2020届北京市石景山区高三上学期期末考试数学试题

石景山区2020届高三第一学期期末

数 学

本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17. （本小题13分）

已知函数.

（Ⅰ）若，且，求的值；

（Ⅱ）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间.

18.（本小题13分）

一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．

（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；

（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；

（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．

19.（本小题14分）

已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，平面，分别是 的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线

与平面所成角为，若存在，求线段

的长度；若不存在，说明理由．

20.（本小题14分）

已知函数.（）

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，的图象与轴交于点，求在点处的切线方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当时，恒成立．

21. （本小题13分）

已知椭圆过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求其离心率；

（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），直线关于的对称直线与椭圆交于另一点．设为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

22.（本小题13分）

已知由个正整数构成的集合，

记，对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：“成等差数列”的充要条件是“”；

（Ⅲ）若，求的最小值，并指出取最小值时的最大值.

石景山区2020届第一学期高三期末

数学试卷答案及评分参考

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

11．；      12．；         13． ；    

14．①③② 或②③①；      15. ；      16.  ①② ．

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题13分）

解：（Ⅰ）因为 ，且，

所以 .                            ……………2分

所以 .                ……………5分

（Ⅱ）

             ……………8分

所以函数的最小正周期.                  ……………9分

由，      

解得.                         ……………11分

所以函数的单调递减区间.    ……………13分

18. （本小题13分）

解：（Ⅰ）可能的取值为，，， .                        ……………1分

每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.

，     ，

，，                 

                                                  ……………5分

        所以X的分布列为：

……………6分

（Ⅱ）设“第i盘游戏获得15分”为事件Ai(i＝1，2)，则

.         ……………8分

所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为

因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为.   ……………10分

（Ⅲ）设每盘游戏得分为.

由（Ⅰ）知，的分布列为：

的数学期望为.    ……12分

这表明，获得分数的期望为负．

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．          ……………13分

19.（本小题14分）

（Ⅰ）证明:因为△是正三角形，是的中点，所以 .

         又因为平面，平面，所以.

         ，平面，

         所以面.                                   ……………4分

（Ⅱ）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则，

，，

设平面的法向量为

令，则 ，       ……………6分

又平面的法向量，……………7分

设平面与平面所成锐二面角为，

所以.

所以平面与平面所成锐二面角为.              ……………9分

（Ⅲ）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，

设，

，

所以.                            ……………11分

所以，              …………13分

整理得，无解，

所以，不存在这样的点.                                   ………14分

20.（本小题14分）

解：（Ⅰ），                                         ……………1分

当时，恒成立，所以在上单调递增，    ……………3分

当时，令，解得.

当变化时，的变化情况如下表：

所以时，在上单调递减，在上单调递增.  …5分

（Ⅱ）令，得，则，                            …………6分

因为，所以，                  …………7分

所以在点处的切线方程为，即.        ………9分

（Ⅲ）证明：令，

则. 

令，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增；                   …………11分

所以，即恒成立. 

所以在上单调递增，所以，………13分

所以，即当时，恒成立．  …………14分

21.（本小题13分）

解：（Ⅰ）由椭圆过点，

可得，解得．                             …………2分

所以，                              …………3分

所以椭圆的方程为，离心率．     …………5分

（Ⅱ）直线与直线平行．                                …………6分

证明如下：由题意，设直线，，

设点，，

由得

，               …………8分

所以，所以，同理，

所以，                                  …………10分

由，，

有，

因为在第四象限，所以，且不在直线上，所以，

又，故，所以直线与直线平行．     …………13分

22. （本题13分）

解:（Ⅰ）由条件知，必有，又均为整数，.  ……2分

，由的定义及均为整数，必有，.

……………4分

（Ⅱ）必要性：由“成等差数列”及,

得此时满足题目要求

从而.                     ……………6分

充分性：由条件知且均为正整数，可得

故，当且仅当时，上式等号成立.

于是当时，，从而成等差数列.

所以“成等差数列”的充要条件是“”.       ……8分

（Ⅲ）由于含有个元素的非空子集个数有，故当时，，

此时的非空子集的元素之和最多表示个不同的整数，不符合要求.

而用个元素的集合的非空子集的元素之和可以表示共个正整数.

因此当时，的最小值为11.                     ……………10分

当时，的最小值为11.记

则并且.

事实上若，，则，，

所以时无法用集合的非空子集的元素之和表示，与题意不符.

于是，得，，所以.

当时满足题意

所以当时，的最小值为11，此时的最大值.    ……13分

【若有不同解法，请酌情给分】