2020届河南省实验中学高三12月月考数学（理）试题

2020届河南省实验中学高三12月月考数学（理）试题

数学理科试卷(满分：150分  时间：120分钟)

一．选择题（共12小题，每题5分，共60分.）

1.已知集合，，则集合的元素个数为（　　）

A．6               B．7 C．8 D．9

2．复数z满足（1﹣i）z＝﹣3+i，复平面内z对应的点位于（　　）

A．第一象限        B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

3．设函数，则满足的x的取值范围是（　　）

A．[﹣1，2]      B．[0，2]      C．[﹣1，+∞）  D．[1，+∞）

4．下列命题中，正确命题的个数为（　　）

（1）“”是“”的充分不必要条件

（2）命题“若都是奇数，则+b是偶数”的逆否命题是“若+b不是偶数，则都不是奇数”

（3）命题“∀，”的否定是“∃，”

（4）已知p，q为简单命题，若￢p是假命题，则p∧q是真命题

A．1个 B．2个 C．3个         D. 4个

5．等差数列的前n项和为，，，则=(      )

A．2 B．3 C．4            D．8

6．实数x，y满足|x﹣1|﹣ln ＝0，则y关于x的函数图象形状是(      )

A．    B     C  D．

7．设随机变量服从正态分布N（2，σ2），若P（＜﹣2）＝0.1，则函数有极值点的概率为（　　）

A．0.2 B．0.3          C．0.4          D．0.5

8．函数 在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数（　　）

A．120 B．135 C．140          D．100

9．已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，虚轴两个端点分别为B1，B2，若四边形A1B1A2B2的内切圆面积为18π，则双曲线离心率为（　　）

A． B． C．2           D．

10．如图，已知AB是圆O的直径，AB＝2，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是圆O上半圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，记∠POB＝，将△OPC和△PCD的面积之和表示成的函数，则取最大值时的值为（　　）

A． B． 

C． D．

11．四棱锥P﹣ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是矩形，二面角P﹣AB﹣C是直二面角，AB＝2，若四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积是20π，则PA，BD所成角的余弦值（　　）

A． B．          C．  D．

12．函数存在唯一的零点，则实数的取值范围为（　　）

A．（0，]      B．（0，）     C．（0，2]       D．（0，2）

二．填空题（共4小题,每题5分，共20分.）

13．平面向量,满足，且，，则向量与夹角的正切值为　   　．

14．如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，一从一档的7颗算珠中任取2颗，至少含有一颗上珠的概率为　   　．

15．已知公比为整数的等比数列的前n项和为，且，，若，则数列的前100项和为　   　．

16．已知点M（4，0），点P在曲线y2＝8x上运动，点Q在曲线（x﹣2）2+y2＝1上运动，则的最小值是　   　．

三．解答题（共70分，第17-21题为必考题，第22、23题为选考题.）

(一)必考题：共60分.

17．(12分)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2，∠CAD＝，tan∠ADC＝﹣2，

求：（1）CD的长；（2）△BCD的面积．

18．(12分)如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D、E分别是AC、BC的中点，F在SE上，且SF＝2FE

（1）求证：平面SBC⊥平面SAE

（2）若G为DE中点，求二面角G﹣AF﹣E的大小．

19．(12分)已知函数

（1）曲线在原点处的切线方程为，证明：.

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

20．(12分)已知椭圆M：,，右焦点为F，与直线相交于P、Q两点，若椭圆从经过点（0，）且PF⊥QF．

（1）求椭圆M的方程；

（2）0为坐标原点，A、B、C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试求△ABC的面积．

21．(12分)郑州某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：

表1

根据以上数据，绘制散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内，

与 哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；

（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到表2：

已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，估计该车队一辆车一年的总收入．

参考数据如下：其中 

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

,

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题，如果多选按照第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C的参数方程为

（1）求半圆C的极坐标方程；

（2）若一直线与量坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，﹣2），点D在半圆C上，且真线CD的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，点D的直角坐标．

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

  设函数+2.

