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2024届江苏省南通市如皋市高三上学期（期中）教学质量调研（二）数学试题含答案
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这是一份2024届江苏省南通市如皋市高三上学期（期中）教学质量调研（二）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】由复数的四则运算，结合模长公式求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由对数函数的定义以及解不等式化简集合，再求交集.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
3．已知定义域为的函数，其导函数为，条件是条件q：函数在处取得极值的（ ）条件．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数极值取得的条件，进行判断即可．
【详解】若函数在处取得极值，则，即必要性成立，
反之不一定成立，如，则，且，
所以函数是增函数，故函数无极值，
所以充分性不成立，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
4．已知抛物线与x轴交于A，B两点，圆M经过A，B，三点，则圆M的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出两点，再设圆的一般方程应用待定系数法求解即可.
【详解】根据题意可知两点的坐标分别为，
设圆M的方程为，将A,B,C三点的坐标代入圆M的方程，可得
,
解上述方程组，求出D,E,F的值，
即可得到圆M的方程．
故选:A.
5．设，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数确定单调性即可判断，进而根据三角函数的有界性可判断.
【详解】设，
则当时单调递增，所以 ，
由于，而，所以，
故，
故选：D
6．设一组样本数据，，…，的极差为1，方差为0.1，若数据，，…，的极差为2，则数据，，…，的方差为（ ）
A．0.02B．0.04C．0.2D．0.4
【答案】D
【分析】由极差的关系求出，再根据方差的平方倍数关系求出即可.
【详解】由题意可知，一组样本数据，，…，的极差为1，则，
又数据，，…，的极差为2，
则，
所以，
故数据，，…，的方差为，
故选：D
7．已知圆台上，下底面的半径分别为1，4，高为1，现用过任意两条母线的平面去截这个圆台，则截面面积的最大值是（ ）
A．B．5C．D．10
【答案】C
【分析】根据题意，判断截面为梯形，通过在和中设角，分别求出梯形的上下底和高长，将面积表示出来，最后运用基本不等式即得.
【详解】
如图，圆台,中，设过两条母线的平面分别交上下圆面于和，因上下圆面互相平行，故有则四边形为等腰梯形，
分别取中点，中点，连接,,则,易得,故有,
不妨设则
在直角梯形中，，故
则梯形的面积为：
当且仅当时取等号，即时，截面面积最大，为.
故选：C.
8．已知函数的图像如图所示，则的一个可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据排除CD，根据排除B，得到答案.
【详解】根据图像知：，，故，排除CD.
，，
根据图像知：，，故，排除B.
故选：A.
二、多选题
9．已知a，b，c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可得，即可判断A，根据作差法即可判断BC，由基本不等式，结合指数幂的性质即可求解D.
【详解】由于，且，所以，故，A正确，
由于又，所以，所以，B正确，
由于又，所以，故C错误，
由于，则，又，因此，D正确，
故选：ABD
10．已知边长为2的正六边形的中心为O，则的可能值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】ACD
【分析】以点为坐标原点，建立坐标系，利用坐标法求解.
【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，
，
，
，
故答案为：ACD
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有三个单调区间
B．函数的极大值与极小值之和为
C．关于x的方程不可能有三个实数解
D．存在直线与函数的图像从左至右有三个交点，且它们横坐标成等差数列
【答案】AD
【分析】求得，得出函数的单调性，可判定A正确，结合函数和的图像的关系，得到两个函数有相同的极值，可判定B不正确；结合的图像与轴有三个不同的交点，可判定C不正确；令，得到，求得三个实数根满足，可判定D正确.
【详解】因为，可得，
令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以A正确；
当时，函数取得极大值，极大值为，
当时，函数取得极小值，极小值为，
将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，
所以函数与函数有相同的极值，
所以的极大值与极小值之和为，所以B不正确；
由函数的图像与轴有三个不同的交点，
所以，当时，方程有三个不同的实数根，所以C不正确；
令，可得，即，
设方程三个根从大到小分别为，
因为，可得，
所以，所以构成等差数列，所以D正确.
