山东省济南市章丘区2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析

这是一份山东省济南市章丘区2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


山东省济南市章丘区2019-2020学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1.已知集合 ,则 （    ）
A.                            B.                            C.                            D. 
2.设 ,则 在复平面内对应的点位于（    ）
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.命题“ ”的否定为（    ）
A.                         B. 
C.                         D. 
4.设 为非零实数,复数 ,则 的最小值为（    ）
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
5.函数f(x)=x2+ 的图象大致为(    )
A.            B.            C.            D. 
6.若 ,则（    ）
A.                 B.                 C.                 D. 
7.在平行四边形 中, 与 交于点 ,则 在 方向上的投影为（    ）
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
8.已知函数 ,则“ ”是“ 在 上单调递增”的（     ）
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
9. ,则 的取值范围为（    ）
A.                       B.                       C.                       D. 
10.已知定义在 上的函数 满足 ,且 在 上单调递增,则（    ）
A.                         B. 
C.                      D. 
二、多选题
11.将曲线 上每个点的横坐标伸长为原来的 倍(纵坐标不变),得到 的图象,则下列说法正确的是（    ）
A.  的图象关于直线 对称
B.  在 上的值域为
C.  的图象关于点 对称
D.  的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
12.已知函数 ,若 ,且 ,则下列结论正确的是（    ）
A.                      B.                      C.                      D. 
13.定义在 上的函数 的导函数为 ,且 对 恒成立.下列结论正确的是（    ）
A.                                                B. 若 ,则
C.                                               D. 若 ,则
三、填空题
14.若向量 与 互相垂直,且 ,则 ________．
15.若函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，则 ________．
16.已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 的解析式为________．不等式 的解集为________．
17. 分别为 内角 的对边.已知
（1） ________．
（2）若 ,则 ________．
四、解答题。
18. 分别为 内角 的对边.已知 .
（1）若 的面积为 ,求 ;
（2）若 ,求 的周长.
19.已知 .
（1）若 ,求 ;
（2）若向量 中存在互相垂直的两个向量,求 的值.
20.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为 .
（1）已知地震等级划分为里氏 级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于 级的为“小地震”,介于 级到 级之间的为“有感地震”,大于 级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约 焦耳，试确定该次地震的类型;
（2）2008年汶川地震为里氏 级,2011年日本地震为里氏 级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取 )
21.已知函数
（1）化简 ,并求 的最小正周期;
（2）若 ,求 ;
（3）求 的单调递增区间.
22.已知二次函数 .
（1）若 是 的两个不同零点,是否存在实数 ,使 成立?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.
（2）设 ,函数 ,存在 个零点.
(i)求 的取值范围;
(ii)设 分别是这 个零点中的最小值与最大值,求 的最大值.
23.已知函数 .
（1）讨论 的单调性;
（2）用 表示 中的最大值，若函数 只有一个零点,求 的取值范围.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解:因为
所以 ,
故答案为：C.
【分析】先由二次不等式的解法求 再利用集合交集的运算可得 ，得解.
2.【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意知 ,

即 ，
故 在复平面内对应的点位于第四象限，
故答案为：D.
【分析】先由已知条件求得 ，再确定 在复平面内对应的点位于的象限即可.
3.【答案】 C
【考点】命题的否定
【解析】【解答】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，
即命题“ ”的否定为“ ”，
故答案为：C.
【分析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解.
4.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】【解答】解：因为 ,所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立,
故 的最小值为3.
故答案为：B.
【分析】由复数的乘法运算得 ，再结合复数模的运算得 ，即可求得复数模的最小值.
5.【答案】 B
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】∵f( x)=( x)2+ =x2+ =f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除C,D；
又 时， ,排除A,
故答案为：B.
【分析】利用奇偶性排除C、D；利用 时， ,排除A,从而可得结论.
6.【答案】 D
【考点】两角和与差的正切公式，二倍角的正切公式
【解析】【解答】解： ，
，
即ABC不符合题意，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】先由 ，再由两角差的正切公式求出 ，再利用正切的二倍角公式求出 即可得解.
7.【答案】 B
【考点】向量的投影
【解析】【解答】解：因为 ,
所以 .又 ， ，
所以 ，
故 在 方向上的投影为 .
故答案为：B.
【分析】由平面向量的线性运算得 ，又 ， ，则可得 在 方向上的投影为 ，得解.
8.【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若 在 上单调递增，则 ,即 在 上恒成立.
又 在 上单调递增,则 ，所以 .
故“ ”是“ 在 上单调递增”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由 在 上单调递增，等价于 在 上恒成立，再求得 ，再判断“ ”与“ ”的充分必要性即可.
9.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ,
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立.
又 ，
则 等价于 ,解得： ，
则 的取值范围为 ，
故答案为：B.
【分析】先由重要不等式求得 的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得 的最大值为 ，再求解即可.
10.【答案】 A
【考点】函数单调性的性质，图形的对称性
【解析】【解答】解：依题意可得, 的图象关于直线 对称.
因为 ,
则 ，
又 在 上单调递增,
所以 .
故答案为：A.
【分析】由已知可得 的图象关于直线 对称.因为 ，又 在 上单调递增,即可得解.
二、多选题
11.【答案】 B,D
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ,
对于A，令 ，解得 （ ），即函数的对称轴方程为 （ ），即A不符合题意；
对于B，因为 ，所以 ，即 ，即 在 上的值域为 ，即B符合题意；
对于C，令 ，解得 ，即 的图象关于点 对称，则 的图象关于点 对称，C不符合题意.
对于D,由 的图象向右平移 个单位长度,得到 的图象,D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】由三角恒等变换可得 ，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解.
12.【答案】 B,C,D
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】画出函数 的大致图象如下图，

