2021学年3.1变化率与导数综合训练题

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝(　　)

A．－3　　　　　　　　　 B．2

C．3 D．－2

【解析】　根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.故选C.

【答案】　C

2．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点及邻近一点，则＝(　　)

A．3 B．－3

C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3

【解析】　∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，

∴＝＝－3－Δx.故选D.

【答案】　D

3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　)

A．6 B．18

C．54 D．81

【解析】　因为＝＝＝18＋3Δt，所以 ＝18.

【答案】　B

4.如图3－1－1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)

图3－1－1

A．1 B．－1

C．2 D．－2

【解析】　＝＝＝－1.

【答案】　B

5．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为(　　)

A．0 B．3

C．3 D．6

【解析】　f′(x0)＝ ＝

＝

＝ (－8＋2x0＋Δx)

＝－8＋2x0＝4，所以x0＝3.

【答案】　C

二、填空题

6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.

【解析】　＝＝7Δt＋14t0，

当 (7Δt＋14t0)＝1时，t0＝.

【答案】　

7．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．

【解析】　Δy＝－

＝－＝＝，

∴＝＝－，

即k＝＝－.

∴当Δx＝1时，k＝－＝－.

【答案】　－

8．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝________.

【解析】　 ＝

＝ ＝－.

【答案】　－

三、解答题

9．求y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．

【解】　∵Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－

＝4Δx＋(Δx)2＋，

∴＝4＋Δx－，

∴y′|x＝2＝

＝

＝4＋0－＝.

10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围.               【导学号：26160069】

【解】　因为函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：

＝

＝

＝＝－3－Δx，

所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.

又因为Δx＞0，

即Δx的取值范围是(0，＋∞)．

[能力提升]

1．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)

A．k1>k2 B．k1<k2

C．k1＝k2 D．不确定

【解析】　k1＝＝＝2x0＋Δx，

k2＝＝＝2x0－Δx.

因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．

【答案】　D

2．设函数在x＝1处存在导数，则 ＝(　　)

A．f′(1) B．3f′(1)

C.f′(1) D．f′(3)

【解析】　 ＝ ＝f′(1)．

【答案】　C

3．如图3－1－2是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．

图3－1－2

【解析】　由函数f(x)的图象知，

f(x)＝

所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为：＝＝.

【答案】　

4．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s)．

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t＝2 s时的瞬时速度；

(3)求t＝0 s到t＝2 s时的平均速度. 【导学号：26160070】

【解】　(1)＝＝3－Δt.

当Δt→0时，→3，

所以v0＝3.

(2)

＝＝－Δt－1.

当Δt→0时，→－1，

所以t＝2时的瞬时速度为－1.

(3)＝＝＝1.