故选：AD.
12．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出.
【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球，
或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，
或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，
故，A错误；
BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，
或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，
或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，
故，B错误，C正确；
D选项，的所有可能有，
故，D正确.
故选：CD
三、填空题
13．的展开式中的系数为 ．
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】，
故的展开式中的项只能是中出现的，
由于中含的项为，
的展开式中的系数为
故答案为：
14．已知等差数列前3项和，，，成等比数列，则数列的公差 ．
【答案】或
【分析】由，可求出，再由等比数列可建立关系式，求出
【详解】由，可知，即，
又，，成等比数列，
所以，
即，解得或，
故答案为：或2
15．现有10张奖券，有且仅有2张为有奖奖券，甲、乙两人轮流依次不放回地抽取奖券，甲先抽取，然后乙再抽取为一个轮次．则在第一轮甲、乙都未中奖的条件下，第二轮甲、乙都中奖的概率为 ．
【答案】
【分析】设出事件，利用条件概率公式进行求解.
【详解】设事件为在第一轮甲、乙都未中奖，事件为第二轮甲、乙都中奖，
则，
，
所以.
故答案为：
16．已知双曲线，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】由已知求出点的坐标，由求出点的坐标，代入双曲线方程即可求得离心率．
【详解】不妨设双曲线的渐近线为，则直线为，
由得，，即，
设点，则，
因为，
所以，解得，即，
由点在双曲线上，代入得，
整理得，则，
故答案为：．
四、解答题
17．已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列是常数列；
(2)求数列的前n项的和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系计算即可；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
得：，
在①中，令，得，
即，所以，
因为，，
所以，
所以数列是常数列；
（2）设数列的前项的和为，由（1）得：，
，
，
得：，
所以.
18．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)若，求角A；
(2)若，，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用两角和的正弦公式化简得到；再利用正弦函数的性质得到或；最后根据分析即可得出结果.
（2）先由已知条件和（1）可得；再利用二倍角公式、正弦定理、余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
即.
因为
所以
即.
因为，
所以或.
由题意知，
则当时，，此时，这与矛盾，故舍去.
当时，因为，所以，所以.
综上可得：.
（2）因为，即，则.
由（1）可得.
因为
所以
在中，由正弦定理得：.
因为，
所以.
因为，
所以.
19．如图所示，直三棱柱中，，，，，分别是对角线，的中点．
(1)证明：面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于，即可说明与重合，即为的中点，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接，交于．
在直三棱柱中，侧面为平行四边形，
因为，是平行四边形的对角线，所以为的中点，
所以与重合，所以为的中点，
在中，因为分别是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）在内，因为，，所以，所以，
在直三棱柱中，，
因为平面，所以，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，所以，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，因为，，
所以，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则，取，
设二面角为，，
则，
所以，
综上所述：二面角的正弦值为.
20．2023年9月25日，在富阳银湖体育中心举行的杭州亚运会射击项目男子25米手枪速射团体决赛中，中国队以1765环的总成绩击败韩国队夺得冠军，并打破世界记录．现已知男子25米手枪速射决赛规则如下：取资格赛前6名选手进入决赛，5发子弹为一组，每发子弹9.7环以上得1分，否则得0分．若进入决赛的每位选手每组能得5分与4分概率分别为0.6，0.4．
(1)求某位进入决赛的选手三组射击后得分为14分的概率；
(2)设某位进入决赛的选手三组射击后得分为随机变量，求随机变量的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解.
（2）根据独立事件概率公式求解概率，即可列分布列，由期望公式求解期望即可.