得出 ,则 ,A不符合题意,B符合题意;
由图可知 ,C符合题意;
因为 ,所以 ,D符合题意.
则结论正确的是BCD，
故答案为：BCD.
【分析】先作出 的图像，再观察图像可得 ，再结合 ，求解即可.
13.【答案】 C,D
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数 ，
则
因为 ,所以 ,
故 在 上单调递减,从而 ,整理得 ，
,A不符合题意,C符合题意.
当 时,若 ,因为 在 上单调递减,所以
即 ,即 .D符合题意,从而B不正确.
故答案为：CD.
【分析】先构造函数 ，再利用导数可得 在 上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解.
三、填空题
14.【答案】
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为向量 与 互相垂直,可得 ，又 ，
则 ，
故答案为： .
【分析】由向量模的运算 ，再将已知条件代入运算即可.
15.【答案】
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：因为 ，
所以
由已知有
即 ，
故答案为： .
【分析】先求原函数的导函数 再利用导数的几何意义可得 得解.
16.【答案】；
【考点】函数单调性的性质，奇函数
【解析】【解答】解：设 ，则 ，由函数为奇函数，可得 ，
则 ，
又 ，
则 ，
当 时， ,所以 ;
当 时,设 ，则函数 为增函数，又 ，即 的解集为 ，即 的解集为 .
综上 的解集为 .
故答案为： .
【分析】先由函数为奇函数，结合 时, ,求函数解析式即可；再分 时， 时求解不等式即可得解.
17.【答案】 （1）3
（2）
【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，余弦定理
【解析】【解答】（1）解：由 ,得 ,
而 ,所以 ，
即 ,故 .（2）因为 ,所以 ,则 ,所以 ，
从而 ，
由正弦定理得 ,则 ，
【分析】(1)由余弦定理可得 ，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得 ，再由正弦定理可得 ，得解.
四、解答题。
18.【答案】 （1）解:由 ,得 .
因为 的面积为 ,
所以 .

（2）解：因为 ,可得
由余弦定理得 ,
所以 ，
故 的周长为 .
【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)由已知 ，结合正弦定理可得 ，再结合三角形的面积公式 ，将已知条件代入运算即可；(2)由 ，结合余弦定理得 ,得解.
19.【答案】 （1）解： ，
由 ,得
，又


（2）解： ，
若 ,则 ,
即 ,方程无解.
若 ，则 ,解得 .
若 ，则 ,解得 .
综上, 或 .
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】(1)由 ，利用平面向量的坐标运算可得 ，再由向量的夹角公式可得 ，得解；(2)分别讨论若 , ， ，再求解即可.
20.【答案】 （1）解：当某次地震释放能量约 焦耳时, ，
代入 ,得 .
因为 ,所以该次地震为“破坏性地震”.

（2）解：设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为 .
由题意知, ，
即 ,
所以
取 ,得
故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的 倍.
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)先阅读题意，再计算 ，即可得解；(2)结合地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为 ，再求出 ，再求解即可.
21.【答案】 （1）解：因为 ，
所以最小正周期 .

（2）解：因为 ,所以 ，
所以 ；

（3）解：设 ,因为函数 在 上为减函数，
所以要求 的单调递增区间，即求 ( ，且 )的单调递减区间,
所以 的单调递增区间为 和 .
【考点】函数的单调性及单调区间，二倍角的余弦公式，三角函数的周期性及其求法
【解析】【分析】(1)由二倍角的正、余弦公式可得 ，得解；(2)由（1）得 ，所以 ，得解；(3) 设 ,因为函数 在 上为减函数，所以要求 的单调递增区间，即求 ( ，且 )的单调递减区间,再求解即可.
22.【答案】 （1）解：依题意可知, .假设存在实数 ,使 成立.
因为 有两个不同零点，.
所以 ,解得 .
由韦达定理得
所以
解得 ,而 ,故不存在.

（2）解：因为 ,设 ,则 ,
当 时, ;当 时, .
(i)作出函数 的图象，如图所示,所以 .
 (ii)设直线 与此图象的最左边和最右边的交点分别为 .
由 ,得
由 ,得
所以
因为 ，
所以当 时， 取得最大值 .
故 的最大值为 .

【考点】二次函数在闭区间上的最值，函数的零点与方程根的关系，函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1) .假设存在实数 满足题意，由韦达定理可得： ，解得 ,又 ，即 ，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数 的图象，观察图像即可求出 的取值范围；(ii)设直线 与此图象的最左边和最右边的交点分别为 .即 ，因为 ，代入运算可得解.
23.【答案】 （1）解：函数 的定义域为 ,且 .
当 时, 对 恒成立,所以 在 上单调递增.
当 时,令 ,得 ,
当 时, ;当 时, .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增，.

（2）解：①当 时, ,从而 ,所以 在 上无零点，
②当 时, ,
若 ,所以 是 的零点;
若 ,所以 不是 的零点.
③当 时, ,所以 在 上的零点个数只需要考虑 在 上的零点个数.
在 上的零点个数 在 上实根的个数 在 上实根的个数.
令函数 ,则 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增；又 ， ， ，
当 或 时， 在 上无零点;当 或 时, 在 上有唯一零点， 时, 在 上有两个零点，
综上可得：当 时， 在 上有无零点, 当 时， 在 上有1个零点, 当 时， 在 上有2个零点, 当 时， 在 上有1个零点,
则 在 上有唯一零点, 的取值范围为 .
【考点】利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)先求函数的导函数 ，再讨论 时, 时,函数 的单调性即可；(2)分别讨论函数 在当 ，当 时，当 时,函数 零点个数，然后结合函数在 的零点个数即可得解.