

∴，，

函数在点处的切线方程为：，

函数在点处的切线方程为：，

两直线重合的充要条件是①，②，

由①及得，

故，

令，则，且，

设，

，

当时，恒成立，即单调递减，

，时，，

即a的取值范围为，故选A.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法，属于中档题.

二、填空题

13．曲线在点处的切线的倾斜角为__________.

【答案】45°

【解析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k＝y′|x＝1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．

【详解】

y′＝3x2﹣2，切线的斜率k＝3×12﹣2＝1．故倾斜角为45°．

故答案为45°．

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，以及利用斜率求倾斜角，本题属于基础题．

14．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,已知的面积为,,,则a的值为______．

【答案】

【解析】根据三角形的面积，以及，求出，再结合余弦定理，即可得出结果.

【详解】

因为，所以，

又的面积为,

所以，

故，

由余弦定理可得，

所以，

因此.

故答案为

【点睛】

本题主要考查解三角形，熟记三角形的面积公式与余弦定理即可，属于常考题型.

15．正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上.若，则球的体积是______．

【答案】

【解析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．

【详解】

∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，∴球心是正方形对角线交点，是棱锥的高，设球半径为，则，，，，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．

16．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_____．

【答案】

【解析】先由函数得到定点坐标，再把代入直线，得到的关系，再由基本不等式得到答案.

【详解】

函数（且）的图象恒过定点，

所以,

将代入到直线中，得到，

即

所以

当且仅当时，等号成立.

所以答案为：

【点睛】

本题考查对数函数过定点，基本不等式求最小值，属于中档题.

三、解答题

17．已知等差数列满足。

（1）求通项；

（2）设是首项为2，公比为2的等比数列，求数列通项公式及前n项和.

【答案】（1）；（2），。

【解析】(1)根据等差数列通项公式，结合条件建立关于首项与公差的方程组，求解即可；（2）可先求出的通项，再解出数列通项公式，求其前n项和则运用分组求和的方法求解即可。

【详解】

（1）由题意得，

解得，

（2）

，

，

∴。

【点睛】

本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法，比较基础，难度不大，关键是掌握基本公式即可。

18．2019年2月13日《西安市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数；

（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为，的学生中抽取9名参加座谈会．

（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；

（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？（精确到0.1）

附：（）.

临界值表：

【答案】（1）9, （2）（i）每周阅读时间为的学生中抽取3名，每周阅读时间为的学生中抽取6名．理由见解析, （ii）有的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．

【解析】（1）取各区间中点值乘以频率再相加即得；

（2）（i）两组差异明显，用分层抽样计算．（ii）求出两组的人数，填写列联表，计算可得．

【详解】

（1）

（2）（i）每周阅读时间为的学生中抽取3名，每周阅读时间为的学生中抽取6名．

理由：每周阅读时间为与每周阅读时间为是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照进行名额分配

（ii）列联表为：

，

所以有的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．

【点睛】

本题考查频率分布直方图，分层抽样，考查独立性检验．属于基础题．

19．如图，在四面体中，，，，线段，的中点分别为，．

（1）求证：平面平面；

（2）求四面体的体积．

【答案】（1）证明见解析, （2）4

【解析】（1）由，是中点，可得，再勾股定理证明，即可得线面垂直，从而有面面垂直；

（2）由（1）得平面，从而可计算出体积．

【详解】

（1）证明:因为，是的中点，所以.

在中，，，且为直角三角形的斜边，

由勾股定理，得.

因为，是的中点，所以.

在中，因为，，由勾股定理，得.

因为，，，有，则.

且，平面，所以平面.

而平面，故平面平面.

（2）由（1）可知平面平面.

因为平面平面，，平面，

所以平面，

因为在中，是的中点所以

所以.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查棱锥的体积计算．立体几何中的线面、面面关系的证明可根据其判定定理进行，即先证得定理需要的条件，然后得出结论，注意条件缺一不可．三棱锥的体积计算中用换底法，关键是要棱锥的高容易确定计算．

20．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，焦距为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点.问:是否存在的值，使以为直径的圆过点?请说明理由.

【答案】（1）,（2）存在，使得以为直径的圆过点

【解析】（1）题中两个条件为，从而可解得得椭圆方程；

（2）以为直径的圆过点，即，设，，则，为此由直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得，注意，代入计算出，满足即存在，否则不存在．

【详解】

（1）依题意解得

∴椭圆方程是

（2）假若存在这样的值，由得.

∴①

设，，则  ②

而

要使以为直径的圆过点，当且仅当时，

则，即

∴③

将②式代入③整理解得.经验证，，使①成立.

综上可知，存在，使得以为直径的圆过点

【点睛】

本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．椭圆中的存在性问题，一般是假设存在，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理得，代入题中的另外的条件求出参数（若不能求出，说明假设错误，不存在），这是解析几何中的“设而不求”思想．

21．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的图像与轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数，，都有.

【答案】（1）当时，在上单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减.,(2)见解析

【解析】（1）求导函数，按和分类讨论，确定的正负，从而确定单调性；

（2）由（1）知时有极㰁值，才可能满足题意，极大值为0，求得，.不妨设，则，等价于，即证：

令，由于，因此只要证得（）即可．

【详解】

（1）函数的定义域为，.

当时，，在上单调递增；

当时，由，得.

若，，单调递增；

若，，单调递减

综合上述：当时，在上单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，不满足条件；

当时，的极大值为，

由已知得，故，此时.

不妨设，则

等价于，即证：

令，

故在单调递减，所以.

所以对于任意互不相等的正实数，都有成立

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式．在证明与有关的不等式时（这里是任意两个正数，也可能是函数的两个零点，或者其他什么与函数有关的数），常常需要转化与化归，如不妨设，设，，设，则 ，这样不确定的，就变成有确定范围的变量，问题就转化为用导数研究函数的性质，从而证明出结论．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.

【答案】（1）:,:（2）

【解析】（1）消去得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.

（2）将直线的参数方程代入，化简得到，利用韦达定理计算得到答案.

【详解】

（1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得；

由，得，则曲线的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数方程代入，得，

设对应的参数分别为，则，

.

【点睛】

本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）函数化简为分段函数分别解不等式得到答案.

（2）题目等价于当时不等式恒成立，得到不等式，求的最小值得到答案.

【详解】

（1），由，解得，

故不等式的解集是；

（2）的解集包含，即当时不等式恒成立，

当时，，，即，

因为，所以，

令，，易知在上单调递增，

所以的最小值为，因此，即的取值范围为.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式，将题目等价于当时不等式恒成立是解题的关键.