2020届陕西省西安市长安一中高三上学期第一次质量检测数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】化简集合A，B，求交集即可.
【详解】
，，
，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.
2．已知复数（为虚数单位），为复数的共轭复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据复数的乘法及加法运算化简，由复数概念即可求解.
【详解】
,
,
复数的虚部为3，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.
3．如图，有四个形状的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，要想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则转盘的阴影面积与转盘面积比最大即可．
【详解】
根据几何概型的概率公式可知，中奖的概率等于阴影部分面积与游戏转盘面积之比，
由图形知，则A转盘的中奖概率小于，B转盘的中奖概率是，C转盘的中奖概率是，D转盘的中奖概率是，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查几何概型的概率计算，属于容易题．
4．已知著名的狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．无法求
【答案】B
【解析】分别讨论和可求解．
【详解】
若，则，
，
若，则，
，
故选：B．
【点睛】
本题以狄利克雷函数为载体，考查了函数的概念与性质的应用问题，属于容易题.
5．以为焦点的抛物线的准线与双曲线两条渐近线相交于、两点，若的面积为，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据抛物线的准线方程，以及双曲线的渐近线方程，得出为等腰直角三角形，根据面积为4列式计算，得出p的值，即可得出抛物线的标准方程．
【详解】
抛物线C的准线为，双曲线，
两条渐近线为，
为等腰直角三角形，
则，
，
抛物线C的标准方程为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了双曲线和抛物线的性质及几何意义，属于容易题．
6．已知的对应值表为：
0 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
且线性相关，由于表格污损，的对应值看不到了，若，且线性回归直线方程为，则时，的预报值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出，由线性回归方程必经过点（）即得，代入求解即可.
【详解】
由表格知，，
，
代入得：，
，
则回归方程为，
当时，，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了线性回归方程，线性回归方程的性质、应用， 属于中档题.
7．如图所示的程序框图是求的值的程序，则判断框中应填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据框图，模拟程序的运算即可求解.
【详解】
由程序框图得，，，满足条件得，
，满足条件得，
，满足条件，
，否，输出S的值，结束程序，
因此判断框应该是，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了算法的程序框图，基本逻辑结构中的循环结构，属中档题.
8．已知命题，，则下列判断正确的是（ ）
A．，是真命题 B．，是假命题
C．，是真命题 D．，是假命题
【答案】D
【解析】根据命题p的真假及含量词的命题的否定即可求解.
【详解】
命题p是真命题，
是假命题，且命题的否定为：，，
故选：D.
【点睛】
本题考查了全称量词命题的否定及真假判定,属于容易题.
9．如图所示，是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据三视图可得几何体的形状及数据，计算即可求值.
【详解】
由三视图知，该几何体为一个正方体挖去两个半圆锥得到的几何体，
体积为，
故选：B．
【点睛】
本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键属于中档题.
10．已知的三个内角所对的边分别为，且面积，，则角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角形面积公式得，又由可得化简得即可．
【详解】
，
，
又，
，
即，
，，
，
，则，
故选：C．
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，辅助角公式，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于中档题．
11．已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，的图象与轴交于点，与轴在右侧的第一个交点为，则（为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题目条件，逐步分析，首先得出的解析式，再变换为的解析式，求出点A、B，易得的面积．
【详解】
由题设知，的周期为，
，则，
将的图象向右平移个单位得到，，
，即，
的图象与x轴在y右侧的第一个交点为B，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了函数的图像与性质，属于中档题．
12．已知椭圆的左右焦点为、，为坐标原点，为椭圆上一点，与轴交于一点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆的性质可先求得，故可得，再由椭圆的定义得a，c的关系，故可得答案．
【详解】
，
，又，
，
则，
，则，，
由椭圆的定义得，，
，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，属于中档题.
二、填空题
13．已知平面内的点，，，若四边形（为坐标原点）是平行四边形，则向量的模为______.
【答案】
【解析】由得出向量的坐标，再求模即可．
【详解】
由向量的平行四边形法则知，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了向量的模和平面向量的坐标运算，属于容易题.
14．设不等式组表示的平面区域为，则的面积是______.
【答案】2
【解析】作出不等式组所表示的区域，即可求解.
【详解】
作出不等式组表示的可行域如图所示，
则M为正方形ABCD，其边长为，
的面积是2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查线性规划所表示的可行域面积问题，属于中档题．
15．______.
【答案】
【解析】根据诱导公式化简即可求值.
【详解】
,
,
,
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦公式，属于容易题.
16．已知函数的图象关于对称，且函数在上单调递减，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得在时恒成立，故解得m的取值范围．
【详解】
函数的图象关于对称，
函数的图象关于对称，即函数为奇函数，
不等式变为:
，
即，
，
又函数在上单调递减，
在R上单调递减，
则在时恒成立，
在上递增，
，
故．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于难题.
三、解答题
17．在“互联网+”时代的今天，移动互联快速发展，智能手机（Smartphone）技术不断成熟，尤其在5G领域，华为更以件专利数排名世界第一，打破了以往由美、英、日垄断的前三位置，再次荣耀世界，而华为的价格却不断下降，远低于苹果；智能手机成为了生活中必不可少的工具，学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一，越来越多的学生在学校里使用手机，为了解手机在学生中的使用情况，对某学校高二年级名同学使用手机的情况进行调查，针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如下的数据：
使用时间（小时） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
所占比例 | 4% | 10% | 31% | 16% | 12% | 2% |
（1）求表中的值；
（2）从该学校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由；
（3）若从使用手机小时和小时的两组中任取两人，调查问卷，看看他们对使用手机进行娱乐活动的看法，求这人都使用小时的概率.