【详解】（1）“某位进入决赛的选手三组射击后得分为14分”记事件A，
所以
答：某位进入决赛的选手三组射击后得分为14分的概率为
（2）随机变量的可能取值为，
；；
；．
所以随机变量的分布表为：
21．已知A，B，C为椭圆上的三个不同的点，且线段的中点在直线上．
(1)若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
(2)F为椭圆右焦点，且满足，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）法一：利用点差法可得答案，法二：设出斜率，联立方程，利用韦达定理以及中点坐标，结合根的判别式的检验，可得答案；
（2）根据题意，利用三角形的重心性质，结合椭圆的对称性，可得答案.
【详解】（1）
法一：设，，线段的中点为，
直线的斜率分别为，
因为点在椭圆上，所以，
得：，所以；
法二：设，，直线，
由，联立得：，
所以，经检验时，
（2）因为，所以为的重心，
因为，线段的中点在直线上，
所以点在直线上，所以
不妨设点在轴的下方，因为为的重心，所以，
所以线段的中点，
由（1）知：，所以直线的方程为
由椭圆的对称性可知：当点在轴的上方时，
直线的方程为，
综上：直线的方程为或.
22．已知．
(1)试判断函数的单调性；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）求导，讨论，两种情况，由导数得出其单调性；
（2）将的零点问题化为函数零点问题，讨论、、、，由其单调性结合零点个数得出实数a的取值范围．
【详解】（1）解：，
所以
当时，因为，所以函数在上为增函数
当时，函数在上为减函数，在上增函数
综上所述：①当时，函数为增函数；
②当时，函数在上为减函数，在上为增函数
（2）若函数有且只有一个零点，则函数有且只有一个零点，且，
由（1）知：当时，函数为增函数，此时只有一个零点，满足题意
当时，
①时，因为函数在上为减函数，所以，
因为，因为函数在上为增函数，
所以唯一，使，所以函数恰有两个零点，不满足题意
②时，因为函数在上为增函数，所以，
，
因为，函数在上为减函数，
所以唯一，使，所以函数恰有两个零点，不满足题意
③时，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，函数有且只有一个零点，满足题意．
综上所述：实数的取值范围为或
【点睛】关键点睛：解决第二问时，关键在于将的零点问题化为函数零点问题，借助其单调性以及零点个数得出参数的范围.
12
13
14
15
P
一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】由复数的四则运算，结合模长公式求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由对数函数的定义以及解不等式化简集合，再求交集.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
3．已知定义域为的函数，其导函数为，条件是条件q：函数在处取得极值的（ ）条件．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数极值取得的条件，进行判断即可．
【详解】若函数在处取得极值，则，即必要性成立，
反之不一定成立，如，则，且，
所以函数是增函数，故函数无极值，
所以充分性不成立，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
4．已知抛物线与x轴交于A，B两点，圆M经过A，B，三点，则圆M的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出两点，再设圆的一般方程应用待定系数法求解即可.
【详解】根据题意可知两点的坐标分别为，
设圆M的方程为，将A,B,C三点的坐标代入圆M的方程，可得
,
解上述方程组，求出D,E,F的值，
即可得到圆M的方程．
故选:A.
5．设，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数确定单调性即可判断，进而根据三角函数的有界性可判断.
【详解】设，
则当时单调递增，所以 ，
由于，而，所以，
故，
故选：D
6．设一组样本数据，，…，的极差为1，方差为0.1，若数据，，…，的极差为2，则数据，，…，的方差为（ ）
A．0.02B．0.04C．0.2D．0.4
【答案】D
【分析】由极差的关系求出，再根据方差的平方倍数关系求出即可.
【详解】由题意可知，一组样本数据，，…，的极差为1，则，
又数据，，…，的极差为2，
则，
所以，
故数据，，…，的方差为，
故选：D
7．已知圆台上，下底面的半径分别为1，4，高为1，现用过任意两条母线的平面去截这个圆台，则截面面积的最大值是（ ）
A．B．5C．D．10
【答案】C
【分析】根据题意，判断截面为梯形，通过在和中设角，分别求出梯形的上下底和高长，将面积表示出来，最后运用基本不等式即得.
