四川省乐山市2020届高三第一次调查研究考试（12月）数学文试题 Word版含解析

2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 设全集为R，集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 式子的值等于

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，对应的复数为z，则

A.  B.  C.  D.

4. 在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：，，，，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名学生中成绩在中的学生有

A. 30名 B. 40名 C. 50名 D. 60名

5. 函数的零点之和为

A.  B. 1 C.  D. 2

6. 我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生

A. 21名 B. 16名 C. 13名 D. 11名

7. 函数的图象大致是

A.  B.
C.  D.

8. 元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的   

A.
B.
C.
D.





 

9. 已知三个数，，，则它们之间的大小关系是

A.  B.  C.  D.

10. 已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量，，则平面四边形ABCD的面积为

A.  B.  C. 10 D. 20

11. 函数，若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知函数，，，是图象的顶点，O，B，C，D为与x轴的交点，线段上有五个不同的点，，，，记2，，，则的值为

A.  B. 45 C.  D.

二、填空题（本大题共4小题）

13. 命题“，”的否定形式是______．
14. 如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为，，，则______；函数在处导数______．
    
    
     

15. 如图，在单位圆中，，为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则______．
    
    
    
    
     

16. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，D是AB上的三等分点靠近点，且，，则的最大值是______．

三、解答题（本大题共7小题）

17. 已知是递增的等差数列，且满足，．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前n项和的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足．
    求sin2A；
    若，的面积为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知四棱锥中，侧面底面ABCD，，是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点．
    求证：平面MDB；
    求三棱锥的体积．
    
    
     

20. 某校为了了解篮球运动是否与性别相关，在高一新生中随机调查了40名男生和40名女生，调查的结果如表：

根据题意完成上面的列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错的概率不超过的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关？
从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人做进一步调查，从这5人中任选2人，求2人都喜欢篮球运动的概率．
附：

，．






 

21. 已知函数．
    若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；
    若在R上有且仅有一个零点，求m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；
    若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线相交于A，B两点，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知x，y，z均为正数．
    若，证明：；
    若，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
根据补集的定义求得，再根据两个集合的交集的定义，求得．
【解答】
解：集合，，，或，
则，
故选C．
2.【答案】A
 

【解析】解：．
故选：A．
利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简已知等式即可得解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，平方开方等运算，考查了转化思想，属于基础题．
3.【答案】D
 

【解析】解：，，
，对应的复数为，
则，
故选：D．
根据向量的线性表示求出，即可求解z，进而可求．
本题主要考查了平面内对应的向量与复数的关系及共轭复数的定义的概念，属于基础试题．
4.【答案】B
 

【解析】解：成绩在内的学生所占的频率为，
所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有名，
故选：B．
由频率直方图可求出绩在内的学生所占的频率，再求出这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生．
本题考查频率直方图，计算人数，属于基础题．
5.【答案】A
 

【解析】解：函数，
可得时，，解得，
时，，解得
所以函数的零点之和为：．
故选：A．
利用已知条件，通过分段函数分别求解函数的零点，即可得到结果．
本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．
6.【答案】B
 

【解析】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；
要求招入的人数最多，即取得最大值，目标函数化为；
在可行域内任意取x，y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值，
截距最大时的直线为过得，此时目标函数取得最大值为：．
故选：B．
由题意画出约束条件表示的可行域，找出目标函数对应的最优解，计算可行域内使得z取得最大时的最优解．
本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的求解问题，是基础题．
7.【答案】B
 

【解析】解：因为，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A、D；
又因为的定义域是R，排除C．
故选：B．
由函数的奇偶性及定义域，运用排除法求解．
此题考查函数的奇偶性，函数图象识别，属于中档题．
8.【答案】C
 

【解析】【分析】
根据程序框图进行模拟运算即可．
本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键．
【解答】解：时．，时，，
时，，
时，退出循环，此时
解得，
故选：C．
9.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，
．
故选：B．
利用指数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查指数、对数函数的单调性、不等式的基本性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】C
 

【解析】解：，
，
又，，
平面四边形ABCD的面积，
故选：C．
由已知可得，可得，可得平面四边形ABCD的面积
本题考查了向量数量积运算性质、四边形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】C
 

【解析】解：由题知，，即，
由得在上恒成立，
则在上上恒成立，即，
又函数在R上单调递增，则需满足，
综上，实数的取值范围是：
故选：C．
先分析每一段单调递增，再综合整个递增即可求解．
此题考查分段函数的单调性，三次函数的单调性，恒成立问题，属于中档题目．
12.【答案】D
 

【解析】解：由题意得，函数的周期，即B，C，D的横坐标分别为1，2，3，故，
则，
因为，故，
故．
故选：D．
可求得，的坐标，进而得到，运用数量积公式可得，由此得解．
本题考查三角函数的图象，向量的坐标运算，向量垂直的判断，向量的分解，向量的数量积运算，以及数形结合思想，逻辑推理能力能，呈现方式新颖，属于较难题目．
13.【答案】，．
 

