2020届江苏省如皋市度高三第一学期教学质量调研（三）数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年江苏省如皋市度高三第一学期教学质量调研（三）数学（理）试题

一、填空题

1．已知集合，集合，则______.

【答案】

【解析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的并集即可．

【详解】

由A中的不等式变形得：，得到x>0，

∴A={x|x>0}，

由B中的不等式变形得：lgx>lg1，得到x>1，即B={x|x>1}，

则，

故答案为：

【点睛】

本题考查了求对数式、指数式不等式的解集和并集的运算，属于基础题。

2．若复数满足（是虚数单位），则复数的实部是______.

【答案】1

【解析】通过复数方程，两边同乘1-2i，然后求出复数z即可．

【详解】

因为复数z满足(1+2i)z=−3+4i,所以(1−2i)(1+2i)z=(−3+4i)(1−2i)，

即5z=5+10i，

所以z=1+2i,实部为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数的实部，不能写成复数的结果。本题属于基础题。

3．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______.

【答案】27

【解析】根据s=0，n=1，s=(0+1)×1=1，n=1+1=2，不满足条件n＞3，执行循环体；依此类推，当n=4，满足条件n＞3，退出循环体，得到输出结果即可．

【详解】

s=0,n=1,s=(0+1)×1=1，n=1+1=2，不满足条件n>3，执行循环体；

s=(1+2)×2=6，n=1+2=3，不满足条件n>3，执行循环体；

s=(6+3)×3=27，n=1+3=4，满足条件n>3，退出循环体，

则输出结果为：27

故答案为：27。

【点睛】

本题考查了循环结构的应用，循环次数少的时候可以将每一次的赋值情况列出，不容易出错。本题属于中等题。

4．现把某类病毒记作，其中正整数可以任意选取，则，都取到奇数的概率为______.

【答案】

【解析】求出m取小于等于6的正整数，n取小于等于8的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．

【详解】

m取小于等于6的正整数，n取小于等于8的正整数，共有6×8=48种取法。

m取到奇数的有1，3，5共3种情况；n取到奇数的有1，3，5，7共4种情况，

则m，n都取到奇数的方法种数为3×4=12种。

所以m，n都取到奇数的概率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题。

5．若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．

【答案】(1,2]

【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.

6．等比数列中，，前项和为，满足，则______.

【答案】31

【解析】将化成 ，解得，再根据等比数列的前项和公式，即可求出。

【详解】

设等比数列的公比为，

由,可得。

∴，

故答案为：31.

【点睛】

本题考查了数列中与之间的关系，即，属于中等题。

7．已知，，则______.

【答案】

【解析】根据联立，即可求出和的值，再将化成代入即可。

【详解】

,

又

或

，

即

故答案为：。

【点睛】

本题考查了同角的三角函数之间的关系，给和间的任一关系式，再联立就可求出和的值，但要注意根据角的范围来判断和的值可能是解中的一组或两组。本题属于中等题。

8．已知，实数，满足方程，则的最小值为______.

【答案】0

【解析】是和两点间的距离的平方，求的最小值即为求两点所在轨迹上的点之间的距离的最小值的平方。可以看出两点所在轨迹方程都满足点，即两点间距离最小值为0，的最小值为。

【详解】

设，，则

在直线上，在曲线，

∴求的最小值，即为求曲线上的点到直线上的点的距离的最小值。

又与都过点

∴曲线上的点到直线上的点的距离的最小值为0。

即的最小值为。

故答案为0。

【点睛】

本题考查了两点间距离公式的变形，和直线到曲线距离的最值问题，遇到两式平方和可以看是否能凑成，通过两点间距离公式转换成表达式的几何意义来求最值。本题属于难题。

9．已知函数的图像在处的切线斜率为，且当时其图像过点，则______.

