数学选修4-4渐开线与摆线当堂达标检测题

第二讲  参数方程

四、渐开线与摆线

A级　基础巩固

一、选择题

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(　　)

A．只有圆才有渐开线

B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形

C．正方形也可以有渐开线

D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同

解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．

答案：C

2.(φ为参数)表示的是(　　)

A．半径为5的圆的渐开线的参数方程

B．半径为5的圆的摆线的参数方程

C．直径为5的圆的渐开线的参数方程

D．直径为5的圆的摆线的参数方程

解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.

答案：B[来源:学科网]

3．下列各点中，在圆的摆线(φ为参数)上的是(　　)

A．(π，0)　　　　 B．(π，1)

C．(2π，2)   D．(2π，0)

解析：当φ＝π时，x＝π－sin π＝π，y＝1－cos π＝1＋1＝2，当φ＝2π时，x＝2π－sin 2π＝2π，y＝1－cos 2π＝1－1＝0，故选D.[来源:学§科§网]

答案：D

4．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是(　　)

A．π　　　　B．3π　　　　C．6π　　　　D．10π

解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为

(φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．

答案：C

5．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为(　　)[来源:学科网]

A.－1  B.  C.  D.

解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得

即A，

所以|AB|＝ ＝.

答案：C

二、填空题

6．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．

解析：由圆的摆线的参数方程(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.

答案：6

7．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．

解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.

答案：12

8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则摆线(θ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________________．

解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于直线y＝x的对称曲线的参数方程，只需把其中的x与y互换．

答案：(θ为参数)

三、解答题[来源:学§科§网]

9．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[来源:Zxxk.Com]

解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是

(θ为参数)．

10．已知圆的渐开线的参数方程为(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．

解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为

(φ是参数)．

B级　能力提升

1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是(　　)

A．3π　　　　　　　 B．4π

C．5π   D．6π

解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.

答案：C

2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为________________．

解析：由题设得4＝4(1－cos t)得cos t＝0.

因为t∈[0，2π)，所以t1＝，t2＝，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．

答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)

3．已知圆C的参数方程(α为参数)和直线l的普通方程x－y－6＝0.

(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？

(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．

解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．

(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是

(φ为参数)．