（1）若存在，使得，求实数的取值范围；

（2）若是（1）中的最大值，且正数满足，证明：

高三月考（4）试卷答案

1、B．2、C．3、C．4、B．5、B．6、B．7、C．8、B．9、B．10、A．11、C ．12、A．

13、．       14、       15、          16、4

17、解：（1）∵tan∠ADC＝﹣2，∴sin∠ADC＝，cos∠ADC＝﹣．

∴sin∠ACD＝sin（∠CAD+∠ADC）＝sin∠CADcos∠ADC+cos∠CADsin∠ADC＝＝．

在△ACD中，由正弦定理得，即，

解得CD＝．

（2）∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，

∴sin∠BCD＝sin∠ADC＝，cos∠BCD＝﹣cos∠ADC＝．

在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2+BC2﹣2BC•CDcos∠BCD，

即40＝5+BC2﹣2BC，解得BC＝7或BC＝﹣5（舍）．

∴S△BCD＝BC•CDsin∠BCD＝＝7．

18、解：（Ⅰ）证明：∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，

又∵AC＝AB，且点E是BC的中点，

∴BC⊥AE，∵SA∩AE＝A，∴BC⊥底面SAE，∵BC⊂平面SBC，

∴平面SBC⊥平面SAE．

（Ⅱ）以A点为坐标原点，分别以AC，AB，AS为x，y，z轴建立空间坐标系O﹣xyz，

则A（0，0，0），S（0，0，2），E（1，1，0），G（1，，0），C（2，0，0），B（0，2，0）

由SF＝2FE得F（，，），

∴＝（1，1，0），＝（，，），＝G（1，，0），＝（2，﹣2，0）

设平面AFG的法向量为＝（x，y，z），则，

令y＝2，得到x＝﹣1，z＝﹣1，即＝（﹣1，2，﹣1）

设平面AFG的法向量为＝（x，y，z），则，

令y＝2，得到x＝﹣1，z＝﹣1，即＝（﹣1，2，﹣1）

设平面AFE的法向量为，由（Ⅰ）知为平面AES的一个法向量，＝＝（2，﹣2，0）

∴cosα＝＝＝﹣，∵二面角G﹣AF﹣E的平面角为锐角，∴二面角G﹣AF﹣E的大小为．

19. 解：（1）f′（x）＝（x2+x﹣1）ex，f′（0）＝﹣1，f（0）＝0，

故曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为x+y＝0．

设φ（x）＝（x2﹣x）ex+x，（x＞0）

φ′（x）＝（x2+x﹣1）ex+1，φ″（x）═（x2+3x）ex，

令φ″（x）＝0，解得x＝﹣3，或x＝0．

∴φ′（x）在（﹣∞，﹣3），（0，+∞）递增，在（﹣3，0）递减．

φ′（0）＝0，∴x＞0时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，而φ（0）＝0，∴当x＞0时，φ（x）＞0

（2）①当x＝0时，a∈R；

②当x＞0时，问题等价于a≤（x﹣1）ex+恒成立．

设g（x）＝（x﹣1）ex+，则g′（x）＝xex﹣，∵g′（x）＝xex﹣在（0，+∞）上单调递增，且g′（1）＝0∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．

∴g（x）在（0，+∞）的最小值为g（1）＝e；∴a≤e

③当x＜0时，问题等价于a≥（x﹣1）ex+恒成立．

设h（x）＝（x﹣1）ex+，则h′（x）＝xex﹣＜0，

∵h（x）＝在（0，+∞）上单调递减，且x→﹣∞时，h（x）→0．∴a≥0，综上所述：0≤a≤e．

20. 解：（1）设F（c，0），P（t，），则Q（﹣t，），

∴∴t2＝…①．∵PF⊥QF．∴，⇒…②

由①②可得．又a2﹣c2＝3，∴a2＝4∴椭圆方程为：．

（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）．

①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，

将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，

由韦达定理得，x1+x2＝﹣，x1x2＝．

∵O为重心，∴＝（，），

∵C点在椭圆上，∴，∴4m2＝4k2+3，

|AB|＝＝，d＝．

∴S＝|AB|•d＝＝．

②当直线AB与x轴垂直时，|AB|＝3，d＝3，S△ABC＝．综上，△ABC的面积为．

21. （1）根据散点图判断，y＝c•dx适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型：

（2）∵y＝c•dx，两边同时取常用对数得：

1gy＝1g（c•dx）＝1gc+1gd•x；

设1gy＝v，∴v＝1gc+1gd•x，∵，，∴＝，

把（4，1.54）代入v＝1gc+1gd•x，得：，∴，∴，∴；

把x＝8代入上式：∴＝102.54＝102×100.54＝347；∴活动推出第8天使用扫码支付的人次为347×10＝3470∴y关于x的回归方程为：y＝100.54•（100.25）x，

活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；

（3）由题意可知：一个月中使用现金的乘客有1000人，共收入1000×2＝2000元；使用乘车卡的乘客有6000人，共收入6000×1.6＝9600元；

使用扫码支付的乘客有3000人，

其中：享受7折优惠的有500人，共收入500×1.4＝700元

享受8折优惠的有1000人，共收入1000×1.6＝1600元：

享受9折优惠的有1500人，共收入1500×1.8＝2700元，

所以，一辆车一个月的收入为：2000+9600+700+1600+2700＝16600（元），

所以，一辆车一年的收入为：16600×12＝199200（元）．

22. 解：（1）∵半圆C（圆心为点C）的参数方程为为参数，{φ∈（0，π）．

∴半圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，y＞1，

∴半圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，θ∈（）．

（2）设直线l的倾斜角为α，则直线l的方程为y＝xtanα﹣2，

D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π），|AB|＝，

点D到直线l的距离为|sinαcos2α﹣cosαsin2α﹣3cosα|＝3cosα+sinα，

由△ABD的面积为4，得tanα＝1，即．∴D（0，2）．

23、解：（1）f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|≥|（2x﹣1）﹣2（x+1）＝3，

当且仅当（2x﹣1）（2x+2）≤0，即时取等号，

∵存在x0∈R，使得f（x0）+m2≤5﹣m，

∴3+m2≤5﹣m，∴﹣2≤m≤1，∴m的取值范围为：[﹣2，1]；

（2）由（1）中m最大值为1，∴a+b＝m＝1，

∴≥＝2a+2b，

∴，当且仅当a＝b时取等号，∴．