广东省茂名地区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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高一数学

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.）

1.下列函数中，周期为的函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数的最小正周期为，逐个选项运算即可得解.

【详解】根据公式，

对于选项A, 的最小正周期为,

对于选项B, 的最小正周期为,

对于选项C, 的最小正周期为,

对于选项D, 的最小正周期为,

故选：D.

【点睛】本题考查了三角函数的最小正周期，属基础题.

2.已知的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数的基本定义求解即可.

【详解】，由任意角的三角函数的定义可得.

故选:B.

【点睛】本题考查三角函数的基本定义，属于基础题.

3.下列各组中的两个向量，共线的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

当，，则，根据公式依次判断四个选项.

详解】对于A，；

对于B，；

对于C，；

对于D，.

所以与共线，其余三组不共线.

故选：D.

【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于简单题型.

4.若，则的值为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

试题分析：由，所以，故选A.

考点：诱导公式.

5.已知是第二象限角，且，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由条件先计算，再根据求值.

【详解】因为是第二象限角，

所以，

所以.

故选：D

【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，重点考查基本公式和计算，属于基础题型.

6.向量，则（    ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

首先计算和的值，再按照向量数量积的运算律展开计算.

【详解】由题意可得，，

所以.

故选：C

【点睛】本题考查向量数量积的公式，运算律，属于基础计算题型.

7.函数f（x）=

A. （-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）

【答案】C

【解析】

试题分析：

，所以零点在区间（0，1）上

考点：零点存在性定理

8.在△中，为边上的中线，为的中点，则

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

详解：根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

9.设非零向量，满足，则（    ）

A.  B.  C. // D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据与的几何意义可以判断.

【详解】由的几何意义知，以向量，为邻边的平行四边形为矩形，所以.

故选：A.

【点睛】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.

10.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为，则等于（    ）

A.  B.  C. 5 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先得到大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，根据三角函数的定义得到，再利用三角函数基本关系式求解.

【详解】由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，

，

即，

又，且为锐角，

解得，

所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

11.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）

【答案】C

【解析】

分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.

详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，

再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数图像有两个交点，

即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，

此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.

12.设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”现给出下列函数：；；；是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有其中是“倍约束函数”的序号是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查阅读题意的能力，根据倍约束函数的定义对各选项进行判定比较各个选项，发现只有选项①③④，根据单调性可求出存在正常数满足条件；而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数使之满足条件，由此即可得到正确答案．

【详解】对于①，任意正数时都有，是倍约束函数，故①正确；

对于②，，，即，不存在这样的对一切实数均成立，故②错误；

对于③，要使成立，即，当时，可取任意正数；当时，只须，因为，所以故③正确．

对于④，是定义在实数集上的奇函数，故是偶函数，因而由得到，成立，存在，使对一切实数均成立，符合题意，故正确．

本题正确选项：

【点睛】本题重点考查了函数最值及其性质，对各项逐个加以分析变形，利用函数、不等式进行检验，方可得出正确结论.深刻理解题中倍约束函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在，属于难题．

二、填空题（每小题5分，共4小题，20分）

13.设向量，，且，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量垂直的充要条件得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．

【详解】∵；

∴；

即x+2（x+1）＝0；

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．

14.已知向量，且，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.

【详解】因为，所以，解得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

15.已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】    (1). (1,4)    (2).

【解析】

分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.

详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

16.关于下列命题：

①若是第一象限角，且，则；

②函数是偶函数；

③函数的一个对称中心是；

④函数在上是增函数，

所有正确命题的序号是_____．

【答案】②③

【解析】

【分析】

结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．

【详解】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；

对于②，函数y=sin=-cos πx，f(x)=-cos(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；

对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为，

当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；

对于④，函数，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以④不正确．

综上，命题②③正确．

【点睛】本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．

三、解答题（共6小题，70分）

17.已知．设.

(1)求；(2)求满足的实数．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】（1）依据题设运用向量的坐标运算求解；（2）借助题设条件运用向量的坐标形式相等建立方程组求解：

解：由已知得，

(1)

(2)∵，

∴解得,

.