【答案】8

【解析】将处的导函数值求出，与相等，化简可得，再将和点代入可求得的值，再根据等差数列通项公式即可求出的值。

【详解】

由得，，

∵图像在处的切线斜率为

当时，，化简得，即数列是公差为1 的等差数列。

又∵当时其图像过点，

，即。

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式和导函数的几何意义，函数在某点的导数值即为图像在此处的切线斜率，当求出与的差为定值时，即可得出其为等差数列，等差数列需知道和两个参数，依次求出即可。本题属于中等题。

10．在平面直角坐标系中，点是椭圆：在第一象限上的一点，从原点向圆：作两条切线，，若，则圆的方程是______.

【答案】

【解析】画图分析可得四边形为正方形，即有，再根据点是椭圆：在第一象限上的一点，可求出圆心的坐标。

【详解】

设从原点向圆：作两条切线，的切点分别为、，画出大致图像如下图：

、都和圆相切，

又，

，

即四边形为正方形，

由圆：可知圆的半径为，

，即

又∵点是椭圆：在第一象限上的一点，

解得，则圆的方程是。

故答案为：

【点睛】

本题考查了直线与圆相切的几何关系，即圆心与切点的连线垂直于切线，圆锥曲线的填空选择多画图找几何关系，有时会比直接计算要快。本题属于中等题。

11．定义：如果函数在区间上存在，满足，则称是函数在区间上的一个均值点，已知函数在区间上存在均值点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】函数在区间上存在均值点，关于x的方程在内有实数根。求出函数的值域，包含元素1即可。

【详解】

∵函数在区间上存在均值点，

∴关于x的方程在内有实数根。

由，，

可得.

要使方程在内有实数根，则，

即。

故答案为：。

【点睛】

本题考查了指数函数和二次函数复合函数的值域问题，将指数函数看成一个整体，通过换元法求得二次函数的值域即可。本题属于中等题。

12．已知，，且，则的最小值是______.

【答案】

【解析】将化成，设，则，再将用表示得，通过基本不等式“1”的巧用，凑出，与相乘，再用基本不等式可得最小值。

【详解】

设，则，

∵，，

∴

又

当时，，在题目要求范围内，

即

故答案为：

【点睛】

本题考查了换元法和基本不等式的应用，遇到已知两未知数关系，求包含两未知数的表达式的最值时，除了消元通过函数法解，最常见的方法是构造基本不等式。本题属于难题。

13．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是______.

【答案】

【解析】设，，可得、、三点共线，则的最小值即的最小值为表示到边上的高为，根据几何关系求出，。再根据极化恒等式将化成，通过几何关系求出的最小值即可。

【详解】

∵

∴设，

又∵，

∴、、三点共线，的最小值即的最小值为.

由图可得，当时，有最小值，

又∵，，，

∴，即，

由余弦定理，。

设为中点，由极化恒等式，

，

∴当取最小值时，有最小值。

∵为边上任意一点，

∴当时，有最小值。

设，过点作于点，则，

又∵，为的中位线，

∴。

即。

故答案为：

【点睛】

本题考查了平面向量三点共线定理和极化恒等式的运用，遇到两个带系数的向量相加时，可以看看是否能将其中一个向量转换成另一向量从而将系数凑成定值，再运用平面向量三点共线定理。本题属于难题。

14．已知函数在上是增函数，函数，若（为自然对数的底数）时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】对求导令解得，要使不等式恒成立，只要使即可，再根据的范围无法直接得出，对分情况讨论，分别求出，。

【详解】

∵函数在上是增函数，

∴在上恒成立，即

要使不等式恒成立，只要使即可

当时，，

①当时，，

可以看出，在上单调递减，

∴，

，

即。

②当时，，在上单调递减，

∴，

，即无法成立。

综上所述，实数的取值范围是。

故答案为：。

【点睛】

本题考查了分情况求含参绝对值型函数的最值问题，遇到绝对值要去绝对值，分成绝对值内表达式大于等于0和小于0（或大于0和小于等于0）两种情况去讨论，写成分段函数的形式。本题属于中等题。

二、解答题

15．已知函数，

（1）求的最小正周期和单调递减区间。

（2）若方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。

【答案】（1）；.

