2020届广西壮族自治区玉林市高三上学期11月月考数学（文）试题（解析版）

2020届广西壮族自治区玉林市高三上学期11月月考数学（文）试题

一、单选题

1．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【详解】

由z（1﹣i）=2，得z=，

∴．

则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．

故选D．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2．已知集合A＝，则A∩B的元素个数是(  )

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】首先求解方程组，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．

【详解】

联立，解得

即和的图象有3个交点，，，

∴集合有3个元素，故选B.

【点睛】

本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．

3．已知，，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由三角函数的诱导公式求得，再由三角函数的基本关系式求得，即可得到的值，得到答案.

【详解】

由三角函数的诱导公式，可得，即，

又由，所以，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．给出下列两个命题：命题：“，”是“函数为偶函数”的必要不充分条件；命题：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先判断出简单命题、的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假.

【详解】

对于命题，若函数为偶函数，则其对称轴为，得，

则“，”是“函数为偶函数”的充分不必要条件，命题为假命题；

对于命题，令，即，得，则函数的定义域为，

关于原点对称，且，

所以，函数为奇函数，命题为真命题，

因此，、、均为假命题，为真命题，故选：C.

【点睛】

本题考查复合命题真假性的判断，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题.

5．设，，，则a、b、c的大小关系是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由对数函数的性质，可得，，得到，再由指数函数的性质，求得，即可求解，得到答案.

【详解】

由对数函数的性质，可得，，

又由，所以，

，，

根据指数函数的性质，可得，所以.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数和对数函数的单调性，求得的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 (    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.

【详解】

如图所示，直角三角形的斜边长为，

设内切圆的半径为，则，解得.

所以内切圆的面积为，

所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C。

【点睛】

本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误。

7．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a，0)，＝(0,0,2a)，

设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，

由⇒⇒⇒n1＝(1，－1,1)．

sinθ＝＝＝.

8．函数的大致图象为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可

【详解】

解：函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B，

故选：A

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键

9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入的值为（   ）

A．-2或-1或3 B．2或-2 C．3或-1 D．3或-2

【答案】D

【解析】根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可。

【详解】

因为

所以 ，解得 ，因为 不成立，所以-2是输入的x的值；

，即 ，解得x=3或x=-1，因为只有 成立，所以x的值为3.

综上，x的值为 或3

所以选D

【点睛】

本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题。

10．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是 (　　　)

A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于直线对称

C．函数在上单调递减 D．函数在上的最大值是1

【答案】C

【解析】求出函数的周期判断A的正误；函数的对称轴判断B的正误；函数的单调性判断C的正误；函数的最值判断D的正误；

【详解】

由题意知：，最小正周期T，选项A错误;

当时，，

即函数的图象关于点对称，选项B错误；

当时，，

∴函数在上单调递减，选项C正确;

∵函数在上单调递增，，

即函数在上没有最大值，

∴选项D错误，故选C.

【点睛】

本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．

11．已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P

满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为为的边的中线，可知，双曲线上存在点满足

，则，由，可知，则，选B.

12．已如三棱锥D-ABC的四个顶点在球O的球面上，若，当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（    ）.

A． B．2π C．5π D．

【答案】A

【解析】根据当三棱锥的体积取到最大值时，分别过作平面与平面的垂线，相交于，得到球的球心，再由求得截面的性质，求得球的半径，即可求得球的表面积.

【详解】

如图所示，当三棱锥的体积取到最大值时，则平面与平面垂直，

取的中点，连接，则，

分别取与的外心，分别过作平面与平面的垂线，相交于，则为四面体的球心，

由，可得正方形的边长为，则

所以四面体的外接球的半径

所以球的表面积为.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

二、填空题

13．若，，且，共线，则_________.

【答案】

【解析】根据共线向量坐标关系，即可求解.

【详解】

，，且，共线，

.

故答案为:

【点睛】

本题考查共线向量的坐标运算，属于基础题.

14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的值为______.

【答案】

【解析】根据余弦定理的边角互化，化简得，即可求解.

【详解】

由根据余弦定理，可得.

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟练应用余弦定理的边角互化，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15．设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，，则该抛物线的方程为__________．

【答案】.

【解析】分析：由焦点坐标写出直线的方程，设，把直线方程代入抛物线方程整理由韦达定理可得，再由抛物线的定义表示出焦点弦长为，从而可求得.

详解：直线方程为，代入抛物线方程并整理得，

设，则，

又，∴，，

∴抛物线方程为，

故答案为.

点睛：抛物线焦点弦的性质：是抛物线的焦点弦，，则，，，当然焦点弦还有其他许多性质，请自行研究.