【答案】（1）（2）抽取到高二的学生能估计，概率为，抽取到高一高三的学生不能估计（3）
【解析】由已知易知；
分情况讨论，当抽到的是高二年级时可以估计，若抽到高一、高三的同学则不能估计；
抽取6人中编号，写出所有基本事件，找出满足事件A的结果数，求解．
【详解】
由题设知，．
样本是从高二年级抽取的，
根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况．
若抽取的同学是高二年级的学生，
则可以估计这名同学每天平均使用手机小于小时的概率大约为：
；
若抽到高一、高三的同学则不能估计；
由题设知，使用1小时的人共有：人，设为A，B，C，D，
使用7小时的共有人，设为a，b，
从中任选2人有：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种情况，其中，这2人都使用7小时的只有ab，
所求概率为．
【点睛】
本题考查样本估计总体，古典概型求概率，属容易题．
18．已知数列，，是数列的前项和，且，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是数列的前项和，是否存在正整数，使，若存在，求出正整数的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）存在正整数n的值为673.
【解析】取，2时求得首项，，代入，整理得到数列是等差数列，再求通项公式
由等差数列求和公式求得数列的前n项和为T n，结合，再带入数值可求．
【详解】
，
，，
代入得，
，
又，
数列是以2为首项，以为公差的等差数列，故；
由知，，
又，
，
由得，，
，
故存在正整数n的值为673．
【点睛】
本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，属于中档题．
19．如图，在半圆柱中，分别为两底面半圆的圆心，平面是半圆柱的轴截面，、分别是两底面半圆弧的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求半圆柱的体积与四棱锥的体积的比值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）由面面垂直的判定定理可得；
（2）根据圆柱、四棱锥的体积公式计算即可求解.
【详解】
证明：、N分别是上下底面圆弧的中点，
，又平面ABCD是半圆柱的轴截面，
四边形ABCD是矩形，则，
，
为底面半圆的圆心，N是底面半圆弧的中点，
，又，
平面，
，
平面平面；
设半圆柱的底面半径为r，圆柱的高为AB，
半圆柱的体积为，连结，
由题设知，平面ABCD，
四棱锥的体积为，
则半圆柱的体积与四棱锥的体积的比值为：．
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定、棱柱、圆柱体积的计算，考查推理能力和计算能力，属中档题．
20．已知函数，，.
（1）令，若函数在点处的切线方程为，求函数的单调区间；
（2）当时，令（为常数），若函数有两个极值点，求证：.
【答案】（1）单调递减区间和，单调递增区间（2）证明见解析
【解析】通过函数在点处的切线方程求解的出，讨论x的取值范围可确定的单调区间；
函数由两个极值点m，n等价于有两个相异实根m，n，得出，，利用单调性即可证明不等式．
【详解】
由题设知，，
函数在点处的切线方程为，
，即
，，
令，则或，
当或时，，当时，
函数在和上单调递减，在上单调递增.
证明：当时，
，
，，
则，，
令，则为开口向上且对称轴为的抛物线，
由题设知，在上有两个相异实根m，，
即且，
，，
，
，
，
，
则函数在上单调递增，
则，即．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．
21．已知圆，动点，线段与圆交于点，轴，垂足为，.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设为曲线上的一点，过点作圆的两条切线，分别为两切线的斜率，若，求点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】利用抛物线的概念及标准方程直接得结论
设过点P的切线方程为，即，
则圆心到切线的距离为，化简后利用根与系数的关系即可求解．
【详解】
圆F的圆心为，半径为1，
，
又轴，垂足为H，，
动点到点等于到直线的距离．
故动点的轨迹是以为焦点的抛物线，
则，
，
则动点M的轨迹C的方程是；
设过点P的切线方程为，即，
则圆心到切线的距离为，
化简得，，
两切线斜率分别为，，
，
由题设知，，又为曲线C上的一点，
由知，，
，即，
解得，或，
，
，则，
点P的坐标为．
【点睛】
本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.
22．直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）过曲线的圆心且倾斜角为的直线交曲线于、两点，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】消去参数及利用极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线，的普通方程；
由直线l的参数方程代入整理得，再运用几何意义可得答案．
【详解】
由消去参数t得，曲线的普通方程为；
，，，
圆的直角坐标方程为，即；
曲线的圆心为，
直线l的倾斜角为，
直线l的参数方程为为参数，
将其代入整理得，，
设A，B对应的参数分别为，，
则．
【点睛】
本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查圆的标准方程的法，直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，属于中档题.
23．已知函数.
（1）当时，若恒成立，求的最大值；
（2），求实数的取值范围.
【答案】（1）3（2）
【解析】当时，，根据绝对值三角不等式可得，则；，原不等式即为，讨论，两种情况分别求解即可．
【详解】
当时，，
，
，则，m的最大值为3；
，
即为，
当时，，
即，解得，
，
当时，，
即，解得，
，
综上，实数a的取值范围是．
【点睛】
本题考查绝对值不等式及不等式恒成立问题,属于中档题.
