黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学（理）试题（含答案）

2022-2023学年度第一学期高三年级数学课第二次考试

一、选择题（共60分，每题5分）

1．命题p：，，则是（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

2．已知集合，则M等于（    ）

A． B． C． D．

3．若，则复数（    ）

A．－1 B． C．1 D．

4．已知函数，则的值为（    ）

A．－1 B．7 C．2 D．1

5．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知等差数列中，，，求的值是（    ）

A．15 B．5 C．10 D．20

7．在中，A＝60°，B＝75°，BC＝10，则AB＝（    ）

A． B． C． D．

8．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A．90 B．125 C．155 D．180

9．已知二次函数在x＝1处的导数值为1，该函数的最大值是（    ）

A． B． C． D．

10．已知D是所在平面内的一点，且，设，则（    ）

A． B． C．3 D．－3

11．若函数在上为增函数，则实数b的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知M是内的一点，且，∠BAC＝30°，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（    ）

A．20 B．18 C．16 D．9

二、填空题（共20分，每题5分）

13．函数的最大值为______．

14．已知向量，，则与的夹角为______．

15．已知数列的前n项和为，则数列的通项公式为______．

16．已知函数，，，若，都有，则实数m的取值范围是______．

三、解答题（总70分，自己写题号解答）

17．数列的前n项和为，数列中，，求与．

18．若，，

（1）函数的对称中心；（2）单调增区间．

19．已知数列的首项，且满足．

（1）求证：数列为等比数列．

（2）若，求满足条件的最大整数n．

20．设，曲线在点处取得极值．

（1）求a的值；

（2）求函数的单调区间和极值．

21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，且．

（1）求角C的大小；

（2）若c＝3，求的面积．

22．已知函数，，e为自然对数的底数．

（1）若对于任意实数，恒成立，试确定a的取值范围；

（2）当a＝－1时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由．

高三2021-2022上学期第二次月考答案

一、选择题（共60分，每题5分）

5．【解析】

【分析】

直接利用二倍角的正弦公式换化简，再利用齐次式进行弦切互化，得出，即可求出，即可判断充分条件和必要条件．

【详解】解：∵，

则或，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

7．答案：D

解析：根据三角形内角和定理知，

由正弦定理得，即．

故本题正确答案为D．

8．答案：C

解析：因为等比数列的前n项和为，

根据等比数列的性质，，，成等比数列，

因为，，所以，

所以，，成公比为5的等比数列，

所以，即．

故本题正确答案C．

10．答案：D

解析：由题意作图，如图所示，因为，所以C为BD的中点，

所以，因为，

所以由平面向量基本定理可得，，所以，故选D．

11．【分析】根据增函数定义及一次函数、二次函数的单调性即可由条件得到，解该不等式组便可得出实数b的取值范围．

【详解】解：在为增函数；

∴，解得；∴实数b的取值范围是．

故选：B．

【点睛】考查增函数的定义，分段函数单调性的判断，以及一次函数和二次函数的单调性，属于中档题．

12．【详解】试题分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x＋y的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可．

因为，∠BAC＝30°，

所以，∴bc＝4，∴，∴，

∴．故选B．

二、填空题（共20分，每题5分）

13．   14．    15．    16．

15．解析：由题意，数列的前n项和为，

当n＝1时，，

当时，，

所以数列的通项公式．

16．【分析】函数，，，若，都有，等价于，再求函数，，，的最值即可得解．

【详解】解：由，，则，

由，，则，

因为函数，，，若，都有，等价于，即，即，故答案为．

【点睛】本题考查了不等式有解与恒成立问题，重点考查了函数的最值的求法，属中档题．

三、解答题（总70分）

17．，．

18．略

19．（1）答案：见解析

解析：证明：（方法一），∴为等比数列．

（方法二）∵，两边取倒数得，

∴，∴，∴为等比数列．

（2）答案：最大整数n为99

解析：由（1）知，，，

∴，∴，

∴

，

∴，∴最大整数n为99．

20．答案：（1）a＝2 （2）的极大值为，的极小值为

解析：（1）因为，所以．

由题意知，，故可得a－2＝0，解得a＝2．

（2）由（1）可知，．令，解得，．

因为函数定义域为，所以当或x＞1时，

，当时，．

故可得在区间和上单调递减，在区间上单调递增．

故的极大值为，的极小值为．

21．（1）在中，∵，且b＝2，∴，

由余弦定理得，即，

∵c＞0，∴，即，∵，∴，

综上所述，结论是：．

（2）由（1）知：，由余弦定理得，

∵c＝3，∴，即，

解得或（舍去），

∴，

综上所述，结论是：的面积是．

22．答案：（1）

（2）不存在，理由见解析

解析：（1）因为对于任意实数，恒成立，，

若x＞0，恒成立，即在x＞0上恒成立，

设，则，

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

所以当x＝1时，取得最大值，所以a的取值范围为，

综上，对于任意实数，恒成立的实数a的取值范围为．

（2）依题意，，

所以，

设，则，

当，，故在上单调递增，

当，，故在上单调递减，

因此在上的最小值为．