16．已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．

【答案】

【解析】先推出f（x）的图象关于直线x＝a对称，然后得出直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a＝1，结合图象可得x＝1时，f（x）的最大值为．

【详解】

解：A，B是函数f（x）（其中a＞0）图象上的两个动点，

当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，

∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．

当点A，B分别位于分段函数的两支上，

且直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，

设PA与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），

∴f′（x）＝e﹣x，∴kAP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，

∵•的最小值为0，∴⊥，

∴kPA＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，

∴a＝1，∴f（x）max．

故答案为

【点睛】

本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题．

三、解答题

17．某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试，若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；

（2）该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求平均值，取各组的中间值，乘以各组的频率再相加即得，即，其中为第组数据的频率，是第组数据的中间值.（2）该校学生的选拔测试分数在有4人，分别记为A，B，C，D，分数在有2人，分别记为a，b，将从这6人中随机选取2人的所有可能结果一一列举出来：（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），共15个基本事件，找出其中符合题设条件的基本事件的个数，二者相除即得所求概率．

（1）设平均成绩的估计值为，则：

． 4分

（2）该校学生的选拔测试分数在有4人，分别记为A，B，C，D，分数在有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），

（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个．

故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为． ..12分

【考点】1、频率分布直方图；2、古典概型.

18．已知数列是等比数列，为数列的前n项和，且，

（1）求数列的通项公式；

（2）设且为递增数列，若，求数列的前项和.

【答案】(1) 或. (2)

【解析】（1）设数列的公比为，由，，利用等比数列的通项公式和前n项和公式，求出，即可求解；

（2）求出的通项公式，进而求出的通项公式，用裂项相消法求出的前n项和.

【详解】

解：（1）设数列的公比为，

①当时，符合条件，.

②当时，，

所以解得，，

所以.

综上所述：数列的通项公式为或.

（2）证明：若，则，与题意不符；

故，故，

故，

故.

【点睛】

本题考查等比数列前n项和基本量运算，要注意公比是否等于1进行分类讨论；考查裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题.

19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.

(1)证明：EF∥平面PDC；

(2)求点F到平面PDC的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）把向上平移，与重合，则应在上，因此得辅助线作法，取中点，连接，只要证明即可证线面平行；

（2）由（1）只要求到平面的距离即可，这可用体积法求解，即．

【详解】

(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，

∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝CB，

∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，

∴DE∥CB，DE＝CB，

∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，

∴EF∥DM，∵EF平面PDC，DM平面PDC，

∴EF∥平面PDC.

(2)解∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，

∴CB⊥PB，则PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，

∴△PDC为直角三角形，

∴S△PDC＝.

连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，

∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，

则×h×＝×1×××1，∴h＝，

∴点F到平面PDC的距离为.

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查求点到平面的距离．要证线面平行，只要找到线线平行即可，为此可把平面外的直线平移到平面上，从而可得辅助线的作法．而求点到平面的距离，这个距离可由平行进行转化，可看作是一个三棱锥的高，从而用体积法求解．

20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线相切，过点的直线与椭圆相交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若原点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；

（2）联立直线与椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围．

【详解】

解（1）由可得，又.

故椭圆的方程为.

（2）由题意知直线方程为.

联立得.

由，得.①

设，则.

.

原点在以线段为直径的圆外，

，②

由①②，解得.

当原点在以线段为直径的圆外时，直线的斜率.

【点睛】

本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．

21．已知函数

（1）当时，判断的单调性；

（2）证明：.

【答案】(1) 在单调递增 (2)证明见解析

【解析】（1）先求导，导函数正负不好确定，再对导函数求导，通过判断导函数的导数的正负值，确定导函数最值的正负，从而求出单调区间；

（2）先对进行放缩转化为证明，对自变量分类讨论，构造函数，求导，利用单调性，即可证明.

【详解】

解：（1）当时，的定义域为

当得

设，

则

令，则当时；

当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

∴

∴∴在单调递增

（2）的定义域为，∵，.

∴，

要证明，只需证明.

（ⅰ）当时，∵，.

所以成立

（ⅱ）当时，设，

则，

设，则，

∵，∴，

即在上单调递增，

∴，即，

∴在上单调递增，

即

综上可知，时，.

【点睛】

本题考查函数的单调性，一阶导数不能解决问题，可考虑二阶导数；考查用放缩法、函数的导数证明不等式，属于难题.

22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为

（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；

（2）若点在圆C上，求的取值范围.

【答案】（1）直线l的直角坐标方程为；圆C的直角坐标方程为；

（2）；

【解析】（1）由直线l的参数方程，消去参数t，即可得到直线l的直角坐标方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆C的直角坐标方程；

（2）设，化简得，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】

（1）由题意，直线l的参数方程为（t为参数），

消去参数t，得直线l的直角坐标方程为，

又由圆C的极坐标方程为，即，

又因为，，，

可得圆C的直角坐标方程为.

（2）因为点在圆C上，可设，

所以，

因为，所以的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及合理应用圆的参数方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

23．已知函数

⑴当时，解不等式；

⑵求函数的最小值．

【答案】（1）不等式的解集为R（2）

【解析】（1）利用零点分段法将不等式分为三段，然后分别求解，最后取它们的并集即可；

（2）根据绝对值三角不等式和均值不等式逐步推理，可以得到最小值。

【详解】

解：当时，，

当时，，得，即有，

当时，，得，即有，

当时，，得，即有，

综上，不等式的解集为R．

，

当且仅当，且时取“”

函数的最小值为．

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和均值不等式的应用。考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力。