（2）.

【解析】分析：（1）首先利用余弦倍角公式对进行降次升角，之后借助于诱导公式以及辅助角公式，将函数解析式化简为，借助于正弦曲线的性质，利用整体角思维求得结果；

（2）研究函数在给定区间上的性质，求得对应的结果.

详解：（1）

∴

由，解得：

∴的单调递减区间为：         

（2）即在区间上的图象与直线有两个不同的交点．

由（1）知：在上单调减，在上单调增，

∴，，             

∴当时，在区间上的图象与直线有两个不同的交点，即方程在区间上两个不同的实数解．

∴的取值范围为．                                

点睛：该题考查的是有关三角函数的综合题，涉及到的知识点有余弦的倍角公式，诱导公式，辅助角公式，将函数解析式，之后利用整体角思维求得结果，关于第二问，注意应用整体角思维，研究对应区间上的函数图像的走向，从而求得结果.

16．在公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）由，，，成等比数列得：求出，即可得的通项公式；

（2），，用错位相减法化简可得.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，

由，，，成等比数列得：，

解得或（舍去），

所以数列的通项公式.

（2）由（1）得，所以，

所以，    ①

，    ②

①-②得：

，

所以.

【点睛】

本题考查了错位相减法的计算，当遇到等差数列×等比数列的通项公式时，可以通过错位相减法来求和。本题属于基础题。

17．某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线，所成角为，现欲在海岸线，上分别取点，修建海堤，以便围成三角形陆地，已知海堤长为6千米.

（1）如何选择，的位置，使得的面积最大；

（2）若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤的另一侧选取点，修建海堤，围成四边形陆地.当海堤与的长度之和为10千米时，求四边形面积的最大值.

【答案】（1）当，两点距离点都为千米时，最大面积为（平方千米）；

（2）四边形面积的最大值为（平方千米）.

【解析】（1）设，，由余弦定理得：，

因为，即，当且仅当时取得等号；

（2）要求四边形面积的最大值，只需求面积的最大值.在中，，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长10的椭圆（夹在两海岸线，区域内的曲线），根据椭圆的几何性质，求出点到距离的最大值即可得到最大面积.

【详解】

（1）设，，（单位：千米）

在中，由余弦定理得：，

因为，，，，

所以，，

故，当且仅当时取得等号，

此时，（平方千米）.

所以，当，两点距离点都为千米时，的面积最大，最大面积为（平方千米）.

（2）由（1）知，要求四边形面积的最大值，只需求面积的最大值.

在中，，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长10的椭圆（夹在两海岸线，区域内的曲线），

以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，

设点所在的椭圆方程为，焦距为，

由，得：，

所以点所在的椭圆方程为.

设，则，因为，

所以（平方千米），当且仅当（千米）时取得等号.

所以，四边形面积的最大值为（平方千米）.

【点睛】

本题考查了余弦定理和三角形面积公式，以及椭圆的定义。遇到应用题，找出变量之间的相关关系，再根据函数或者不等式等其他方法求解，注意满足实际意义的取值范围。本题属于难题。

18．已知直线为椭圆的右准线，直线与轴的交点记为，过右焦点的直线与椭圆交于，两点.

（1）设点在直线上，且满足，若直线与线段交于点，求证：点为线段的中点；

（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析； （2）为定值0.

【解析】（1）设直线的方程为，直线的方程为， 故直线的方程为.再联立椭圆方程和直线，根据韦达定理求出线段的中点为，满足直线方程，所以，直线与线段交点为线段的中点.

（2）当直线的斜率为0时， . 直线的斜率不为0时，计算直线的方程，求得点的坐标为，纵坐标与点相等，即，.

【详解】

（1）由椭圆方程为知，右焦点坐标，椭圆的右准线方程为，点坐标.

①当直线的斜率不存在时，直线与线段交点即为右焦点，此时点为线段的中点.

②又由知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，

从而，直线的方程为，令得，点坐标为，

故直线的方程为.

