2020届辽宁省实验中学东戴河分校高三12月月考数学（理）试题

2020届辽宁省实验中学东戴河分校高三12月月考

数学试卷(理科)

说明：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。答题卡不要折叠

2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合则               (     )

A． B．       C．       D．

2． “”是“方程表示双曲线”的             （     )

A．充分不必要条件   B．充要条件         C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件

3．正项等差数列中的，是函数的极值点，则=(    )

A．2 B．3                C．4                 D．5

4．函数的图象是由函数的图像向左平移个单位得到的，则（    ）

A． B． C． D．

5．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：

针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是                （    ）

A．获得A等级的人数减少了 B．获得B等级的人数增加了1.5倍

C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同

6．设，且的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是       （    ）

A．1         B．        C．64                D．

7．直线恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为                         （    ）

A． B．4 C．               D．

8．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为的弧田，按照上述方法计算出其面积是                      (    )

A． B． C．             D．

9．执行如图所示的程序框图，则输出的值是         （    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

10．已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

11．设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

12．已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．

B． 在区间上是增函数

C．若方程恰有3个实根，则

D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．已知其中为虚数单位，则________；

14．已知数列的首项，且满足，则        ；

15．如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点．将沿DE翻折，得到四棱锥．设的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：

①总有平面；

②线段BM的长为定值；

③存在某个位置，使DE与所成的角为90°．

其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）

16．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知函数

(1)求函数的单调递增区间；

(2)内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.

18．（本小题满分10分）

如图，在中，，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且，，将沿AB折起使得二面角是直二面角．

（l）求证：CD平面PAB；

（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．

19．（本小题满分10分）

2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．

（1）若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；

（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应的值．

20．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率．

（1）求椭圆G 的标准方程；

（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．

①证明： ；

②求四边形 的面积 的最大值．

21．（本小题满分10分）

已知函数在上是增函数．

求实数的值；

若函数有三个零点，求实数的取值范围．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点 ，直线和曲线交于两点，求的值．

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.

（数学理）

1-5  BDCBB    6-10  DDADB    11.B    12  BCD

13.5    14.      15. ①②      16.

17【解析】

（1），

令，解得

故函数的递增区间为.

（2），

，

由正弦定理得：，

，，或.

当时，：当时，（不合题意，舍）

所以.

18．如图，在中，，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且，，将沿AB折起使得二面角是直二面角．

（l）求证：CD平面PAB；

（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．

【答案】（1）证明见解析.

（2）.

【解析】

分析：（1）推导出是的斜边上的中线，从而是的中点，由此能证明平面；

（2）三棱锥的体积为，由此能求出结果．

详解：（1）因为，所以，又，，

所以，又因为，

所以是的斜边上的中线，

所以是的中点，又因为是的中点．所以是的中位线，所以，

又因为平面，平面，所以平面．

（2）据题设分析知，，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：

因为，且，分别是，的中点，

所以，，

所以，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，所以，令，则，

设直线与平面所成角的大小为，则．

故直线与平面所成角的正切值为．

19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．

（1）若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；

（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应的值．

【答案】(1) (2) 最高费用为万元．对应．

（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为，

一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为，

所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为

．

∴时，

所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为．

（2）设每篇学术论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500．

，，

所以．

令，，．

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

所以的最大值为．

所以评审最高费用为（万元）．对应．

20．在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率．

（1）求椭圆G 的标准方程；

（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．

①证明： ；

②求四边形 的面积 的最大值．

（1）设椭圆G的方程为（a＞b＞0）

∵左焦点为F1（﹣1，0），离心率e=．∴c=1，a=，

b2=a2﹣c2=1

椭圆G 的标准方程为：．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）

①证明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0

，

x1+x2=，x1x2=；

|AB|==2；

同理|CD|=2，

由|AB|=|CD|得2=2，

∵m1≠m2，∴m1+m2=0

②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=

∵m1+m2=0，∴

∴s=|AB|×d=2×

=.

所以当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2

21．已知函数在上是增函数．

求实数的值；

若函数有三个零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

解：当时，是增函数，且，

故当时，为增函数，即恒成立，

当时，函数的导数恒成立，

当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，

当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，

则，即．

若，则在上是增函数，此时最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．

故，

当时，有一个零点，

当时，，故0也是故的一个零点，

故当时， 有且只有一个零点，即有且只有一个解，

即，得，，

则，在时有且只有一个根，

即与函数，在时有且只有一个交点，

，

由得，即得，得，此时函数递增，

由得，即得，得，此时函数递减，

即当时，函数取得极小值，此时极小值为

，

，

作出的图象如图，

要使与函数，在时有且只有一个交点，

则或，

即实数的取值范围是．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点 ，直线和曲线交于两点，求的值．

【答案】（1），；（2）.

（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线C的普通方程为.

因为，

所以.

所以直线的直角坐标方程为.

（2）由题得点在直线l上，直线l的参数方程为，

代入椭圆的方程得，

所以，

所以.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

（1）当时，，

故等价于或或，解得或.

故不等式的解集为.

（2）当时，由得，

即，即或对任意的恒成立.

又，，故的取值范围为.

又，所以，

综上，的取值范围为.