2020届江西省赣州市宁都县高三上学期期末模拟考试数学试卷
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数学试卷
一、单选题:本大题共12题,每小题5分,共60分,每个小题只有一个选项符合题目要求.
1.,集合,集合,则集合的真子集有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.8个
2.命题“对任意,都有”的否定为( )
A.存在,都有 B.对任意,使得
C.存在,使得 D.不存在,使得
3.若样本的平均数是10,方差为2,则对于样本,下列结论正确的是( )
A.平均数为20,方差为4 B.平均数为11,方差为4
C.平均数为21,方差为8 D.平均数为20,方差为8
4.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )
A.4 B. C.2 D.
5.将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,则下列说法不正确的是
A. B.在区间上是增函数
C.是图象的一条对称轴 D.是图象的一个对称中心
6.如图,已知,若点满足,则( )
A. B. C. D.
7.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则芒种日影长为( )
A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺
8.设,满足约束条件,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为
A. B. C. D.
10.已知等差数列的公差不为0,中的部分项成等比数列.若,,,则()
A. B. C. D.
11.已知椭圆:的左、右焦点分别为、,第二象限的点在椭圆上,且,若椭圆的离心率为,则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
12.已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足,若存在,使不等式成立,则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分.
13.一名信息员维护甲乙两公司的5G网络,一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立,它们需要维护的概率分别为0.4和0.3,则至少有一个公司不需要维护的概率为________
14.若数列的通项公式,则________.
15.如图,在平面直角坐标系xoy中,将直线y与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V圆锥π()2dx据此类比:将曲线y=x2(x≥0)与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V=_____.
16.在棱长为1的正方体中,点是对角线上的动点(点与不重合),则下列结论正确的是____.
①存在点,使得平面平面;
②存在点,使得平面;
③的面积不可能等于;
④若分别是在平面与平面的正投影的面积,则存在点,使得.
三、解答题: 本大题共6题,满分70分,解答必须写出文字说明、证明过程和演算步一骤.
17.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角B的大小;
(2)若,且的面积为,求的周长.
18.如图,在多面体中,平面平面.四边形为正方形,四边形为梯形,且,是边长为1的等边三角形,M为线段中点,.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)线段上是否存在点N,使得直线平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
19.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行,赛期10天,共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项,329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开,武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动,努力让大家更多的了解军运会的相关知识,并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况,在全市开展了网上问卷调查,民众参与度极高,现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者,他们得分(满分100分)数据,统计结果如下:
组别 | |||||||
频数 | 5 | 30 | 40 | 50 | 45 | 20 | 10 |
(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布,用样本来估计总体,设,分别为这200人得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值作为代表),求,的值(,的值四舍五入取整数),并计算;
(2)在(1)的条件下,为感谢大家参与这次活动,市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案:得分低于的可以获得1次抽奖机会,得分不低于的可获得2次抽奖机会,在一次抽奖中,抽中价值为15元的纪念品A的概率为,抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者,记Y为他参加活动获得纪念品的总价值,求Y的分布列和数学期望,并估算此次纪念品所需要的总金额.
(参考数据:;;.)
20.已知椭圆的左,右焦点分别为,,点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在斜率为的直线与椭圆相交于,两点,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
21.已知函数.
(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)当 时,若实数满足,求证:.
22.如图,在极坐标系Ox中,过极点的直线l与以点为圆心、半径为2的圆的一个交点为,曲线是劣弧,曲线是优弧.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)设点为曲线上任意一点,点在曲线上,若,求的值.
23.已知函数.
(1)若,求不等式的解集;
(2)证明:.
数学试题参考答案
1.BCDCDD BADADA
13.0.88.14.15 . 15. 16.①②④
17.(1)解:
∵
∴
,得:
∵,∴,∴,
(2)由(1)知,所以ΔABC的面积为,∴
因为,由正弦定理可得,
由余弦定理
∴,∴,所以ΔABC的周长为
18.解:(1)证明:因为为正方形,所以.
又因为平面平面,且平面平面,
所以平面.所以.
(2)取AD中点O,EF中点K,连接OB,OK.于是在△ABD中,,在正方ADEF中,又平面平面,故平面,进而,
即两两垂直.分别以为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图).
于是,,,,,
所以
设平面的一个法向量为,则 即 令,则,则.
设直线与平面所成角为,
(3) 要使直线平面,只需,
设,则,
,,所以,
又 ,由得,解得
所以线段BD上存在点N,使得直线平面AFN,且.
19.解:(1)由已知频数表得:,
,
由,则,而,所以,
则X服从正态分布,所以;
(2)显然,,
所以所有Y的取值为15,30,45,60,
,,
,,
所以Y的分布列为:
Y | 15 | 30 | 45 | 60 |
P |
所以,
需要的总金额为:.
20.解:(1)因为椭圆的左右焦点分别为,,
所以.由椭圆定义可得,
解得,所以,所以椭圆的标准方程为
(2)假设存在满足条件的直线,设直线的方程为,
由得,即
,,
解得,设,,则,,
由于,设线段的中点为,则,
所以又,所以,解得.
当时,不满足.
所以不存在满足条件的直线.
21.解:(1),由 在上单调递增,
故当时,恒成立,即
设,,
∵,∴,∴,即在上单调递增,故,∴;
(2)当时,,,∴在上单调递增,
又∵且,故
要证,只需证,即证,
只需证,即证
令,
令
∴在上单调递增
∴,故在上单调递减,
∴,故原不等式成立.
22.解:(1)设以点为圆心、半径为2的圆上任意一点,
所以该圆的极坐标方程为,
则的方程为;
(2)由点为曲线上任意一点,则,
点在曲线上,则,
即,
因为,所以,
即
, 因为,且,所以,
因为,所以,即,所以.
23.解:(1)依题意,;
当时,原式化为,解得;
当时,原式化为,解得,故;
当时,原式化为,解得,故;
综上所述,不等式的解集为或.
(2)依题意,,所以,
,
当且仅当,即时等号成立.
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