黑龙江省海林市朝鲜族中学2020届高三上学期第二次月考数学（理）试题 Word版含答案

这是一份黑龙江省海林市朝鲜族中学2020届高三上学期第二次月考数学（理）试题 Word版含答案，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(2014课标全国Ⅱ,理1)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( ).
A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}
解析:∵M={0,1,2}, N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∴M∩N={0,1,2}∩{x|1≤x≤2}={1,2}.故选D. 答案:D
2.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ).
A.B.-C.D.-
解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.
∵q≠1时,S3==a1·q+10a1,∴=q+10,整理得q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=. 答案C
3.(2012课标全国,理3)下面是关于复数z=的四个命题:
p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为-1,其中的真命题为( ).
A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4
解析: Cz==-1-i,故|z|=,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,
p3错误;p4正确.
4.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( ).
A.1B.2C.3D.5
解析:∵|a+b|=,∴(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.①∵|a-b|=,∴(a-b)2=6,即a2+b2-2a·b=6.②
由①②可得a·b=1.故选A. 答案:A
5.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( ).
A.5B.C.2D.1
解析:由题意知S△ABC=AB·BC·sin B,即×1×sin B,解得sin B=.∴B=45°或B=135°.
当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs B=12+()2-2×1×=1.
此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;
当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs B=12+()2-2×1×=5,得AC=.符合题意.故选B.
6.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
A.12B.13C.14D.15
解析:由题意得S5==5a3=25,a3=5,公差d=a3-a2=2,a7=a2+5d=3+5×2=13.答案:B
7.若cs(eq \f(π,3)－2x)＝－eq \f(7,8)，则sin(x＋eq \f(π,3))的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(7,8) C．±eq \f(1,4) D．±eq \f(7,8)
解析:C sin(x＋eq \f(π,3))＝cs(eq \f(π,6)－x)，由cs(eq \f(π,3)－2x)＝－eq \f(7,8)，得2cs2(eq \f(π,6)－x)－1＝－eq \f(7,8)，
所以cs2(eq \f(π,6)－x)＝eq \f(1,16)，所以cs(eq \f(π,6)－x)＝±eq \f(1,4).
8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-. ∴y'|x=0=a-1=2,得a=3. 答案:D
9.设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为( ).
A.10B.8C.3D.2
解析:线性目标函数z=2x-y满足的可行域如图所示.
将直线l0:y=2x平行移动,当直线l0经过点M(5,2)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,也就是z取最大值,此时zmax=2×5-2=8. 答案:B
10.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图3­19­5所示，其中A>0，ω>0，|φ|A．图像的对称轴方程是x＝eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z) B．φ＝－eq \f(π,6)
C．最小正周期为π D．在区间(－eq \f(3π,2)，－eq \f(5π,6) )上单调递减
解析:D 易知A＝1，eq \f(5π,6)－（－eq \f(π,6) )＝π＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,ω)，故ω＝1.又－eq \f(π,6)＋φ＝2kπ(k∈Z)，且|φ|2kπ＋eq \f(π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(4π,3)(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间是[2kπ＋eq \f(π,3)，2kπ＋eq \f(4π,3)] (k∈Z)．令k＝－1，得函数f(x)的一个单调递减区间为[－eq \f(5π,3)，－eq \f(2π,3)]，即[－eq \f(10π,6)，－eq \f(4π,6)]，由于(－eq \f(3π,2)，－eq \f(5π,6) )，即(－eq \f(9π,6)，－eq \f(5π,6))⊆[－eq \f(10π,6)，－eq \f(4π,6)]，所以函数f(x)在区间(－eq \f(3π,2)，－eq \f(5π,6) )上单调递减．故选D.
11．已知数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*，都有an＋1＝an＋a1＋n，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a2014)等于( )
A.eq \f(4026,2015) B.eq \f(4028,2015) C.eq \f(2013,2014) D.eq \f(2014,2015)
解析:B 因为a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，
所以an－a1＝2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(（n－1）（n＋2）,2)，则an＝eq \f(n（n＋1）,2)，
则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a2014)＝2×1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2014)－eq \f(1,2015)＝2×eq \f(2014,2015)＝eq \f(4028,2015).
