高中数学人教版新课标A选修2-32.2二项分布及其应用课后复习题

 www.ks5u.com第二章  随机变量及其分布

2.2  二项分布及其应用

2.2.3  独立重复试验与二项分布

A级　基础巩固

一、选择题

1．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)等于(　　)

A．C×0.88×0.22　 B．C×0.82×0.28

C．0.88×0.22   D．0.82×0.28

解析：因为X～B(10，0.8)，所以P(X＝k)＝C0.8k(1－0.8)10－k，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22.

答案：A

2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　)

A．C×   B．C×

C.×   D.×

解析：前两次测到的都是次品，第三次测到的是正品，

所以P(ξ＝3)＝××＝×.

答案：C

3．在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中出现k次的概率为(　　)

A．1－pk   B．(1－p)kpn－k

C．1－(1－p)k   D．C(1－p)kpn－k

解析：出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得出现k次的概率为C(1－p)kpn－k.

答案：D

4．(2015·课标全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)

A．0.648   B．0.432

C．0.36   D．0.312

解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.62×0.4＋0.63＝0.648.

答案：A

5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于(　　)

A．C   B．C

C．C   D．C

解析：当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P(ξ＝12)＝C.

答案：B

二、填空题

6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．

①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；

②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；

③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M＜N)；

④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．

解析：对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0，1，2，…，n)的概率P(ξ＝k)＝C，符合二项分布的定义，即有ξ～B.对于②，ξ的取值是1，2，3，…，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.故应填①③.

答案：①③

7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________．

解析：因为X～B(2，p)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝.又Y～B(3，p)，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.

答案：

8．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．

解析：由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C×＝.

答案：

三、解答题

9．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中．

(1)至少有1棵成活的概率；

(2)两种大树各成活1棵的概率．

解：设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1，2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1，2，

则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.

 (2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为P＝C·C＝×＝＝.

10. 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列．

解：依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果都是相互独立的，所以X～B.

故P(X＝k)＝C＝C，k＝0，1，2，…，6.

因此所求X的分布列为：

B级　能力提升

1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)

A．0.4，1)   B．(0，0.4]

C．0.6，1)   D．(0，0.6]

解析：由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，

所以Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，2(1－p)≤3p，

所以p≥0.4.

又0≤p＜1，所以0.4≤p＜1.

答案：A

2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率是________．

解析：设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋ ”，且事件A，B相互独立．

所以P(AB＋)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋＝.

答案：

3．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．

(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；

(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列．

解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3.

由题意，各局比赛结果相互独立，

故P(A1)＝＝，

P(A2)＝C×＝，

P(A3)＝C×＝.

所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为.

以3∶2胜利的概率为.

(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，

由题意，各局比赛结果相互独立，所以

P(A4)＝C××＝.

由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3.

根据事件的互斥性得

P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝；

P(X＝1)＝P(A3)＝；

P(X＝2)＝P(A4)＝；

P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.

故X的分布列为：