2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学（文）试题（解析版）

2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学（文）试题

一、单选题

1．(   )

A．0 B．32i C．-32 D．32

【答案】A

【解析】先求，即可求解.

【详解】

.

故选:A

【点睛】

本题考查复数的指数幂运算，属于基础题.

2．已知全集为R，集合，，则A∩B=(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】化简集合，再由交集定义即可求解.

【详解】

，

，

.

故选:C

【点睛】

本题考查集合间的运算，属于基础题.

3．某学校组织高三年级的300名学生参加期中考试，计划从这些考生中用系统抽样的方法选取10名学生进行考场状态追踪．现将所有学生随机编号后安排在各个考场，其中001～030号在第一考场，031～060号在第二考场，…，271～300号在第十考场．若在第五考场抽取的学生编号为133，则在第一考场抽到的学生编号为(   )

A．003 B．013 C．023 D．017

【答案】B

【解析】根据系统抽样原则，每相邻两组号码相隔30，即可求得结果.

【详解】

设第一考场抽到的学生编号为，

则，.

故选:B

【点睛】

本题考查系统抽样的抽取方法，属于基础题.

4．设变量x，y满足不等式组则的最大值等于(   )

A．15 B．20 C．25 D．30

【答案】C

【解析】作出可行域，即可求出目标函数的最大值.

【详解】

作出不等式所表示的可行域，如下图示：

令，当目标函数过点是，取得最大值，

由，得，即点坐标为，

的最大值为25.

故选:C

【点睛】

本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，求线性目标函数的最值，属于基础题.

5．如图所示程序框图的功能为计算数列{2n-1}前6项的和，则判断框内应填(   )

A．? B．？ C．? D．?

【答案】D

【解析】根据满足条件退出循环体，即可求解.

【详解】

程序框图的功能为计算数列{2n-1}前6项的和，

故时,退出循环体.

故选:D

【点睛】

本题考查程序框图中的条件语句，认真审题是解题的关键，属于基础题.

6．函数的单调增区间是(   )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】将函数化为，求的单调减区间，即可求解.

【详解】

，的递增区间需满足

，

解得.

故选:D

【点睛】

本题考查三角函数的单调区间，注意“”的系数为负数，要先化为正数，然后再求单调区间，属于易错题.

7．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为(   )

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】利用渐近线与圆相切，求出渐近线的斜率，再由渐近线的斜率与离心率关系，即可求解.

【详解】

圆心为，半径为1，

故渐近线的斜率为，即，

.

故选:A

【点睛】

本题考查直线圆的位置关系，双曲线的渐近线与离心率的关系，属于基础题,

8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，，则此三角形最大内角的余弦值为(   )

A． B． C． D．0

【答案】B

【解析】根据已知条件把用表示，判断最大边，用余弦定理求出最大边所对的角余弦，即可求解.

【详解】

， ①

②

由①②可得，所以边最大，故最大内角为，

.

故选:B

【点睛】

本题考题考查余弦定理解三角形，判断边的关系是解题的关系，属于中档题.

9．已知，则sin2α=(   )

A．0或1 B．0或-1 C．0 D．1

【答案】A

【解析】，化切为弦以及二倍角公式，求出或，再利用结合二倍角公式，即可求解.

【详解】

，可得，

，

，

，

.

故选:A

【点睛】

本题考查条件等式求三角函数值，化简是解题的关键，灵活应用诱导公式和二倍角公式化同角尤为重要，属于中档题.

10．已知，设，，，则下列不等关系中正确的是(   )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先比较出大小关系，再利用余弦函数单调性，即可得结论.

【详解】

，

，同理，，

在区间上是单调递减，

，即.

故选:D

【点睛】

本题考查作差法与函数的单调性比较大小，属于中档题.

11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积为(   )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据三视图作出直观图，即可求解.

【详解】

由三视图得出三棱锥的直观图，如下图所示:

其中平面，平面，

可求得，

在中，，

可求边上的高为6，所以.