12.函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，则( )
A．3f(2ln 2)>2f(2ln 3) B．3f(2ln 2)<2f(2ln 3)
C．3f(2ln 2)＝2f(2ln 3) D．3f(2ln 2)与2f(2ln 3)的大小不确定
解析:根据2f′(x)>f(x)构造函数，然后用函数的单调性来解题；
构造函数g(x)＝eq \f(f（x）,e\f(1,2)x)，则g′(x)＝eq \f(f′（x）e\f(1,2)x－\f(1,2)f（x）e\f(1,2)x,（e\f(1,2)x）2)＝eq \f(2f′（x）－f（x）,2e\f(1,2)x)>0，
所以函数g(x)在R上单调递增，所以g(2ln 2)即eq \f(f（2ln 2）,2)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(2014课标全国Ⅱ,理14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcs(x+φ)的最大值为 .
解析:∵f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcs(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcs(x+φ)
=sin(x+φ)csφ+cs(x+φ)sinφ-2sinφcs(x+φ)=sin(x+φ)csφ-cs(x+φ)sinφ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.
∴f(x)max=1. 答案:1
14．设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
因为向量与平行，所以，则所以．1/2
15.计算定积分(3x2+sin x)dx= .
解析:(3x2+sin x)dx=(x3-cs x)=2.答案:2
16.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是 .
解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2).又f(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴|x-1|<2,解得-2三、解答题:
17.已知f(x)=4csx·cs-2.
(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
解:(1)因为f(x)=4csxcs-2=4csx-2=sin2x+2cs2x-2=sin2x+cs2x-1
=2sin-1.所以f(x)的最小正周期是T==π.
(2)因为-≤x≤,所以-≤2x+.
于是当2x+,即x=时,f(x)取得最大值1; 当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-2.
18.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,csA=,B=A+.
(1)求b的值; (2)求△ABC的面积.
解:(1)在△ABC中,由题意知sinA=,又因为B=A+,所以sinB=sin=csA=.
由正弦定理可得b==3.
(2)由B=A+得csB=cs=-sinA=-.由A+B+C=π,得C=π-(A+B),
所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=.
因此△ABC的面积S=absinC=×3×3.
19.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=+n-4.
(1)求证:{an}为等差数列; (2)求{an}的通项公式.
(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,解得a1=3 (a1=-1舍去).当n≥2时,有2Sn-1=+n-5,又2Sn=+n-4,两式相减得2an=+1,即-2an+1=,也即(an-1)2=,
因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,
所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{an}为等差数列.
(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)=n+2,即an=n+2.
20.已知向量p=(an,2n),向量q=(2n+1,-an+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=lg2an+1,求数列{an·bn}的前n项和Sn.
解:(1)∵向量p与q垂直,∴2n+1an-2nan+1=0,即2nan+1=2n+1an.∴=2
.∴{an}是以1为首项,2为公比的等比数列.∴an=2n-1.
(2)∵bn=lg2an+1=n-1+1=n,∴an·bn=n·2n-1.∴Sn=1+2·2+3·22+4·23+…+n·2n-1.①
∴2Sn=1·2+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n.②
-②得,-Sn=1+2+22+23+24+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)2n-1,∴Sn=1+(n-1)2n.
21.已知函数f(x)=ln x,函数g(x)=+af'(x).
(1)求函数y=g(x)的表达式;
(2)若a>0,函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,求a的值.
解:(1)因为f(x)=ln x,所以f'(x)=.所以函数y=g(x)=x+ (x>0).
(2)由(1)知,g(x)=x+(x>0).
方法一:当a>0,x>0时,由基本不等式可知g(x)≥2,当且仅当x=时取等号.
所以函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2.所以2=2,解得a=1.
方法二:∵g'(x)=1-(x>0), ∴令g'(x)=0,得x=.
当0时,g'(x)>0.故x=是y=g(x)的极小值点,
即y=g(x)在x=处取得极小值,也是最小值,故=2,得a=1.
22．设函数．
（Ⅰ）证明：在单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．