高二数学同步单元练习（必修2） 专题03 空间几何体的表面积与体积（A卷） Word版含解析

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（测试时间：120分钟     满分：150分）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　 D.

解析：选C　∵VC－A′B′C′＝V柱＝，

∴VC－AA′B′B＝1－＝.

2． 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)

A．π   B．2π

C．4π   D．8π

3． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　)

A．6   B．9

C．12  D．18

解析：选B　由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为××6×3×3＝9.

4． 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．48   B．32＋8

C．48＋8   D．80

5． 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)

A.π＋12   B.π＋18

C．9π＋42   D．36π＋18

解析：选B　由三视图可判断此几何体是球与长方体的组合体，其体积V＝3＋32×2＝＋18.

6．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　)

A．2∶3   B．4∶9

C.∶   D.∶

解析：选B　设两个球的半径分别为r1，r2，则＝＝.∴＝，＝＝.

7．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)

A.   B.

C．8π   D.

解析：选C　设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.

8．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A．3πa2   B．6πa2

C．12πa2   D．24πa2

解析：选B　由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线为＝a，又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝a，则S球＝4πR2＝4π2＝6πa2.

9．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为(　　)

A．4∶3   B．3∶1

C．3∶2   D．9∶4

解析：选C　作轴截面如图，则PO＝2OD，∠CPB＝30°，CB＝PC＝r，PB＝2r，圆锥侧面积S1＝6πr2，球的面积S2＝4πr2，S1∶S2＝3∶2.

10． 平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)

A.π   B．4π

C．4π   D．6π

11．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是(　　)

A．25π  B．50π

C． 125π  D．都不对

B　 由题意知球为长方体的外接球．设球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋52，∴R2＝，∴S球＝4πR2＝4π×＝50π.

12．一个空间几何体的三视图如图L1­3­5所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为(　　)

图L1­3­5

A．64，48＋16   B．32，48＋16

C.，32＋16   D.，48＋16

B　 由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其直观图如图所示．

体积V＝×4×4×4＝32，表面积S＝2××42＋4×(4＋4＋4 )＝48＋16 .

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．

14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________．

解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h＝＝12 (cm)，

所以S侧＝4××(8＋18)×12＝624 (cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是表面积为S＝624＋64＋324＝1 012(cm2)．

答案：1 012 cm2

15． 圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________ cm2.

解析：设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．

答案：100π

16．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．

答案：πa2

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．如图是某几何体的三视图．

(1)画出它的直观图(不要求写画法)；

 (2)求这个几何体的表面积和体积．

解：(1)这个几何体的直观图如图所示．

(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为)，所以所求表面积为S＝π×12＋2π×1×2＋π×

1×2＝7π，体积为V＝π×12×2＋×π×12×＝2π＋π.

18．已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．

解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，

且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2.

取BC的中点D，连接VD，

则VD⊥BC，有

VD＝ ＝ ＝，

则S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，

S△ABC＝×(2)2×＝3，

所以，三棱锥V－ABC的表面积为

3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．

19． 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为多少？

该几何体的体积V＝2V球＋V长方体

＝2×π3＋6×1×3

＝18＋9π.

20．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．

解：该组合体的表面积

S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.

21．(2012·潍坊高一检测)用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为r1＝24 cm，r2＝15 cm，两截面间的距离为d＝27 cm，求球的表面积．

∴S球＝4πR2＝2 500π(cm2)．

22．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 ，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体的表面积及体积．

解：易知所得的几何体是由一个圆台截去一个圆锥所得的组合体，

且CE＝DE＝AD＝2，BC＝5，则S表面＝S圆台底面＋S圆台侧面＋S圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 ＝60π＋4 π，

V＝V圆台－V圆锥＝π(22＋2×5＋52)×4－π×22×2＝π.