2020届湖北省华中师大一附中高三上学期期中考试数学（理）试题（word版）

华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中检测

高三年级数学（理科）试题

时间：120分钟  满分：150分 

一、   选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1. 已知集合，，则的子集个数为（   ）

A. 2     B．4    C．6    D．8

【答案】B

2. 设命题：，，则为 （    ）

A．      B． 

C．           D．

【答案】D

3. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为   （    ）

1.                  B. 2               C.              D.

【答案】B

4.  我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（   ）

    A. 第2天         B.第3天          C.第4天           D.第5天  

【答案】B

5. 已知变量x, y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A.1     B.2     C.3     D.6

【答案】A

6. 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足且{Sn}的最大项为，，则（   ）

   A. 20               B.22               C.24               D.26

【答案】D

7. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论

①    ②CF与EN所成的角为

③//MN     ④二面角的大小为

其中正确的个数是（    ）

A.1              B.2                  C.3                 D.4

【答案】C

8. 已知中，，E为BD中点，若，则的值为 （    ）

 A. 2               B. 6               C. 8                D. 10

【答案】C

9. 若，，，则的大小关系为  （   ）

1.        B.       C.         D.

【答案】A

10. 已知函数的部分图像如右图

所示，且，则的值为 （   ）

A.             B.                

C.              D.       

【答案】C

11. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（    ）

A.           B.              

C.          D.

【答案】D

12. 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为（    ）

    A.               B.1                  C.                D. 3

【答案】B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13. 曲线在点处的切线方程为              .

【答案】

14. 已知，则              .      

【答案】

15. 已知的内角的对边分别为.若，的面积为，则面积的最大值为          .

【答案】

16. 已知的外接圆圆心为O，，，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是              .

【答案】

三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17. （本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，若

   （1）求角C；   

（2）BM平分角B交AC于点M，且，求.

【解析】（1）由题                            

          又       

（2）记，则，在中，，

在中，，即            

即或（舍）       

18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，，

   （1）证明：数列为等差数列；

   （2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前项和Tn.

【解析】（1）时，              

          即

同除以得

为等差数列，首项为1，公差为1            

       （2）由（1）知                         

19. （本小题满分12分）已知函数

（1）求函数的最大值并指出取最大值时的取值集合；

（2）若为锐角，，求的值.

【解析】（1） 

令 得

所以最大值为2，此时的取值集合为    

    （2）由为锐角，得           

        又

20. （本小题满分12分）已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E为CD的中点，

（1）证明:平面PBD平面ABCD；

（2）若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）证明:由四边形ABCD是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC，

可得DC=2,∠BCD=，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.

∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,

又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.                            

又∵AE⊂平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.                        

(2) 在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,

又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,

∴PO⊥平面ABCD

∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角, 则∠PCO=                   

∴易得OP=OC= ∵PB=PD,PO⊥BD,∴O为BD的中点,∴OC⊥BD.

以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),

      假设在侧面内存在点，使得平面成立，

设，易得     

由得，满足题意                              

所以N点到平面ABCD的距离为                     

21. （本小题满分12分）

（1）已知，证明：当时，；

 （2）证明：当时，有最小值，记

最小值为，求的值域.

【解析】（1）证明：在上单增

                   时，即

时，                  

       （2）

            由在上单增且

            知存在唯一的实数，使得，即

            单减；单增

            ，满足                   

           记，则在上单减

所以的值域为                   

22. （本小题满分10分）已知函数

（1）解不等式；

（2）若函数最小值为，且，求的最小值.

【解析】（1）当时，，无解

        当时，，得

        当时，，得

        所以不等式解集为                                    

（2）

          当且仅当时取等

          当且仅当时取等

          所以当时，最小值为4，即，                    

所以

                所以

当且仅当且即时取“=”

                所以最小值为