山东省济南市章丘区2022-2023学年高三上学期诊断性测试数学试题（解析版）

高三诊断性测试数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用补集和交集的定义即可求解.

【详解】因为，，

所以，

所以．

故选：D.

2. 设：，：，则是成立（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求出中x范围，再根据充分性和必要性的概念得答案.

【详解】由：得，，

即：

是成立的充分不必要条件.

故选：A

3. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由的奇偶性和特殊值利用排除法可得答案.

【详解】对，，所以函数是偶函数，

其图象关于轴对称，所以排除选项A；

令，可得或，即，

当时，，所以，故排除选项C；

当时，，所以，所以排除选项D.

故选：B.

4. 若正数满足，则的最大值为（    ）

A. 1 B. 4 C. 9 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件及基本不等式，结合一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】因为,所以，

所以，即，解得．

当且仅当时，等号成立，

所以当时，的最大值为.

故选：C.

5. 若是函数的极值点．则的极小值为（    ）

A. -3 B.  C.  D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的极值点求出参数a的值，再求出函数极小值作答.

【详解】函数，求导得：，

因是函数的极值点，即，解得，

，当或时，，当时，，

即是函数的极值点，函数在处取得极小值.

故选：A

6. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由振幅得到，再由最高点和最低点的距离为结合勾股定理可得，从而求得，再将代入即可求得，问题得解.

【详解】根据题意，由振幅是2易知，

故，则是的最高点，

不妨记相邻的最低点为，连接，过作轴，过作，交点为，如图，

则，，，故，得，

又因为，故，得，所以，

因为是的点，故，得，即，

因为，所以，

故，.

故选：A.

.

7. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（    ）

A. 183 B. 125 C. 162 D. 191

【答案】D

【解析】

【分析】设该数列为，先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得的值.

【详解】设该数列为，并设.

由，，，，…

可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为1，故，

故，

则，，，…，，()，

累加得，

即（显然，对于n=1也成立），故.

故选：D.

8. 某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度与时间的函数关系式为，其中为介质温度，为物体初始温度．为了估计函数中参数的值，某试验小组在介质温度和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数的值，如下表，

现取其平均值作为参数的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（    ）（结果精确到个位数）

参考数据：，，．

A. 3min，9min B. 3min，8min

C. 2min，8min D. 2min，9min

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出参数的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答.

【详解】依题意，，而，，

则，

当时，，有，，

当时，，有，，

所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min，9min.

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若，，则（    ）

A.  B.

C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 是实数

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用复数的四则运算法则及复数的摸公式，结合复数的复数的几何意义及复数的概念即可求解.

【详解】因为，所以A正确；

因为，，所以B正确；

因为，它在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点在第一象限，所以C错误；

因为，所以是实数，所以D正确．

故选：ABD.

10. 已知向量，满足，，且，则（    ）

A.  B.

C. 与的夹角为 D. 与的夹角为

【答案】AC

【解析】

【分析】利用向量的摸公式及向量的数量积的运算律，结合向量的垂直条件及向量的夹角公式即可求解.

【详解】因为，，

所以，即，解得，故A正确；

因为，，所以，故B错误；

因为，，，所以，又因为，所以与的夹角为，故C正确，D错误．

故选：AC.

11. 已知是上的单调递增函数，则实数a的取值可能为（    ）

A.  B. 2 C. 1 D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据函数单调递增转化为恒成立，分离参数转化为最值问题，即可得到结果.

【详解】因为是上的单调递增函数，

所以恒成立，即恒成立．

又因为，

令，，则，

可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，

从而，即，

所以，解得．

故选:CD.

12. 已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：

①；

②对任意实数，，都有；

③存在大于零的常数a，使得，且当时，．

下列说法正确的是（    ）

A.  B. 当时，

C. 函数f（x）g（x）在R上的最大值为2 D. 对任意的，都有

【答案】ACD

【解析】

分析】A.利用赋值法，令和求解判断；B.令，得到，再由时，，得到求解判断； C.由求解判断；D.令求解判断.

【详解】令，可得，令，由，得，A正确；

令，得，当时，，

所以，所以

故，所以，B错误；

由，得，故C正确；

令，得，则，故D正确．

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________．

【答案】6

【解析】

【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量的坐标表示计算作答.

【详解】因，，则，

又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得，

所以.

故答案为：6

14. 设是首项为的等比数列，是其前项和，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】设的公比为，根据已知条件求出的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值.

【详解】设的公比为，因为，所以，即，

解得，所以．

故答案为：.