18.设平面三点、、.

（1）试求向量的模；

（2）若向量与的夹角为，求；

（3）求向量在上的投影．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）计算出、的坐标，可计算出的坐标，再利用平面向量模长的坐标表示可计算出向量的模；

（2）由可计算出的值；

（3）由投影的定义得出向量在上的投影为可计算出结果.

【详解】（1）、、，

，，

因此，；

（2）由（1）知，，，

所以；

（3）由（2）知向量与的夹角的余弦为，且.

所以向量在上的投影为.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量夹角的坐标表示、以及向量投影的计算，解题时要熟悉平面向量坐标的运算律以及平面向量数量积、模、夹角的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.

19.已知,计算：

（1）；

（2）；

（3）若是第三象限角,求、.

【答案】（1）；（2）；（3）,

【解析】

【分析】

(1)分子分母同时除以再代入计算即可.

(2)根据,再分子分母同时除以再代入计算即可.

(3)根据同角三角函数关系求解即可.

【详解】由已知条件可知,

（1）

.

（2）

.

（3）,①,

代入中可得.

.

又是第三象限角,.

代入①式得.

【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系的运用求解.属于基础题.

20.已知函数.

（1）求出的单调递减区间

（2）当时，求函数的值域

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据三角函数图象与性质可求得函数单调增区间．

（2）由x的范围，得2x+的范围，根据正弦函数的性质求得函数的值域即可．

【详解】（1）设，则在R内是单调递增函数.

的单调递减区间为，

由，

即，

得，

所以的单调递减区间为

，.

（2）当时，，

所以当，即时，取得最大值为1， 所以，时，函数的最大值为2.

当，即时，取得最小值为.

所以函数的最小值为.

综上可知，函数的值域为.

【点睛】本题主要考查三角函数图象与性质与正弦函数的值域，属于中档题．

21.如图为函数（）图象的一部分.

（1）求函数的解析式，并写出的振幅、周期、初相.

（2）求使得的x的集合.

（3）两数的图象可由两数的图象经过怎样的变换而得到？

【答案】（1），振幅3，周期，初相；（2）；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）由图象可知，解得，再根据周期求，最后根据点在图象上，求；（2）由（1）可知，解不等式；（3）根据函数解析式，按照先平移，再伸缩，得到函数，再纵向伸缩，最后平移得到函数.

【详解】（1）由函数图象可知函数的最大值为，最小值为.

所以，，

因为，所以函数的周期.

由得，，所以，

因为在函数图象上，所以，

即，所以，，

得，，

因为，所以，

所以函数解析式为，振幅3，周期，初相.

（2）因为，所以.

则

解得：，

所以的x的集合为.

（3）先将函数的图象向左平移个单位，

然后将所得图象横坐标伸长到原来的倍，

然后，再将所得图象纵坐标伸长到原来的3倍，

最后，再将所得函数图象上所有各点图象向上平移1个单位，即得所求函数的图象.

【点睛】本题考查由函数的图象求函数的解析式，解不等式，图象变换，意在考查函数图象的应用，属于基础题型.

22.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数 .

（1）当，时，求函数的不动点；

（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）－1、4为不动点；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果；（2）将问题转化为恒有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的二次函数，可知当时，函数取最小值，从而得到关于的不等式，求解得到结果；（3）利用已知得到，根据对号函数的性质求得最值即可得到所求范围.

【详解】（1）由题意知：

设为不动点，因此

解得：或

所以、为的不动点.

（2）因为恒有两个不动点

即恒有两个不等实根

整理为：    恒成立

即对于任意，恒成立

令，则

，解得：

（3）

，

【点睛】本题考查函数问题中新定义问题，关键是能够充分理解不动点的定义，从而构造方程.在求解参数范围过程中，要根据不同的函数模型，利用二次函数、对号函数求解对应模型的最值，对于学生转化与化归的思想要求较高.