故选:B

【点睛】

本题考查三视图求三棱锥的表面积，将三视图还原为直观图是解题的关键，属于中档题

12．在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是(   )

A．4π B．5π C．6π D．8π

【答案】C

【解析】根据已知条件折叠后，平面平面，转化为线面垂直关系，再结合球的的性质，确定球心位置，求出半径，即可求解.

【详解】

取中点，设的外心为，连，

则

分别过作的平行线，交于点，

即，

为的外心，

平面平面，平面，

平面，平面，

同理平面，分别为，外心，

为三棱锥的外接球的球心，为其半径,

，

.

故选:C

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的表面积，应用球的性质确定外接球的球心，是解题的关键，属于中档题.

二、填空题

13．已知函数在点P处的切线与直线平行，则点P坐标为________．

【答案】

【解析】设，利用，结合在曲线上，即可求解.

【详解】

设，，

当时，；当时，；

故点P坐标为 .

故答案为: .

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

14．桌子上有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球，2个白球，随机拿起两个球放入一个盒子中，则放入的球均是红球的概率为________．

【答案】

【解析】对5个球编号，列出所有随机拿起两个球取法，再求出两球都是红球的取法个数，根据古典概型概率求法，即可求解.

【详解】

3个红球记为，2个白球记为，

随机拿起两个球放入一个盒子所有情况，

，

共有10种取法，其中都是红球有3种，

放入的球均是红球的概率为.

故答案为:

【点睛】

本题考查古典概型的概率求法，属于基础题.

15．若是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量方向上的投影为________．

【答案】-1

【解析】根据数量的积的几何意义，即可求解.

【详解】

向量在向量方向上的投影为.

故答案为:-1

【点睛】

本题考查向量的投影，转化为向量的数量积和模长来计算是解决问题的关键，属于基础题.

16．已知F为双曲线的左焦点，M，N为C上的点，点D(5，0)满足，向量的模等于实轴长的2倍，则△MNF的周长为________．

【答案】36

【解析】D(5，0)为双曲线的右焦点，，直线过右焦点且与右支交于两点，利用双曲线的定义，即可求出结论.

【详解】

M，N为C上的点，点D(5，0)满足，

所以直线过右焦点且与右支交于两点，

，

，

周长为36.

故答案为:36

【点睛】

本题考查双曲线定义在解题的中应用，属于中档题.

三、解答题

17．下表列出了10名5至8岁儿童的体重x(单位kg)(这是容易测得的)和体积y(单位dm3)(这是难以测得的)，绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合y与x的关系：

(1)求y关于x的线性回归方程(系数精确到0.01)；

(2)某5岁儿童的体重为13.00kg，估测此儿童的体积．

附注：参考数据：，，，，

，，137×14=1918.00．

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题中提供的公式以及数据，即可求解；

（2）将代入（1）中的回归方程，即可得出结论.

【详解】

（1）由参考公式和参考数据可得：

，

，

所以，y关于x的线性回归方程；

（2）将某5岁儿童的体重代入回归方程得：

，

所以预测此儿童的体积是.

【点睛】

本题考查线性回归方程，以及应用回归方程进行预测，考查计算能力，属于基础题.

18．已知数列是等比数列，其前n项和．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据前n项和与通项关系，即可求解；

（2）求出的通项公式，用错位相减法或裂项相消法求其和.

【详解】

（1）当时，，

当时，，

因为数列是等比数列，

，

解得；

（2），

则，

=       ，

   =，

.

【点睛】

本题考查前项和与通项的关系以及等比数列的通项公式，考查错位相减法求前项和，考查计算能力，属于中档题.

19．如图所示，已知在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，且．

(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；

(2)若点M是线段PB的中点，且PA⊥AB，求四面体MPAC的体积．

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【解析】（1）由已知可证，结合，可证平面，即可证结论；

（2）点M是线段PB的中点，四面体MPAC的体积等于四面体体积的一半，利用（1）中的结论，求出面积，即可求出结果.

【详解】

（1）在平面内，过点作，垂足为，

由已知，在四边形中，

所以四边形是正方形，所以，

，

又平面，

平面，平面，

平面平面；

（2）由题意知，为中点，

所以到平面的距离等于，

，由（1）得平面，

，又平面，

平面，，

.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，要注意平面图形中垂直的隐含条件的挖掘，考查四面体的体积，要充分利用等体积转化，属于中档题.