15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c是a，b的等比中项，且的面积为，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】由正弦定理统一为三角函数可得，再由三角形面积公式得出，再由等比中项及余弦定理即可求出，即可得解.

【详解】

由正弦定理得，，

即，

又，所以，得，

由，得，得.

又c是a，b的等比中项，所以.

由余弦定理得.

∴，即，

则，即.

故答案为：

16. 已知函数的部分图像如图所示，则满足的最小正整数x的值为_______．

【答案】1

【解析】

【分析】先根据图像求得，再解求得最小正整数x．

【详解】解：由题意得函数f（x）的最小正周期，

解得，

所以．

又，

所以，

即，

所以，

解得．

由，得，

所以，

所以．

由，

可得，

则或，

即或．

① 由，

可得，

解得，

此时正整数x的最小值为2；

② 由，

可得，

解得，

此时正整数x的最小值为1．

综上所述，满足条件的正整数x的最小值为1．

故答案为：1．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知．

（1）求在上的单调递增区间；

（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的面积．

【答案】（1）单调递增区间是，   

（2）

【解析】

【分析】(1)对 作恒等变换，化为单一三角函数解析式，再根据正弦函数性质求解即可；

(2)根据 的解析式以及条件求出 ，运用面积公式求解即可.

【小问1详解】

，

当时，单调递增，

即当时，单调递增，

所以在上的单调递增区间是，；

【小问2详解】

因为，，所以．

又，所以．

因为，所以．

所以的面积；

综上，在上的单调递增区间是，，的面积为 .

18. 已知函数．

（1）若函数，求的单调区间；

（2）若有两个都小于0的极值点，求实数a的取值范围．

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系即可求解；

（2）根据已知条件及极值点的定义，结合一元二次方程根的分布即可求解.

【小问1详解】

因为，

且定义域为，

所以．

令，得；令，得或．

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

【小问2详解】

因为，所以，

又因为有两个都小于0的极值点，

所以有两个不相等的负数根，

所以，解得，

所以实数a的取值范围为．

19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，，，过B作于点D，点E为线段BD的中点．

（1）求c；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用向量的数量积公式即可求解；

（2）根据（1）的结论及余弦定理，再利用三角形的面积公式及等面积法，结合向量的线性运算及向量的数量积公式即可求解.

【小问1详解】

因为，，，

所以，解得．

【小问2详解】

因为，，，

所以，所以．

又，

所以．

因为点E为线段BD的中点，所以，

又，

所以．

20. 已知数列和满足，，且，设．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，且，求的前n项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据条件变形可得是首项为1，公差为3的等差数列，从而得到其通项公式.

（2）根据条件可得是等比数列，

【小问1详解】

因为，，

所以，即，，

所以是首项为1，公差为3的等差数列，从而得到的通项公式，结合错位相减法即可得到结果.

所以．

【小问2详解】

因为，所以，即是等比数列．

又，，所以公比，

所以．

由（1）知，所以．

所以，

所以，

两式相减得，

即，所以．

21. 已知为偶函数．

（1）求的值；

（2）已知函数的定义域为，，当时，，若对任意的，都有，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定的条件，利用偶函数定义计算作答.

（2）根据给定条件，求出在上的取值集合，再结合已知，依次求出在上的取值集合并比较作答.

【小问1详解】

函数定义域为R，依题意，，

即，成立，解得，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，当时，，

当时，令，函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，当时，，即当时，，即，

而，显然，又当时，，

则当时，，，，

当时，，，，

当时，，，有，

，当时，，

显然随着n的增大而增大， 因此，都有，必有，

所以的取值范围是.

【点睛】思路点睛：涉及分段函数的不等式在区间上恒成立问题，依次探讨每一段在区间上不等式成立情况，再进行综合考查即可.

22. 已知函数．

（1）当时，若，证明：．

（2）当时，，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先不等式变形后，构造函数，利用导数证明，即可证明；

（2）首先构造函数，分，和三种情况讨论函数的单调性，讨论不等式，并得到的取值范围.

小问1详解】

当时，需证，只需证

设，

，

当时，，

所以在上单调递增，

所以．

所以

【小问2详解】

因为，所以

设，

可得，

又，则，

若，，由（1）知，当时，；

当时，，

所以恒成立，符合题意；

若，，

当时，，不合题意；

若，因为时，，

所以在上单调递增，

因为，又，

所以存在，，

当时，，

在上单调递减，，不合题意；

综上，，的取值范围是．