【解析】解：否定：否定量词，否定结论．
故命题“，”的否定形式是为：，．
故答案为：：，．
否定：否定量词，否定结论．
本题考查命题否定，属于基础题．
14.【答案】2 
 

【解析】解：由图象可知，，
即
，，，
由函数的图象可知，
，
当时，

故答案为：2，
要求的值，可先求，再求，此即为所求；
函数的图象可知，，然后求出导数即可求出结果．
本题考查函数的图象，导数的运算，解题时要注意分段函数的定义域，属于基础题．
15.【答案】
 

【解析】解：设，因为，
所以，又为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，
所以，
故，得，
，
故答案为：．
由，得到，故，得，再由展开代入即可．
考查三角形两角和与差的公式，单位圆，三角形的面积等，中档题．
16.【答案】
 

【解析】解：由，
利用正弦定理可得：，
化为：，可得，．
．
是AB上的三等分点靠近点，
，
两边平方可得：．
整理可得：．
，当且仅当时取等号．
解得．
的最大值是．
由，利用正弦定理可得：，再利用余弦定理可得由D是AB上的三等分点靠近点，可得，利用数量积运算性质可得：再利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：是递增的等差数列，设公差为d，则，
，，可得，
解得，，，
则；
，
可得前n项和，
当时，前n项和取得最小值．
 

【解析】设公差为d，则，运用等差数列的性质和通项公式，可得公差d，首项，进而得到所求通项公式；
求得，运用等差数列的求和公式，配方可得所求最小值．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及单调性、前n项和的最值求法，考查运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：，
由正弦定理可得：，
可得：，
，
可得，
，
，．
，
，
又，
，即，
．
 

【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合，可求cosA，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角的正弦函数公式即可解得sin2A的值．
由已知利用三角形的面积公式可求，利用余弦定理即可解得的值．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：证明：连结AC，交BD于O，由于底面ABCD为菱形，
为AC中点，
又M为PC的中点，，又平面MDB，平面MDB，
平面MDB．
解：过P作，垂足为E，
为正三角形，E为AD的中点．侧面底面ABCD，
由面面垂直的性质得平面ABCD．
由，，得平面PEB．
由，，得平面PEB，
，，
为PC的中点，
．
 

【解析】连结AC，交BD于O，则O为AC中点，从而，由此能证明平面MDB．
过P作，垂足为E，，由此能求出三棱锥的体积．
本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．
20.【答案】解：由题意填写列联表如下；

由表中数据，计算，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“喜欢篮球运动与性别有关”；
从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人，
其中喜欢篮球运动的有人，不喜欢篮球运动的有1人；
设喜欢篮球运动的4人为a、b、c、d，不喜欢篮球运动的1人为E；
则随机抽取2人，所有的基本事件为：
ab、ac、ad、aE、bc、bd、bE、cd、cE、dE共10个；
其中恰有2人都喜欢篮球运动的基本事件为：
ab、ac、ad、bc、bd、cd共6个，
故所求的概率为．
 

【解析】由题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；
用分层抽样法抽取后，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
21.【答案】解：，
是函数的一个极值点，则．
，．
，
当时，恒成立，在上单调递减．
当时，．
在上单调递减，在递增．
综上，当时，在上单调递减．
当时，在上单调递减，在递增．
在R上有且仅有一个零点，即方程有唯一解，
令，，令，可得或．
时，，时，，时，
在递增，在，递减，
且时，，时，
或．
，或
所以，m的取值范围．
 

【解析】，则求得，即可得，分当当讨论即可．
在R上有且仅有一个零点，即方程有唯一解，令，，利用导数根据图象求解．
本题考查了导数的综合应用，考查了分离参数法、分类讨论思想，属于难题．
22.【答案】解：由为参数，消去参数，得曲线的普通方程为：．
由，得，得曲线的普通方程为：，即．
由两圆心的距离，得两圆相交，
两方程相减可得交线为，即．
直线的极坐标方程为；
由，得，
直线l的直角坐标方程：，
则与y轴的交点为．
直线l的参数方程为，代入曲线，得．
设A，B两点的参数为，，
，，则，同号．
．
 

【解析】由曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程．把两边同时乘以，结合极坐标与直角坐标的互化公式得曲线的普通方程．联立两圆的普通方程可得两交点所在直线的普通方程，进一步得到直线的极坐标方程；
由，展开两角和的正弦，得直线l的直角坐标方程，求得，写出直线l的参数方程，代入曲线，再由参数t的几何意义求解．
本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题．
23.【答案】解：证明：，y，z均为正数，
，
当且仅当时取等号．
又，，
；
，．
，，，
当且仅当时取等号，
，
，，
的最小值为8．
 

【解析】利用基本不等式可得，再根据时，即可证明；
由，得，然后利用基本不等式即可得到，从而求出的最小值．
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．