20．已知平面内一个动点M到定点F(3，0)的距离和它到定直线l：x=6的距离之比是常数．

(1)求动点M的轨迹T的方程；

(2)若直线l：x+y-3=0与轨迹T交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线与T交于C，D两点，试问A，B，C，D是否在同一个圆上?若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由．

【答案】（1）；（2）四点共圆，圆方程为.

【解析】（1）按求轨迹方法，把条件用数学关系式表示，化简，即可求解；

（2）先求出直线与椭圆交点坐标，再求出直线垂直平分线方程，若四点共圆，此圆以为直径，故只需证明中点与的距离是否等于.

【详解】

（1）设是点到直线的距离，的坐标为，

由题意，所求的轨迹集合是，

由此得，化简得T：；

（2）将直线方程与椭圆方程联立，由，

得，中点，

的垂直平分线方程为，

由消去得，

设，则，

，

设线段的中点为，则，

，所以，

，

所以四点在以为圆心，以为半径的圆上，

此圆方程为.

【点睛】

本题考查用直译法求轨迹方程，考查直线与椭圆的相交关系，考查四点是否共圆，注意韦达定理、圆的性质的合理运用，属于中档题.

21．已知函数．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若恰有两个极值点，求实数m的取值范围．

【答案】（1）当时，为常数函数，无单调性；当时，单调增区间是，单调减区间是；当时，单调增区间是，单调减区间是；（2）.

【解析】（1）先求导，对分类讨论，即可求解；

（2）函数有两个极值点，转化为导函数在定义域内有两个不同的零点，通过分离参数，构造新函数，把两个零点转为新函数的图像与直线有两个交点，利用求导作出新函数的图像，即可求解.

【详解】

（1）的定义域为，

，

当时，为常数函数，无单调性；

当时，令；

当时，令；

综上所述，当时，为常数函数，无单调性；

当时，单调增区间是，单调减区间是；

当时，单调增区间是，单调减区间是；

（2）由题意，的定义域为，

且，若在上有两个极值点，

则在上有两个不相等的实数根，

即 ①有两个不相等的正的实数根，

当时，不是的实数根，

当时，由①式可得，

令，，

单调递增，又；

单调递增，且；

单调递减，且；

因为；

所以左侧，；

右侧，；

，；

所以函数的图像如图所示：

要使在上有两个不相等的实数根，

则

所以实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的单调性、函数的图像、函数的零点，分离参数构造函数是解题的关键，考查分类讨论、等价转化等数学方法，考查数形结合思想，是一道较难的综合题.

22．在平面直角坐标系中，曲线(α为参数)经过伸缩变换得到曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C2的普通方程；

(2)设曲线C3的极坐标方程为，且曲线C3与曲线C2相交于M，N两点，点P(1，0)，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先将方程消去参数化为普通方程，根据坐标伸缩关系，即可求得结论；

（2）将C3的极坐标方程化为直角坐标方程，点P在曲线C3上，再将C3化为过定P(1，0)的直线参数方程，代入曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求解.

【详解】

（1）由

，代入，得

的普通方程是；

（2）由，得的普通方程为，

点在曲线上，且此直线的倾斜角为，

所以的参数方程为为参数），

将的参数方程代入曲线得，

，

.

【点睛】

本题考查参数方程普通方程互化，伸缩变换后的曲线方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查应用直线参数的几何意义求解线段长度问题，属于中档题.

23．设不等式的解集与关于x的不等式的解集相同．

(1)求a，b的值；

(2)求函数的最大值．

【答案】（1）;（2）.

【解析】（1）分类讨论去绝对值，求出的解，利用一元二次不等式的解与二次函数的关系，即可求出值；

（2）利用柯西不等式即可求解.

【详解】

（1）当时，不等式

可化为；

当时，不等式

可化为；

当时，不等式

可化为；

综上所述，原不等式的解集为；

所以的解集为，

.

（2）由（1）知定义域为，且，

，

当且仅当时，

即时，函数有最大值.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解与二次函数的关系，考查利用柯西不等式求最值，所以中档题.