联立方程组，消去得：，

设，，则，

即，，

从而，线段的中点.

又线段的中点的坐标满足直线方程，

所以，直线与线段交点为线段的中点.

综上可知，点为线段的中点.

（2）当直线的斜率为0时，点即为点，从而，故.

直线的斜率不为0时，

由（1）知，，，

所以，则.

直线的方程为，又，

令，得，

所以点的坐标为，纵坐标与点相等。

即，所以.

综上可知，为定值0.

【点睛】

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，着重于计算直线方程的表达式，根据点的坐标依次耐心计算即可。本题属于中等题。

19．已知数列的前项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围；

（3）记，是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）； （2）； （3）不存在.

【解析】（1）当时，，与题目中所给等式相减得：，即，又时，，解得：，所以.

（2）化简得，由裂项相消得，，再根据不等式都成立，化简得：，求出的最大值即可.

（3）假设存在互不相等的正整数，，满足条件，则有.证明其成立的条件与，，互不相等矛盾即可.

【详解】

（1）因为数列的前项和满足，

所以当时，，

两式相减得：，即，

又时，，解得：，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而.

（2）由（1）知：，

所以，

，

对任意的，不等式都成立，即，

化简得：，令，

因为，

故单调递减，

所以，故，

所以，实数的取值范围是.

（3）由（1）知：，

假设存在互不相等的正整数，，满足条件，

则有.

由与得，

即，

因为，所以.

因为，当且仅当时等号成立，

这与，，互不相等矛盾.

所以不存在互不相等的正整数，，满足条件.

【点睛】

本题考查了裂项相消法和反证法，遇到通项公式的分式的分母为两项相似的式子相乘时，可以看是否能裂成两项，从而在求和时前后相消。用反证法时注意判断最后推出的结果与题目已知条件是否矛盾。本题属于难题。

20．已知函数，.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围；

（3）当时，试问：过点存在几条直线与曲线相切？

【答案】（1）和； （2）；

（3）当时，过点有1条直线与曲线相切；当时，过点有2条直线与曲线相切；当时，过点有3条直线与曲线相切.

【解析】（1）当时，，分别求出在两段区间上的单调递增区间即可.

（2）.当时，函数单调递增；当时，由得，分和具有不同的大小关系两种情况去判断函数的单调性，再根据单调性判断零点的个数情况即可。

（3）当时，设切点为，切线的斜率，得到方程 ，化简得.再判断出方程无解，即没有符合题意的切线.当时，同理可得：，判断出方程解的个数，即为存在的切线条数.

【详解】

（1）当时，，

当时，，由得：或，又，

所以， 或，即在和上单调递增；

又时，恒成立，故在上单调递增；

综上可知，函数的单调递增区间为和.

（2）.

当时，，因为，所以恒成立，即函数在上单调递增；

当时，，因为，由得，

①若，即时，函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.

因为函数只有一个零点，且，

所以只要，解得.

①若即时，函数在上单调递增，在单调递减，

在上单调递增.

因为，，所以函数有两个零点，不合题意.

综上可知，实数的取值范围是.

（3）当时，设切点为，因为切线的斜率，所以，化简得.

令，则，

因为，所以，从而函数在上单调递增，

又，此时函数在没有零点，即没有符合题意的切线.

当时，同理可得：，令，则，

因为，所以函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，

因为，，，

又由知，，

所以，当时，，，故函数只有1个零点，即符合题意的切线只有1条；

当时，，，故函数有2个零点，即符合题意的切线有2条；

当时，，，故函数有3个零点，即符合题意的切线有3条；

综上可知，当时，过点有1条直线与曲线相切；

当时，过点有2条直线与曲线相切；

当时，过点有3条直线与曲线相切.

【点睛】

本题考查了判断函数的单调性、最值和切线条数问题，函数的单调性和最值都需要通过导数的应用，切线条数看导数的几何意义，注意切线方程需满足的条件。本题属于难题。