【详解】
如图，圆台,中，设过两条母线的平面分别交上下圆面于和，因上下圆面互相平行，故有则四边形为等腰梯形，
分别取中点，中点，连接,,则,易得,故有,
不妨设则
在直角梯形中，，故
则梯形的面积为：
当且仅当时取等号，即时，截面面积最大，为.
故选：C.
8．已知函数的图像如图所示，则的一个可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据排除CD，根据排除B，得到答案.
【详解】根据图像知：，，故，排除CD.
，，
根据图像知：，，故，排除B.
故选：A.
二、多选题
9．已知a，b，c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可得，即可判断A，根据作差法即可判断BC，由基本不等式，结合指数幂的性质即可求解D.
【详解】由于，且，所以，故，A正确，
由于又，所以，所以，B正确，
由于又，所以，故C错误，
由于，则，又，因此，D正确，
故选：ABD
10．已知边长为2的正六边形的中心为O，则的可能值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】ACD
【分析】以点为坐标原点，建立坐标系，利用坐标法求解.
【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，
，
，
，
故答案为：ACD
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有三个单调区间
B．函数的极大值与极小值之和为
C．关于x的方程不可能有三个实数解
D．存在直线与函数的图像从左至右有三个交点，且它们横坐标成等差数列
【答案】AD
【分析】求得，得出函数的单调性，可判定A正确，结合函数和的图像的关系，得到两个函数有相同的极值，可判定B不正确；结合的图像与轴有三个不同的交点，可判定C不正确；令，得到，求得三个实数根满足，可判定D正确.
【详解】因为，可得，
令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以A正确；
当时，函数取得极大值，极大值为，
当时，函数取得极小值，极小值为，
将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，
所以函数与函数有相同的极值，
所以的极大值与极小值之和为，所以B不正确；
由函数的图像与轴有三个不同的交点，
所以，当时，方程有三个不同的实数根，所以C不正确；
令，可得，即，
设方程三个根从大到小分别为，
因为，可得，
所以，所以构成等差数列，所以D正确.
故选：AD.
12．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出.
【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球，
或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，
或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，
故，A错误；
BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，
或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，
或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，
故，B错误，C正确；
D选项，的所有可能有，
故，D正确.
故选：CD
三、填空题
13．的展开式中的系数为 ．
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】，
故的展开式中的项只能是中出现的，
由于中含的项为，
的展开式中的系数为
故答案为：
14．已知等差数列前3项和，，，成等比数列，则数列的公差 ．
【答案】或
【分析】由，可求出，再由等比数列可建立关系式，求出
【详解】由，可知，即，
又，，成等比数列，
所以，
即，解得或，
故答案为：或2
15．现有10张奖券，有且仅有2张为有奖奖券，甲、乙两人轮流依次不放回地抽取奖券，甲先抽取，然后乙再抽取为一个轮次．则在第一轮甲、乙都未中奖的条件下，第二轮甲、乙都中奖的概率为 ．
【答案】
【分析】设出事件，利用条件概率公式进行求解.
【详解】设事件为在第一轮甲、乙都未中奖，事件为第二轮甲、乙都中奖，
则，
，
所以.
故答案为：
16．已知双曲线，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】由已知求出点的坐标，由求出点的坐标，代入双曲线方程即可求得离心率．
【详解】不妨设双曲线的渐近线为，则直线为，
由得，，即，
设点，则，
因为，
所以，解得，即，
由点在双曲线上，代入得，
整理得，则，
故答案为：．
四、解答题
17．已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列是常数列；
(2)求数列的前n项的和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系计算即可；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
得：，
在①中，令，得，
即，所以，
因为，，
所以，
所以数列是常数列；
（2）设数列的前项的和为，由（1）得：，
，
，
得：，
所以.
18．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)若，求角A；
(2)若，，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用两角和的正弦公式化简得到；再利用正弦函数的性质得到或；最后根据分析即可得出结果.
（2）先由已知条件和（1）可得；再利用二倍角公式、正弦定理、余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
即.
