2020届北京市丰台区高三上学期期末练习数学试题
展开丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习
高三数学 2020.01
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．若集合，，则
（A） | （B） | （C） | （D） |
2． 命题“”的否定是
（A） | （B） |
（C） | （D） |
3． 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
（A） | （B） |
（C） | （D） |
4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，
则此四面体在坐标平面上的正投影图形的面积为
（A） | （B） | （C） | （D） |
5．已知菱形边长为1，，则
（A） | （B） | （C） | （D） |
6．双曲线的离心率为
（A） | （B） | （C） | （D） |
7．已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成等比数列，则
（A） | （B） | （C） | （D） |
8. 在的展开式中，常数项是
（A） | （B） | （C） | （D） |
9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为. 科学研究发现与成正比. 当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为. 当时，其耗氧量的单位数为
（A） | （B） | （C） | （D） |
10. 在边长为的等边三角形中，点分别是边上的点，满足且，将△沿直线折到△的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是
（A）在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
（B）存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
（C）若，当二面角为直二面角时，
（D）在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 复数的实部为 ．
12. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成 种重卦．（用数字作答）
13. 已知分别为△内角的对边，且，则 ．
14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：
①所有的奇数项满足，所有的偶数项满足；
②任意相邻的两项，满足.
根据上面的信息完成下面的问题：
（i）数列 “有趣数列”（填“是”或者“不是”）；
（ⅱ）若，则数列 “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.
15．已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则△的面积为 ．
16．定义域为的函数同时满足以下两条性质：
①存在,使得；
②对于任意，有.
根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数.
（i）若是增函数，则 ；
（ⅱ）若不是单调函数，则 .
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17.（本小题共13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在区间上的最大值.
18.（本小题共14分）
如图，在三棱柱中，平面，，，的中点为.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求
出的值；若不存在，请说明理由．
19.（本小题共13分）
目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.
现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
| A小区 | B小区 | C小区 | D小区 | E小区 |
废纸投放量（吨） | 5 | 5.1 | 5.2 | 4.8 | 4.9 |
塑料品投放量（吨） | 3.5 | 3.6 | 3.7 | 3.4 | 3.3 |
（Ⅰ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
（Ⅱ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．
20.（本小题共13分）
已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.
21.（本小题共14分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）对于任意，，都有，求实数的取值范围.
22.（本小题共13分）
已知，给定个整点,其中.
（Ⅰ）当时,从上面的个整点中任取两个不同的整点，求的所有可能值；
（Ⅱ）从上面个整点中任取个不同的整点，.
（i）证明：存在互不相同的四个整点，满足,
；
（ii）证明：存在互不相同的四个整点，满足
,
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2019~2020学年度第一学期期末练习
高三数学 参考答案及评分参考
2020．01
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | C | C | B | B | A | A | B | C | D | D |
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11． 12．15 13．
14．是；是 15．； 16．；(答案不唯一)
注：第14、15、16题第一空3分，第二空2分.
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）
. ……………….4分（Ⅱ）
.
因为，所以.
当，即时，
取得最大值. ……………….13分
18.（本小题共14分）
证明：（Ⅰ）因为平面，平面，所以.
因为，所以.
又因为，
所以平面.
因为平面，所以. ……………….4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，两两互相垂直，
如图，建立空间直角坐标系．
因为，
所以，，，.
因为平面，
所以即为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
，，
则 即
令，则.
于是.
所以.
由题知二面角为锐角，所以其余弦值为. ……………….10分
（Ⅲ）假设棱上存在点，使得平面.
由，又，故.
因为，为的中点，所以.
所以.
若平面，则，解得.
又因为平面.
所以在棱上存在点，使得平面，且.
……………….14分 19．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件.
由题意，有B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过
3.5吨，
所以. ……………….4分
（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，
所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区.
的所有可能取值为0，1，2.
；
；
.
所以的分布列为:
0 | 1 | 2 | |
．
……………….13分
20.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，
所以半径等于原点到直线的距离，，即.
由离心率，可知，且，得.
故椭圆的方程为. ……………….4分
（Ⅱ）由椭圆的方程可知.
若直线的斜率不存在，则直线方程为，
所以.
则直线的方程为，直线的方程为.
令，得，.
所以两点的纵坐标之积为.
若直线的斜率存在，设直线的方程为,
由得，
依题意恒成立.
设，
则.
设，
由题意三点共线可知，
所以点的纵坐标为.
同理得点的纵坐标为.
所以.
综上，两点的纵坐标之积为定值.
……………….13分
21．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）当时，因为
所以，.
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为. ……………….4分
（Ⅱ）因为，
所以.
令，解得或.
若，当即或时，函数单调递增；
当即时，函数单调递减.
若，则，
当且仅当时取等号，函数是增函数.
若，当即或时，函数单调递增.
当即时，函数单调递减.
综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；
时，函数单调递增区间为；
时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.
……………….9分
（Ⅲ） 令，解得或.
当时，随变化， 变化情况如下表：
由表可知，此时 ，不符合题意.
当时，随变化， 变化情况如下表：
由表可得 ，
且，，
所以只需 即 解得.
当时，在恒成立，符合题意.
当时，
只需 即 解得.
当时，，不符合题意.
综上，实数的取值范围是. ……………….14分
22．（本小题共13分）
解:（Ⅰ）当时，4个整点分别为.
所以的所有可能值. ……………….3分
（Ⅱ）（i）假设不存在互不相同的四个整点，
满足.
即在直线中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点， 此时符合条件的整点个数最多为.
而，
与已知矛盾.
故存在互不相同的四个整点，满足.
（ii）设直线上有个选定的点.
若，设上的这个选定的点的横坐标为，且满足.
由，
知中任意不同两项之和至少有个不同的值，这对于也成立.
由于中任意不同两项之和的不同的值恰有个，
而,
可知存在四个不同的点，
满足, ……………….13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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