因为
所以
即.
因为，
所以或.
由题意知，
则当时，，此时，这与矛盾，故舍去.
当时，因为，所以，所以.
综上可得：.
（2）因为，即，则.
由（1）可得.
因为
所以
在中，由正弦定理得：.
因为，
所以.
因为，
所以.
19．如图所示，直三棱柱中，，，，，分别是对角线，的中点．
(1)证明：面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于，即可说明与重合，即为的中点，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接，交于．
在直三棱柱中，侧面为平行四边形，
因为，是平行四边形的对角线，所以为的中点，
所以与重合，所以为的中点，
在中，因为分别是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）在内，因为，，所以，所以，
在直三棱柱中，，
因为平面，所以，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，所以，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，因为，，
所以，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则，取，
设二面角为，，
则，
所以，
综上所述：二面角的正弦值为.
20．2023年9月25日，在富阳银湖体育中心举行的杭州亚运会射击项目男子25米手枪速射团体决赛中，中国队以1765环的总成绩击败韩国队夺得冠军，并打破世界记录．现已知男子25米手枪速射决赛规则如下：取资格赛前6名选手进入决赛，5发子弹为一组，每发子弹9.7环以上得1分，否则得0分．若进入决赛的每位选手每组能得5分与4分概率分别为0.6，0.4．
(1)求某位进入决赛的选手三组射击后得分为14分的概率；
(2)设某位进入决赛的选手三组射击后得分为随机变量，求随机变量的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解.
（2）根据独立事件概率公式求解概率，即可列分布列，由期望公式求解期望即可.
【详解】（1）“某位进入决赛的选手三组射击后得分为14分”记事件A，
所以
答：某位进入决赛的选手三组射击后得分为14分的概率为
（2）随机变量的可能取值为，
；；
；．
所以随机变量的分布表为：
21．已知A，B，C为椭圆上的三个不同的点，且线段的中点在直线上．
(1)若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
(2)F为椭圆右焦点，且满足，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）法一：利用点差法可得答案，法二：设出斜率，联立方程，利用韦达定理以及中点坐标，结合根的判别式的检验，可得答案；
（2）根据题意，利用三角形的重心性质，结合椭圆的对称性，可得答案.
【详解】（1）
法一：设，，线段的中点为，
直线的斜率分别为，
因为点在椭圆上，所以，
得：，所以；
法二：设，，直线，
由，联立得：，
所以，经检验时，
（2）因为，所以为的重心，
因为，线段的中点在直线上，
所以点在直线上，所以
不妨设点在轴的下方，因为为的重心，所以，
所以线段的中点，
由（1）知：，所以直线的方程为
由椭圆的对称性可知：当点在轴的上方时，
直线的方程为，
综上：直线的方程为或.
22．已知．
(1)试判断函数的单调性；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）求导，讨论，两种情况，由导数得出其单调性；
（2）将的零点问题化为函数零点问题，讨论、、、，由其单调性结合零点个数得出实数a的取值范围．
【详解】（1）解：，
所以
当时，因为，所以函数在上为增函数
当时，函数在上为减函数，在上增函数
综上所述：①当时，函数为增函数；
②当时，函数在上为减函数，在上为增函数
（2）若函数有且只有一个零点，则函数有且只有一个零点，且，
由（1）知：当时，函数为增函数，此时只有一个零点，满足题意
当时，
①时，因为函数在上为减函数，所以，
因为，因为函数在上为增函数，
所以唯一，使，所以函数恰有两个零点，不满足题意
②时，因为函数在上为增函数，所以，
，
因为，函数在上为减函数，
所以唯一，使，所以函数恰有两个零点，不满足题意
③时，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，函数有且只有一个零点，满足题意．
综上所述：实数的取值范围为或
【点睛】关键点睛：解决第二问时，关键在于将的零点问题化为函数零点问题，借助其单调性以及零点个数得出参数的范围.
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